第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版2024）

第十章 二元一次方程组 （A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列方程中属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二元一次方程组，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 3．若方程的两个解是，，则的值是（   ） A．6 B． C． D．4 4．已知是关于x，y的方程的一个解，则k的值为（   ） A． B．1 C．2 D．7 5．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A．9 B．8 C．2 D．1 6．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．若关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 9．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（） A． B． C． D． 10．两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．在方程中，用的代数式表示，得 ． 12．若是二元一次方程，则 ． 13．大刚和小亮到同一家超市购买水果，大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元．设苹果的售价为，梨的售价，则可列二元一次方程组为 ． 14．如果是方程组的解，那么 ； ． 15．若关于x，y的二元一次方程组和同解，则 ． 16．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．解下列方程组： (1) (2) 18．解方程组： (1)； (2)． 19．解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的，得解为，看错了方程组中的，得解为． (1)把错看成了什么？把错看成了什么？ (2)求出原方程组的解． 20．下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程： 甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， . (1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因． (2)请你改正并完善两名同学的解题过程． 21．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 22．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 23．某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 24．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足，就称点P为“燕南点”．例如：点E，令得， ，所以E不是“燕南点”；F，令得，，所以F是“燕南点”． （1）点A ，B 是“燕南点”的是 （2）点M是“燕南点”，请判断点M在第几象限？并说明理由； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C是“燕南点”，求t的值． 25．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨． （1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ （2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载． ①请帮柑橘园设计租车方案； ②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组 （A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列方程中属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义即可判断． 【详解】解：A、，不是整式方程，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意； B、，含未知数项的最高次数为二次，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意； C、，属于二元一次方程，故此选项符合题意； D、，含有3个未知数，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．已知二元一次方程组，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相减求出的值即可． 【详解】解：， ①②得：， 故选：B． 3．若方程的两个解是，，则的值是（   ） A．6 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查方程的解的定义以及解二元一次方程组，熟练掌握方程的解的定义以及解二元一次方程组是解决本题的关键． 根据方程的解的定义，得，，故，，进而求得． 【详解】解：由题意得， ，得， 解得，代入，得． 所以． 故选：B． 4．已知是关于x，y的方程的一个解，则k的值为（   ） A． B．1 C．2 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．把二元一次方程的解代入方程得到k的一次方程，然后解关于k的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 故选：B． 5．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A．9 B．8 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，那么这两个单项式是同类项”、二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义是解题关键．先根据同类项的定义可得，再解方程组求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， 则， 故选：A． 6．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程是含有未知数的等式，解决本题的关键是找到相等关系，根据相等关系列出方程组． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱， 根据“若每人出钱，还差钱”，可列方程； 根据“若每人出钱，多余钱”,可列方程； 所以可得：， 故选：C． 7．若关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组；根据方程组中两个方程的特点，两个方程相加可得的值，由已知即可求得k的值． 【详解】解：， 两个方程相加得：，即； 由于，即， 解得：； 故选：D． 8．若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题关键是根据整体思想及方程组的解法进行求解． 根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a，b． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴方程组的解是， 解， 得， 故选：C． 9．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 由题意得： 解得： 个碗叠成一列高度为， 即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有， 故选：C． 10．两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．在方程中，用的代数式表示，得 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质，对方程进行变形，即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为“”，得， 故答案为：． 12．若是二元一次方程，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】解∶ 是二元一次方程， ， 解得∶ 故答案为：6． 13．大刚和小亮到同一家超市购买水果，大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元．设苹果的售价为，梨的售价，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂情意，找出数量关系是解答关键． 设苹果的售价为，梨的售价，根据 【详解】解：设苹果的售价为，梨的售价，根据大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元列出方程求解． 则． 故答案为：． 14．如果是方程组的解，那么 ； ． 【答案】 10 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的运用以及简单的二元一次方程组的解法． 所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，可以将代入方程组，得，得到和的关系式，然后求出，的值． 【详解】解：将代入方程组，得 ， 得到，． 故答案为：，10． 15．若关于x，y的二元一次方程组和同解，则 ． 【答案】0 【分析】由系数已知两方程组成方程组，求解得，分别代入含参数方程，求得参数． 【详解】解：由题意，得 求解得，， 代入得，， 解得， 代入得，， 解得， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题考查方程组解的定义，二元一次方程组的求解；理解方程组的定义是解题的关键． 16．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【答案】（1）（2）/（2）（1） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误； 故答案为：（1）（2）． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组； （1）根据代入法，将①代入②，得，得出，再代入①，即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解： 将①代入②，得， 解得． 将代入①，得． 所以，原方程组的解为 （2） ①②，得， 解得． 将代入②，得， 解得． 所以，原方程组的解为 18．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组—加减消元法，熟练掌握加减消元法的定义及用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键：定义：当二元一次方程组的两个方程中间一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法；用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数），加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程，求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值，回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，写解：写出方程组的解． （1）按照用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤解方程组即可； （2）按照用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤解方程组即可． 【详解】（1）解：， 整理，得：， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ； （2）解：， 对于， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 原方程组化为， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ． 19．解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的，得解为，看错了方程组中的，得解为． (1)把错看成了什么？把错看成了什么？ (2)求出原方程组的解． 【答案】(1)把错看成了，把错看成； (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识，熟练求解二元一次方程组是解题得关键． （1）将代入，得 ，将代入，得得即可； （2）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1）解：将代入，可得 解得 ， 将代入，得 可得； ∴把错看成了，把错看成； （2）解：将代入，可得 解得， 将代入，可得 解得， ∴原方程组为：， 解方程组可得：． 20．下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程： 甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， . (1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因． (2)请你改正并完善两名同学的解题过程． 【答案】(1)甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错；乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了采用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组， （1）结合加减消元法和代入消元法的求解方法逐步判断即可作答； （2）利用加减消元法和代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错； 乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错． （2）甲同学：，得， 解得. 将代入①，得， 解得. 原方程组的解为 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， 解得. 将代入①，得， 解得. 原方程组的解为 21．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 22．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2）共需要450元． 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求解． 【详解】解：（1）， ①②得：③ ③得： 所以，的值为18； （2）设买1本笔记本需要a元、买1支签字笔需要b元、买1支记号笔需要c元， 由题意得： ①得：③ ②③得 所以，元； 答：买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔共需要450元． 23．某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 【答案】(1)(1)班有48人，2班有56人 (2)的值为9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用等知识点， (1)设(1)班有x人，2班有y人，根据总人数为104人，共花费1240元购票，列方程组求解； (2)根据题意，列出方程求解的值即可； 解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】（1）解：设(1)班有x人，2班有y人， 由题意得，， 解得：， 答：(1)班有48人，2班有56人； （2）解：由题意得，， 解得：， 即的值为9． 24．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足，就称点P为“燕南点”．例如：点E，令得， ，所以E不是“燕南点”；F，令得，，所以F是“燕南点”． （1）点A ，B 是“燕南点”的是 （2）点M是“燕南点”，请判断点M在第几象限？并说明理由； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C是“燕南点”，求t的值． 【答案】（1） B； （2） M，在第一象限； （3）． 【分析】（1）根据“燕南点”的定义分别判断即可； （2）直接利用“燕南点”的定义得出a的值再求出点的坐标进而得出答案； （3）直接利用“燕南点”的定义得出t的值进而得出答案； 【详解】（1）点A，令 解得 ， A不是“燕南点“， 点B，令 解得 ， B是“燕南点”； 故答案为：B； （2）根据题意,得， ， ，求得， 所以，所以M，在第一象限； （3）方程组的解为 ∵点是“燕南点”， ∴ ∴ ，∴，解得， ∴t的值为10． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，点的坐标的知识，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力． 25．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨． （1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ （2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载． ①请帮柑橘园设计租车方案； ②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨；（2）①共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车；②最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元 【分析】（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案； ②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨． （2）①依题意，得：3m+2n＝21， ∴m＝7﹣n． 又∵m，n均为非负整数， ∴或或或． 答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车． ②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元）， 方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元）， 方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元）， 方案4所需租车费为120×7＝840（元）． ∵1020＞960＞900＞840， 故答案为：最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元． / 学科网（北京）股份有限公司 $$