6.2.1导数与函数的单调性（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

6.2.1导数与函数的单调性 题型一 不含参函数的单调性与单调区间 1．（24-25高二下·广东河源·阶段练习）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏镇江·期中）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西南宁·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，且在处的切线斜率为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性. 题型二 含参函数的单调性与单调区间 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，函数. (1)设点是函数图象上的任意一点，在点处切线的倾斜角为，求角的取值范围； (2)讨论函数在区间上的单调性. 3．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，求过原点的切线方程； (2)讨论的单调性. 4．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）已知 (1)若 求在处的切线的斜率; (2)讨论的单调性; 5．（2025高二·全国·专题练习）求函数，的单调区间． ． 题型三 已知函数的单调性求参数 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若对任意的正实数，，当时， 恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆城口·阶段练习）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高二下·湖北咸宁·阶段练习）已知函数，若的单调减区间为，则实数 ． 题型四 函数的单调性与图像 1．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上不单调 D．在上单调递增 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）设是函数的导函数，将和的图象两在同一个直角坐标系中，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高二下·江西赣州·期中）已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）下列图象中有一个是函数的导函数的图象，则（    ）    A． B．或 C． D． 5．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） 函数的图象 A． B． C． D． 题型五 利用导数图像解不等式 1．（24-25高二下·北京·阶段练习）设定义在上的函数，导函数分别为， 则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 5．（23-24高二下·天津·期中）已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北·期中）（多选）已知函数的定义域为，其导数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）设，，，比较，，的大小关系并用“”连接起来 4．（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 . 5．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意的，函数单调递减，求实数a的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.1导数与函数的单调性 题型一 不含参函数的单调性与单调区间 1．（24-25高二下·广东河源·阶段练习）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，令，解不等式即可. 【详解】，定义域为，， 令，解得. 故答案为：D 2．（24-25高二下·江苏镇江·期中）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，再利用导数求函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以， 令，即，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 3．（24-25高二下·广西南宁·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，令即可求解. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导后令可得. 【详解】由题意可得， 令， 所以当时，，函数为递减函数， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C 5．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，且在处的切线斜率为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调减 【分析】(1)对原函数求导，根据已知条件代入即可求出的值； (2)分形解，即可得解． 【详解】（1）因为函数，求导得， 在处的切线斜率为，即，， 解得； （2）由(1)可知，求导， 令，解得；令，解得. 函数在上单调递增，在上单调减． 题型二 含参函数的单调性与单调区间 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，解得，由，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，函数. (1)设点是函数图象上的任意一点，在点处切线的倾斜角为，求角的取值范围； (2)讨论函数在区间上的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，先求出，再结合导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系及正切函数的性质求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由， 则，则，即， 所以，则， 又，所以或， 即角的取值范围为. （2）由，，则， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，若，；若，， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减. 3．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，求过原点的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设出切点，求导，写出切线方程，结合切线过原点可求答案； （2）求导，分情况讨论导数的符合，可得函数单调性. 【详解】（1）由题意知，的定义域为，则， 当时，，设切点为，则切线方程为 ，即， 又因为切线过，代入切线方程得， 即，解得，所以切线方程为. （2）， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得， 所以，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，①当时，在上单调递增； ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 4．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）已知 (1)若 求在处的切线的斜率; (2)讨论的单调性; 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率即可. （2）求导，分和讨论，求出单调性即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以所求切线的斜率为. （2）由，，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 5．（2025高二·全国·专题练习）求函数，的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】求导，讨论的取值范围，结合导函数的正负可确定的单调区间. 【详解】由题意得，， 由得，， 当时，由得，或，由得，， ∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 当时，在上恒成立， ∴函数的单调递增区间为，没有单调递减区间． 当时，由得，或，由得，， ∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上得，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 题型三 已知函数的单调性求参数 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】令，由题意可得函数在R上单调递增，由在R上恒成立，可得在R上恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得答案. 【详解】解：因为对任意两个不相等的实数，都有， 即， 令，不妨设， 则有， 所以， 所以在R上单调递增， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 令， 则，令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以. 即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：在解答已知函数的单调性求参数的范围这类题目时，常转化为其导函数的恒正(负)，再参变分离求解即可. 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可. 【详解】因为，函数在区间上是减函数， 所以，恒成立. 所以，恒成立. 设，， 因为对称轴为，所以在为增函数， 所以，所以. 故选：C 3．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若对任意的正实数，，当时， 恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为对任意的正实数，，当时， 恒成立， 令，由在上单调递减求解. 【详解】因为对任意的正实数，，当时， 恒成立， 所以对任意的正实数，，当时， 恒成立， 令，所以在上单调递减， 则，所以在上恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A 4．（24-25高二下·重庆城口·阶段练习）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解；    若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是    故答案为：． 5．（24-25高二下·湖北咸宁·阶段练习）已知函数，若的单调减区间为，则实数 ． 【答案】1 【分析】单调区间的端点值为导数的零点，即可求得； 【详解】函数， 则， 若的单调减区间为， 则的解集为， 所以，则，检验符合， 故答案为：1. 题型四 函数的单调性与图像 1．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上不单调 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】根据导函数的图象判断区间符合，进而得到原函数的区间单调性，判断各项的正误. 【详解】由图，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故A不正确； 当时，，所以在上单调递减，故B正确； 当时，，所以在上单调递增，故C不正确； 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故D不正确． 故选：B 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）设是函数的导函数，将和的图象两在同一个直角坐标系中，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由原函数与导函数的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先负后正，符合要求，故A正确； 对于选项B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于选项C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于选项D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误； 故选：D 3．（20-21高二下·江西赣州·期中）已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导函数的正负及变化规律即可判断. 【详解】由的图象可知，，所以的图象单调递增， 因为的值先增大后减小，所以的切线的斜率先增大后减小，根据图象可判断A正确. 故选：A. 4．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）下列图象中有一个是函数的导函数的图象，则（    ）    A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】求出的导函数发现为开口向上的抛物线，由得到的图象必为第3个图，由图象知解得a的值，即可求出 【详解】解： ∴导函数的图象开口向上. 又的图象必为第3图. 由图象特征知，且对称轴 故 故选：D. 5．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） 函数的图象 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调性，进而确定其图象. 【详解】根据的图象可知：当或时，；当时，. 所以函数在，上单调递减，在上单调递增. 故选：D 题型五 利用导数图像解不等式 1．（24-25高二下·北京·阶段练习）设定义在上的函数，导函数分别为， 则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】依次判断判断充分性和必要性即可得出结果. 【详解】取，此时恒成立， 但是，即不成立，即充分性不成立； 设，则，满足 然而，此时不成立，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． 【详解】由图象知的解集为，的解集为， 或， 所以或，解集即为． 故选：C 3．（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记在上的零点为，结合导函数的图象可求出的单调区间，再根据可求出当时的正负，再结合偶函数的性质可求得不等式的解集. 【详解】记在上的零点为， 由在上的图象，知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为在唯一的零点是1，即， 所以当时，，当时，． 又为偶函数，所以当时，，当时，， 所以的解集为． 故选：B． 4．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式. 【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 . 从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意. 2. 当 时，此时不等式 等价于 . 由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意. 综上，不等式 的解集是 ， 故选：B. 5．（23-24高二下·天津·期中）已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【答案】B 【分析】对函数求导，结合图象判断与的大小关系，从而得出函数的单调性，进而可得出结果. 【详解】由得， 由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 故ACD都错，B正确， 故选：B 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据已知条件构造函数并得出函数为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数的单调性进而可以即可求解. 【详解】设函数，定义域为，则， 因为当时，，所以当时，， ∴在上单调递增， ∵函数是定义在上的奇函数，， ∴， ∴函数是定义域为的偶函数， ∴的单调递减区间为， ∵，∴，， 当时，等价为，即，解得， 当时，等价为，即，解得， 当时，不符合题意， 综上不等式的解集是， 故选：D. 2．（24-25高二下·湖北·期中）（多选）已知函数的定义域为，其导数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在上单调递增，结合各个选项化简即可得出结果． 【详解】设，则， 因为对任意的都有，则恒成立，所以在上单调递增； 因为，所以，则，所以A错误； 因为，所以，则，所以B正确； 因为，所以，则，所以C正确； 因为，所以，则，所以D错误； 故选：BC． 3．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）设，，，比较，，的大小关系并用“”连接起来 【答案】 【分析】构造函数，用导数求函数的单调性，即可求得题目. 【详解】由， 设函数 ，则， 当时，单调递减， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 4．（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 . 【答案】 【分析】设与直线平行的直线与曲线相切于点，由导数的几何意义结合题意求出切点坐标，再由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，且， 则作出和图像如图： 则曲线上任意一点M到直线的最小距离， 即为斜率为3的切线的切点到直线的距离； 设与直线平行的直线与曲线相切于点， 因为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，即切点为， 所以切点到直线的距离为. 故答案为：. 5．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意的，函数单调递减，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导后分情况：，，讨论即可； （2）将问题转化为对恒成立，利用分离参数法与基本不等式即可得解可. 【详解】（1），， ①若，则， ②若，令，得， 当时，，当时，， ③若，则， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递减. （2），则， 因为对任意的，函数单调递减， 所以对恒成立，即对恒成立， 则对恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以， 又，故，即实数a的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$