信息必刷卷04（湖北武汉专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷04 数 学（湖北武汉专用） 考情速递 中考·新动向：1.实际应用与跨学科融合：第6题将物理中物体排开液体的体积与蛤属土相向结合，用数学的语言来描述客观世界；第8题注重概率在实际生活中的应用；第14题是解三角形在交通安全中的应用，体现数学的实用性。2.动态几何与分类讨论：第23题第三问是一道压轴题含多种情况分类讨论，对学生的发散思维能力有一定的要求。3.代数与几何综合化：第24题是一道以二次函数为背景的压轴题，解题过程包含了直角三角形的性质的使用，勾股定理的计数等体现了代几综合，直观与抽象的统一。 中考·新考法：1.常规考点的创新性设问：第15题结合等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作出辅助线构造相似三角形解决问题，综合考察对各类数学知识的融会贯通情况．2.知识融合与跨章节整合：第9题，第10题，第15题，第16 题，第21题，第23题，第24题都体现了这个特点，突破了对单一知识点的考察。 中考·新情境：1.开放性与探究性问题：第21题网格作图，方法可以不唯一；第22题用探究日常生活中的数学问题，用数学观察世界，用数学描述世界。2.实时性与生活化情景：第2题将数学置身日常生活；第4题把福建舰作为数学背景；第8题将校园生活作为数学情景；第14题，第22题等等，使数学更接近生活。3.以数学文化为背景：第11题. 命题·大预测：1，跨学科整合；2.彰显我国传统数学文化；3，生活情景，科学情景，实时情景在数学中的应用；4.数学的实际应用。第9题，15题，第21题，第22题为中档题；第10题，第16题，第23题和第24题中的一些小题为压轴题。压轴题注重数学知识的综合应用，注重逻辑推理能力，注重深度思考。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．写方方正正中国字，做堂堂正正中国人．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2． “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是（   ） A．确定性事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件 3．如图，是由几个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（       ）    A．   B．   C．   D．   4．航空母舰是现代海军不可或缺的利器，也是一个国家综合国力的象征，我国三艘航空母舰满载的总排水量约为217000吨．将数据217000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽截面示意图，现将水槽匀速排水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度与排水时间关系的是（     ）    A．    B．   C．   D．   7．如图，四边形中， ，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 8．在“阳光大课间”活动中，某校设计了篮球、足球、排球、羽毛球四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能随机选择参加一种运动项目，则小明和小红在一个大课间参加不同球类运动项目的概率是（   ） A． B． C． D． 9．已知是彼此互不相等的负数，且，，则与的大小关系是 ． A. ＞ B. ＝ C. ＜ D. ≥ 10．如图，I 为的内心，线段的延长线交的外接四于D， 设 的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则（   ） A．20 B．21 C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．中国是世界上最早认识和使用负数的国家，早在公元前四世纪的《九章算术》中就已经明确提出了正负数的概念．如果夏天武汉气温高达，我们记作，那么冬天哈尔滨气温零下，我们可以记作 ． 12．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 （用“>”号连接起来）． 13．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 14．“超速已成为马路主要安全隐患之一”． 如图，一条公路建成通车，在某笔直路段限速100千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路 旁设立了观测点，从观测点 测得一小车从点行驶到点用了5秒钟，已知 米， 则此车速度为 . (参考数据 ) 15．如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为 ． 16．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，且经过点，与轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论： ①； ②若抛物线经过点，则其解析式为； ③一元二次方程没有实数根； ④． 其中正确的有 . 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解不等式组． 18．如图，在中，，将沿方向平移得到，已知． (1)求平移的距离的长； (2)求四边形的周长． 19．某校组织了一次环保知识竞赛，九年级每班选相同数量同学参加比赛，成绩记为A、B、C、D四个等级．小明帮助学校老师将901班和902班同学的成绩进行整理并绘制成如下的统计图表，但忘记绘制901班C等级同学成绩，只记得901班B等级人数是902班D等级人数的3倍． (1)求出902班D等级的人数为多少人？ (2)请你算出901班的总人数，并补全条形统计图； (3)若记A、B等级为优秀，请你计算说明哪个班级的成绩更优秀？ 20．（2023·江苏无锡·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，作出一个满足条件的格点，使得射线平分； (2)在图中，画一个与面积相等，且以为边的，、均在格点上； (3)在图中，在边上找一点，连接，使面积是面积的倍． 21．如图，内接于，过点作射线，使得，与的延长线交于点P，D是的中点，与交于点E． (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求证：． 22．衣物清洗中也有数学问题，假设某堆衣服每次拧后都会残留1斤含有污物的水，那么接下来用20斤清水来漂洗它们时，怎样才能漂得更干净呢？ 如果把拧后的衣服一下子放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次拧后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，但衣服上污物残存量会变为原来的，污物去除量为原来的． 问题一：我们现在来改进上述过程，将20斤水分为2次用，比如第一次用5斤，使污物变为原来的________，再用15斤，污物减少为原来的________，分2次洗，效果好多了． 问题二：将20斤水分为两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请证明你的结论． 问题三：假设每次漂洗所需的时间相等，我们希望单位时间的漂洗效果更好，请问漂洗这堆衣物时，无论所用的总水量为多少，以最优方案分配两次漂洗的用水量，两次漂洗的单位时间污物去除量是否会多于一次漂洗，并证明你的结论． 23．【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是__________． 【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长． 【拓展应用】（3）如图3，矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G，若点G把线段分成的两部分，请直接写出的值．    24．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，若为锐角，且，求点D的横坐标的取值范围； (3)如图2，经过点的一次函数图象与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷04（湖北武汉专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B A B D A D B A A 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上 11．30 12.y1＞y2 13.-1 14．29.2 15． 16. 三、解答题:本大题有8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【详解】解：（1） 由不等式①，得x≥－2， 由不等式②，得x＜0， 所以不等式组的解集为－2≤x＜0. 18．【详解】（1）解：由平移的性质可知，， ， ， 即平移的距离的长为4； （2）解：由平移的性质可知，，， 即四边形的周长为． 19．【详解】（1）解：人 答：902班D等级的人数为4人. （2）解：∵902班的总人数为 ∴901班的总人数为25人 901班C级学生数有25-6-12-5=2人. 补全条形统计图如下： . （3）解： 901班：6+12=18人；18÷25=72％ 902班：44％+4％=48％ 48％＜72％. 故901班更优秀. 20．【详解】（1）解：如图，在点右侧个单位格点处取点，则点为所求， 由题得， 以、为边作菱形，连接， 由菱形性质可得，平分角． （2）解：由图得，如图， 在点右侧两个单位格点处取点，在点右侧两个单位格点处取点， ，， 四边形为平行四边形， 且， 故四边形为所求． （3）解：如图，在点右侧个单位格点取点，在点左侧个单位格点取点， 连接交于点，连接，则点为所求， ， ， ， ． 21．【详解】（1）解：直线与相切． 证明：连接并延长，交于点F，连接，如图， 则为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∵为的直径， ∴直线与相切； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 延长至点H，使，连接，如图， ∵D是的中点 ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．【详解】解：问题一：第一次用5斤，使污物变为原来的， 再用15斤，污物减少为原来的， 故答案为：，． 问题二：将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明如下： 设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤， 由题意得：第一次用水斤，使污物变为原来的， 第二次用水斤，污物减少为原来的， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，即的值最小， 所以将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少． 问题三：漂洗这堆衣物时，无论所用的总水量为多少，以最优方案分配两次漂洗的用水量，两次漂洗的单位时间污物去除量少于一次漂洗．证明如下： 设每次漂洗所需的时间为分钟，所用的总水量为斤，第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤， 由题意得：采用一次漂洗时，单位时间污物去除量为原来的， 采用两次漂洗时，第一次用水斤，使污物变为原来的， 第二次用水斤，污物减少为原来的， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，即的值最小，最小值为， 所以采用两次漂洗，以最优方案分配两次漂洗的用水量，两次漂洗的单位时间污物去除量为原来的， ， ∵， ∴，， 令， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大， ∴，即， ∴， 即， 所以漂洗这堆衣物时，无论所用的总水量为多少，以最优方案分配两次漂洗的用水量，两次漂洗的单位时间污物去除量少于一次漂洗． 23．【详解】解：（1） 四边形是矩形，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点A，D作的垂线，垂足分别为，    ，，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 设，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）分两种情况： ①当时，延长交的延长线于，连接，如图所示：    四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， ， 即， ， ∴， ∴； ②当时，延长、交于点，延长、交于点，如图所示，    ∵E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 设，， 则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负根舍去）， ∴； 综上可得，的值为或． 24．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：如图，以点C为顶点在的下方作，交抛物线于点D，过点A作于点A，交的延长线于点E，过点E作于点F， ∵，令，得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得（舍去），， ∵，且点D是第三象限内抛物线上的点， ∴． （3）解：是定值．理由如下： 设经过点的一次函数的解析式为， ∴， ∴， 故一次函数的解析式为， 设，， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， 同理可证，， ∴ ， ∴，是定值． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷04 数 学（湖北武汉专用） 考情速递 中考·新动向：1.实际应用与跨学科融合：第6题将物理中物体排开液体的体积与蛤属土相向结合，用数学的语言来描述客观世界；第8题注重概率在实际生活中的应用；第14题是解三角形在交通安全中的应用，体现数学的实用性。2.动态几何与分类讨论：第23题第三问是一道压轴题含多种情况分类讨论，对学生的发散思维能力有一定的要求。3.代数与几何综合化：第24题是一道以二次函数为背景的压轴题，解题过程包含了直角三角形的性质的使用，勾股定理的计数等体现了代几综合，直观与抽象的统一。 中考·新考法：1.常规考点的创新性设问：第15题结合等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作出辅助线构造相似三角形解决问题，综合考察对各类数学知识的融会贯通情况．2.知识融合与跨章节整合：第9题，第10题，第15题，第16 题，第21题，第23题，第24题都体现了这个特点，突破了对单一知识点的考察。 中考·新情境：1.开放性与探究性问题：第21题网格作图，方法可以不唯一；第22题用探究日常生活中的数学问题，用数学观察世界，用数学描述世界。2.实时性与生活化情景：第2题将数学置身日常生活；第4题把福建舰作为数学背景；第8题将校园生活作为数学情景；第14题，第22题等等，使数学更接近生活。3.以数学文化为背景：第11题. 命题·大预测：1，跨学科整合；2.彰显我国传统数学文化；3，生活情景，科学情景，实时情景在数学中的应用；4.数学的实际应用。第9题，15题，第21题，第22题为中档题；第10题，第16题，第23题和第24题中的一些小题为压轴题。压轴题注重数学知识的综合应用，注重逻辑推理能力，注重深度思考。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．写方方正正中国字，做堂堂正正中国人．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义，分析即可． 【详解】A.选项中，“大”字是轴对称图形，不符合题意； B.选项中，“美”字是轴对称图形，不符合题意； C.选项中，“中”字是轴对称图形，不符合题意； D.选项中，“国”字不是轴对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 2． “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是（   ） A．确定性事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件 【答案】B 【分析】本题主要考查基本事件，熟练掌握基本事件的分类是解题的关键．根据经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯进行判断即可． 【详解】解：经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯，可能遇到绿灯， 故这个事件是随机事件， 故选B． 3．如图，是由几个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（       ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，底层有三个正方形，上层靠左是一个小正方形． 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的定义，理解主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键． 4．航空母舰是现代海军不可或缺的利器，也是一个国家综合国力的象征，我国三艘航空母舰满载的总排水量约为217000吨．将数据217000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成的形式，其中，n是正整数且n的值比原数的整数位少1；根据科学记数法的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：B 5．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．利用幂的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法逐项计算判断即可． 【详解】A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6．下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽截面示意图，现将水槽匀速排水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度与排水时间关系的是（     ）    A．     B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．根据题意可分两段进行分析：当水的深度在球顶上方时；当水的深度在球顶以下时，分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【详解】解：开始当水的深度在球顶上方时， 水槽中能装水的部分宽度没有变化， 所以在匀速排水过程中，水的深度的下降速度不会发生变化； 当水的深度在球顶以下时， 水槽中能装水的部分的宽度由上到下由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速排水过程中，水的深度变化先从下降较慢变为较快，再变为较慢； 综上，水的深度先匀速下降，再下降较慢，再变快，然后变慢． 故选： A． 7．如图，四边形中， ，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数是解题的关键．作，垂足为点，交的延长线于点，则，求出，再证明四边形是矩形，得到，则． 【详解】解：如图，作，垂足为点，交的延长线于点，则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：D． 8．在“阳光大课间”活动中，某校设计了篮球、足球、排球、羽毛球四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能随机选择参加一种运动项目，则小明和小红在一个大课间参加不同球类运动项目的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，分别用表示篮球、足球、排球、羽毛球，根据题意画树状图求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分别用表示篮球、足球、排球、羽毛球， 列树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能情况，其中小明和小红在一个大课间参加不同球类运动项目的情况有种， ∴小明和小红在一个大课间参加不同球类运动项目的概率是， 故选：． 9．已知是彼此互不相等的负数，且，，则与的大小关系是 ． A. ＞ B. ＝ C. ＜ D. ≥ 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法与整式的减法，运用整体思想并正确计算是解题的关键； 利用与0大小的比较来比较M、N的大小． 【详解】解： ， ∴． 故答案为：A． 10．如图，I 为的内心，线段的延长线交的外接四于D， 设 的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则（   ） A．20 B．21 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形的外接圆，相似三角形的判定与性质等知识，连接，作于E，记外接圆圆心为，连接交圆O于F，连接，先证明，再证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，作于E，记外接圆圆心为，连接交圆O于F，连接，如图： ∵I为的内心， ∵平分， ∴， 又∵I为的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ， ∴，即， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．中国是世界上最早认识和使用负数的国家，早在公元前四世纪的《九章算术》中就已经明确提出了正负数的概念．如果夏天武汉气温高达，我们记作，那么冬天哈尔滨气温零下，我们可以记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据气温，记作，则用负数表示零下温度即可求解． 【详解】解：如果夏天武汉气温高达，我们记作，那么冬天哈尔滨气温零下，我们可以记作， 故答案为：． 12．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 （用“>”号连接起来）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．依据反比例函数，可得此函数在每个象限内，y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质可以判断的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点反比例函数上，且，， ∴， 故答案为：． 13．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先解关于的方程，表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或 当时，． 当时，，原方程分母为0，原方程无解． ∴． 故答案为：． 14． “超速已成为马路主要安全隐患之一”． 如图，一条公路建成通车，在某笔直路段限速100千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路 旁设立了观测点，从观测点 测得一小车从点行驶到点用了5秒钟，已知 米， 则此车速度为 . (参考数据∶ ) 【答案】此车超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，过C作，通过解直角三角形先分别计算出和，再根据速度等于路程除以时间即可求出小车的速速，最后比较即可得出答案，但需要注意单位的换算． 【详解】解：此车超速． 理由如下：过C作， ，米， （米）， （米）， ， （米）， （米）， 小车的速度为：（米/秒）， 15．如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点E作交于点P，交于点Q，则，，所以，而，则，推导出，然后可证明，再证明，得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点E作交于点P，交于点Q，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，且经过点，与轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论： ①； ②若抛物线经过点，则其解析式为； ③一元二次方程没有实数根； ④． 其中正确的有 . 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系等．根据“，对称轴为直线，抛物线经过点”可得抛物线开口向下，，；结合“与轴的两个交点之间的距离大于4”可得当时，，可判断①正确；将代入解析式，可判断②正确；根据抛物线与直线有两个交点，可判断③错误；根据抛物线与轴的两个交点之间的距离大于4，可得，可判断④正确． 【详解】解：，对称轴为直线， 抛物线开口向下，， ， 抛物线经过点， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的两个交点之间的距离大于4， 当时，抛物线上的点在x轴上方， 即当时，， ；故①正确； ，， ， 将代入，得：， 解得， ；故②正确； 抛物线开口向下，与轴有两个交点， 抛物线与直线有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根；故③错误； 设抛物线与轴的两个交点的横坐标为，， 则，， 抛物线与轴的两个交点之间的距离大于4， ， ， 解得；故④正确； 综上可知，正确的有，共3个． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解不等式组 【答案】（1）－2≤x＜0；（2）1 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； 【详解】解：（1） 由不等式①，得x≥－2， 由不等式②，得x＜0， 所以不等式组的解集为－2≤x＜0. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组． 18．如图，在中，，将沿方向平移得到，已知． (1)求平移的距离的长； (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移前后的两个图形形状、大小、方向不变是解题关键． （1）根据平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，， ， ， 即平移的距离的长为4； （2）解：由平移的性质可知，，， 即四边形的周长为． 19．某校组织了一次环保知识竞赛，九年级每班选相同数量同学参加比赛，成绩记为A、B、C、D四个等级．小明帮助学校老师将901班和902班同学的成绩进行整理并绘制成如下的统计图表，但忘记绘制901班C等级同学成绩，只记得901班B等级人数是902班D等级人数的3倍． (1)求出902班D等级的人数为多少人？ (2)请你算出901班的总人数，并补全条形统计图； (3)若记A、B等级为优秀，请你计算说明哪个班级的成绩更优秀？ 【答案】(1)4人 (2)25人，图见解析 (3)901班更优秀 【分析】（1）根据“901班B等级人数是902班D等级人数的3倍”以及901班B等级人数是12人，可得902班D等级的人数； （2）用902班D级的人数除以相应的百分比得到902班的人数，然后根据两班人数相同即可求得901班的学生数；然后再求出901班C级的学生数，然后再补全条形统计图即可； （3）比较两个班级A、B两个等级的所占百分比的多少即可解答. 【详解】（1）解：人 答：902班D等级的人数为4人. （2）解：∵902班的总人数为 ∴901班的总人数为25人 901班C级学生数有25-6-12-5=2人. 补全条形统计图如下： . （3）解： 901班：6+12=18人；18÷25=72％ 902班：44％+4％=48％ 48％＜72％. 故901班更优秀. 【点睛】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，掌握相关统计图的意义是解答本题的关键. 20．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，作出一个满足条件的格点，使得射线平分； (2)在图中，画一个与面积相等，且以为边的，、均在格点上； (3)在图中，在边上找一点，连接，使面积是面积的倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）以、为边作菱形，连接，由菱形性质即可； （2）在点右侧两个单位格点处取点，在点右侧两个单位格点处取点，由平行四边形的性质即可； （3）在点右侧个单位格点取点，在点左侧个单位格点取点，连接交于点，连接，由相似三角形的性质即可． 【详解】（1）解：如图，在点右侧个单位格点处取点，则点为所求， 由题得， 以、为边作菱形，连接， 由菱形性质可得，平分角． （2）解：由图得，如图， 在点右侧两个单位格点处取点，在点右侧两个单位格点处取点， ，， 四边形为平行四边形， 且， 故四边形为所求． （3）解：如图，在点右侧个单位格点取点，在点左侧个单位格点取点， 连接交于点，连接，则点为所求， ， ， ， ． 【点睛】此题考查全了菱形的性质和判定、平行线边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、利用网格作图等知识与方法，本题的关键是灵活应用以上知识解题，此题综合性强，难度较大． 21．如图，内接于，过点作射线，使得，与的延长线交于点P，D是的中点，与交于点E． (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求证：． 【答案】(1)直线与相切，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）连接并延长，交于点F，连接，结合“直径所对的圆周角为直角”以及“同弧或等弧所对的圆周角相等”可证明，进而可得，即，即可证明结论； （2）首先证明，由相似三角形的性质以及，可得；延长至点H，使，连接，证明，由全等三角形的性质可得，易知，进而可得，结合相似三角形的性质，即可证明结论． 【详解】（1）解：直线与相切． 证明：连接并延长，交于点F，连接，如图， 则为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∵为的直径， ∴直线与相切； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 延长至点H，使，连接，如图， ∵D是的中点 ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．衣物清洗中也有数学问题，假设某堆衣服每次拧后都会残留1斤含有污物的水，那么接下来用20斤清水来漂洗它们时，怎样才能漂得更干净呢？ 如果把拧后的衣服一下子放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次拧后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，但衣服上污物残存量会变为原来的，污物去除量为原来的． 问题一：我们现在来改进上述过程，将20斤水分为2次用，比如第一次用5斤，使污物变为原来的________，再用15斤，污物减少为原来的________，分2次洗，效果好多了． 问题二：将20斤水分为两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请证明你的结论． 问题三：假设每次漂洗所需的时间相等，我们希望单位时间的漂洗效果更好，请问漂洗这堆衣物时，无论所用的总水量为多少，以最优方案分配两次漂洗的用水量，两次漂洗的单位时间污物去除量是否会多于一次漂洗，并证明你的结论． 【答案】问题一：，；问题二：将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明见解析；问题三：漂洗这堆衣物时，无论所用的总水量为多少，以最优方案分配两次漂洗的用水量，两次漂洗的单位时间污物去除量少于一次漂洗．证明见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、分式减法的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 问题一：根据题意可求出第一次用5斤，使污物变为原来的，再用15斤，污物减少为原来的，由此即可得； 问题二：将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明：设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤，从而可求出两次漂洗后，污物减少为原来的，利用二次函数的性质求解即可得； 问题三：漂洗这堆衣物时，无论所用的总水量为多少，以最优方案分配两次漂洗的用水量，两次漂洗的单位时间污物去除量少于一次漂洗．证明：设每次漂洗所需的时间为分钟，所用的总水量为斤，第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤，分别求出一次漂洗的单位时间污物去除量和两次漂洗的单位时间污物去除量，再计算分式的减法，利用二次函数的性质判断差的符号，由此即可得． 【详解】解：问题一：第一次用5斤，使污物变为原来的， 再用15斤，污物减少为原来的， 故答案为：，． 问题二：将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明如下： 设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤， 由题意得：第一次用水斤，使污物变为原来的， 第二次用水斤，污物减少为原来的， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，即的值最小， 所以将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少． 问题三：漂洗这堆衣物时，无论所用的总水量为多少，以最优方案分配两次漂洗的用水量，两次漂洗的单位时间污物去除量少于一次漂洗．证明如下： 设每次漂洗所需的时间为分钟，所用的总水量为斤，第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤， 由题意得：采用一次漂洗时，单位时间污物去除量为原来的， 采用两次漂洗时，第一次用水斤，使污物变为原来的， 第二次用水斤，污物减少为原来的， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，即的值最小，最小值为， 所以采用两次漂洗，以最优方案分配两次漂洗的用水量，两次漂洗的单位时间污物去除量为原来的， ， ∵， ∴，， 令， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大， ∴，即， ∴， 即， 所以漂洗这堆衣物时，无论所用的总水量为多少，以最优方案分配两次漂洗的用水量，两次漂洗的单位时间污物去除量少于一次漂洗． 23．【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是__________． 【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长． 【拓展应用】（3）如图3，矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G，若点G把线段分成的两部分，请直接写出的值．    【答案】（1）（2）5（3）或 【分析】（1）由矩形的性质结合，证明，由相似三角形的性质解求解； （2）过点A，D作的垂线，垂足分别为，证明，解直角三角形，求出，得到，进而得到，设，则 ， 解直角三角形即可求解； （3）分两种情况：或，先画出图形，根据菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1） 四边形是矩形，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点A，D作的垂线，垂足分别为，   ，，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 设，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）分两种情况： ①当时，延长交的延长线于，连接，如图所示：   四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， ， 即， ， ∴， ∴； ②当时，延长、交于点，延长、交于点，如图所示，    ∵E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 设，， 则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负根舍去）， ∴； 综上可得，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形的相似，三角函数是解题的关键． 24．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，若为锐角，且，求点D的横坐标的取值范围； (3)如图2，经过点的一次函数图象与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是4，是定值，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）以点C为顶点在的下方作，交抛物线于点D，过点A作于点A，交的延长线于点E，过点E作于点F，利用特殊角的三角函数值，待定系数法，解方程组解答即可； （3）设经过点的一次函数的解析式为，，，得到，利用根与系数关系定理，公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：如图，以点C为顶点在的下方作，交抛物线于点D，过点A作于点A，交的延长线于点E，过点E作于点F， ∵，令，得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得（舍去），， ∵，且点D是第三象限内抛物线上的点， ∴． （3）解：是定值．理由如下： 设经过点的一次函数的解析式为， ∴， ∴， 故一次函数的解析式为， 设，， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， 同理可证，， ∴ ， ∴，是定值． 【点睛】本题考查了待定系数法，勾股定理，特殊角的三角函数值，根与系数关系定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法，勾股定理，特殊角的三角函数值，根与系数关系定理是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$