精品解析：山东省济宁市金乡县第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

金乡二中2024-2025学年度高一下学期期中考试数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求得. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则的值为（ ） A B. C. D. 3. 已知 ，则（ ） A B. C. D. 4. 已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（ ）． A. ，，，无解 B. ，，，有一解 C. ，，，有两解 D. ，，，有两解 8. 已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像可由的图象向左平移个单位得到 C. 的对称轴为 D. 在区间上的最大值为 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量、满足，，，则与的夹角等于______ 13. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为_____________m． 14. 若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标； （2）若，试求实数、值. 16. 已知平面向量，且， （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求的面积． 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 19. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何?”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为. （1）若，，，求面积； （2）用“三斜求积”公式证明； （3）若，且，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金乡二中2024-2025学年度高一下学期期中考试数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求得. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的定义直接求解即可. 【详解】由题知，复数的虚部为. 故选：B 2. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标公式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：A. 3. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方的方法求得正确答案. 【详解】由两边平方得， 即. 故选：C 4. 已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，，再结合三点共线的定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因A，B，C三点共线，所以， 即， 所以解得，． 故选：C． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的两角和差公式，对已知条件进行平方处理，然后通过变形得到的值． 【详解】解：对两边平方，， 即①， 对两边平方，， 即②， ① +②得，， 即， 即， 则，解得 故选：C 6. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（ ）． A. ，，，无解 B. ，，，有一解 C. ，，，有两解 D. ，，，有两解 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理，逐一对各个选项进行分析判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由正弦定理，可得， 三角形无解，故A正确； 对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在， 故三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，此时， 三角形有一解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，三角形无解， 故D错误； 故选：A 8. 已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过三角恒等变换将化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可． 【详解】函数化简得， 由， 可得函数的对称轴为， 由题意知，且， 即，，若使该不等式组有解， 则需满足，即，又， 故，即，所以，又， 所以或，所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用纯虚数的概念判断A；根据复数的几何意义判断B；根据共轭复数的概念判断C；根据复数模的公式判断D. 【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D错误. 故选：BC. 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像可由的图象向左平移个单位得到 C. 的对称轴为 D. 在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．再根据的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：根据函数的部分图象，可得，. 再根据五点法作图可得，，因为，， 又最大值为，∴. 的最小正周期为，故A正确； 的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确； 令，则，所以的对称轴为，故C不正确； 时，，在区间上单调递增，故当时，，故D正确， 故选：ABD． 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量、满足，，，则与的夹角等于______ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算、定义可计算出，结合平面向量夹角的取值范围可得出的值. 【详解】因为， 可得， 因为，故，即与的夹角为. 故答案为：. 13. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为_____________m． 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. 【详解】依题意，中，，，即，解得. 在中，，即. 故答案为： 14. 若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为钝角的条件，借助数量积公式来确定实数的取值范围. 【详解】因为向量，，与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是. 故答案：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标； （2）若，试求实数、的值. 【答案】（1）复数的实部为、虚部为、模长为，坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简复数.直接求出实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标； （2）将代入方程，利用复数相等的条件即可求解. 【小问1详解】 因为. 则复数的实部为，虚部为，模长为， 表示复平面上的点的坐标为. 【小问2详解】 将代入方程得：， ∴，∴ 16. 已知平面向量，且， （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解； （2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可. 【小问1详解】 解：设，， ，又， ， 或， 或. 【小问2详解】 解：，，设与的夹角为. 故， 在上的投影向量为. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解； （2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，则，所以， 因为，所以. （2）因为，， 由余弦定理可得，整理得， 又，解得， 所以. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为；单调增区间 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、正弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，再由正弦函数的性质即可求解； （2）由已知可得，根据的范围和同角三角函数的基本关系可得，由两角差的正弦函数求解即可； （3）由可得，根据三角恒等变换结合三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 最小正周期为， 令，， 所以，， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以 所以 ； 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， ， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 19. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何?”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为. （1）若，，，求面积； （2）用“三斜求积”公式证明； （3）若，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将所给边长代入公式直接计算即可； （2）利用余弦定理和同角三角函数的平方关系代入化简可得； （3）利用正弦定理边化角整理可得，根据两边和大于第三边求出的范围，然后根据面积公式和二次函数性质可解. 【小问1详解】 因为，，， 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为，所以， 由正弦定理边化角得， 所以，即， 由解得，所以， 因为 ， 所以当时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$