专题12 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）

专题12 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型 目录 1 模型一：二次函数与线段问题 1 模型二：二次函数与面积问题 12 模型三：二次函数与角度问题 21 33 模型一：二次函数与线段问题 一、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 二、抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 1．（2024·湖北·一模）如图1，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为M． (1)直接写出b，c的值； (2)若，求k的值； (3)若D为上的点，F为上的点，，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，连接，，如图2，当取得最小值时，求点F的坐标． 2．（2025·湖北·一模）如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l． ①请直接写出l关于t的函数关系式； ②求l的最值； (3)将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点G在内（不含边界），直接写出m的取值范围． 3．（2025·湖北十堰·模拟预测）抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边）交y轴于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当时，求点P的坐标； (3)如图2，点N是经过点B的直线上一点，直线轴，交直线BC于点M，过点P作直线轴，交直线BC于点Q． ①当时，求线段长度的最大值； ②记线段的长度为l，当时，求m的取值范围． 模型二：二次函数与面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 三、抛物线中的面积最值问题 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 1．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线经过，两点，请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为D，对称轴所在的直线交x轴于点E，连接，点F为的中点，求出和线段的长． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）为培养学生劳动实践能力，某研学基地计划在一块形状为三角形的土地上开辟出一块矩形土地（如图1所示）供种菜使用，其中米，边上的高为米，要求长方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．为了方便学生使用，计划在开辟出来的长方形土地上建造三条如图所示的宽均为a（）米的道路（图2中阴影部分）． (1)若所开辟的土地为正方形，求该正方形的边长； (2)若所开辟的土地为矩形，求矩形的最大面积； (3)当时，若开辟的矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为6平方米，求此时路宽a的值． 3．（2024·湖北·一模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为． (1)直接写出点和点的坐标； (2)如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值． 模型三：二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连结．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为直角三角形时，求线段的长度； (3)在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点在轴上，且点在的下方，若，求点的坐标； (3)如图2，为线段上的动点，射线与线段交于点，与抛物线交于点，求当取最大值时，点围成的三角形的面积． 3．（2024·湖北武汉·二模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴正半轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式为：__________； (2)如图1，连接，D为x轴上方抛物线上的点，且满足，求D点坐标； (3)如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接、、，且，抛物线对称轴为直线l，线段、与直线l分别交于点P、Q，延长交直线l于点R，若满足，求直线的解析式． 一、解答题 1．（2024·湖北咸宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，P为直线下方抛物线上的动点（不与点C重合），与y轴交于点E，与交于点D．设点P的横坐标为m．    (1)求抛物线解析式及点B的坐标； (2)若，求点P的坐标； (3)设的面积为，的面积为，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 2．（2024·湖北孝感·模拟预测）抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，作直线．点是线段上的动点（不与点O、B重合），过点N作x轴的垂线分别交和抛物线于点M、P． (1)则直线的解析式为______； (2)如图1，设，求h与t的函数关系式，并求出h的最值； (3)如图2，若中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的t的值． 3．（2024·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求的面积； (2)若时，求m的值； (3)如图，当时，过顶点D作直线交x轴于点E，点G与点E关于点D对称，点M、N分别在线段上，若线段与抛物线有且只有一个交点（与x轴不平行），求的值． 4．（2024·湖北恩施·一模）如图1，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接、，判断的形状并说明理由． (3)连接，若点P在第一象限，过点P作于E，求线段长度的最大值； (4)已知，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P为第二象限抛物线上一点． 图1                  图2                      图3 (1)______，______； (2)如图2，连接，，，设P的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并求出S的最大值； (3)如图3，过P作的平行线与抛物线的另一交点为Q，直线和直线分别交y轴于M，N两点，请直接写出的值． 6．（2024·湖北恩施·三模）如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型 目录 1 模型一：二次函数与线段问题 1 模型二：二次函数与面积问题 12 模型三：二次函数与角度问题 21 33 模型一：二次函数与线段问题 一、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 二、抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 1．（2024·湖北·一模）如图1，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为M． (1)直接写出b，c的值； (2)若，求k的值； (3)若D为上的点，F为上的点，，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，连接，，如图2，当取得最小值时，求点F的坐标． 【答案】(1)（1），； (2)； (3)当取得最小值时，F的坐标为． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，求出点A的坐标，然后求出与y轴的交点Q的坐标，然后代入求出k的值即可； （3）作，在上截取.连接. 与轴交于点，过点作轴，垂足为.则，得到，即， 当点在点的位置时， 取等号.可得的最少值等于.然后根据，再根据勾股定理即可解题． 【详解】（1）解：∵点C在x轴上， ∴令，则，解得， ∴点C的坐标为， 把和代入得： ，解得：， ∴函数解析式为， （2）令，则， 解得：，， ∴点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为或， 把代入得，解得； 把代入得，解得； ∴； （3）如图所示， 作，在上截取.连接. 与轴交于点，过点作轴，垂足为. 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点在点的位置时， 取等号. 即的最少值等于. 过作轴的平行线交抛物线于点， ∴， ∴，即 . ∵， ， ， 设， 则， 在中， ， 解这个方程得，(负值不符合题意，舍去)， ∴点的坐标为 ， ∴直线 的函数表达式为：， 当时，，解得， ， 即当取得最小值时，的坐标为 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2025·湖北·一模）如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l． ①请直接写出l关于t的函数关系式； ②求l的最值； (3)将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点G在内（不含边界），直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②周长l的最大值为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、二次函数图象的平移 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式即可求解； （2）①对于抛物线，令，得到，采用待定系数法求得直线的解析式为，进而得到，，从而表示出，，矩形的周长为，分两种情况：点P在点M的左侧，即；点P在点M的右侧，即，进行化简即可． ②根据二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数的性质得到原抛物线的顶点为，从而由平移得到，根据点G在内（不含边界），得到点G的横坐标的取值范围，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P是x轴下方抛物线上一点，点P的横坐标为t， ∴， ∵轴， ∴点M的纵坐标为， 把代入函数，得， 解得， ∴， ∴， ∴以PM，PQ为邻边的矩形的周长为， ∴若点P在点M的左侧，即当时， ， 若点P在点M的右侧，即当时， 综上所述，l关于t的函数关系式为． ②当时，， ∴当时，l随着t的增大而减小， 当时，，当时，， ∴； 当时，， ∴当时，l有最大值，为， 当时，，当时，， ∴； 综上所述，周长l的最大值为． （3）解：∵抛物线，顶点坐标为， ∴将该抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，新抛物线的顶点G为， 由点，可得直线的解析式为， 对于直线，令，则， 解得． 对于直线，令，则， 解得． ∵点G在内（不含边界）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，点的平移，不等式的应用等，综合运用相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 3．（2025·湖北十堰·模拟预测）抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边）交y轴于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当时，求点P的坐标； (3)如图2，点N是经过点B的直线上一点，直线轴，交直线BC于点M，过点P作直线轴，交直线BC于点Q． ①当时，求线段长度的最大值； ②记线段的长度为l，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）中，令，可得点C的坐标，令，求出方程的解，可得A，B的坐标； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，作轴于点D，交于点E，连接，设，则，根据求出m的值即可； （3）①设，则，，用关于m的二次函数表示出线段长度，即可求解；②依次说明，是等腰直角三角形，可得，同（2）可得，即，由此可解． 【详解】（1）解：， 令，得， ； 令，得， 解得，， ，， 综上可得，A，B，C三点的坐标为：，，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， ． 如图，作轴于点D，交于点E，连接， 设，则， ． ， 解得，， 点P的坐标为或 （3）解：①设，则， 点N是经过点B的直线上一点，直线轴，交直线BC于点M， ， ， ， 当时，线段长度的最大值为4； ②，， ， 是等腰直角三角形， ， 又轴，轴， ， 是等腰直角三角形， ， 同（2）可得， 线段的长度为l，， ， ， ， 设， 当时，， 解得，， 即函数与x轴交点坐标为，，如图： 由图象可知，当时，， m的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质、图象法解不等式等知识，数形结合是解题的关键． 模型二：二次函数与面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 三、抛物线中的面积最值问题 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 1．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线经过，两点，请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为D，对称轴所在的直线交x轴于点E，连接，点F为的中点，求出和线段的长． 【答案】(1) (2)4； 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法和定理是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据解析式，确定顶点坐标，利用勾股定理计算，结合点F为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算线段的长． 【详解】（1）解：由抛物线经过，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式． （2）解：抛物线的解析式， ∴． 对称轴所在的直线交x轴于点E， ∴轴，且， ∴，， ∴； ∵，点F为的中点， ∴． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）为培养学生劳动实践能力，某研学基地计划在一块形状为三角形的土地上开辟出一块矩形土地（如图1所示）供种菜使用，其中米，边上的高为米，要求长方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．为了方便学生使用，计划在开辟出来的长方形土地上建造三条如图所示的宽均为a（）米的道路（图2中阴影部分）． (1)若所开辟的土地为正方形，求该正方形的边长； (2)若所开辟的土地为矩形，求矩形的最大面积； (3)当时，若开辟的矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为6平方米，求此时路宽a的值． 【答案】(1)米； (2)平方米； (3)米 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题；根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出矩形长与宽的关系是解题关键． （1）作交于点H，与的交点为，设正方形边长为， 由的即可求解． （2）设矩形，根据矩形的面积公式求解并整理，再利用二次函数的最值问题进行求解即可． （3）设开辟的矩形土地上供学生种菜的面积为，则可得表达式，再利用二次函数的最值问题进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：作交于点H，与的交点为，如图： 设正方形边长为， 四边形是正方形，在边上， ， ， ， 由， 可得， 解得． 正方形的边长为米． （2）设， 可得，即． 矩形面积为， 故矩形的最大面积为：平方米． （3）设开辟的矩形土地上供学生种菜的面积为，, 四边形是矩形，在边上， ， ， ， 由， 可得， 解得． ∴矩形土地上供学生种菜的面积为， ∴ ， 当时，时取到最大值，时取到最小值， 开辟的矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为6平方米， ， 即： 解得，（舍去）； 当时，时取到最大值，时取到最小值， 同理，解得（舍去）； 故当米时，符合题意． 3．（2024·湖北·一模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为． (1)直接写出点和点的坐标； (2)如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）联立两个函数表达式得：，解得：即由抛物线的表达式知，其对称轴为直线当时，即可求解； （2）①当点P在线段的右侧时，轴，则；②当点P在线段左侧时，设直线与y轴交于点G，则是等腰三角形，进而求解； （3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线于点N，K，则，，由点Q的坐横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论． 【详解】（1）解：联立两个函数表达式得：， 解得：，或 ∴当时， ∴； ∵，且D为顶点， ∴； （2）解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点P在线段的右侧时，轴，如图， ∴； ②当点P在线段左侧时，设直线与y轴交于点G，则是等腰三角形， ∴ 设则 在中，， 解得 ∴ 设直线的解析式为 把，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴， 综上，点P的坐标为或 （3）解：∵点与点M关于对称轴对称， ∴， 如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线于点N，K， ∴, ∵点Q的横坐标为m， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∵, ∴当时，的最大值为 模型三：二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连结．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为直角三角形时，求线段的长度； (3)在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用分类讨论的方法分两种情况点为直角顶点，点为直角顶点讨论解答，设，则点，用的代数式表示出的长度，利用已知条件列出方程，解方程即可求得结论； （3）在抛物线上存在点，使得，延长交轴于点，利用∽求得线段的长，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可求得结论． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于和， ， 解得：． 抛物线的解析式为． （2）令，则， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． 点为线段上一点， 设，则点， ． ，， ． ． ∵轴， ， 点不可能是直角的顶点． ①当点为直角的顶点时，设交轴于点，   ，， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 解得：或不合题意，舍去． ． ． ②当点为直角顶点时，此时边在轴上，点与点重合， ． ． 综上，当为直角三角形时，线段的长度为． （3）在抛物线上存在点，使得，理由： ， ． ． ． 延长交轴于点，如图，    由知：， ． ， ． ． ， ∽． ． ． ． ， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． ， 解得：，． 点的坐标为． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点在轴上，且点在的下方，若，求点的坐标； (3)如图2，为线段上的动点，射线与线段交于点，与抛物线交于点，求当取最大值时，点围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，证明，设，进而求出点坐标，求出直线的解析式，把点坐标代入，进而求出的值，即可； （3）过点作轴交于，连接，证明，得到，进而推出当最大时，取最大，设，则，利用二次函数的性质求出的值最大时，的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，点在抛物线上， ，解得， 所求的抛物线解析式为． （2）如图，过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，则：， ∴， 为等腰直角三角形 ， ∴， 点在轴上，在的下方 设 点 又 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴ 把代入：，解得， ； （3）过点作轴交于，连接 轴 同（2）法可求直线的解析式为：， ∴当时，， ∴ 要使取最大，则取最大 可设，则 当时，有最大值 ． 3．（2024·湖北武汉·二模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴正半轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式为：__________； (2)如图1，连接，D为x轴上方抛物线上的点，且满足，求D点坐标； (3)如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接、、，且，抛物线对称轴为直线l，线段、与直线l分别交于点P、Q，延长交直线l于点R，若满足，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）直接由待定系数法求解析式即可； （2）设，分类讨论，当时，由，建立关于m的方程并求解即可；当时，由，建立关于m的方程并求解即可； （3）延长交x轴于E，过M作轴于F，设直线的直线解析式为：，求出P点坐标，联立并求出点坐标，由等腰三角形的性质和中点坐标公式求出E点坐标，利用待定系数法求出的解析式，并求出Q点坐标，进而求出，联立求出N点坐标，利用待定系数法求出的解析式，求出R坐标，进而求出，再根据，建立关于k的方程，解方程求解即可； 【详解】（1）把和代入得， ，解得：， 抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）设， 当时，， ， ， 当时，如图， ， ， 解得，（舍）， ， ， 当时，如图， ， ， 解得（舍），， ， ， 综上所述，或； （3）延长交x轴于E，过M作轴于F， 抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 设直线的直线解析式为：， 把代入得，， 直线的直线解析式为：， 当时，， ， 联立， 得 ，即， 解得， 当时，， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 把，，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 联立，得，即， 解得， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， 解得：或， M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点， ， ， 直线的解析式为：； 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式，面积问题，角度问题，等腰三角形的性质和判定，中点坐标公式等知识点；解题的关键是分割法求面积，根据，建立关于k的方程； 一、解答题 1．（2024·湖北咸宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，P为直线下方抛物线上的动点（不与点C重合），与y轴交于点E，与交于点D．设点P的横坐标为m．    (1)求抛物线解析式及点B的坐标； (2)若，求点P的坐标； (3)设的面积为，的面积为，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【知识点】解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式，再求出时的值，确定点B的坐标即可； （2）根据，，得出，证出，，设，则，，在中，根据勾股定理解出，得出，求出直线的解析式，联立解析式即可求出； （3）设点，则，过点P作轴于点F．根据，求出，再根据，即可求解； 【详解】（1）解：将，代入得：，， 解得：，， ∴抛物线解析式为， 令， 解得，． ∴点B的坐标为． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（舍），， ∴；    （3）设点，过点P作轴于点F．    ∴ ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的解析式求解，二次函数的最值求解，一次函数解析式求解，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是数形结合． 2．（2024·湖北孝感·模拟预测）抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，作直线．点是线段上的动点（不与点O、B重合），过点N作x轴的垂线分别交和抛物线于点M、P． (1)则直线的解析式为______； (2)如图1，设，求h与t的函数关系式，并求出h的最值； (3)如图2，若中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的t的值． 【答案】(1)直线BC的解析式为 (2)与t的函数关系式为，h的最大值为2 (3)满足条件的t的值为2或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，求一次函数，等腰三角形的判定和性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）求得的坐标，利用待定系数法，即可解答； （2）将点的坐标表示出来，可得函数关系式，求出最值即可； （3）分三种情况讨论，即，，，利用角度的转换，得到线段的关系，列方程即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，解得， , 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：由题意知点，则， ， 和的函数关系式为，的最大值为； （3）解：①当时，如图，作，交于点， 可得， ， ， ， ， 点的纵坐标为， ， 解得（舍去）， ②当时， ， ， ， ， 故这种情况不成立； ③当时， ， , ， ， ， 解得, 综上，或． 3．（2024·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求的面积； (2)若时，求m的值； (3)如图，当时，过顶点D作直线交x轴于点E，点G与点E关于点D对称，点M、N分别在线段上，若线段与抛物线有且只有一个交点（与x轴不平行），求的值． 【答案】(1)8 (2)1或3 (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）把解析式化为顶点式得到顶点D的坐标为，再求出，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）先求出，得到，再求出根据建立方程求解即可； （3）当时，，则，利用勾股定理得到；利用待定系数法可得直线的函数表达式为：，直线的函数表达式为：设直线的函数表达式为： 联立得到，则可得；联立，解得，即，同理：可得；设，则点M、N到直线的距离分别为，，根据，得到，据此求出即可得到答案． 【详解】（1）解：将化成顶点式得， ∴顶点D的坐标为 令，则，解得， ∵A在B的左边 ∴， ∴， ∴； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴当时，，，解得，或 (舍去)， 当时，，，解得或(舍去)； 综上所述，m的值为1或3； （3）解：当时，， ∵点G与点E关于点D对称， ∴， ∴； 利用待定系数法可得直线的函数表达式为：，直线的函数表达式为： 设直线的函数表达式为： 联立得到 ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴ ∴ ∴直线的函数表达式为：， 联立，解得， ∴， 同理：可得， 由对称性可得，设， ∴点M、N到直线的距离分别为，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 4．（2024·湖北恩施·一模）如图1，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接、，判断的形状并说明理由． (3)连接，若点P在第一象限，过点P作于E，求线段长度的最大值； (4)已知，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰直角三角形；理由见解析 (3) (4)的横坐标为或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用抛物线顶点坐标已知，将抛物线设为顶点式，代入点，求得抛物线解析式； （2）先求出点，然后求出，，，然后根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （3）先由抛物线的解析式，求出抛物线与坐标轴的三个交点、、，则直角的各个内角三角函数值和边长均可求，且直线的解析式可求，因为，可以过作轴与，交于，则可以证得，利用相等的角的三角函数值相等这个结论，得到与的数量关系，设出点坐标，可以得到点坐标，表示出的长度，继而求得的长度，得到一个二次函数，根据的横坐标范围，讨论这个二次函数最值问题，在顶点处取得最值，即可解决． （4）根据题意，可以画图，得到可以在轴上方和轴下方两种情况，先看在轴下方，利用、、三点坐标，可以证得，延长交于点，则是一个直角三角形，构造一线三直角模型，可以求得的解析式，从而联立与抛物线解析式，求出交点的横坐标，当在轴上方时，可以先求出关于轴对称点的坐标，先求出直线的解析式，再联立直线与抛物线解析式，求出交点的横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为，代入点，得， ， 抛物线解析式为：． （2）解：为等腰直角三角形；理由如下： 把代入得：， 解得：，， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∵， 又∵， ∴为等腰直角三角形． （3）解：如图，过作轴于，交于，   ， ， ， ， ， 令，则， ， ∵ ，， ， ， 设直线为，代入点，得， 直线为， ∵点在抛物线的图像，点在直线的图像上，且点与点的横坐标相等， ∴设，则， ， ， ， 在第一象限， ， 时，最大值为． （4）解：①如图，当在轴下方时，，延长交延长线于，过作轴平行线，过作轴平行线，两线交于点，过作于， ，，， ， 同理，，， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， 设直线为，代入点，解得， 直线为， 联立， ，解得或， 的横坐标为； ②如图，当在轴上方时， 关于轴的对称点为，则，连接交抛物线于点，可设直线为，代入点，解得， 直线为 联立， ， 或， 的横坐标为， 综上，的横坐标为或． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了线段最值问题，解决关键就是做横平竖直线，将“斜线段”转化成“垂线段”，利用函数思想解决最值问题，第三问考查了角的存在性问题，要注意画图，分类讨论，利用一线三直角模型来解决问题． 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P为第二象限抛物线上一点． 图1                  图2                      图3 (1)______，______； (2)如图2，连接，，，设P的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并求出S的最大值； (3)如图3，过P作的平行线与抛物线的另一交点为Q，直线和直线分别交y轴于M，N两点，请直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)，． (3)． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题属于二次函数与几何综合，考查了待定系数法求函数解析式，分割法求四边形面积，以及一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将，两点代入，即可求解； （2）由（1）可知，，根据为抛物线第二象限内一点，的横坐标为，得到，，再根据，得到，即可得出答案； （3）设，由与平行可设的方程为，联立得出，再根据，得出，设的方程为，得出，进而得出，设的方程为，得出 ，进而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线交x轴于，两点， 得到， 解得： 即：，； （2）解：由（1）可知，， 为抛物线第二象限内一点，的横坐标为， ，， 则 当时，最大． （3）解：， 设，由与平行可设的方程为， 联立得：， 设的方程为，则 ，解得， ， ， ， 设的方程为，则 ，解得， ， ， ， ． 6．（2024·湖北恩施·三模）如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)最大值； (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，求出  ，求出直线的解析式为，由题意知，，，得到，即可得到答案； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 设该抛物线解析式为： ∵点在抛物线上 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为： （2）如图，过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E    令则 解得：， ∴   设直线的解析式为， 则 解得 ∴ 由题意知，， 所以， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是 （3）①如图，取点A关于y轴的对称点，连接，    直线与抛物线在第四象限的交点即为点M ∵ ∴且 ∴ ∴直线与x轴的交点坐标为 ②如图，    ∵ 若，则 将绕着C点逆时针旋转得到线段， 则直线与抛物线在第一象限的交点即为点M，过点M作轴于点N， 则， ∴， ∴ ∴， 设点M的坐标为，则， ∴ ∴ 解得或 则， 设直线的解析式为 则 解得 ∴的解析式为： 令，则 ∴直线与x轴的交点坐标为 综上可知，直线与x轴的交点坐标为或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$