专题03 解三角形实际应用与综合最值（3大题型专项训练）数学人教B版必修第四册

专题03：解三角形实际应用与综合最值（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解三角形实际应用（距离、高度、角度） 1 题型二、边、角、面积、周长的最值问题 7 题型三、正余弦定理与三角函数性质综合 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解三角形实际应用（距离、高度、角度） 1．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 3．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 4．如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用时将B下压，E接触平台，D紧邻E，此时钝角增大了（    ）（参考数据：，，.） A． B． C． D． 5．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 6．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 7．美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（   ） A． B．150m C． D． 9．朝阳北塔是中国唯一一座集成了五个朝代且拥有1600多年历史的砖石塔，所以有着“五世同堂”宝塔的美誉．如图，某数学实践小组为了测得塔高，在点测得塔底点位于北偏东方向上，在点测得塔顶的仰角为，在点的正东方向且距点54m的点测得塔底点位于北偏西方向上（在同一水平面），则塔的高度约为（    ）（参考数据：）    A．38m B．42m C．44m D．50m 10．在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（    ）. A． B． C． D． 11．如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h 米的点A 处时，测得塔尖C 的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 12．某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 13．嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 14．由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（    ）（单位：m) A． B． C． D． 15．为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得，在基点P，Q以及PQ的中点M处分别测得塔顶信号源A的仰角为，，（），则（   ） A． B． C． D． 16．崇妙保圣坚牢塔，位于福建省福州市鼓楼区乌石山东麓，塔用花岗石砌建，风化后呈黑色，故俗称“乌塔”.崇妙保圣坚牢塔呈八角形，七层檐，塔心有曲尺形通道供登攀，塔上浮雕佛像及碑刻，是研究五代闽国历史与艺术的珍贵资料.如图，某测绘小组为了测量崇妙保圣坚牢塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，现测得m，在点测得塔顶的仰角为.取，则塔高约为（    ）    A． B． C． D． 17．年月日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高度测量法是珠峰高程测量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足，由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为（     ）． A． B． C． D． 18．如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．300m B．600m C． D． 19．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 20．海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 21．已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型二、边、角、面积、周长的最值问题 1．如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别是半径，及扇形弧上的三个动点（不同于三点），则周长的最小值是（    ）    A． B． C． D． 2．1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么地方，一根竖直的悬杆看上去最长.后人将其称为＂米勒问题＂，该问题是数学史上最早的极值问题之一.我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为，点C的坐标为，当最大时，c＝（   ） A．2ab B．ab C． D． 3．在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．数学必修二55页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若，，则面积的最大值为（    ）． A．3 B． C． D． 7．古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 9．在边长为2的正方形中作出.直角顶点为的中点.其他两顶点分别在边上运动.则的周长的取值范围（    ）    A． B． C． D． 10．在中，若分别是的中点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论： ①当时，；②的最大值为（   ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 12．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 14．在中，内角的对边分别是，且，则的最大值是___________． 15．为改善居民生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心处，为居民小区，的距离为米，按照设计要求，以居民小区和圆弧上点作线段向半圆外作等腰直角三角形为直角顶点），使改造后的公园成四边形，如图所示，当取得最大值时，________． 16．如图，在中，，点在线段上，且，，则当取最小值时，的面积为______.    17．在平面四边形ABCD中，，，，当AC的长度最小时，的取值范围是______． 18．已知不是直角三角形，且，则的最小值是__________. 19．已知为锐角，若存在，使得，则的最小值是________. 20．在中，是边上一点，且，，，则的最小值为______ 21．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 22．杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 23．已知在中，内角所对的边分别为，且，当角最大时，求的周长． 24．满足： (1)求角的大小； (2)为的中点，且，求的最大值 (3)若为外一点，，求四边形面积的最大值 题型三、正余弦定理与三角函数性质综合 1．如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道，作为观光路线，则当取最大值时，___________. 2．已知的三个内角所对的边分别为，且，，设，的周长为. (1)当时，求的值； (2)求函数的解析式及最大值. 3．在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 4．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 5．已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 6．已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 7．已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 8．如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为M，，设. (1)将、用含有的关系式表示出来； (2)该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，使得喷泉M与山庄O的距离最大？喷㬌M与山庄O的距离最大？ 9．如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数的图像，图像的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段，且.游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧. (1)曲线段上的入口距海岸线的距离为1千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长； (2)如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值. 10．已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 11．如图所示，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和E（异于村庄B），设计要求（单位：千米）. (1)若，求的值（保留根号）； (2)若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1，取） 12．已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围. 13．如图所示，半圆O的直径，点C在的延长线上，，点P为半圆弧上的动点．以为一边在半圆外作矩形，其中．设． (1)将表示为的函数； (2)求和矩形的面积之和的最大值． 14．已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 15．下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”. （1）在图（i）中，，且，求； （2）在图（ii）中，，设，求的最大值. 16．在中，角､､的对边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）求函数的值域. 17．已知向量，，函数. （1）求函数的零点； （2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围. 1．如图.某人开车在水平公路上自东向西行驶，在处测得山顶处的仰角，该小车在公路上匀速行驶分钟后，到达处，此时测得仰角.已知小车的速度是，且，则下列结论正确的是（    ） ①此山的高 ② ③ ④小车从到的行驶过程中观测点的最大仰角的正切值为 A．①③ B．②③ C．②④ D．①②④ 2．如图，1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上，且纬度差约为的柏林（点）与好望角（点）为基点，测量出，的大小.设地球半径为，则地球表面与月球表面的最小距离约为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为分别为边上的点，则以下错误的是（    ） A．若，则以为圆心，半径为1的圆与相切 B．若，则面积的取值范围是 C．若点与点重合，周长为4，则 D．不可能小于 4．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．若，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）在斜三角形中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A．为锐角三角形 B． C．若，则 D． 7．（多选）将锐角三角形置于平面直角坐标系中，，为轴上方一点，设中的对边分别为且，则的外心纵坐标可能落在以下（     ）区间内. A． B． C． D． 8．在中，，则的取值范围为________． 9．如图，正方形的边长为，以点为顶点引出放线角为的阴影部分区域，其中，，=________．记四边形的面积为，则的取值范围为________． 10．德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今．已知任意的内部必存在点，使得（或），则称为的布洛卡点，（或）称为布洛卡角．一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合．已知点为的一个布洛卡点，且．则__________；当，且时，的面积的最大值为__________． 11．记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 12．如图，线段都垂直于线段，， (1)求线段的长度； (2)点为线段上一个动点且点与点、点不重合，当长为多少时，最大？ 13．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若， （i）求周长的最大值； （ii）求面积的取值范围. 14．“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：（Ⅰ）当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；（Ⅱ）当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)已知，点M为的费马点. ①若，记，求； ②求的取值范围. 15．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若，设点P为的费马点，求； (3)设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03：解三角形实际应用与综合最值（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解三角形实际应用（距离、高度、角度） 1 题型二、边、角、面积、周长的最值问题 16 题型三、正余弦定理与三角函数性质综合 31 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解三角形实际应用（距离、高度、角度） 1．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，，由正弦定理可得，即，化简得， 故选：A. 2．如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 【答案】D 【详解】由余弦定理可知，，则隧道的长度为km. 故选：D. 3．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图1可得，又， 所以，所以， 所以， 该地的纬度约为北纬， 故选：． 4．如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用时将B下压，E接触平台，D紧邻E，此时钝角增大了（    ）（参考数据：，，.） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图1，过点A作，，垂足为，，则， 故， 连接，在中，由余弦定理可得：，即， ∵，即此时为锐角， 如图2 ，设平台，即三点重合，则， 连接，在中，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得：， 则， 整理得，即， 又∵，则， 此时钝角增大的值大于，符合题意的只有D选项. 故选：D. 5．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，所以， 切线，，由切线长定理，不妨取， 又，由余弦定理， 有， . 故选：A 6．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，    则，设，则， 在中，，，所以， 则，可得 ， 所以， 当，即时，取得最大值为. 故选：D. 7．美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，得 ，，，，. 设，则， 在中，， 由正弦定理，得，即，解得 所以. 故选：B. 8．如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（   ） A． B．150m C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，， 在中，，，则， 又，， 所以，， 在中，，即，解得， 在中，， 故选：B. 9．朝阳北塔是中国唯一一座集成了五个朝代且拥有1600多年历史的砖石塔，所以有着“五世同堂”宝塔的美誉．如图，某数学实践小组为了测得塔高，在点测得塔底点位于北偏东方向上，在点测得塔顶的仰角为，在点的正东方向且距点54m的点测得塔底点位于北偏西方向上（在同一水平面），则塔的高度约为（    ）（参考数据：）    A．38m B．42m C．44m D．50m 【答案】C 【详解】如图，根据题意，平面，，.    在中，因为，所以，所以. 在中，. 故选：C. 10．在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直角中，，则， 在中，，，所以， 由正弦定理得，即，解得， 所以，在等腰直角中，直角边， 故选：A． 11．如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h 米的点A 处时，测得塔尖C 的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】作于，如图： 则，而，即， 解得，所以塔尖C距离地面. 故选：B 12．某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 【答案】C 【详解】在中，由正弦定理得， 所以米， 由，得米. 所以天汉楼主体高度约为69米. 13．嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示， 设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点， 点分别是点在两条墙脚线上的射影，连接 ，，， 由题意可知就是太阳高度角. ∵四边形中，，， ∴ ， ∴中，， 可得， ∵四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径， ∴设的外接圆半径为，则， 在中，， 所以， 对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近. 故选：B. 14．由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（    ）（单位：m) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设长方体建筑物的上底面与点的高度差为， 可得，， 在直角三角形中，，即， 解得， 所以， 所以. 故选：D. 15．为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得，在基点P，Q以及PQ的中点M处分别测得塔顶信号源A的仰角为，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，设， 则在中，，故， 同理可得，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由于，故， 即， 即， 解得. 故选：A 16．崇妙保圣坚牢塔，位于福建省福州市鼓楼区乌石山东麓，塔用花岗石砌建，风化后呈黑色，故俗称“乌塔”.崇妙保圣坚牢塔呈八角形，七层檐，塔心有曲尺形通道供登攀，塔上浮雕佛像及碑刻，是研究五代闽国历史与艺术的珍贵资料.如图，某测绘小组为了测量崇妙保圣坚牢塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，现测得m，在点测得塔顶的仰角为.取，则塔高约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理得， 则. 因为在点测得塔顶的仰角为，所以， 所以，故塔高约为. 故选：B 17．年月日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高度测量法是珠峰高程测量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足，由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作垂线，交于点，过点作垂线，交于点， 如图所示， 在中，，则， 由正弦定理得，即， 由点测得点的仰角为，故， 与的差为，故， 在中，， 由正弦定理得，即， 其中 ， ， 所以，解得， 故， ， 又， 故 m， 又，解得， 由点测得点的仰角为，故， 在中，，则， 可得、两点到水平面的高度差m． 故选：B 18．如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．300m B．600m C． D． 【答案】D 【详解】在中，， 在中，， 在中， ． 故选：D. 19．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C 20．海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 21．已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，， 即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 题型二、边、角、面积、周长的最值问题 1．如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别是半径，及扇形弧上的三个动点（不同于三点），则周长的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，作点关于线段所在的直线的对称点，连接， 由图形的对称性知， 则， 的周长，当且仅当四点共线时取等号， ， 的周长的最小值是. 故选:D． 2．1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么地方，一根竖直的悬杆看上去最长.后人将其称为＂米勒问题＂，该问题是数学史上最早的极值问题之一.我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为，点C的坐标为，当最大时，c＝（   ） A．2ab B．ab C． D． 【答案】D 【详解】由题意，知是锐角，且，而， 所以，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，，此时最大， 故选：D 3．在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故， 由正弦定理可得，而为三角形内角，故， 故，而为三角形内角，故为锐角， 故，故，故即， 故（为外接圆半径），故， 因为，，所以，则. 故 ， 其中，且， 由锐角三角形可得，故， 故， 因为，且，故，则，， 所以时，，取得最大值. 当时，， 当时，， 故， 故选：C. 4．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：C． 5．如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 6．数学必修二55页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若，，则面积的最大值为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 根据正余弦边角关系，有，整理得， 所以三角形面积， 当，时，最大面积. 故选：B 7．古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，，， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为16， 所以三角形面积的最大值. 故选：A. 8．已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【详解】根据余弦定理得. 所以. 所以面积. 根据基本不等式的性质可得，所以. 当且仅当时等号成立，此时取最大值为25， 所以面积的最大值为. 故选：C. 9．在边长为2的正方形中作出.直角顶点为的中点.其他两顶点分别在边上运动.则的周长的取值范围（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如题图，设，由题意， 所以， 则， 所以的周长， 注意，且， 令，则， 所以，又， 所以，解得， 即周长的取值范围为. 故选：A 10．在中，若分别是的中点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，由正弦定理得， 设，则， 在中由余弦定理得， 在中由余弦定理得， 所以， 因为，所以，所以的取值范围为. 故选：D. 11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论： ①当时，；②的最大值为（   ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【详解】结论①： ，BC边上的高等于， . 在中，，又， 所以，即，解得， 因此，. 当封闭区域内两点位于在同一半圆上时， 以在上任取两点，为例，连接， 则，又，所以， 当封闭区域内两点位于在不同半圆上时， 以在上取一点，在上取一点为例，设，的中点分别为，，连接，，，， 由两点间线段最短可得，当且仅当，，，四点共线时取等号， 综上，， 所以， 故结论①正确. 结论②：设中角，，所对的边长分别为，，，设边上的高为，即，. 由三角形面积公式可得， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以. ， 即，当且仅当时取等号. 由①知， 将，代入可得， 当且仅当，，，四点共线，时取等号， 所以，故结论②正确. 故选：B 12．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为. 13．（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A，由余弦定理可得， 即， 由基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，A错误； 对于B，由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为，B正确； 对于C，设，，则，， 在和中，分别运用正弦定理，得和． 因为，所以， 即，所以，由余弦定理可得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为3，C正确； 对于D，设，则， 在中，由余弦定理得， 解得，则， 所以 ， 所以当即时，，D正确． 故选：BCD． 14．在中，内角的对边分别是，且，则的最大值是___________． 【答案】/ 【详解】原式，由正弦定理得，即，则有， 因为，则，即， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，当且仅当时等号成立， 可得，所以，且，则， 故的最大值是. 故答案为：. 15．为改善居民生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心处，为居民小区，的距离为米，按照设计要求，以居民小区和圆弧上点作线段向半圆外作等腰直角三角形为直角顶点），使改造后的公园成四边形，如图所示，当取得最大值时，________． 【答案】 【详解】不妨设，则有， 由Ptolemy不等式知， 即有， 当且仅当四点共圆即时取等． 故答案为：． 16．如图，在中，，点在线段上，且，，则当取最小值时，的面积为______.    【答案】/ 【详解】因为，所以，所以， 所以，则， 又，，所以， 即，当且仅当即时等号成立， 此时，由函数在上单调递减知， 故当时，取最大值，取最小值， 此时， 的面积为. 故答案为： 17．在平面四边形ABCD中，，，，当AC的长度最小时，的取值范围是______． 【答案】 【详解】在平面四边形ABCD中，，， 在中， 由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 在中，， 由正弦定理得， 则， ， 故， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 18．已知不是直角三角形，且，则的最小值是__________. 【答案】/ 【详解】已知，根据和差化积公式得， 即，可化为，由题意得，所以，， 可得，则当时，取得最大值1，此时取得最小值. 故答案为：. 19．已知为锐角，若存在，使得，则的最小值是________. 【答案】 【详解】由及已知，有，故， 于是，由，知， 存在使等价于关于的方程在有解， 由，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是，故的最小值是. 故答案为： 20．在中，是边上一点，且，，，则的最小值为______ 【答案】4 【详解】依题意，记，则，又，如下图 根据三角形内角和可得，所以， 由可得， 记，由正弦定理可得； 由可得，因此， 所以， 代入可得; 又因为 ; 所以; ; 因，所以，令 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4. 即的最小值为4. 故答案为：4 21．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：因为， 所以由题得，即， 由余弦定理可得，所以． （2）由（1）知，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，， 所以内角的最大值为． 22．杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 【答案】(1)300米； (2)为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 【详解】（1）由题设， 所以米； （2）设米，则，， 由，则 ， 当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 23．已知在中，内角所对的边分别为，且，当角最大时，求的周长． 【答案】． 【详解】解法1：正弦定理法 由，得， 即， 即， 从而， 故， 当时，取到最大值，最大值为，此时，． 因为，所以，从而的周长为． 解法2：余弦定理法Ⅰ 由得， 再由，得， 由，得， 经验证等号能取到， 所以，角最大为． 此时，由得， 从而的周长为． 解法3：余弦定理法Ⅱ 由得，即， 则 ． 令，则， 经验证等号能取到， 所以，角最大为，此时． 此时，由得， 从而的周长为． 24．满足： (1)求角的大小； (2)为的中点，且，求的最大值 (3)若为外一点，，求四边形面积的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意由正弦定理有：，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）在中，， 由余弦定理有：， 所以， 所以 当时，即时，等号成立， 的最大值为； （3）设，在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以为等边三角形， 所以四边形的面积为 ， 当时，即时，， 所以四边形的面积最大值为. 题型三、正余弦定理与三角函数性质综合 1．如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道，作为观光路线，则当取最大值时，___________. 【答案】/ 【详解】设，，则，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，， 又，所以时，有最大值. 故答案为： 2．已知的三个内角所对的边分别为，且，，设，的周长为. (1)当时，求的值； (2)求函数的解析式及最大值. 【答案】(1) (2)，其中；最大值为 【详解】（1）解：由， 可得，即， 设三角形的外接圆半径是， 由正弦定理得， 因为，所以，又 又由，解得， 所以三角形的周长为. （2）解：由，且，可得， 可得， 所以 ， 由，所以当，即时，取到最大值. 3．在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理， ， 所以. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由余弦定理， . 又 . 所以， . 所以的周长为. （3）因为为锐角三角形，且，所以，且， 所以 . 因为，所以，所以， 所以. 4．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：由函数的图象，可得， 可得，所以，所以， 又由，即， 解得，即， 因为，所以， 所以函数的解析式为； 令，可得， 所以的对称中心为. （2）解：因为，可得，即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，由正弦定理可得，则， 所以的周长为 因为，可得， 所以， 因为为锐角三角形，可得，可得，可得， 则，可得， 所以的周长为. 5．已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； （2）由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 6．已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 7．已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）因为， 可得 ， 因为，所以. （2）解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是. 8．如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为M，，设. (1)将、用含有的关系式表示出来； (2)该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，使得喷泉M与山庄O的距离最大？喷㬌M与山庄O的距离最大？ 【答案】(1)，. (2)当时，的最大值. 【详解】（1）解：在中，由正弦定理得， 因为，， 所以， 所以，. （2）解：因为，，所以， 在中，由余弦定理易知， 即 ， 因为，所以，， 当，即时，取最大值，即取最大值， 此时， ， 故当时，取最大值. 9．如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数的图像，图像的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段，且.游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧. (1)曲线段上的入口距海岸线的距离为1千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长； (2)如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值. 【答案】(1)千米 (2)时，最大值为平方千米 【详解】（1）由已知条件，得， 又，，， 又当时，有，且，， 曲线段的解析式为. 由， 根据图像得到，解得， 又，，. .景观路长为千米. （2）如图，， ，， 作轴于点，在Rt中，， 在中，由正弦定理得， ， . ，当，即时，平行四边形面积有最大值为平方千米. 10．已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)2 【详解】（1） ， 所以要使有意义， 只需，即， 所以，解得 所以函数的定义域为， 由于，所以， 所以函数的值域为； （2）由于，所以， 因为，所以，所以即， 由锐角可得，所以， 由正弦定理可得 ， 因为，所以所以， 所以的最大值为2. 11．如图所示，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和E（异于村庄B），设计要求（单位：千米）. (1)若，求的值（保留根号）； (2)若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1，取） 【答案】(1) (2)，千米 【详解】（1）解：若，又由，所以此时， 又因为为边长为3的等边三角形，所以， 在直角中，因为，所以， 在直角中，可得. （2）解：若，在中，，所以， 在中，，其中， 所以 ， 即， 当且仅当时，即时，取得最大值27， 此时（千米）， 所以当时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小， 此时工厂距离村庄B的最远距离约为5.2千米. 12．已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 令，则 所以，单调减区间是. （2）由得： ，即， 由于，所以. 在中，， ， 于是，则，， ，所以. 13．如图所示，半圆O的直径，点C在的延长线上，，点P为半圆弧上的动点．以为一边在半圆外作矩形，其中．设． (1)将表示为的函数； (2)求和矩形的面积之和的最大值． 【答案】(1) (2)20 【详解】（1）连接，则， 在中，由余弦定理，得， 所以． （2）依题意， ， 所以和矩形的面积之和， 其中． 所以当，即时，S取得最大值20． 14．已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）据图象可得，故， 由得：． 由得：． 由知，， ，解得， ； （2），， ，， ，， 由题意得的面积为，解得， 由余弦定理得，解得：. 15．下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”. （1）在图（i）中，，且，求； （2）在图（ii）中，，设，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）当时，， 则 在中，由余弦定理可得， 所以. （2）在中，由余弦定理知，， 所以 在中，由正弦定理知，可得， 在中，由余弦定理可得 ， 所以当时，的取最大值. 答：（1）；（2）的最大值为. 16．在中，角､､的对边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）∵，而， ∴， ∴， 又∵，∴，∴. （2） ， ∵，∴， ∴的值域为. 17．已知向量，，函数. （1）求函数的零点； （2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【详解】（1）由条件可得：， ∴， 所以函数零点满足， 则，得，； （2）由正弦定理得， 由（1），而，得， ∴，，又，得， ∴代入上式化简得： ， 又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有. ∴. 1．如图.某人开车在水平公路上自东向西行驶，在处测得山顶处的仰角，该小车在公路上匀速行驶分钟后，到达处，此时测得仰角.已知小车的速度是，且，则下列结论正确的是（    ） ①此山的高 ② ③ ④小车从到的行驶过程中观测点的最大仰角的正切值为 A．①③ B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】C 【详解】对于①，设，由题意可得：中，，． 在中，，． 又， 在中，由余弦定理可得：， 解得，即．故①错 对于②，由①得,,则, 故，故②对. 对于③，因为，所以， 所以,故③错. 对于④，由等面积法可以得到到的距离， 则最大仰角的正切值为,故④对. 故选：C. 2．如图，1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上，且纬度差约为的柏林（点）与好望角（点）为基点，测量出，的大小.设地球半径为，则地球表面与月球表面的最小距离约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设地球球心为，月球表面上的点为， 因为柏林与好望角纬度差约为，可以将其看作进行计算，    则， 由地球半径为，则， 在中，由正弦定理，， 解得，， 设， 在中，由正弦定理，， 解得， 在中，由正弦定理，， 解得， 因为， 则， 故， 因此， 而地球表面与月球表面的最小距离为减去地球半径， 故答案为. 故选：A. 3．如图，正方形的边长为分别为边上的点，则以下错误的是（    ） A．若，则以为圆心，半径为1的圆与相切 B．若，则面积的取值范围是 C．若点与点重合，周长为4，则 D．不可能小于 【答案】B 【详解】对于A，过P作， 则，所以， 所以，又，所以∽， 所以且， 所以，所以， 又，所以，所以， 又，所以≌，所以， 即以为圆心，半径为1的圆与相切，正确； 对于B，设，则， 所以， 记，则，，从而， 又，所以， 所以，所以， 所以，所以，错误； 对于C，周长为4，即，所以，记， 则在中，，所以， 而，所以， 所以，所以，正确； 对于D，显然，当点分别与点重合时，才能取得最小值， 作正方形外接圆，只有点与点或点重合时在圆上，此时， 点在线段其余位置时位于圆内，均大于，正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键时选项CD的判断，对于选项C，利用两角和的正切公式求解角的大小，对于选项D，通过正方形外接圆的性质判断角的范围，属于较难题. 4．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．若，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【详解】当时，，再由，且. 所以 , 当且仅当，即或时等号成立， 所以时，，故A错误，C错误； 当时，，再由，且. 所以 ， 当且仅当时，即等号成立，故B正确，D错误. 故选：B 5．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意圆形木板的直径为. 设截得的四边形木板为，设， 如下图所示， 由且，得， 在中，由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理，得， 所以， 得，当且仅当时等号成立. 在中，， 由余弦定理可得 ， 得，当且仅当时等号成立， 所以这块四边形木板面积为. 故选：C. 6．（多选）在斜三角形中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A．为锐角三角形 B． C．若，则 D． 【答案】BC 【详解】由正弦定理得且，则，C正确； 由三角形内角的性质知，得是锐角, 当时，，则，不合题意， 当，，解得，故A错误，B正确； 因为， ， 由，则，可得， 令 ，可得， 结合二次函数的性质，代入得最大值为，代入或0，得到（取不到）， 所以，故D错误. 故选：BC 7．（多选）将锐角三角形置于平面直角坐标系中，，为轴上方一点，设中的对边分别为且，则的外心纵坐标可能落在以下（     ）区间内. A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题知，，，由余弦定理得， 又，解得，同理：， 所以， 所以， 由二次函数性质可得，即， 又，所以， 因为为锐角，所以， 即外接圆半径为，则，即， 由外心定义可知，的外心在轴上， 记的外心纵坐标为，则， 因为与和交集非空，与和交集为空间， 所以BD正确，AC错误. 故选：BD 8．在中，，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为，所以， 则有，即． 因为在中，，则． 当时，，所以， 因为在上单调递减，所以，则，所以不成立； 当时，，所以， 而，即，所以不成立； 因此，则， 令，则，则， 因为在中，，则，则， 所以， 令，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以． 故答案为：. 9．如图，正方形的边长为，以点为顶点引出放线角为的阴影部分区域，其中，，=________．记四边形的面积为，则的取值范围为________． 【答案】 . 【详解】①连接，则，， 由勾股定理得：， 因为，所以， 在中，，故 在中，， 由正弦定理得：， 即， 故， ②故 ， 令，， 则， 当时，，故， 所以. 故答案为：①；②. 10．德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今．已知任意的内部必存在点，使得（或），则称为的布洛卡点，（或）称为布洛卡角．一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合．已知点为的一个布洛卡点，且．则__________；当，且时，的面积的最大值为__________． 【答案】 1 【详解】因为点为的一个布洛卡点，且，， 即，故应填（或）； 同理可知， 不妨记， 在中，由正弦定理得①， 在中，由正弦定理得②， 由①②两式作商，可得， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 又，故, 所以 所以，即， 三角形的面积为:， 易知当时取等号， 即的面积最大值为1． 故答案为：，1. 11．记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）因为， 则， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则， 可得，即， 若，所以. （2）设，， 则，，， 在中，由正弦定理可得， 在中，由余弦定理可得： ， 即， 则， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 12．如图，线段都垂直于线段，， (1)求线段的长度； (2)点为线段上一个动点且点与点、点不重合，当长为多少时，最大？ 【答案】(1)6 (2) 【详解】（1）如图，作，设，则. 因，则，又， 则，.又，则. 又，则. 由正弦定理：， 得： ，则； （2）设，其中 . 则，， ，令， 则， ，当且仅当时取等号. 则此时最小，从而最大. 13．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若， （i）求周长的最大值； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）6（ii） 【详解】（1）由余弦定理得， 又，所以，即 由正弦定理得， 因为，所以， 由为锐角三角形， 得， 两边取倒数得. （2）（i） 因为，所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立，满足为锐角三角形， 所以周长的最大值为. （ii）成立，即为锐角，且， 由为锐角得及， 解得，即 的面积为， 因为， 令，，则二次函数开口向下，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以，即， 所以，即， 所以，即面积的取值范围为. 14．“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：（Ⅰ）当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；（Ⅱ）当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)已知，点M为的费马点. ①若，记，求； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由正弦定理及， 得， 整理得，即. 因为，所以. （2）因为是锐角三角形，M为费马点，所以. ①在中，由正弦定理得，即，得. 在中，由正弦定理得，<1> 在中，， 由正弦定理得，<2> <1>，<2>两式相除得，化简得， 所以. ②由， 得， 整理得. 因为， 所以 . 因为是锐角三角形，所以，即 所以，所以，则， 所以，所以的取值范围是. 15．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若，设点P为的费马点，求； (3)设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，得， 故. 由正弦定理可得，故直角三角形，即. （2）由（1）可得，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设， 由，得， 整理得， 则 . （3）如图，点为的费马点，则， 设， 则由，得； 由余弦定理得， ， ， 故由，得， 即，而，，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立. 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用面积法得到，最后根据向量数量积的定义即可. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $