专题13 二次函数与三角形、相似三角形存在性三种常考模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）

专题13 二次函数与三角形、相似三角形存在性三种常考模型 目录 1 模型一：等腰三角形的存在性问题 1 模型二：直角三角形的存在性问题 9 模型三：相似三角形的存在性问题 19 32 模型一：等腰三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法 已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形 （1）如图①,若AB 为腰,分别以点 A,B为圆心,以 AB 长为半径画圆,与直线l的交点即为所求; （2）如图②,若 AB 为底,作线段 A8 的垂直平分线与直线l的交点、即为所求 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出线段 AB,BP,AP长度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标: (2)几何法 作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系 1．（23-24九年级上·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案； （2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可； 本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握等腰三角形的判定、分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，两点在抛物线上， ∴ 解得，， ∴抛物线的解析式为：， （2）解：令， ∴， 由为等腰三角形，如图甲，    当以点为顶点时，，点与原点重合， ∴， 当以点为顶点时，，是等腰中线， ∴， ∴， 当以点为顶点时， ∴点D的纵坐标为或， ∴综上所述，点D的坐标为或或或． 2．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、已知正切值求边长、等腰三角形的性质和判定、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式，令，求出点，根据，建立方程求解即可； （3）设点，由易证是等腰直角三角形，得到，分和两种情况讨论，利用正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵物线的对称轴为直线，且经过点和，则B点坐标为， 则抛物线 将代入上式中， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）设点M的坐标为，直线的解析式为 ∵代入上式得： 再将点代入上式得： ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 令 解得：， ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ 则 解得 ∴P的坐标为或； （3）设点， ∵ ∴ ∴ ∴使得中有一个角是的2倍 则为直角三角形 当时，如图，过点Q作轴于点D， ∵ ∴ ∴ ∵，，，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴； 当时，如图，过点Q作轴于点F， 同理： ∵，， ∴， ∴，则， ∴； 当时，该情况不存在 ∴Q点的坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及等腰三角形的判定、二次函数的最值，解直角三角形等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强． 3．（2023·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与直线相交于，两点，与轴交于点． (1)则抛物线的解析式为______； (2)如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，连接，，设点P的横坐标为m， ①当时，求点坐标； ②当点在抛物线上运动的过程中，存在点使得以点，，为顶点的等腰三角形，请求出此时的值． 【答案】(1) (2)①点坐标为或；②存在，的值为或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式： （2）①可得出点坐标，则可表示出、的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于点坐标的方程，则可求得点坐标； ②由，，三点坐标可表示出，和的长，由等腰三角形的性质可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：把，，，代入抛物线解析式得： ，解得 ， ∴抛物线解析式为； （2）①∵点的横坐标为， ∴，则，， 则，， ∵， ∴， 当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去， ∴； 当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去， ∴； 综上可知P点坐标为或； ②∵，，，， ∴， ， ， 当为等腰三角形时，则有、或三种情况， 当时，则， 解得； 当时，则，解得或； 当时，则， 解得或（舍去）： 综上可知，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，此时m的值为或或或． 【点睛】本题为二次函数的综合题，考查了待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识，合理分类讨论是解题的关键． 模型二：直角三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形 (1) 如图①,分别过线段端点A,B作 AB 的垂线,与直线l的交点即为所求; (2)如图②,以 AB 为直径画圆,与直线l的交点 即为所求. 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法 分别表示出点 A,B,P的坐标,再表示出 AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²; ②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可; (2)几何法 过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”模型 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线的函数关系式为：或． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，据此即可求解； （3）设点的坐标为，求得，，，分点在轴上方和点在轴下方，利用勾股定理列式，求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）解：假设存在，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． 2．（2023·广东阳江·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．    (1)填空：_________，_________，_________； (2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值． 【答案】(1)，，3； (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解； （2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解； （3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴，（舍）， ∴． ∵在直线上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． 故答案为：，，3； （2）如图，作轴于点，    对于，令x=0，则y=-6， ∴点，即， ∵， ∴， ∵点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（舍），， ∴， ∴点． （3）如图，作轴交于点，过点作轴于点，    ∵， ∴点， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题． 3．（2023·湖北十堰·一模）已知抛物线与轴交于和两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与轴右侧的抛物线交于，两点，若，求直线的解析式； (3)设点是抛物线上任一点，点在轴上，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，点的坐标为，，， 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）运用三角形相似的判定和性质，结合根与系数关系定理计算即可． （3）设，，又，过点作轴于点，作轴于点，运用分类思想计算即可． 【详解】（1）．抛物线与轴交于和两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为 （2）设直线的解析式为，点，的横坐标分别为，， 由， 得， ，， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图，    则，，， ， ， ， ， ， ， 只取正值， ， ， 直线的解析式为． （3）设，，又， 如图，过点作轴于点，作轴于点， 则，，， ，，，， 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ，，    ， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， ，， ， 解得：或， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，符合条件的点的坐标为，，， 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，理解坐标与图形性质，学会运用方程思想解决数学问题是解题的关键． 模型三：相似三角形的存在性问题 相似三角形问题的解题步骤 第一步：找关键点 根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：找等角 找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角 第三步：求点坐标 根据相似三角形对应边成比例列关系式 1．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线：；直线： (2)或或 (3)，或，或，或， 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式． （2）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解； （3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 抛物线的表达式为， 将点代入上式，得， ． 抛物线的表达式为，即． 设直线的表达式为， 将点，代入上式， 得， 解得． 直线的表达式为． （2）解：点在直线上，且， 点的坐标为． ，，． 当为等腰三角形时， ①若，则， 即， 解得． ②若，则， 即， 解得或（舍去）． ③若，则， 即， 解得（舍去）或． 综上，或或． （3）解：点与点相对应， 或． ①若点在点左侧， 则，，． 当，即时，如图所示： 则：直线的表达式为， ， 解得：或（舍去）． ，即， ，即， 解得． ，； 当，即时，过点P作轴，如图所示： 则， ∴，， ∵， ，即， 解得：或（舍去）， 经检验是原方程的解， 此时点，， ∴； ②若点在点右侧，则，， 当，即时，如图所示： 此时直线的表达式为， ， 解得或（舍去）， ， ∵， ，即， 解得：． ，． 当，即时，如图所示： ，， ∵， ，即， 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解， ，, ∴． 综上，，或，或，或，． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2023·湖北黄冈·二模）已知抛物线交x轴于、，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点P是第四象限内抛物线上的一点，交y轴于点D，连接，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，连接（如图②），在线段上是否存在点Q，使与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)在（2）的条件下，如图②，在y轴上有一点R，当时，请直接写出点R的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、三线合一、一次函数与几何综合 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出的长，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立求解即可得； （3）先利用两点之间的距离公式求出，利用待定系数法可得直线的解析式为，从而可设点的坐标为，可得的长，再分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （4）分两种情况：①点在轴正半轴上和②点在轴负半轴上，利用等腰三角形的三线合一、一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：、， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点）， 所以点的坐标为． （3）解：， ，，， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ①当时， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 所以此时点的坐标为； ②当时， ，即， 整理得：，此方程没有实数根， 综上，在线段上存在点，使与相似，此时点的坐标为． （4）解：①如图，当点在轴正半轴上时，    ， ， 又， ， ； ②如图，当点在轴负半轴上时， 设与直线交于点，延长与直线交于点，    设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， ， ，， ， 又，即， ，即点是的中点， 设点的坐标为， ，解得， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰三角形的三线合一等知识点，较难的是题（4），正确分两种情况讨论是解题关键． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，点T是上一动点，过点T的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N．当是定值16时，判断点T是否是定点？若是，求点T的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点或 (3)为定点 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）分为①若时，和时，根据相似三角形的性质可解； （3）设点的坐标分别为：， 求出直线的解析式，和直线的解析式，直线的解析式，从而表示出 ，，根据即可得出，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，函数经过两点， 故抛物线的表达式为：， 即，， 则抛物线的表达式为：； （2）令得， 即点， ∴把坐标代入中得直线解析式是、且， ∵， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得， 解得， ∴点， ∴， 若时，， ∴，即点， 若时，， ∴， 即点， 综上，点或． （3）是定点，理由如下： 由题意，的坐标为， 设点的坐标分别为：(假设点在点左侧)， ∴把的坐标代入中得， 直线的解析式为：， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴， 则， 同理可得，， ∴， ∴， 即， ∴直线的解析式为：与无关， ∴， 即为定点． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、根和系数的关系等，有一定的综合性，难度适中． 一、解答题 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点，过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E坐标 (3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点E的坐标为 (3)点N的坐标为或． 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式、相似三角形的性质等知识点，根据条件列函数或方程是解题的关键． （1）将点代，求出b，c，即可得到抛物线的解析式，然后再化成顶点式即可； （2）在抛物线上取点E，连接，过E作x轴的垂线交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数解析式，然后根据函数的性质即可解答； （3）根据B，C，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类边对应成比例列式解方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得： ，解得：， ∴， ∴． （2）解：如图1：在抛物线上取点E，连接，过E作x轴的垂线交直线于点F， 设点，则点E的坐标为 ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为． （3）解：存在以B，P，N为顶点的三角形与相似， 如图2：连接， 设， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①当时，， ∴，解得，所以点N的坐标为； ②当时，， ∴，解得，所以点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 2．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使绕点P顺时针旋转后，点C的对应E点恰好落在抛物线上，求点P坐标； (3)y轴上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，直接写出所有M点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、根据旋转的性质求解、已知两点坐标求两点距离、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把、代入利用待定系数法求解解析式，再化为顶点式可得顶点坐标； （2）如图，过作对称轴交对称轴于，求解，可得此时，如图，过作对称轴，交抛物线于，交对称轴于，，结合，，，从而可得答案； （3）设，求解，，，分三种情况：当时，当时，当时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点． （2）解：如图，过作对称轴交对称轴于， ∵， 当时，则， ∴， ∴， ∵顶点， ∴， ∴此时重合， ∴符合题意； 此时， 如图，过作对称轴，交抛物线于，交对称轴于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：当绕点P顺时针旋转后，点C的对应E点恰好落在抛物线上，点P坐标为或． （3）解：∵，，设， ∴，，， ∵为等腰三角形， 当时， ∴， ∴， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：当为等腰三角形时，或或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，二次函数与等腰三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若是等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)8； (3)，   ， ， 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，求出a、c的值，即可得出结果； （2）设直线的解析式为，根据点，的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交于点H，求出，根据，即可； （3）先求出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵直线经过， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，如图所示： 设， ∴， ∴， ∵面积， ∴， ∴当时，面积最大值为8， 此时． （3）解：抛物线整理得：， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∴，，， 当时，则， 解得：，， ∴此时点Q的坐标为：，   ； 当时，则， 解得：， ∴点的坐标为：； 当时，， 解得：，， 当时，P、Q重合，不符合题意舍去， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点的坐标为：，   ， ，． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 4．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？点与点不重合．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴l上一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)，或 (3)点Q的坐标为或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解； （3）过点作交于点，当点与点重合时，是直角三角形，当时，是直角三角形；设交直线于点，则，利用勾股定理得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则；设，则，利用勾股定理得到，解方程即可；由（2）可得时， 当点Q与点M重合时，是直角三角形，据此可得答案． 【详解】（1）解：将点，代入，得 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 当时，则，解得： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴到的距离等于到的距离， 设直线的解析式为， ∴ 解得：， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，    设的解析式为，将点代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或 ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形，且， 如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则符合题意的点在直线上， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立 解得：或 ∴或 综上所述，或或； （3）解：如图所示，过点作交于点， 当点与点重合时，是直角三角形， 当时，是直角三角形，      设交直线于点， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或； 由（2）可得时，    ∴当点Q与点M重合时，是直角三角形， 综上所述，当是直角三角形时，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用，一次函数与几何综合，勾股定理，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想是解题的关键． 5．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点D为抛物线在第四象限内的一点，连接，直线交于点E． (1)求抛物线的函数表达式和点B的坐标，并直接写出的函数表达式； (2)过直线E作轴于点H，以为对角线作正方形，当顶点G恰好落在抛物线上时，请求出点G的坐标； (3)连接，令抛物线L沿射线平移个单位长度，得到抛物线，若抛物线L、的交点与点C、E构成的三角形是等腰三角形，直接写出的长． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点、点代入解析式即可求出抛物线的表达式，令，可求的坐标，待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）①当在的左侧时，连接，过作轴交于，设，由正方形的性质得 ，，，代入抛物线解析式可求出，即可求解；②当在的右时，即可求解； （3）由勾股定理得，由抛物线L沿射线平移个单位长度得抛物线L向左平移单位长度，向上平移个单位，由平移的规律求出，可求出与的交点为，①当时，过作交于，由勾股定理得 ，即可求解； ②当时， ③当时，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的函数表达式， 当时， ， 解得：，， ， 设直线的函数表达式为，则有 ， 解得， 直线的函数表达式为， 故抛物线的函数表达式，，直线的函数表达式为； （2）解；①当在的左侧时，如图， 连接，过作轴交于， 设， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，， ， ， ， ， ； ②当在的右时， ， ， ， 与重合，矛盾， 故此种情况不存在； 综上所述：的坐标为； （3）解：，， ，， ， 抛物线L沿射线平移个单位长度， 抛物线L向左平移单位长度，向上平移个单位， ： ， ， 解得：， 与的交点为，如图， ①当时，如图， 过作交于， ， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， ， 解得：， ， ； ②当时，如图， ； ③当时，如图， ， ， ， ， 故此种情况不存在； 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了二次函数与特殊四边形综合，二次函数与特殊三角形综合，待定系数法等；能根据正方形顶点的不同位置及等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． 6．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数及直线的表达式； (2)过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为 (2) (3)存在，点的坐标为或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、等腰三角形的定义、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）设，可得，即得，再根据二次函数的性质解答即可； （）分四种情况：①点在轴上方，点在对称轴右侧；②点在轴下方，点在对称轴右侧，分别画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：设， ∵轴交直线于点， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：存在． ①当点在轴上方，点在对称轴右侧时，如图， 设对称轴与轴交于点，过点作于点， ∵为等腰直角三角形，且为直角， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 设点坐标为，则， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， 点坐标为； ②当点在轴下方，点在对称轴右侧时，如图， 同理可得，点坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 7．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上（点不与点，重合）运动时，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②若为等腰直角三角形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线上第一象限内一点，连接，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或3 (3) 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将、的坐标代入解析式，即可求解； （2）①由待定系数法得直线的解析式为，可求，，即可求解； ②分类讨论：当时， 当时，即可求解； （3）过作交于，过作轴交于，由可判定，由全等三角形的性质可求得，待定系数法求出直线的解析式，联立一次函数与二次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：①当时， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ②，， ， ， 轴， 轴， ， 当时，如图， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，（舍去）， ； 当时， 为等腰直角三角形， ， ， 同理可求：， ， ， 解得：，（舍去）， 综上所述：或3； （3）解：过作交于，过作轴交于，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立得， 解得：或（舍去） ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，等腰三角形是判定，全等三角形的判定及性质等，能构建全等三角形及根据直角不同进行分类讨论是解题的关键． 8．（2024·湖北十堰·模拟预测）抛物线交轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值； (3)如图（2），将抛物线在上方的图象沿折叠后与y轴交于点G，求点G的坐标． 【答案】(1)，， (2)2或 (3) 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标、求一次函数解析式、坐标与图形 【分析】（1）分别令、解方程即可求解； （2）分两种情况：若时，根据坐标与图形得和C的纵坐标相等，进而列方程求解即可；若时，过作轴于T，证明，根据相似三角形的性质和坐标与图形性质列方程求解即可； （3）先求得直线的表达式，设，，证明，得到，，解得，即H的横坐标为，进而求得点H的坐标为，利用对称性质和中点坐标公式求得，代入抛物线解析式中求解m值即可上． 【详解】（1）解：当时，由得，， 当时，， ∴，，； （2）解：如图，根据题意，设， 若时，则， ∴，解得或（舍去）； 若时，则，过作轴于T， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，，又，， ∴，解得或（舍去）， 综上，满足题意的t值为2或； （3）解：设直线的表达式为， 将，代入得，解得， ∴直线的表达式为， 作G关于直线的对称点，连接交于H，过H作轴于T， 设，， ∴，又， ∴，， ∴，，又， ∴，， 解得，即H的横坐标为， 将代入得， ∴点H的坐标为， ∵G关于直线的对称点为， ∴，则， ∴， ∵在抛物线上， ∴，整理得， 解得或， 由题意，点G在C的下方， ∴，则． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数图象与坐标轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、对称性质、解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关联知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 9．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求面积的最大值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点的坐标为或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合，本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题， （1）先根据二次函数的性质求得，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由题意，，求得，由，结合二次函数的性质求解即可； （3）分，两种情况，利用相似三角形的判定与性质和坐标与图形性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线 则 将点，代入 解得 抛物线的解析式为 设直线的解析式为 将点，代入 解得 直线的函数解析式为 （2）点M的坐标为，轴， ，， ， ， 当点P在射线上或在射线上，没有最大值， 点P在线段上， 当时有最大值 （3）存在这样的点P，使，理由如下： ， 与相似时由两种情况： ①当时，， 过点N作轴交于点E， ， ， ， ，又， ， ，，，，， ，经检验，是分式方程的根， 点的坐标为 ②当时，， 则轴， 点纵坐标为， ， 或（舍去） 点的坐标为 综上所述：点的坐标为或 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，分类讨论和添加辅助线构造相似三角形求解是解答的关键．属于中考中的压轴题。 10．（2023·湖北随州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像经过点和点．    (1)求点坐标及二次函数的表达式； (2)如图，平移线段，点的对应点落在二次函数在第四象限的图像上，点的对应点落在直线上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标； (3)如图，在（2）的条件下，连接，交轴于点，点为直线上方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，连接，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)四边形是平行四边形， (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、判断能否构成平行四边形、解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）依据一次函数与坐标轴交点特征可求点、点坐标，将，点坐标代入抛物线可求二次函数表达式； （2）由平移性质可知，且，故四边形是平行四边形，由平行四边形顶点坐标的相对位置关系，可以设点坐标并表示点坐标，将点坐标代入所在直线解析式建立方程即可求解，即可获得答案； （3）依题意，，要使得两三角形相似，只需再找另一组角相等．可找或，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，对于一次函数， 令，得， ∴， 令，得， ∴， 将，代入抛物线解析式， 得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）根据题意，由平移的性质可得且， ∴四边形是平行四边形， 设点， 则点， 将点代入得， 整理，可得， 解得（舍去），， ∴； （3）存在． 根据题意，轴，则， ∴或时，以、、为顶点的三角形与相似； 当， ∵轴， ∴轴， 则点与点关于抛物线对称， ∵， ∴该抛物线的对称轴为， 由二次函数图像的轴对称性得， 又∵，如图1，作轴于点，则，，    ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 当时， 如图2，作于点，则，    即， 又∵， ∴， ∴， 即， 设点， 则点， ∴，， ∴， 解得， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上，存在这样的点使得以、、为顶点的三角形与相似， 此时或． 【点睛】本题二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的综合、平移的性质、相似三角形的判定、解直角三角形等知识，综合性较强，正确作出辅助线是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 二次函数与三角形、相似三角形存在性三种常考模型 目录 1 模型一：等腰三角形的存在性问题 1 模型二：直角三角形的存在性问题 9 模型三：相似三角形的存在性问题 19 32 模型一：等腰三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法 已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形 （1）如图①,若AB 为腰,分别以点 A,B为圆心,以 AB 长为半径画圆,与直线l的交点即为所求; （2）如图②,若 AB 为底,作线段 A8 的垂直平分线与直线l的交点、即为所求 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出线段 AB,BP,AP长度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标: (2)几何法 作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系 1．（23-24九年级上·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 2．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2023·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与直线相交于，两点，与轴交于点． (1)则抛物线的解析式为______； (2)如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，连接，，设点P的横坐标为m， ①当时，求点坐标； ②当点在抛物线上运动的过程中，存在点使得以点，，为顶点的等腰三角形，请求出此时的值． 模型二：直角三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形 (1) 如图①,分别过线段端点A,B作 AB 的垂线,与直线l的交点即为所求; (2)如图②,以 AB 为直径画圆,与直线l的交点 即为所求. 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法 分别表示出点 A,B,P的坐标,再表示出 AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²; ②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可; (2)几何法 过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”模型 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 2．（2023·广东阳江·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．    (1)填空：_________，_________，_________； (2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值． 3．（2023·湖北十堰·一模）已知抛物线与轴交于和两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与轴右侧的抛物线交于，两点，若，求直线的解析式； (3)设点是抛物线上任一点，点在轴上，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由． 模型三：相似三角形的存在性问题 相似三角形问题的解题步骤 第一步：找关键点 根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：找等角 找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角 第三步：求点坐标 根据相似三角形对应边成比例列关系式 1．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·湖北黄冈·二模）已知抛物线交x轴于、，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点P是第四象限内抛物线上的一点，交y轴于点D，连接，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，连接（如图②），在线段上是否存在点Q，使与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)在（2）的条件下，如图②，在y轴上有一点R，当时，请直接写出点R的坐标． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，点T是上一动点，过点T的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N．当是定值16时，判断点T是否是定点？若是，求点T的坐标；若不是，请说明理由． 一、解答题 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点，过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E坐标 (3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 2．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使绕点P顺时针旋转后，点C的对应E点恰好落在抛物线上，求点P坐标； (3)y轴上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，直接写出所有M点的坐标，若不存在请说明理由． 3．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若是等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 4．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？点与点不重合．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴l上一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 5．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点D为抛物线在第四象限内的一点，连接，直线交于点E． (1)求抛物线的函数表达式和点B的坐标，并直接写出的函数表达式； (2)过直线E作轴于点H，以为对角线作正方形，当顶点G恰好落在抛物线上时，请求出点G的坐标； (3)连接，令抛物线L沿射线平移个单位长度，得到抛物线，若抛物线L、的交点与点C、E构成的三角形是等腰三角形，直接写出的长． 6．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数及直线的表达式； (2)过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上（点不与点，重合）运动时，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②若为等腰直角三角形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线上第一象限内一点，连接，若，请直接写出点的坐标． 8．（2024·湖北十堰·模拟预测）抛物线交轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值； (3)如图（2），将抛物线在上方的图象沿折叠后与y轴交于点G，求点G的坐标． 9．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求面积的最大值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 10．（2023·湖北随州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像经过点和点．    (1)求点坐标及二次函数的表达式； (2)如图，平移线段，点的对应点落在二次函数在第四象限的图像上，点的对应点落在直线上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标； (3)如图，在（2）的条件下，连接，交轴于点，点为直线上方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，连接，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$