第九章：解三角形章末重点题型复习（专项训练）数学人教B版必修第四册

第九章：解三角形章末重点题型复习 题型一 三角形解的个数问题 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 3．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（多选）（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 题型二 三角形边的计算问题 1．．（2025高一下·全国·专题练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·一模）在锐角中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（多选）（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知是锐角三角形，且，则的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，，点是的重心，且，则 ． 题型三 三角形角的计算问题 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）已知是的重心，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，的面积，若且，则 . 题型四 三角形外接圆问题 1．（24-25高一下·天津西青·阶段练习）在中，，，，则边长 ， 则的外接圆半径 . 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，已知，，. (1)求； (2)求的面积S及外接圆半径R. 3．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在梯形中，，. (1)若，求； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，且，证明：只有一解. 4．（24-25高一下·上海·期中）若图象最高点都在直线上. (1)求的值； (2)在中，分别是的对边，若点是函数图像的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 题型五 判断三角形的形状 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．针角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 2．（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 4．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，若，则该三角形为 三角形． 题型六 三角形面积计算问题 1．（24-25高一下·新疆昌吉·阶段练习）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，. (1)若，求c的值； (2)若，求角的大小和的面积. 3．（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 4．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知的内角，，所对的边分别为，，，若. (1)求角； (2)若，，求的面积. 5．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． 题型七 三角形周长计算问题 1．（24-25高一下·山东·阶段练习）在三角形中，分别是边的中点，已知． (1)求三角形的面积； (2)求三角形的周长． 2．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 3．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别为.三个内角满足. (1)求角的值； (2)如果，并且，求的周长. 题型八 边（的代数式）的范围问题 1．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 . 2．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，则的取值范围为 . 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且．设的中点为，且，则的取值范围为 . 4．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求周长. 条件①：中线长为；条件②：的面积为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 5．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 题型九 三角形周长的范围问题 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 2．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c． (1)求角A： (2)若  求周长的取值范围． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，． (1)若为直径，求的长和四边形的面积； (2)求四边形周长的最大值． 4．（24-25高一下·上海青浦·期中）在中,内角所对的边分别为,的面积为,已知. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 题型十 三角形面积的范围问题 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，． (1)若，的面积为，求c； (2)若， ①求面积的最大值； ②求周长的取值范围． 2．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值． 3．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，求面积的最大值. 4．（24-25高一下·吉林·阶段练习）锐角的内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 题型十一 角（的函数值）范围问题 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·全国·专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为 . 4．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边上一点． (1)若，，求； (2)若，平分，，求的取值范围； (3)若于点，且，求的最大值． 题型十二 实际测量计算问题 1．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.    (1)求与两点间的距离； (2)求塔高. 2．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）如下图，两点都在河的对岸（不可到达），设计者设计了一种测量两点间距离的方法：测量者在两点的对岸取定一点（称作测量基点），但在点处只能测出的大小，因而无法解决问题．为此，可以再取一点，测出线段，以及，，，，请根据测量的数据求出间的距离. 3．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 (1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD； (2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 题型十三 三角形综合问题 1．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）是锐角三角形，内角，，所对的边分别为，，，，若存在最大值，则实数的取值可能是（    ） A．1 B． C． D．2 4.（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，的面积为，求边上的高． 5．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 6．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，，求外接圆的半径； (3)若点M在线段AC上，，，求的最小值． 7．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. (1)求角的大小； (2)设向量，向量，且，判断的形状. 8．（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求角； (2)已知，当取最小值时，求内切圆的半径． 9．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角的对边分别为，若． (1)求； (2)若，证明：是直角三角形． (3)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 10．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知是锐角，向量，，且． (1)若，求实数的值． (2)已知． （i）求面积的最大值； （ii）在（i）的条件下，判断的形状． 11．（24-25高一下·湖北·期中）已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 12．（24-25高一下·江苏扬州·期中）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B； (2)若，求的值； (3)若，，求实数的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章：解三角形章末重点题型复习 题型一 三角形解的个数问题 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用正弦定理及有两解，列不等式求边长范围. 【详解】因为且，有两解， 所以，得． 故选：C 2．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 【答案】A 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理，逐一对各个选项进行分析判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由正弦定理，可得， 三角形无解，故A正确； 对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在， 故三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，此时， 三角形有一解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，三角形无解， 故D错误； 故选：A 3．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】选项A：利用正弦定理判断；对于B：由正弦定理判断；选项C：两边之和大于第三边判断；选项D：由正弦定理判断； 【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误; 对于B：因为，所以， 且，所以,所以或，故有两解，故B错误； 对于C：因为，所以无解，故C错误； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确. 故选：D 4．（多选）（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 【答案】ABD 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理求解三角形的边或角，结合三角形的边角关系，一一判断各选项中三角形解的情况，即得答案. 【详解】A选项，因为，所以，故， 则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； B选项，若，由正弦定理得，即， 解得，无解，故B正确； C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角， 不可能，则无解，故C错误； D选项，若，由正弦定理得， 即，解得，因为，所以或， 所以有两解，D正确. 故选：ABD. 题型二 三角形边的计算问题 1．．（2025高一下·全国·专题练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得，所以，， 故选：A 2．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理求得边，利用三角形面积公式，可得答案. 【详解】∵，，， ∴由余弦定理得，即， 解得或（舍去），又，∴， 由三角形的面积公式可得，即. 故答案为：. 3．（2025·江苏南京·一模）在锐角中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】用射影定理即可化简求值. 【详解】如图所示，过点A作于点D，    则， 同理可证， 因为，所以， 整理得，因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 故选：D 4．（多选）（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知是锐角三角形，且，则的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】CD 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】先根据三角形是锐角三角形，确定角的取值范围，再结合正弦定理用角的三角函数表示边，利用三角函数的性质可求的取值范围. 【详解】因为三角形为锐角三角形，且，所以，. 由正弦定理，可得：，又， 所以， 由，所以，所以. 故选：CD 5．（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，，点是的重心，且，则 ． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、用基底表示向量 【分析】根据条件，利用倍角公式及诱导公式，得到，从而有，延长交于，利用重心的性质得到，利用向量的中线公式得到，再由余弦定理，即可求解. 【详解】因为，则，即， 解得或，又，所以， 又点是的重心，且，如图，延长交于，则为中点，且， 又，则， 所以，解得， 在中，由余弦定理，得到， 解得，    故答案为：. 题型三 三角形角的计算问题 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由正弦定理，得，所以，又，所以． 故选：A 2．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）已知是的重心，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理，结合邻补角找到边的关系，建立方程组求出，从而可求角的大小. 【详解】 如图，根据三角形重心定义可知：为各边中点，重心为各中线的三等分点， 所以有，， 由余弦定理得：， ， 则，-------① 再由余弦定理得：， ， 则，-------② 由①②得：， 所以， 又因为，所以， 故选： D. 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，的面积，若且，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理和化简得到，求出，由三角形面积公式得到，由余弦定理得到方程，求出，舍去不合要求 的解，由正弦定理得到 【详解】，故， 又， 故， 所以， 因为，所以，故，， 因为，所以， 由三角形面积公式得， 又，故，所以， 由余弦定理得， 即，所以， 方程两边同除以得， 解得， 又，故， 所以满足要求，舍去， 故. 故答案为： 题型四 三角形外接圆问题 1．（24-25高一下·天津西青·阶段练习）在中，，，，则边长 ， 则的外接圆半径 . 【答案】 / 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四、正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】求出的值，进而可得出的值，利用余弦定理可求出的值，再利用正弦定理可求出的值. 【详解】在中，，，， 所以，，则为钝角，且， 由余弦定理可得， 由正弦定理可得，故. 故答案为：；. 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，已知，，. (1)求； (2)求的面积S及外接圆半径R. 【答案】(1) (2)， 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果，再由正弦定理即可得到外接圆的半径. 【详解】（1）由余弦定理可得. （2）由（1）可知，且，则， 则， 由正弦定理可得，即，则. 3．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在梯形中，，. (1)若，求； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，且，证明：只有一解. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）首先求出，再由正弦定理计算可得； （3）首先利用余弦定理求出，再由余弦定理求出，最后利用余弦定理求出. 【详解】（1）在中由正弦定理，即， 所以； （2）因为，所以， 又，设外接圆的半径为，则， 所以，即外接圆的半径为； （3）因为，，且， 在中由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 所以， 在中由余弦定理 ， 所以， 所以只有一解. 4．（24-25高一下·上海·期中）若图象最高点都在直线上. (1)求的值； (2)在中，分别是的对边，若点是函数图像的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、辅助角公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）化简函数，求得，即可得到的值. （2）由点是图像的一个对称中心，得到，求得，利用正弦定理，求得的外接圆的半径为，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 当时，可得， 因为图象最高点都在直线，所以. （2）解：因为点是函数图像的一个对称中心，可得， 因为为三角形的内角，所以，可得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以外接圆的面积为. 题型五 判断三角形的形状 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．针角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据题意，由余弦定理代入计算即可得到边，从而得到结果. 【详解】设，由余弦定理， 得，整理得，所以， 所以为等腰三角形． 故选：D 2．（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形. 故选：A 3．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理，结合题意，可得边的等量关系与角的不等关系，根据余强定理，可得答案. 【详解】因为，，所以，， 所以，，易知，即， 设，则，，则， 可得，所以是锐角三角形. 故选：C. 4．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，若，则该三角形为 三角形． 【答案】直角 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而求得，得到，即可得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得， 又因为，可得， 且， 所以， 所以， 因为，，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故答案为：直角. 题型六 三角形面积计算问题 1．（24-25高一下·新疆昌吉·阶段练习）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理求得，再由面积公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 由，可得：， 所以， 解得：， 所以的面积为， 故选：C 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，. (1)若，求c的值； (2)若，求角的大小和的面积. 【答案】(1) (2)， 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可； （2）先根据平方关系求出，再利用正弦定理求出边，利用两角和的余弦公式求出，即可求出角，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理得， 即，解得（舍去）； （2）在中，，，， 所以， 因为，所以， ， 又，所以， 所以. 3．（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据题意，由正弦定理，得到，即可求解； （2）由（1）知，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由正弦定理得，所以. （2）解：由，可得，所以，且， 又由（1）知，所以， 因为，则， 所以的面积为. 4．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知的内角，，所对的边分别为，，，若. (1)求角； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】应用正弦定理，边化角可得解； 已知两边和一边对角求面积，可用余弦定理求出第三边，套入面积公式即可. 【详解】（1）因为，据正弦定理可得， 且，则，可得，解得：； （2）由余弦定理，可知， 代入数值，可得， 解方程可得， 则. 5．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中利用余弦定理即可； （2）化简为，得出，再利用面积公式即可. 【详解】（1）因，则， 由余弦定理得，， 因，则. （2）由得，， 因，则，即， 故. 题型七 三角形周长计算问题 1．（24-25高一下·山东·阶段练习）在三角形中，分别是边的中点，已知． (1)求三角形的面积； (2)求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】如图设，利用结合余弦定理可得三角形三边. （1）由余弦定理可得，进而可得，即可得面积； （2）三边相加可得周长. 【详解】（1）如图，因分别是边的中点， 则设. 注意到， 则. 则由余弦定理： . 解得.则在三角形中，. 由余弦定理可得， 从而. 则三角形的面积为：； （2） 由（1）易得三角形的周长为 2．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由数量积的坐标表示结合两角和的正弦展开式和诱导公式以及特殊角的余弦值计算可得； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理可得. 【详解】（1）， 由正弦定理边化角， 即， ，， 又，，， （2），， ， ，， 的周长为． 3．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别为.三个内角满足. (1)求角的值； (2)如果，并且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中，利用及和差角的正弦公式，可得到，再结合角的范围，即可求出角的值； （2）利用余弦定理及题目条件，即可求出边，进而求出的周长. 【详解】（1）在中，因为， 所以. 因为， 所以， 即， 所以， 即， 又因为是三角形的内角，所以， 所以. （2）由余弦定理可得， 因为，，所以， 又因为，所以， 解得或（舍去），所以， 所以的周长为. 题型八 边（的代数式）的范围问题 1．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理结合面积公式化简得，利用辅助角公式求出，由正弦定理得，根据正切函数的性质求得，，最后利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得， 因为，化简可得，所以， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，则，所以可得，即， 所以， 则， 因为锐角，所以，， 则，又在单调递增， 则，令，所以， 所以， 由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，取到最小值，当或时，最大值， 则. 故答案为： 2．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】先根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求得角B，进而利用正弦定理把表示为角的函数，再利用三角函数的性质求解作答. 【详解】在中，由及正弦定理得：， ， 整理得，而，，于是， 所以. 在中，，，由正弦定理，得，同理， 因此 由锐角，得，解得，则，， 于是在上单调递增，则 所以的取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且．设的中点为，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和与差的正弦公式及辅助角公式化简求得，再设，则，由正弦定理得到， 进而结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由， 根据正弦定理，可得， 即， 则， 因为，所以，则， 则，即， 又，所以， 设，则，， 根据正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 则， 故的取值范围为． 故答案为：. 4．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求周长. 条件①：中线长为；条件②：的面积为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2)选择见解析， (3) 【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求A； （2）由选择的条件结合余弦定理，列方程组求，即可求解； （3）利用（1）中结果及正弦定理边转角得到，根据条件知，即可求解. 【详解】（1）中，已知， 由正弦定理得， 又， 则有， 由，，得， 则有， 由，有，所以，得． （2）若选择条件①： 因为，由余弦定理得， 又，有，得， 由，解得，或，，所以周长为. 若选择条件②； 由，得， 又的面积，得， 由，解得，或，，所以周长为. （3）由（1）知，所以， 因为， 又为锐角三角形，则，得到， 所以，则，所以的取值范围为. 5．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理得，由两角和与差的正弦公式可得，从而得到； （2）因为，所以由得，代入数值即可求得的值； （3）由是锐角三角形得，由正弦定理得，设，根据在上单调递增即可求得的取值范围. 【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），所以. （2）由（1）知，所以为锐角， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即. （3）因为是锐角三角形，所以，解得， 所以， 由正弦定理得 . 令，则在上单调递增， 而，所以， 所以. 题型九 三角形周长的范围问题 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，求出角，再结合正弦定理求出边，最后根据三角函数的性质求出周长的最大值． 【详解】已知，由正弦定理可得，，． 将其代入已知条件可得:． 因为，那么． 则，移项可得． 因为，所以，两边同时除以可得． 又因为，所以． 已知的外接圆直径为，即，由正弦定理可得． ，．且． 则的周长． 根据两角差的正弦公式和辅助角公式，可得： 因为，所以． 当，即时，取得最大值． 此时周长的最大值为． 故选：Ｂ． 2．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c． (1)求角A： (2)若  求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解，进而可求； （2）利用正弦定理、两角和差角正弦公式及辅助角公式进行化简后，再根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理有，即， 所以， 因为，所以． （2）因为，所以由正弦定理得， 所以的周长 ， 因为，所以， 所以周长的取值范围是． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，． (1)若为直径，求的长和四边形的面积； (2)求四边形周长的最大值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先由余弦定理可得，再由勾股定理即可得到，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果； （2）在中由正弦定理可得，再由三角函数的性质代入计算，即可得到最值. 【详解】（1）连接BD， 根据圆内接四边形对角互补可得， 在中已知， 由余弦定理得 ， 所以， 因为为直径，所以， ， ， ， ∴．四边形的面积. （2）设，在中，， ∴， 四边形的周长 ， ， ∴当时周长取得最大值. 4．（24-25高一下·上海青浦·期中）在中,内角所对的边分别为,的面积为,已知. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦公式即可求解； （2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，再由三角形三边关系定理即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理，可得， . ，又. （2）由余弦定理，可得 . ，当且仅当时取等号， 又有， 故的周长. 题型十 三角形面积的范围问题 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，． (1)若，的面积为，求c； (2)若， ①求面积的最大值； ②求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用正弦定理，可求角，再结合三角形的面积公式，可求的值，再利用余弦定理可求边. （2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求三角形面积和周长的取值范围. 【详解】（1）因为，利用正弦定理，可得： ， 所以， 因为为的内角，所以，所以. 又，所以. 由. 由余弦定理：， 所以. （2）在中，，， 由余弦定理：. 因为，当且仅当时取“”， 所以. 所以. 所以当为等边三角形时，面积取得最大值为. 又，且，当且仅当时取“”， 所以. 所以， 所以周长的取值范围为：. 2．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）余弦定理角化边化简，然后再根据余弦定理转化可求出角的余弦值，即可求出角； （2）应用三角形面积公式以及角平分线将三角形面积拆分成两个三角形的面积之和，根据均值不等式解出的最小值，从而求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）由余弦定理，得，即 整理得， 所以， 又，所以． （2）因为，所以． 因为，即 当且仅当时等号成立 所以．故面积的最小值为． 3．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）法一：由正弦定理得，，代入面积并利用三角恒等变换公式得，然后利用正弦函数的性质求解最大值. 法二：利用余弦定理得，利用基本不等式求出，再利用面积公式求出最大值. 【详解】（1）由正弦定理及得，， 因为，所以，则， 则，又，所以. （2）（法一）在中，， 由正弦定理得， ， 所以的面积为 . 因为，所以，所以当时，， 所以的面积的最大值为. （法二）在中，，由余弦定理得， 所以，因为（当且仅当时，等号成立）， 所以，所以， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以的面积的最大值为. 4．（24-25高一下·吉林·阶段练习）锐角的内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正切公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由两角和的正切公式结合题目条件求出，即可得结果. （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，由面积公式计算可得结果. （3）利用正弦定理得到，，把三角形周长转化为关于角的三角函数，结合角的范围计算可得结果. 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∵，∴ ∵，∴. （2）由余弦定理得，， 当且仅当时，等号成立. ∵，∴， ∴的面积， ∴面积的最大值为. （3）由正弦定理得，， ∴，，则的周长为. ∵， ∴. ∵为锐角三角形，∴，解得， ∴，∴， ∴， ∴周长的取值范围为. 题型十一 角（的函数值）范围问题 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理可得，根据基本不等式可得最值. 【详解】由已知， 则在中，由正弦定理可得， 则，即， 又由余弦定理可知， 所以，当且仅当，即时等号成立， 又， 所以， 故选：A. 2．（2025高一下·全国·专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】结合正余弦定理将化为，再利用两角和差的正弦公式得，进而得，根据化切为弦及两角差的正弦公式得，最后根据正弦函数性质求解范围即可. 【详解】因为，由余弦定理得， 所以，即， 由正弦定理得， 所以， 因为为锐角三角形，所以，则，， 由，得，， 所以 ， 因为，所以． 故答案为：． 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】解余弦不等式、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理结合已知条件可得不等式，继而解，即可得答案. 【详解】由题意得， 又，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以，即的取值范围为， 故答案为： 4．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边上一点． (1)若，，求； (2)若，平分，，求的取值范围； (3)若于点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用余弦定理将角化边，即可得到，结合得到、，最后由余弦定理计算可得； （2）由等面积法得到，再由余弦定理得到，再由基本不等式求出的范围，最后利用换元法及函数的性质计算可得； （3）设，则，由余弦定理得到，再由面积公式得到，从而得到，在中过点作的垂线且使，由三角形三边关系及勾股定理求出的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得，整理得， 又，所以，则， 所以，所以， 由余弦定理， 又，所以； （2）因为，即， 所以， 由余弦定理， 所以， 所以， 因为，且，所以，当且仅当时取等号，则 所以，令，则，， 所以， 因为在上单调递增， 当时，当时， 所以，即的取值范围为. （3）设，由，所以， 又， 即， 又，所以， 所以， 如图在中过点作的垂线且使，则， 因为，所以， 即，所以， 所以的最大值为. 题型十二 实际测量计算问题 17．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.    (1)求与两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）在中，根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】（1） 在中，，由正弦定理得 ， . （2）由（1）知， 中， 2．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）如下图，两点都在河的对岸（不可到达），设计者设计了一种测量两点间距离的方法：测量者在两点的对岸取定一点（称作测量基点），但在点处只能测出的大小，因而无法解决问题．为此，可以再取一点，测出线段，以及，，，，请根据测量的数据求出间的距离. 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】在和中利用正弦定理表示，在利用余弦定理可得结果. 【详解】由题意得，. 在和中，由正弦定理得，，， 即，， ∴，， 在中，由余弦定理可得两点间的距离为 . 3．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 (1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD； (2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 【答案】(1) (2)时，张角最大 【知识点】三角函数在生活中的应用、用和、差角的正切公式化简、求值、高度测量问题 【分析】（1）利用直角三角形知识可求，利用两角和的正切公式可求； （2）利用两角和的正切公式表示出，利用基本不等式可求答案. 【详解】（1）由题意,在中，， 所以； 在中，, 在中，, 因为，所以， 所以， 解得，所以. （2）设，则； 在中，, 在中，, 于是 设，则 . 当且仅当时，即时，等号成立； 又恒成立，所以，所以； 由正切函数在上为增函数，所以取最大值时，也最大. 当时，张角最大. 题型十三 三角形综合问题 1．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 整理得：， 因为， 所以， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 由，解得：， 因为， 所以， 解得：， 故选：C 2．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积、基本不等式求和的最小值 【分析】由得，得，利用基本不等式运算即可. 【详解】， , ， ，， ， ， 即， ， 当且仅当时等号成立， ，即的最大值是. 故选：D 3．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）是锐角三角形，内角，，所对的边分别为，，，，若存在最大值，则实数的取值可能是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】ABC 【知识点】求含cosx的二次式的最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，再利用二次函数在开区间内存在最值的条件求出的范围即可. 【详解】由余弦定理得，则， 由正弦定理得 ， 由为锐角三角形，得，，则， 而函数在上单调递增，于是，即， 且，解得，因此 ，由，得， 由存在最大值，得，则， 所以实数的取值可能是. 4.（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，的面积为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值； （2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高. 【详解】（1）由和余弦定理， 可得：， 化简得，则得， 故； （2）由可得， 由（1）已得，解得， 由余弦定理， ，解得， 设边上的高边上的高为， 则由，解得， 故边上的高为. 5．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求15°等特殊角的正弦、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）在中，利用正弦定理求出的大小，进而可求得的大小，然后中，利用正弦定理可求出的长，进而可得出的长，然后利用角平分线定理可求得的值. 【详解】（1）由， 故， 所以，所以， 由余弦定理， 因为，所以． （2）在中，由正弦定理得，解得． 又因为，所以或．    当时，．因为，所以； 当时，．因为，所以， 由，则不符合题意，舍去， 所以，则． 且， 在中，由正弦定理，得， 解得． 又因为为的平分线，所以． 6．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，，求外接圆的半径； (3)若点M在线段AC上，，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解. （2）由已知，结合余弦定理求出，再利用正弦定理求解. （3）利用等面积法可得，再利用基本不等式的1的妙用求得最小值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，则， 两边平方得，又，， 于是，解得， 所以. （2）由余弦定理得， 而，则，解得，， 所以外接圆的半径为. （3）由，，得， 由，，得， 则，即， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 7．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. (1)求角的大小； (2)设向量，向量，且，判断的形状. 【答案】(1) (2)是以为直角的直角三角形. 【知识点】余弦定理解三角形、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）用余弦定理可求角； （2）根据向量平行的结论，可求角，进而判断的形状. 【详解】（1）由余弦定理：， 又为三角形内角，所以 （2）由（1）可得：， 因为，所以或（因为，不成立，故舍去）. 所以，所以. 所以是以为直角的直角三角形. 8．（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求角； (2)已知，当取最小值时，求内切圆的半径． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意，由三角形的面积公式，结合余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理可得，再由基本不等式可得当且仅当时等号成立，即可求得，再由等面积法即可求得内切圆的半径. 【详解】（1）依题意，，， 则，即． 由余弦定理． 因为，所以． （2）因为，，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以， 则， 设内切圆的半径为，则，所以， 所以内切圆的半径为． 9．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角的对边分别为，若． (1)求； (2)若，证明：是直角三角形． (3)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得角； （2）根据余弦定理以及已知条件有，，据此可证明，即可得到结论； （3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，结合锐角三角形条件即可求得取值范围. 【详解】（1）由可知，从而由正弦定理得. 故，这就得到，故. 此即，故，得或，这里. 结合，就知道. （2）因为，由余弦定理可得. 又因为，故. 这就得到 . 所以或，即或，从而必有是直角三角形． （3）由正弦定理可得，故. 而因为为锐角三角形，故，解得的范围是. 从而的范围是，故的取值范围是. 10．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知是锐角，向量，，且． (1)若，求实数的值． (2)已知． （i）求面积的最大值； （ii）在（i）的条件下，判断的形状． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）等边三角形 【知识点】余弦定理解三角形、数量积的坐标表示、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）根据平面向量的数量积的坐标表示及平方关系可得，可得，再结合余弦定理及题设求解即可； （2）（i）由余弦定理及基本不等式可得，再结合三角形的面积公式求解即可； （ii）由（i）可得，再结合即可判断的形状． 【详解】（1）因为是锐角，且，， 所以， 解得或（舍去），所以， 由余弦定理得， 又，则，结合， 所以． （2）（i）由（1）知，， 由余弦定理得， 即，得， 当且仅当时，等号成立， 则， 即面积的最大值为. （ii）由（i）可知， 取得最大值时，， 又，所以为等边三角形． 11．（24-25高一下·湖北·期中）已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】(1)，解集为； (2). 【知识点】解正弦不等式、由正弦（型）函数的周期性求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据题设有，即可得解析式，再由正弦函数的单调性及周期性求不等式解集； （2）根据已知可得，应用余弦定理、三角形面积公式得、，进而可得，即可得周长. 【详解】（1）由题设，则， 令，， 所以，，故解集为； （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为. 12．（24-25高一下·江苏扬州·期中）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B； (2)若，求的值； (3)若，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)6 (3) 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，用正弦的和差公式和辅助角公式化简计算即可； （2）由余弦定理解得，再利用费马点和三角形面积公式化简即可； （3）设，，，通过代入余弦定理化简，通过题意代入化简，用重要不等式进行求解最小值即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 所以，所以， 即，又所以，得； （2）由即①， 由余弦定理得②， 由①②得，由且点为的费马点， 则， 故， 化简得：， 即； （3）设，，， 在，，中，由余弦定理得， ， ， 又则得，， 即， 由，则， 故， 即有，解得或（舍去）， 当且仅当且且，解得时，等号成立， 故实数的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$