专题14 二次函数与四边形存在性三种常考模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）

专题14 二次函数与四边形存在性三种常考模型 目录 1 模型1.二次函数中的平行四边形的存在性问题 1 模型2.二次函数中的矩形的存在性问题 10 模型3.二次函数中的菱形的存在性问题 22 30 模型1.二次函数中的平行四边形的存在性问题 顶点确定法 1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点: 如图①,分别过 A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点即为所求动点; (2)两定顶点、两动顶点: ①如图②,若 AB为平行四边形的边,平移 AB,确定另外两点位置: ②)如图③,若 AB 为平行四边形的对角线,取 AB 中点,作过中点的直线确定另外两点的位置. 2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法: 如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到,的规律(点C到点, 同理); (2)平行四边形顶点坐标公式法 设平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为则 1．（2024·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标； (3)已知E，F分别是直线和抛物线上的动点，设点E的横坐标为t，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的所有可能取值． 【答案】(1) (2) (3)，，，， 【知识点】解直角三角形的相关计算、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）求得两点坐标，代入抛物线解析式，获得的值，获得抛物线的解析式； （2）通过平行线分割倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标； （3）分，为对角线；，为对角线；，为对角线；三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得 ， 把代入，得 ，解得， 抛物线得解析式为； （2）解：由（1）得：， 如图，过点作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为G，   轴， ， ， ， 即， ， ， 设D点的坐标为 ，则 ，， ， ∴ 解得（舍去），， 当时，， 点D的坐标为； （3）解：设，， 以，为对角线时， ， 整理得， 解得； 以，为对角线时， ， 整理得， 解得； 以，为对角线时， ， 整理得， 解得； 综上，，，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法，倍角关系和平行四边形点存在类问题，将倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，得到对角线互相平分是（3）问题的解题关键， 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），连接，是抛物线第四象限内一点，直线交于，交轴于点，若，求点坐标； (3)如图（2），经过第四象限的直线交抛物线于点，，交轴于点，作平行四边形，连接，若轴，当点到距离的最大时，求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为 (3) 【知识点】由平行判断成比例的线段、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养． （1）由待定系数法即可求解； （2）作交轴于点，证明，由，得到，则，进而求解； （3）证明四边形为平行四边形，则，得到，进而求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：作交轴于点，则， 又， ， ， 由，得直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式得：， 解得：（舍去）或， 点的坐标为； （3）解：作轴交于点， 由平行四边形可得，， 四边形为平行四边形， ， ， ，即， ， 设直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式得：， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为． 当直线与抛物线只有一个公共点时到的距离最大． 此时，方程有相等的实数根， 整理得：， 则， 解得：． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线 (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（不与直线重合）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或 (3)是定值，定值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意可得点B的坐标为，进而得抛物线的表达式为：，即可求解； （2）设点P的坐标为：，点，分类讨论当或或为对角线三种情况即可求解； （3）设直线的表达式为：，点G、H的坐标分别为，；联立和可得； 由点G、D的坐标得，直线的表达式为：，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线 点B的横坐标为 点B的坐标为， 抛物线的表达式为：， 即 ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得： 设点P的坐标为：，点， 当或为对角线时，由中点坐标公式得 解得（舍去）或2， 则点； 当为对角线时，同理可得： 解得： 则点P的坐标为：或 综上所述，点P的坐标为或或 （3）解：是定值，理由： 直线过点，故设直线的表达式为： 设点G、H的坐标分别为， 联立和并整理得： 则 由点G、D的坐标得，直线的表达式为： 令，则，即点， 则, 同理可得， 则 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数的解析式求解、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与一次函数综合问题等知识点，掌握函数的性质是解题关键． 模型2.二次函数中的矩形的存在性问题 顶点确定法 确定矩形的顶点位置 A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形 (1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作⊥AB,,⊥AB 确定点 C,再利用矩形对边平行的性质确定点 D (2)若 AB为矩形的对角线,如图②,以 AB 为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别作 BC,AC 的平行线确定点 D. 1．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，，或，或或， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为：，求出点，则，求出，作轴交于，设点，则，，表示出，再根据，由二次函数的性质即可得出答案； （3）分三种情况：当四边形为矩形时；当四边形为矩形时；当为对角线时；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，得出， 解得：，， ， ， ， 如图，作轴交于，    设点，则， ， ， ， ， 当时，最大，为； （3）解：， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到， 点由点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到，即； 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到， 点由点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到，即； 当为对角线时，设，， 四边形是矩形， ， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，，或，或或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线交x轴于点D．    (1)若，直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，已知点E在第四象限的抛物线上，在线段OD和直线上是否存在F，G两点，使得C，E，F，G为顶点的四边形是以CF为一边的矩形？若存在，求点F的坐标；若不存在，说明理由； (3)如图2，将抛物线F平移，使其顶点落在轴上的点处，得到抛物线G，直线MN与抛物线G只有一个公共点M，与x轴交于点N，定点Q在y轴正半轴上，且满足，求此时点Q的坐标． 【答案】(1) (2)存在这样的点，点的坐标为或； (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得A、B的坐标，利用，求得，则，据此求解即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况，利用相似三角形的性质和矩形的性质将用表示出来，然后将点代入抛物线的解析式可求出的值，由此即可得出答案； （3）设点，用参数m表示点N坐标，过点M作轴于点H，通过证明，可得，可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：令，则，即， 解得或， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， ，，， 设点的坐标为，点的坐标为， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当以为一边的矩形，是矩形时，    则，， ， ， ， ， ，即， 解得， ， 矩形的对角线互相平分， ，解得， 将点代入得：， 解得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符题意，舍去， 则此时点的坐标为， ②如图，当以为一边的矩形是矩形时，过点作于点，        则， 同理可证：， ，即， 解得， ， ， 矩形的对角线互相平分， ，解得， 将点代入得：， 解得或（不符题意，舍去）， 当时，，符合题意， 则此时点的坐标为， 综上，存在这样的点，点的坐标为或； （3）解：将抛物线F平移，使其顶点落在轴上的点处，得到抛物线G， 则抛物线G的解析式为， 设点，直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立得，整理得， 由题意得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴， 如图，过点M作轴于点H，则，，      ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， ∴点． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、一元二次方程的应用等知识点，利用参数解决问题是本题的关键． 3．（2023·山西晋中·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、，点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H． (1)直接写出A、B、C三点的坐标，并求出直线的表达式； (2)连接、，求面积的最大值； (3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2) (3)存在，Q的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别令，，求出对应的x、y的值，即可求出A、B、C的坐标，然后根据待定系数法求出直线的表达式即可； （2）过点H作轴，交直线于点M，设点H的坐标为，则点M的坐标为，可求，，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）分或两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得 ； （2）解：过点H作轴，交直线于点M， ， 设点H的坐标为， 则点M的坐标为， ， ， 当时，． （3）解：以B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，存在或两种情况，设 （1）当，延长，交轴一点， ， ， ，即为等腰直角三角形，即：， ，则， 为等腰直角三角形，则，则， 设PC解析式为，代入，， 得，解得， ， 令，解得（舍去），， ， ，， ； ②当交x轴于点N， ， ，即为等腰直角三角形，即：， ，则， 为等腰直角三角形，则，则， 同理可得解析式为：， 令，解得（舍去）， ， ， ， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与面积问题、特殊四边形问题等，涉及到的知识有待定系数法，二次函数的性质，矩形的性质等，明确题意，合理分类讨论，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 模型3.二次函数中的菱形的存在性问题 确定菱形的顶点位置 A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形 (1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点 A,C作 BC,AB 的平行线交于点 D;如图②,以点A为圆心,AB 长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D; (2)若 AB 为菱形的对角线,如图③,作 AB 的垂直平分线交直线l于点 C,交 AB 于点 0.再以点0为圆心,以0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D. 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，，，， 【知识点】用勾股定理解三角形、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，而，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 又过， 则， 则． 即， 即； （2）解：如图1，过点作轴于点，交于点，作 于点，连接、， 、， 则，， 由点、的坐标得，直线解析式为， ，， ． ， 又， ． ， 则， 当 时，； （3）解：存在，理由： 设点、点， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：； 当或为对角线，由中点坐标公式和或得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：，或； 综上，或或或． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式；结合对称点解决线段和最小问题；熟悉等腰直角三角形的性质，并应用于点的存在的研究；熟悉菱形的性质，并运用于菱形顶点的存在性研究是解决此题的关键． 2．（2023·广东河源·三模）如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积； (3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到． ①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形； ②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①当点N运动到秒时，四边形NBFG是菱形；②点F的坐标为或． 【知识点】解直角三角形的相关计算、由平行截线求相关线段的长或比值、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法将B、C两点坐标代入抛物线求解即可； （2）当时求得长度，并且利用平行线分线段成比例求得E点横坐标，代入抛物线解析式即可求得E点纵坐标，再根据求解即可； （3）①根据题意可求出，．再根据旋转的性质易证四边形是平行四边形，则四边形是菱形，只需即可，又可求出，，则，解出t的值即可；②当四边形是矩形时，只需．由，得出，利用平行线分线段成比例，求得；将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即，再代入解析式即可求得点F的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象过两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图：    ∵， ∴，， ∴． 当时，． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 在中，令，得：， ∴； ∴； （3）解：①如图：    根据题意得：，． ∵将绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是菱形，只需，即， 此时． 在中，， ∴， 解得：， 答：当点N运动到秒时，四边形是菱形； ②如图：    由①得四边形是平行四边形． 当四边形NBFG是矩形时，只需． ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴当点N运动1秒时，四边形是矩形． ∴， ∴． 将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即． 当时，即， 解得：，， ∴点F的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查求函数解析式，勾股定理，平行线分线段成比例，特殊四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，属于中考压轴题．利用数形结合的思想是解题关键． 一、解答题 1．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过，，． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； (3)M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，求出N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)N点坐标为或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的性质等知识，难度较大，解题关键是综合运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题． （1）利用待定系数法解二次函数解析式即可； （2）利用待定系数法解得直线的函数解析式为，过P点作轴交于点Q，设，则，可得，利用二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线，分别作出图形求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 过P点作轴交于点Q， 设，则， ， ， 当时，的面积最大，此时； （3）设，， 当为平行四边形的对角线时，，， 解得，（舍）或，， ； 当为平行四边形的对角线时，，， 解得，或，， 或； 当为平行四边形的对角线时，，， 解得，（舍）或，， ； 综上所述：N点坐标为或或或． 2．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________； (3)当是菱形时，求的值． (4)当为何值时，的面积有最大值？ 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，平行四边形的面积有最大值 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线与轴交于点得抛物线的解析式为，即可得； （2）抛物线的解析式为，令，则，则，根据有两个顶点在轴上时得点D在x轴上，根据四边形是平行四边形得，可得点P和点C为抛物线上的对称点，根据抛物线的对称轴为，，即可得； （3）设点P的坐标为，根据，，得，，根据是菱形得，可得，计算得，根据得，计算得，，根据点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合）得，即可得； （4）过点P作轴交直线于点E，设直线的解析式为，将，代入得，解得，，可得直线的解析式为，设，则，可得，根据三角形面积计算公式得，根据和二次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 即， （2）解：∵抛物线的解析式为，令，则， ∴， ∵有两个顶点在轴上时， ∴点D在x轴上， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点P和点C为抛物线上的对称点， ∵抛物线的对称轴为，， ∴， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵是菱形， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ， 即，， ∵点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合）， ∴， ∴； （4）解：如图所示，过点P作轴交直线于点E， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵ ， ∴当时，平行四边形的面积有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是掌握二次函数的性质，菱形的性质，平行四边形的性质． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，如果，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与线段及特殊四边形的综合问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据抛物线与轴的交点，利用交点式即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，表示出即可求解； （3）分类讨论为平行四边形的对角线时为平行四边形的对角线时为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的解析式为： （2）解：如图所示：    令，可得， ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴ 解得： ∴点的坐标为或 （3）解：由两点可得抛物线的对称轴为：直线， 设 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 综上所述，点的坐标为 4．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）已知抛物线过点和，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为，在直线上方抛物线上有一点（与不重合），面积与面积相等，求点的坐标； (3)若点为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将和代入抛物线得到，求出的值即可； （2）先求出和的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线交于，过点作轴的平行线交于，从而可得出的坐标，进而得出，设，则，表示出，再根据面积与面积相等可得，解方程即可得出的值，从而得解； （3）设，，由的坐标可得，由菱形的性质结合的坐标可得点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，，或点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，，从而得到或，进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线过点和， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， ，对称轴为直线， 抛物线与轴交于另一点， ， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴的平行线交于，过点作轴的平行线交于， 在中，当时，， ， ， 设，则， ， 面积与面积相等， ， 解得：或， 在直线上方抛物线上有一点（与不重合）， ， ， ； （3）解：存在， 设，， ，， ， 以、、、为顶点的四边形是菱形，点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，，或点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，， 或， 解得：或， 点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合—面积问题、菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质、菱形的性质，采用数形结合的思想与分类讨论的思想是解此题的关键． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：抛物线分别交轴于、两点，交轴于点． (1)若顶点的横坐标为． ①求抛物线的解析式； ②如图①，直线分别与轴，轴交于、两点，将直线沿轴正方向平移个单位得直线，直线和抛物线相交于点、，是否存在，使四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图②，若直线平行于交抛物线于点、，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值． 【答案】(1)①；②存在，使四边形为平行四边形； (2)． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）①根据顶点D的横坐标求出a的即可； ②求出直线的解析式为，联立，整理得：，其两根为，，由根与系数关系得：，，又由平行四边形的性质得可知，即可解得； （2）设点、的横坐标为、，，求出，，求出直线的解析式，直线的解析式为，联立抛物线， ，由根与系数的关系得①，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组，整理得，即，结合点在定直线上运动即可求出的值． 【详解】（1）解：①∵抛物线的解析式为顶点D的横坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； ②存在，使四边形为平行四边形，理由如下： 当时，，当时，， ，， 将直线沿轴正方向平移个单位得直线， 直线的解析式为， 联立，整理得：，其两根为，， 由根与系数关系得：，， 四边形为平行四边形， 、为平行四边形的对角线， ，即， ， 解得； （2）解：设点、的横坐标为、， ， 令，则， 解得或， ，， 设直线的解析式为， ，解得， ， ， 设的解析式为，联立抛物线， 由根与系数的关系得①， 设直线的解析式为，代入、两点坐标得， 设直线的解析式为，代入、两点坐标得， 联立方程组，整理得， 即 因为点在定直线上运动， ② 联立①②，得． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，图形平移的性质，用待定系数法求解析式，准确计算是解题是关键． 6．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式； (2)若点P是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及点P的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内任意两点，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，求m的取值花围． 【答案】(1)，，， (2)， (3)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点解法，待定系数法依次解答即可； (2) 过点P作轴交直线于点D，结合抛物线，直线解析式，设，则，则， 计算，利用二次函数的最值解答即可． (3) 当点P、M重合时，则，确定，①当点M在点P的下方时和②当点M在点P的上方时，两种情况解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴，， ∵B、C在上， ∴， 解得， ∴， 当时， 解得，， ∴． （2）解：过点P作轴交直线于点D， 设点，则， 则， ∴， ∵， ∴开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∴． （3）解：当点P、M重合时，则， ∴， ①当点M在点P的下方时，即， 由题意得：， 当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则，这之前矩形内没有函数y的图象， 当时，形区域内的函数y随x的增大而减小，即． ②当点M在点P的上方时，即或， 当点Q在对称轴左侧时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而增大， 当点P离开顶点时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而减小， 即， 综上，或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的增减性，最值，矩形的性质，求不等式的解集，熟练掌握矩形的性质，抛物线的性质计算是解题的关键． 7．（24-25九年级上·湖北鄂州·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点，的抛物线（a，b为常数）与y轴交于点C，顶点为点D．点P为点B右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使得取得最小值，求E点坐标； (3)若点M坐标为，连结，取线段的中点Q，将点Q绕点A顺时针方向旋转得到点N，连结，以，为邻边构造矩形． ①设的长为l，求l关于m的函数解析式； ②请直接写出当点P在矩形外部时，m的取值范围． 【答案】(1) (2)E点坐标为 (3)；或或． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）确定点A、点B关于对称轴对称，连接点B与点C，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可． （3） ①根据点M坐标为，点，线段的中点Q，得到，当即时，点在点A的右侧，此时；当即时，点在点A的左侧侧，此时，解答即可； ②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：把，点分别代入抛物线， 得， ∴， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴A、B两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：①∵点坐标为，点， ∴线段的中点的横坐标为， ∴， 如图所示，点在点右边， ∴，即时，点在点A的右侧， 此时； 如图所示，点在点左边， ∴，即时，点在点A的左侧， 此时． 综上所述，l关于m的函数解析式为； ②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为， 点坐标为，点是线段的中点，且， 第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部， ∴在点中，，则，在点中，， ∴此种情况不存在； 第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，， ∴，即， ∴，， ∴， 解得，或， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部， ∴； 第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点在矩形外部时，或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，矩形的性质，解方程组与解不等式，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象与性质是解题的关键． 8．（19-20九年级上·山东济宁·期末）如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，点M的坐标为或或． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，菱形的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法，将点和点代入抛物线解析式，求出、的值，即可求解； （2）①先确定直线解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线于点D，可用含m的式子表示出P和D的坐标，即可求解； ②用含m的代数式表示出的面积，得到S关于m的二次函数，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴，进而得到点的坐标，过点作轴于点， 得到，，根据菱形的性质，分两种情况讨论：①当为菱形的对角线时，；②当为菱形的边时，，即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图： ①在抛物线中，令，则，即， 设直线的解析式为，将将点、代入得： ，解得：， 直线的解析式为：， 设，则， 故用含m的代数式表示线段的长为； ②， 点是直线下方的抛物线上一动点， ， 当时，S有最大值，此时， ， 故的面积最大时点P的坐标为； （3）解：存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， 过点作轴于点，则，， ， ， 以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，此时点与点重合，， ； ②当为菱形的边时，此时， ，， 故使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二次函数与四边形存在性三种常考模型 目录 1 模型1.二次函数中的平行四边形的存在性问题 1 模型2.二次函数中的矩形的存在性问题 10 模型3.二次函数中的菱形的存在性问题 22 30 模型1.二次函数中的平行四边形的存在性问题 顶点确定法 1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点: 如图①,分别过 A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点即为所求动点; (2)两定顶点、两动顶点: ①如图②,若 AB为平行四边形的边,平移 AB,确定另外两点位置: ②)如图③,若 AB 为平行四边形的对角线,取 AB 中点,作过中点的直线确定另外两点的位置. 2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法: 如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到,的规律(点C到点, 同理); (2)平行四边形顶点坐标公式法 设平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为则 1．（2024·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标； (3)已知E，F分别是直线和抛物线上的动点，设点E的横坐标为t，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的所有可能取值． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），连接，是抛物线第四象限内一点，直线交于，交轴于点，若，求点坐标； (3)如图（2），经过第四象限的直线交抛物线于点，，交轴于点，作平行四边形，连接，若轴，当点到距离的最大时，求的值． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线 (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（不与直线重合）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 模型2.二次函数中的矩形的存在性问题 顶点确定法 确定矩形的顶点位置 A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形 (1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作⊥AB,,⊥AB 确定点 C,再利用矩形对边平行的性质确定点 D (2)若 AB为矩形的对角线,如图②,以 AB 为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别作 BC,AC 的平行线确定点 D. 1．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线交x轴于点D．    (1)若，直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，已知点E在第四象限的抛物线上，在线段OD和直线上是否存在F，G两点，使得C，E，F，G为顶点的四边形是以CF为一边的矩形？若存在，求点F的坐标；若不存在，说明理由； (3)如图2，将抛物线F平移，使其顶点落在轴上的点处，得到抛物线G，直线MN与抛物线G只有一个公共点M，与x轴交于点N，定点Q在y轴正半轴上，且满足，求此时点Q的坐标． 3．（2023·山西晋中·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、，点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H． (1)直接写出A、B、C三点的坐标，并求出直线的表达式； (2)连接、，求面积的最大值； (3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 模型3.二次函数中的菱形的存在性问题 确定菱形的顶点位置 A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形 (1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点 A,C作 BC,AB 的平行线交于点 D;如图②,以点A为圆心,AB 长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D; (2)若 AB 为菱形的对角线,如图③,作 AB 的垂直平分线交直线l于点 C,交 AB 于点 0.再以点0为圆心,以0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D. 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 2．（2023·广东河源·三模）如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积； (3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到． ①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形； ②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标． 一、解答题 1．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过，，． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； (3)M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，求出N的坐标． 2．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________； (3)当是菱形时，求的值． (4)当为何值时，的面积有最大值？ 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，如果，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 4．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）已知抛物线过点和，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为，在直线上方抛物线上有一点（与不重合），面积与面积相等，求点的坐标； (3)若点为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：抛物线分别交轴于、两点，交轴于点． (1)若顶点的横坐标为． ①求抛物线的解析式； ②如图①，直线分别与轴，轴交于、两点，将直线沿轴正方向平移个单位得直线，直线和抛物线相交于点、，是否存在，使四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图②，若直线平行于交抛物线于点、，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值． 6．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式； (2)若点P是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及点P的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内任意两点，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，求m的取值花围． 7．（24-25九年级上·湖北鄂州·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点，的抛物线（a，b为常数）与y轴交于点C，顶点为点D．点P为点B右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使得取得最小值，求E点坐标； (3)若点M坐标为，连结，取线段的中点Q，将点Q绕点A顺时针方向旋转得到点N，连结，以，为邻边构造矩形． ①设的长为l，求l关于m的函数解析式； ②请直接写出当点P在矩形外部时，m的取值范围． ∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． ∴，即， ∴，， ∴， 解得，或， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部， ∴； 第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点在矩形外部时，或或． 8．（19-20九年级上·山东济宁·期末）如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$