精品解析：2025年黑龙江省大庆市肇州县五校联考一模数学试题

九年级数学 一、单选题 1. 下列各组数中互为相反数的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 2与 2. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A. B. C. D. 5. 某中学九年级共有四个班级，现从这四个班级中随机抽取两个进行学业负担调查，则恰好抽到两个班级的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 下列六个命题中，真命题有（ ） ①同旁内角互补：②如果和是对顶角，那么；③同角（等角）的补角相等：④若，则；⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图a是长方形纸带，，将纸带沿 折叠成图b，再沿 折叠成图c，则图c中的（ ）． A. 96 B. 108 C. 118 D. 128 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（ ） A. -3 B. 4 C. 5 D. 9 10. 如图， 是半径为3半圆O的直径． 是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦 从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转 ，则交点P运动的路径长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是_________． 12. 已知，求代数式的值________． 13. 如图是某圆柱形饮料瓶的规格尺寸，把12瓶这样的饮料装入纸盒中（紧密放置，如图）．这个纸盒的容积大约是 __立方厘米． 14. 将抛物线向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为______． 15. 若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是____． 16. 如图，在中， ，以为直径的 与 ， 分别交于点D，E，连接 ，，平分， ，则阴影部分的面积为______． 17. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…，按此规律排列下去，第24个图形中圆的个数是_____个． 18. 已知二次函数的图像，如图所示，其对称轴是直线 ，分析下列结论：① ；②；③；④若，则；⑤其中正确的结论有_______（填序号）． 三、解答题 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 阳光体育，快乐课间，近年来，我县各中小学校积极开展阳光大课间活动，为了配合此活动，助力学生健康成长．某体育用品商店用300元购进了一批跳绳，很快销售一空；商店又用360元购进了第二批该种跳绳，但这次每个跳绳的进价比原来涨了2元，结果所购进跳绳的数量和第一批所购进数量相同，求第一批跳绳每个的进价是多少元？ 22. 成都东部新区丹景台景区核心区位于龙泉山城市森林公园南段示范区，包括丹景台、丹景阁、丹景里及丹景亭四处特色建筑．其中，丹景阁坐落于海拔737米的丹景山高处，作为景区核心区的制高点，具有高屋建瓴的视野优势，在这里登高望远，可眺望东进热土，俯瞰城市美景（如图1）．某校开展综合实践活动，测量丹景阁主体高度 的长（如图2），使用无人机在点C处测得建筑物顶端A的仰角为 ，然后控制无人机竖直上升13米后达到D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，其中B，C在同一水平线上，求丹景阁主体高度 的长．（结果精确到1米：参考数据：） 23. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： 的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 24. 如图，在菱形中，E，F分别为 ， 上的点，且 ，连接并延长 ，延长线交于点G，连接 ． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连接，若，，求的长． 25. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价 （元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与 轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线 向下平移 个单位长度后与 轴，轴分别交于，两点，当 时，求 的值． 27. 如图，四边形内接于 ， 为 的直径， ，过点的直线l交的延长线于点，交 的延长线于点，且 ． （1）求证：是 的切线； （2）求证： ； （3）当，时，求的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与 轴交于两点（在的左侧），连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作 轴，垂足为，交于点．点是线段 上一动点， 轴，垂足为，点为线段 的中点，连接．当线段 长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段 长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、单选题 1. 下列各组数中互为相反数的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 2与 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数，绝对值，有理数的乘方运算，熟练掌握相反数定义，绝对值性质，有理数的乘方运算法则是解题的关键．根据相反数定义，绝对值的性质，有理数的乘方运算法则进行计算，然后判断即可． 【详解】解：A．与不是相反数，故选项A不符合题意； B．，与 是互为相反数，故选项B符合题意； C．，，则与不是相反数，故选项C不符合题意； D．，与2不是相反数，故选项D不符合题意． 故选：B． 2. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是非负数，当原数绝对值小于1时， 是负数，表示时关键是要正确确定 的值以及 的值． 【详解】解：， 故选：C． 3. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，能够根据轴对称图形定义识别轴对称图形是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解∶A． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C． 是轴对称图形，故该选项符合题意； D． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体．由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状即可． 【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形，可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：A． 5. 某中学九年级共有四个班级，现从这四个班级中随机抽取两个进行学业负担调查，则恰好抽到 两个班级的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到 两个班级的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法或树状图法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意把四个班级分别记为，画树状图为： ∴共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到 两个班级的结果数为2， 即恰好抽到 两个班级的概率=． 故选：B． 6. 下列六个命题中，真命题有（ ） ①同旁内角互补：②如果和是对顶角，那么；③同角（等角）的补角相等：④若，则；⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，平行的判定与性质，乘方运算，有理数的绝对值，补角，对顶角等知识，能够熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，此命题缺少条件，故为假命题， ②根据对顶角相等，可知命题为真命题，故符合题意； ③同角（等角）的补角相等，命题为真命题，故符合题意； ④相反数的平方也相等，但正负数不相等，故命题错误，不符合题意； ⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故命题为真命题，符合题意； ⑥0的绝对值也等于0，但0不是正数，故命题错误，不符合题意； 故本题中正确的命题有 个， 故选：C． 7. 如图a是长方形纸带，，将纸带沿 折叠成图b，再沿 折叠成图c，则图c中的（ ）． A. 96 B. 108 C. 118 D. 128 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折变换的性质，折叠后重叠了 层，然后根据平角的定义列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵长方形的对边， ∴， ∴． 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，根据反比例函数图象与系数关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系进行解答即可，熟练掌握相关函数图象与其系数的关系是关键． 【详解】解：一次函数图象经过第一、二、四象限， ，， 反比例函数的图象在第二四象限， ， ，， ， 函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交点在负半轴，选项A符合． 故选：A． 9. A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（ ） A. -3 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推，最后建立方程，解方程即可． 【详解】如图所示 设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推： 于是报1的人心里想的数是10-(6- x)=4 +x， 报3的人心里想的数是4-(4+x)=-x, 报5的人心里想的数是8-(-x)=8+x 报4的人心里想的数是2-(8+x)=-6- x， 于是得-6-x=x 解得：x=-3 所以D同学报4的人心里想的数应是: 6-x=6-(-3)= 9， 答:D同学心里想的数应是9． 故选：D 【点睛】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．这道题题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且多设几个未数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决． 10. 如图， 是半径为3半圆O的直径． 是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦 从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转 ，则交点P运动的路径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先导角得到，作 的外接圆，记为 ，连接，那么点P的轨迹为劣弧 ，即路径长劣弧 的长度，则，连接 ，解直角三角形得到，路径长为． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ∴， 当弦 从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转 时， 即 ， ∴此时点D与点B，P重合， ∵ 为直径， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 作 的外接圆，记为 ，连接， ∴点P的轨迹为劣弧 ，即路径长劣弧 的长度， ∴， 连接 ，∵为 中点， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴路径长为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在确定点P的运动轨迹． 二、填空题 11. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据这两个条件得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为：． 12. 已知，求代数式的值________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先将所求式子因式分解，再代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 把代入得 原式 ． 13. 如图是某圆柱形饮料瓶的规格尺寸，把12瓶这样的饮料装入纸盒中（紧密放置，如图）．这个纸盒的容积大约是 __立方厘米． 【答案】4320 【解析】 【分析】根据圆柱形饮料瓶的规格尺寸可得出纸盒的长宽高，在利用容积公式即可求解． 【详解】解： （立方厘米）， 答：这个纸盒的容积是4320立方厘米， 故答案为：4320． 【点睛】本题考查了长方体的容积，根据圆柱形饮料瓶的规格尺寸可得出纸盒的长宽高是解题的关键． 14. 将抛物线向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解答关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”来进行求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位， 得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 15. 若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为9，可以确定整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，，再根据解集确定a的取值范围即可． 【详解】解：解不等式组， 解得：， ∵所有整数解的和是9，且或， ∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，， ∴或； 故答案为：或． 16. 如图，在中， ，以为直径的 与 ， 分别交于点D，E，连接 ，，平分，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接，，证明，可得，求解 ，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为 的直径， ∴， ∵， ∴，即点是 的中点，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为： ． 17. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…，按此规律排列下去，第24个图形中圆的个数是_____个． 【答案】602 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换规律，找到图形的排列规律得到第 个图形中圆的个数是解题的关键． 根据图形得出第 个图形中圆的个数是，将n代入24代入求解即可． 【详解】解：第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆； …… 可得第 个图形中圆的个数是； ∴时，一共有个圆． 故答案为：602． 18. 已知二次函数的图像，如图所示，其对称轴是直线 ，分析下列结论：① ；②；③；④若，则；⑤其中正确的结论有_______（填序号）． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】利用对称轴方程得到，再利用时，得到，则可对①进行判断；利用时，； 时，，得到，则可对②进行判断；利用时， ，即，可对③进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点在和之间，则可对④进行判断；利用 时，y有最大值得到，然后利用可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵时，，即， ∴，即，所以①错误； ∵时，，即； 时， ，即， ∴， ∴，所以②正确； ∵时， ，即， ∴，所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴，，所以④错误； ∵ 时，y有最大值， ∴， 而， ∴，所以⑤错误． 答案为：②③． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，理解特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质是解答关键． 根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质来计算求解． 【详解】计算： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 21. 阳光体育，快乐课间，近年来，我县各中小学校积极开展阳光大课间活动，为了配合此活动，助力学生健康成长．某体育用品商店用300元购进了一批跳绳，很快销售一空；商店又用360元购进了第二批该种跳绳，但这次每个跳绳的进价比原来涨了2元，结果所购进跳绳的数量和第一批所购进数量相同，求第一批跳绳每个的进价是多少元？ 【答案】10元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设第一批跳绳每个进价是 元，则第二批跳绳每个的进价是元，根据第二次购进跳绳的数量和第一批所购进数量相同列出分式方程求解即可． 【详解】解：设第一批跳绳每个进价是 元，则第二批跳绳每个的进价是元， 根据题意得： 解得： ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意， 答：第一批跳绳每个进价是10元． 22. 成都东部新区丹景台景区核心区位于龙泉山城市森林公园南段示范区，包括丹景台、丹景阁、丹景里及丹景亭四处特色建筑．其中，丹景阁坐落于海拔737米的丹景山高处，作为景区核心区的制高点，具有高屋建瓴的视野优势，在这里登高望远，可眺望东进热土，俯瞰城市美景（如图1）．某校开展综合实践活动，测量丹景阁主体高度 的长（如图2），使用无人机在点C处测得建筑物顶端A的仰角为 ，然后控制无人机竖直上升13米后达到D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，其中B，C在同一水平线上，求丹景阁主体高度 的长．（结果精确到1米：参考数据：） 【答案】39米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点D作，垂足为E，根据题意可得：米，设米，分别在和在中，利用锐角三角函数的定义求出 和 的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点D作，垂足为E， 由题意得：米， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中， ， ∴（米）， ∵， ∴，解得：， ∴米， ∴丹景阁主体高度AB的长约为39米． 23. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： 的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 24. 如图，在菱形中，E，F分别为， 上的点，且 ，连接并延长 ，延长线交于点G，连接 ． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴ ，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得 ，，由平行线的性质可得，，再由等腰三角形的性质和对顶角的性质可得，再根据等角对等边得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）过点A作于点H，由平行线的性质得，再根据菱形的性质可得 ，由直角三角形的性质得，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点A作于点H， 由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 在 中，， 在中，． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质与判定是解题的关键． 25. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价 （元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）6元 （3）当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【小问1详解】 解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， 【小问2详解】 解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； 【小问3详解】 解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与 轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点 在轴上，当的周长最小时，请直接写出点 的坐标； （3）将直线 向下平移 个单位长度后与 轴，轴分别交于，两点，当 时，求 的值． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）点 的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得 ，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线 的解析式为，当 时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线 向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于 ， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线 的解析式为， ， 解得， 直线 的解析式为， 当 时，， 点 的坐标为； 【小问3详解】 解：将直线 向下平移 个单位长度后与 轴，轴分别交于，两点， 直线 的解析式为， ，， ， ， 解得或． 27. 如图，四边形内接于 ， 为 的直径， ，过点的直线l交的延长线于点，交 的延长线于点，且 ． （1）求证：是 的切线； （2）求证： ； （3）当，时，求的长． 【答案】（1） 连接，，如图： ∵ ， ∴ ， ∵四边形内接于 ， 为 的直径， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形， 又∵ ， ∴垂直平分， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即是 的切线； （2）连接 ，如图： ∵ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴， 即 ， 又∵ ， ∴ ； （3）6 【解析】 【分析】（1）连接，，根据圆心角，弦，弧的关系可得 ，根据直径所对的圆周角是90度可得 ，半径相等可得 ，根据等腰的判定可得 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据平行线的判定和性质可得 ，即可证明； （2）连接 ，根据同弧所对的圆周角相等可得 ，根据平行线的性质可得 ， ，推得 ，根据相似三角形的判定和性质可得 ，即可求证； （3）令与交于点，根据正弦的定义可求得， ，根据勾股定理可求得，，根据矩形的判定和性质可得,，根据相似三角形的判定和性质可求得 ,即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令与交于点，如图： ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， 在 中，， ∴， 在中， ， ∵ ， ， ， ∴四边形 为矩形， ∴ , ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ 即， ∴ , ∴ ． 【点睛】本题考查了圆心角，弦，弧的关系，直径所对的圆周角是90度，圆内接四边形的性质，等腰的判定，等腰三角形三线合一的性质，平行线的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，正弦的定义，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与 轴交于 两点（在的左侧），连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点 是射线上方抛物线上的一动点，过点 作 轴，垂足为，交于点．点是线段 上一动点， 轴，垂足为，点为线段 的中点，连接．当线段 长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段 长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）的最小值为； （3）符合条件的点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得 最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时， 取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【小问1详解】 解：令 ，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令 ，则， 解得 或 ， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时， 最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接 ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时， 取最小值，即取最小值， ∵点为线段 的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）得点的横坐标为 ，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线 的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交 轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当 时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴ ， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $