猜押10～13题 复数、二项式定理、概率与圆-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（天津专用）

猜押04 复数、二项式定理、概率与圆10-13题（ 填空题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 复数计算 2024年天津卷第10题 2023年天津卷第10题 2022年天津卷第10题 天津高考数学对复数的考察要求很低，22年，23年考察了复数的除法运算，24年考察更容易的复数乘法运算。所以复数在考试中，定位主要是乘除法运算。要求学生熟练掌握各类型的复数的乘除法。还要了解复数的实部，虚部，共轭复数，复数的模长，以及复数在复平面内对应的点的坐标和位置等基础知识。 预测2025年天津高考复数考察，依旧是围绕四则运算进行低难度的考察，复习时要求学生训练好各类型复数的四则运算。还要适当的增加复数定义，模长计算，纯虚数等基础知识点的应用。 二项式定理 2024年天津卷第11题 2023年天津卷第11题 2022年天津卷第11题 天津高考从22年-24年，对二项式定理的考察要求属于难度较低的填空题，考察二项式定理知识，需要学生掌握二项式定理通项公式，二项式定理展开式运算，涉及到一定的计算量。 预测2025年天津高考二项式定理，考察二项式定理，围绕着通项公式为主的计算和化简。难度不大，考察运用通项公式求解各类形式中某一项的系数为主的计算，特别是无理幂函数形式的计算，计算形式复杂，计算量大。 直线和圆 2024年天津卷第12题 2023年天津卷第12题 2022年天津卷第12题 天津高考连续三年考察直线和圆，都涉及到直线、圆、抛物线三个内容的考察 ，基本上是必考的知识点。考察直线与圆的位置关系，涉及到直线与圆的方程，点到直线的距离同时，圆的方程，圆与直线相交线长计算，圆的切线方程，抛物线定义，抛物线性质，圆与抛物线位置关系，直线与抛物线位置等等，知识点跨度大，方法技巧多。 预测2025年天津高考考察直线与圆，直线与抛物线，以及圆与抛物线位置关系，要熟练掌握直线方程， 圆的方程，抛物线方程及定义，以及它们之间位置关系的转化和计算。 概率 2024年天津卷第13题 2023年天津卷第13题 2022年天津卷第13题 近三年天津高考对于概率的考察偏重于全概率以及条件概率的考察。题型是双空题，中等难度，题型多以取球放球和“球放盒子”型为主。 预测2025年天津高考概率的考察，依旧是双空题型，围绕着全概率及条件概率的考察为主要考察题型，要掌握题型涉及的模型的背景与变化，如取球模型，扑克模式，多盒子取球模式，“人坐座位”、“球放盒子”等模型。 题型一 复数乘法运算 （填空题） 1．（2025·天津和平·一模）为虚数单位，复数的实部为 . 2．（24-25高三天津·阶段练习）已知复数为实数，则实数 . 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）设 为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 ． 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知复数，其中是虚数单位，则的模是 ． 5．（24-25高三天津·阶段练习）若复数，则的实部与虚部之积为 . 题型二 复数除法运算 （填空题） 1．（2025·天津河西·一模）i是虚数单位，复数 ． 2．（24-25高三下·天津河西·阶段练习）已知，则的虚部为 . 3．（24-25高三下·天津蓟州·开学考试）若复数是纯虚数，则实数 . 4．（24-25高三天津·阶段练习）已知复数的共轭复数为，则 . 5．（24-25高三上·天津北辰·期末）是虚数单位，复数 . 题型三 复数模和实部虚部等求解 （填空题） 1．（2024·高三天津·阶段练习）若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则 ． 2．（24-25高三上·天津河西·阶段练习）已知是虚数单位，复数满足，则 . 3．（24-25高三上·天津滨海新·期中）i是虚教单位，若复数是纯虚数，则 ． 4．（22-23高一下·天津南开·期末）i为虚数单位，若复数，则 5．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知，其中i是虚数单位，则 ． 题型四 二项式通项计算 （填空题） 1．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 2．（2025·天津南开·一模）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为 ． 3．（2025高三下·天津·专题练习）二项式的展开式中，项的系数为 . 4．（24-25高三下·天津河西·开学考试）若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为 5．（24-25高三上·天津北辰·期末）在的展开式中，常数项为 . 题型五 二项式因式型求通项 （填空题） 1．（24-25高三下·天津·开学考试）在的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的系数为 ． 2．（2023·高三天津·阶段练习）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 3．（2024高三天津·阶段练习）的展开式中，常数项为 . 4．（24-25高三上·天津·开学考试）的展开式中，的系数是 ．（用数字作答） 5．（23-24高二下·天津·期末）展开式中的系数为 .（结果用数字表示） 题型六 直线与圆型 （填空题） 1．（24-25高三天津·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为 . 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知动圆C的半径为，其圆心到点的距离为2，点P为圆C上的一点，则点P到直线距离的最大值为 ． 3．（24-25高三上·天津·期末）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 4．（24-25高二上·天津西青·阶段练习）已知直线恒过点P，O为坐标原点.点P的坐标为 ;当点O到直线的距离最大的，直线的方程为 5．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）圆上的点到直线的最大距离是 ． 题型七 直线与圆及抛物线型 （填空题） 1．（2025·天津南开·一模）已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为 ． 2．（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）已知抛物线 的焦点 恰为圆 的圆心，点 是 与圆的一个交点，则点 到直线 的距离为 . 3．（24-25高三下·天津宁河·开学考试）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则点到直线的距离为 . 4．（24-25高三上·天津河北·期末）已知抛物线C：（）的焦点F恰为圆的圆心，点P是C与圆的一个公共点，则点F到直线OP的距离为 . 5．（24-25高三天津·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则 ． 题型八 直线与圆求参数 （填空题） 1．（24-25高二上·天津·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知圆C: 上有且仅有四个点到直线l： 的距离为2，则实数k的取值范围是    . 4．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 5．（24-25高二上·天津北辰·阶段练习）若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则直线的斜率取值范围是 . 5．（2024·天津·二模）已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 ． v 题型九 条件概率“多盒子取球”模型（填空题） 1．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 . 2．（24-25高三天津·阶段练习）已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是 ． 3．（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 . 4．（23-24高二下·天津蓟州·阶段练习）甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）.先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则 ， . 5．（2024·天津南开·一模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 ，第二次抽到3号球的概率为 题型十 条件概率“球放盒子”模型 （填空题） 1．（2025高三下·天津·专题练习）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， . 2．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 3．（2024·天津滨海新·三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为 ．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率 ． 4．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ． 5．（23-24高三天津·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 题型十一 条件概率综合模型 （填空题） 1．（23-24高三上·天津·期末）学校迎元旦文艺演出，邀选出小品、相声、独唱、魔术、合唱、朗诵等六个汇报演出节目，如果随机安排节目出场，则朗诵第一个出场的概率为 ；若已知朗诵第一个出场，则小品是第二个出场的概率为 ． 2．（2022·天津河北·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”、“冰墩墩”、“雪容融”等．小王有3张“冬梦”，2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”、“冰墩墩”、"雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以表示小王取出的是“冬梦”、“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则 ， ． 3．（24-25高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 ；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 . 4．（2024·天津河北·二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为 ，第三天不玩手机的概率为 . 5．（24-25高三天津·阶段练习）现有52张扑克牌（去掉大小王），每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为 ;在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是 ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押04 复数、二项式定理、概率与圆10-13题（ 填空题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 复数计算 2024年天津卷第10题 2023年天津卷第10题 2022年天津卷第10题 天津高考数学对复数的考察要求很低，22年，23年考察了复数的除法运算，24年考察更容易的复数乘法运算。所以复数在考试中，定位主要是乘除法运算。要求学生熟练掌握各类型的复数的乘除法。还要了解复数的实部，虚部，共轭复数，复数的模长，以及复数在复平面内对应的点的坐标和位置等基础知识。 预测2025年天津高考复数考察，依旧是围绕四则运算进行低难度的考察，复习时要求学生训练好各类型复数的四则运算。还要适当的增加复数定义，模长计算，纯虚数等基础知识点的应用。 二项式定理 2024年天津卷第11题 2023年天津卷第11题 2022年天津卷第11题 天津高考从22年-24年，对二项式定理的考察要求属于难度较低的填空题，考察二项式定理知识，需要学生掌握二项式定理通项公式，二项式定理展开式运算，涉及到一定的计算量。 预测2025年天津高考二项式定理，考察二项式定理，围绕着通项公式为主的计算和化简。难度不大，考察运用通项公式求解各类形式中某一项的系数为主的计算，特别是无理幂函数形式的计算，计算形式复杂，计算量大。 直线和圆 2024年天津卷第12题 2023年天津卷第12题 2022年天津卷第12题 天津高考连续三年考察直线和圆，都涉及到直线、圆、抛物线三个内容的考察 ，基本上是必考的知识点。考察直线与圆的位置关系，涉及到直线与圆的方程，点到直线的距离同时，圆的方程，圆与直线相交线长计算，圆的切线方程，抛物线定义，抛物线性质，圆与抛物线位置关系，直线与抛物线位置等等，知识点跨度大，方法技巧多。 预测2025年天津高考考察直线与圆，直线与抛物线，以及圆与抛物线位置关系，要熟练掌握直线方程， 圆的方程，抛物线方程及定义，以及它们之间位置关系的转化和计算。 概率 2024年天津卷第13题 2023年天津卷第13题 2022年天津卷第13题 近三年天津高考对于概率的考察偏重于全概率以及条件概率的考察。题型是双空题，中等难度，题型多以取球放球和“球放盒子”型为主。 预测2025年天津高考概率的考察，依旧是双空题型，围绕着全概率及条件概率的考察为主要考察题型，要掌握题型涉及的模型的背景与变化，如取球模型，扑克模式，多盒子取球模式，“人坐座位”、“球放盒子”等模型。 题型一 复数乘法运算 （填空题） 1．（2025·天津和平·一模）为虚数单位，复数的实部为 . 【答案】2 【分析】化简复数，根据复数的定义即可得出答案. 【详解】, 所以复数的实部为2. 故答案为：2. 2．（24-25高三天津·阶段练习）已知复数为实数，则实数 . 【答案】 【分析】整理可得，结合向量的概念列式求解即可. 【详解】因为为实数， 则，解得. 故答案为：. 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）设 为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由复数的乘法公式和纯虚数的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 又为纯虚数， 所以，解得. 故答案为：-1 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知复数，其中是虚数单位，则的模是 ． 【答案】 【分析】根据复数的乘法，化简整理为标准形式，根据共轭复数以及模长计算，可得答案. 【详解】由，则，故. 故答案为：. 5．（24-25高三天津·阶段练习）若复数，则的实部与虚部之积为 . 【答案】 【分析】运用复数乘法进行化简计算，再根据实部虚部概念计算即可. 【详解】，则虚部为，实部为，乘积为：. 故答案为：. 题型二 复数除法运算 （填空题） 1．（2025·天津河西·一模）i是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】直接根据复数的除法运算法则计算即可. 【详解】， 故答案为：. 2．（24-25高三下·天津河西·阶段练习）已知，则的虚部为 . 【答案】 【分析】令，将其代入化简得，列方程组即可求得. 【详解】令，则， 因，则， 即，则， 解得，则，故的虚部为. 故答案为： 3．（24-25高三下·天津蓟州·开学考试）若复数是纯虚数，则实数 . 【答案】 【分析】利用复数的除法运算，结合纯虚数的意义求出. 【详解】依题意，， 而复数是纯虚数，则且，解得. 故答案为： 4．（24-25高三天津·阶段练习）已知复数的共轭复数为，则 . 【答案】/ 【分析】由复数的模的性质求解即可. 【详解】. 故答案为：. 5．（24-25高三上·天津北辰·期末）是虚数单位，复数 . 【答案】 【分析】根据复数的运算直接求解即可. 【详解】. 故答案为： 题型三 复数模和实部虚部等求解 （填空题） 1．（2024·高三天津·阶段练习）若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则 ． 【答案】5 【分析】根据复数的运算法则计算可得，再由共轭复数的概念以及模长计算可得结果. 【详解】由可得； 则可得，因此. 故答案为：5 2．（24-25高三上·天津河西·阶段练习）已知是虚数单位，复数满足，则 . 【答案】 【分析】利用复数的除法运算表示复数，由复数模的性质求出其模. 【详解】由复数，得， 则， 故答案为： 3．（24-25高三上·天津滨海新·期中）i是虚教单位，若复数是纯虚数，则 ． 【答案】1 【分析】利用复数除法运算化简复数，根据复数是纯虚数求出的值，即可得到复数的模. 【详解】由题意得，. ∵是纯虚数，∴，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 4．（22-23高一下·天津南开·期末）i为虚数单位，若复数，则 【答案】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，然后代入模的运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 5．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知，其中i是虚数单位，则 ． 【答案】3 【分析】根据复数的四则运算，结合复数相等，求得参数的值，可得答案. 【详解】由，可得：，由复数相等可知： 所以 故答案为：3 题型四 二项式通项计算 （填空题） 1．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式定理，求得二项展开式的通项，把含x的进行幂运算合并，然后令指数等于7，即可求解. 【详解】因为的通项为， 令，得， 所以的系数为． 故答案为：. 2．（2025·天津南开·一模）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为 ． 【答案】 【分析】由二项式系数和求得，再由通项公式即可求解. 【详解】由题意可得，即， 通项公式， 令，可得：， 所以的系数为， 故答案为： 3．（2025高三下·天津·专题练习）二项式的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】在二项式展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得项的系数. 【详解】二项式的展开式中，通项公式为. 令，解得. 故项的系数是. 故答案为：. 4．（24-25高三下·天津河西·开学考试）若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为 【答案】320 【分析】应用赋值法及各项系数和求得，再应用展开式通项公式求对应项系数. 【详解】令，则， 所以展开式通项为且， 当时，，即所求项系数为320. 故答案为：320 5．（24-25高三上·天津北辰·期末）在的展开式中，常数项为 . 【答案】8 【分析】先由二项式定理求出的展开式的通项公式，由的指数为0即可得常数项. 【详解】二项展开式通项公式为， 令，的，常数项为. 故答案为：8. 题型五 二项式因式型求通项 （填空题） 1．（24-25高三下·天津·开学考试）在的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的系数为 ． 【答案】 【分析】依题意利用赋值法令，可求得，再利用二项展开式即可求得系数. 【详解】由各项系数的和为0可知，令，即，解得； 因此的展开式中含有的项为. 故答案为： 2．（2023·高三天津·阶段练习）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】根据二项展开式，结合二项相乘列式求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以在的展开式中， 含的项为，所以的系数为. 故答案为：. 3．（2024高三天津·阶段练习）的展开式中，常数项为 . 【答案】 【分析】根据题意，展开式中的项为或，令或，可得常数项. 【详解】根据题意，的通项为， 则展开式中的项为或， 令或，得或， 从而展开式常数项为． 故答案为： 4．（24-25高三上·天津·开学考试）的展开式中，的系数是 ．（用数字作答） 【答案】10 【分析】先求的展开式中，然后与中的项相乘可得. 【详解】的展开式通项为， 则的展开式中，含的项为： ，系数为10. 故答案为：10 5．（23-24高二下·天津·期末）展开式中的系数为 .（结果用数字表示） 【答案】28 【分析】先求出展开式的通项公式，然后求出其和的系数，两系数相减可得答案. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：28 题型六 直线与圆型 （填空题） 1．（24-25高三天津·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为 . 【答案】 【分析】先求出直线过定点，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，求解即可. 【详解】直线：过定点， 圆：，圆心，半径 因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时， 弦长最短为， 故答案为：. 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知动圆C的半径为，其圆心到点的距离为2，点P为圆C上的一点，则点P到直线距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】数形结合，点到直线距离的最大值转化为点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】如图， 点到直线的距离为：， 所以点到直线距离的最大值为：. 故答案为：. 3．（24-25高三上·天津·期末）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】直线的方程可化为， 令，解得，所以点的坐标为， 又圆的圆心与点关于直线对称，则， 设圆的方程为， 且圆的圆心到直线的距离为， 又，则. 即圆的半径为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·天津西青·阶段练习）已知直线恒过点P，O为坐标原点.点P的坐标为 ;当点O到直线的距离最大的，直线的方程为 【答案】 【分析】把直线方程变形得，联立方程组求得方程组的解即为直线l恒过的定点，点O到直线的距离最大时，直线l与垂直，利用点斜式求直线的方程． 【详解】由，得， 由，解得， ∴直线l恒过定点， 点O到直线的距离最大时，直线l与垂直， 因为，所以直线l的斜率， 所以其方程为，即. 故答案为：；. 5．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）圆上的点到直线的最大距离是 ． 【答案】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，利用圆心到直线的距离加上半径，可求解. 【详解】将圆化为标准方程可得， 所以圆的圆心为，半径， 根据点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为， 所以可得最大距离为. 故答案为： 题型七 直线与圆及抛物线型 （填空题） 1．（2025·天津南开·一模）已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】根据已知可得，进而有、，写出，求圆心到直线距离，再应用圆中弦长的几何求法求直线被圆截得的弦长. 【详解】由题设，抛物线准线为，则，故， 由准线与圆相切且圆心，易知， 所以，即， 故到的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为： 2．（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）已知抛物线 的焦点 恰为圆 的圆心，点 是 与圆的一个交点，则点 到直线 的距离为 . 【答案】/ 【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点坐标和的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果. 【详解】∵圆的标准方程：， ∴圆心为，半径， ∴，即，即抛物线C：， ， 联立方程组， 解得或（∵舍去）， 代入解得，或， 由抛物线对称性可知，无论取哪个点，点到直线的距离相等， 取，则直线， ∴点到直线的距离. 故答案为： . 3．（24-25高三下·天津宁河·开学考试）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则点到直线的距离为 . 【答案】或1 【分析】根据圆心得到抛物线方程，联立抛物线方程和与拿的方程得到，然后计算直线的方程，最后求距离即可. 【详解】圆的圆心为，所以，解得， 所以抛物线方程为， 联立得， 所以直线的方程为，即或， 则点到直线的距离为或. 故答案为：或1. 4．（24-25高三上·天津河北·期末）已知抛物线C：（）的焦点F恰为圆的圆心，点P是C与圆的一个公共点，则点F到直线OP的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据题意可得圆心和半径，即可得抛物线C：，联立方程求交点坐标，进而可得点F到直线OP的距离. 【详解】圆，即，可知圆心为，半径， 即，则，可得，抛物线C：， 联立方程，解得或， 根据对称性不妨取，则直线OP：， 所以点F到直线OP的距离为. 故答案为：. 5．（24-25高三天津·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则 ． 【答案】 【分析】先利用题设条件求出圆的半径，根据抛物线的定义求得点的坐标，最后利用斜率公式计算即得. 【详解】 如图，由可知，，设准线与轴交于点， 因以为圆心的圆与准线交于两点，则, 又，则, 设点，则，解得， 当，则，故，于是. 故答案为：. 题型八 直线与圆求参数 （填空题） 1．（24-25高二上·天津·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，求出直线与圆相切时的斜率和直线过点的斜率，从而可求出答案. 【详解】对于直线，令，可得， 所以直线恒过点， 由，则，即， 即曲线表示出以为圆心，为半径的右半圆， 设直线与半圆相切于点，则，解得（舍去）或， 所以， 因为，，所以， 因为直线与曲线恰有两个交点， 所以， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 3．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知圆C: 上有且仅有四个点到直线l： 的距离为2，则实数k的取值范围是    . 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为圆心到直线的距离小于2，列式运算得解. 【详解】因为圆上有且仅有四个点到直线的距离为2，又圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 即，解得. 故答案为：. 4．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 【答案】5 【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解． 【详解】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 且与平行， 故当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 5．（24-25高二上·天津北辰·阶段练习）若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则直线的斜率取值范围是 . 【答案】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程求出其圆心和半径，当圆上至少有三个不同点到直线的距离为，只需找到临界位置，即使圆心到直线距离为，即可求出斜率的取值范围. 【详解】将方程化为圆的标准方程，得， 圆心坐标为，半径， 圆上至少有三个不同点到直线的距离为， 圆心到直线的距离应小于或等于. 由点到直线的距离公式得：， ，整理得， 解得， 直线的斜率. 故答案为：. 5．（2024·天津·二模）已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用圆的性质，两直线位置关系计算即可. 【详解】由题意可知，即圆心， 又直线垂直平分弦，所以过圆心， 所以. 故答案为：2 v 题型九 条件概率“多盒子取球”模型（填空题） 1．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 . 【答案】 【分析】根据题意可知应用古典概型及独立事件的概率乘积公式，利用全概率公式即可求解. 【详解】设从甲袋取出白球为事件A，再从乙袋取出白球为事件B， 若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球为事件 则，. ； 设“从甲袋中取出的一个球为白球”， “从甲袋中取出的一个球为黑球”， “从乙袋中取出的一个球为白球”， 根据全概率公式则有 . 故答案为：；. 2．（24-25高三天津·阶段练习）已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是 ． 【答案】 / 【分析】根据古典概型的计算公式及全概率的计算公式直接得解. 【详解】根据题意，从这个8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是； 设“取出甲盒”为事件，“取出乙盒”为事件，“取到的球是白球”为事件， 则 . 所以从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是. 故答案为：；. 3．（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 . 【答案】 【分析】利用条件概率公式计算摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式求红球的概率. 【详解】记事件表示“至少抽到一个红球”，事件表示“2个球都是红球”， ,, 所以. 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 事件表示“抽到红球”，则 , 所以, 所以. 故答案为：①，②. 4．（23-24高二下·天津蓟州·阶段练习）甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）.先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则 ， . 【答案】 【分析】计算出，，利用条件概率求出；再利用全概率公式求出. 【详解】由题意得：，，故； 又，，，， 故. 故答案为：； 5．（2024·天津南开·一模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 ，第二次抽到3号球的概率为 【答案】 /0.5 【分析】根据题意，先求出在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率；记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，第二次抽到3号球为事件，再利用全概率公式求解即可. 【详解】根据题意，在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为. 记第一次抽到第i号球的事件分别为， 则有，， 记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为， 则，，， 记第二次抽到3号球为事件， . 所以第二次抽到3号球的概率为. 故答案为：；. 题型十 条件概率“球放盒子”模型 （填空题） 1．（2025高三下·天津·专题练习）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， . 【答案】 【分析】根据古典概型结合排列数计算，再应用条件概率公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，事件数有，总事件数为， 故， 又事件的总数为，所以， 事件和事件同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，则事件的总数为， 所以，所以. 故答案为：. 2．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 【答案】 30 【分析】利用排除法，总的方案数减去甲和乙选择的课程的方案数即可得到甲和乙选择的课程不同的方案数；分有一个人选择“九章算术”和两个人选择“九章算术”两种情况，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求得事件中包含的方案数，再利用条件概率公式求得 【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 故答案为：30；. 3．（2024·天津滨海新·三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为 ．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率 ． 【答案】 【分析】根据古典概型的计算方法可求两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率；设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”，先求出，，在利用条件概率公式即可求第二空. 【详解】设事件表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”， 则； 设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”， 则，， ∴． 故答案为：． 4．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ． 【答案】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 5．（23-24高三天津·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 【答案】 【分析】第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解. 【详解】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种， 其中甲、乙参加同一项目的方案种， 则所求的参赛方案一共有种； 因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目， 则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案， 若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一， 故总共有种不同的方案； 若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目， 故共有种不同的方案； 同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案； 乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案. 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，分类讨论事件对应的情况，做到不缺不漏，从而得解. 题型十一 条件概率综合模型 （填空题） 1．（23-24高三上·天津·期末）学校迎元旦文艺演出，邀选出小品、相声、独唱、魔术、合唱、朗诵等六个汇报演出节目，如果随机安排节目出场，则朗诵第一个出场的概率为 ；若已知朗诵第一个出场，则小品是第二个出场的概率为 ． 【答案】 / 【分析】结合条件概率知识以及题意分析即可. 【详解】因为一共有六个节目，朗诵是第一个，所以概率为; 因为朗诵已经确定是第一个出场，所以小品在剩下的五个节目中首先出场也就是作为整体第二个出场的概率为. 故答案为：；. 2．（2022·天津河北·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”、“冰墩墩”、“雪容融”等．小王有3张“冬梦”，2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”、“冰墩墩”、"雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以表示小王取出的是“冬梦”、“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则 ， ． 【答案】 /0.5 【分析】表示在小王送给小李一张“冰墩墩”邮票的情况下小李取到一张“冰墩墩”的概率，可等价于求“小李有4张邮票，其中2张为冰墩墩，从中抽取一张邮票，邮票为冰墩墩”的概率.根据即可计算P(B). 【详解】表示在小王送给小李一张“冰墩墩”邮票的情况下小李取到一张“冰墩墩”的概率，则； 由题可知，，，， 则 . 故答案为：；. 3．（24-25高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 ；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 . 【答案】 【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式求解第一空，利用条件概率公式求解第二空． 【详解】解：设事件A表示“茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格”，则事件表示“茶叶加工中三道工序都不合格”， 所以 设事件B表示“绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格”，事件C表示“杀青加工合格”， 则 所以 故答案为：； 4．（2024·天津河北·二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为 ，第三天不玩手机的概率为 . 【答案】 0.3 0.55 【分析】根据题意由对立事件概率公式得第二天玩手机的概率，再由全概率公式得第三天不玩手机概率即可. 【详解】由题意，学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7， 所以一个学生第一天没玩手机，那么他第二天玩手机的概率为， 由全概率公式知第三天不玩手机的概率为. 故答案为：； 5．（24-25高三天津·阶段练习）现有52张扑克牌（去掉大小王），每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为 ;在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是 ． 【答案】 【分析】设第一次抽到A的事件为M，第二次抽到A的事件为N，根据不放回抽样，计算第1空即可；根据条件概率公式，分别求，，再进行计算即可. 【详解】设第一次抽到A的事件为M，第二次抽到A的事件为N， 不放回的取两次，可能的结果种数为，抽两次都是A包含的可能结果种数为， 则抽两次都是A的概率为． 易知， 所以在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是． 故答案为：；. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$