精品解析：天津市河西区实验中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段学情调查数学试题

2024-2025学年度高二下学期 第一次阶段学情调查 数学学科试卷 一、选择题.（本大题共8个小题，每小题6分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的值为（ ） A B. C. 3 D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，，，则（ ） A. B. C D. 5. 中国古代儒家提出“六艺”指：礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 144种 6. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 7. 已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 设，则下列结论中错误的是（ ）. A. B. C. ，，，…，中最大的是 D. 当x=999时，除以2000的余数是1 二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.） 9. 展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为__________． 10. 社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，每名医务人员只去一个年级，则不同的分配方法有_____________________.（用数字作答） 11. 已知点A在直线上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线 相切，则点A的轨迹长度为__________________. 12. 设，（为自然对数的底数），，若不是函数的极值点，则的最大值为______. 三、解答题：（共2小题，共32分） 13. 已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： （1）a的值; （2）展开式中的系数（用数字作答）： （3）从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 14. 已知函数 ， （1）求函数的单调区间. （2）若 对任意 成立，求正实数的取值范围. （3）证明: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二下学期 第一次阶段学情调查 数学学科试卷 一、选择题.（本大题共8个小题，每小题6分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的基本运算与复合导数的运算法则求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：B 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，令，求解即可. 【详解】由，可得， 所以，解得. 故选：D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的正负性排除B、D，再根据其单调性排除C. 【详解】或时；时，排除B、D； ，则， 得；得或， 故在上单调递增，在和上单调递减， 排除C. 故选：A 4. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小. 【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以. 故选：A. 【点睛】解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小. 5. 中国古代儒家提出的“六艺”指：礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法计算可得. 【详解】解：由题意“乐”与“书”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种， 然后与“礼”､“数”进行排序，共有种， 最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种， 由于是分步进行，所以共有种. 故选：D. 6. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数． 【详解】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大， 它的展开式共计有9项，， 故二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：C． 7. 已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，确定函数单调递增，得到，设，求导得到函数单调区间，计算最值得到答案. 【详解】设， ， 对，且，恒有，即， 在上单调递增，故恒成立， 即，设，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 故，即，即 故选：A 8. 设，则下列结论中错误的是（ ）. A. B. C. ，，，…，中最大的是 D. 当x=999时，除以2000的余数是1 【答案】C 【解析】 【分析】在展开式中，令，可知A正确；根据的展开式的通项公式求出，可知B正确；C不正确；当时，都能被整除，而，可知D正确. 【详解】在中， 令，得，故A正确； 因为， 所以，，，，，，， 所以，故B正确； 由以上可知，，，，…，中最大的是，故C不正确； 当时，，都能被整除，而，所以除以2000的余数是1，故D正确. 故选：C 二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.） 9. 的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】由题意先求出，再求出的展开式的通项公式，令代入即可得出答案. 【详解】因为的展开式中第2项的二项式系数为6，所以，， 的展开式的通项公式为， 令，得，故展开式中的常数项为． 故答案为：15. 10. 社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，每名医务人员只去一个年级，则不同的分配方法有_____________________.（用数字作答） 【答案】150 【解析】 【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可. 【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种； 当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种. 综上，选法共有. 故答案为：150. 11. 已知点A在直线上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线 相切，则点A的轨迹长度为__________________. 【答案】8 【解析】 【分析】求出曲线的导函数，得到的表达式，构造新函数，利用导数求出极值，即可求出点A的轨迹长度. 【详解】由题意，设点，过点A直线与曲线相切于点， ∴，的方程为， ∴，化简得， 设，则， ∴时，或，当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵若过点A恰有三条不同的直线与曲线相切， ， ∴满足条件的恰有三个， ∴，即， ∴点的轨迹长度为8. 故答案为：8. 12. 设，（为自然对数的底数），，若不是函数的极值点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导函数，根据题意得的根为，从而表示出，再令新函数，求导函数，判断单调性与最大值. 【详解】由题知， ， 因不是函数的极值点，所以 的根为， 所以，即， 则，令， ， 因为时，，时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 故答案为： 三、解答题：（共2小题，共32分） 13. 已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： （1）a的值; （2）展开式中的系数（用数字作答）： （3）从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出二项展开式的通项并令的指数为0，利用常数项为即可求得； （2）利用通项公式，令，得，即可得解； （3）由通项可知展开式中有理项共有6项，无理项有5项，再利用分类分步计数原理即可求得结果. 【小问1详解】 根据展开式的通项可得， 令，解得， 即时，常数项， 解得； 【小问2详解】 由（1）知， 令，解得， 故展开式中的系数为； 【小问3详解】 令，，解得， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； 所以从展开式中的所有项中任取三项， 取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种. 14. 已知函数 ， （1）求函数的单调区间. （2）若 对任意 成立，求正实数的取值范围. （3）证明: 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间； （2）对一切，恒成立等价于对一切恒成立，利用导数可得最小值为，从而可得结果； （3）原不等式等价于即，由（1）可得的最大值为，利用导数可求得的最小值为，从而可得结论. 【小问1详解】 ，，. 令，解得；令，解得， 的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 由，即， 又，整理得， 所以 “对任意成立”等价于“对任意恒成立”. 令，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. ， 又正实数，即，. 即所求实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为，所以 等价于 . 由（1）知， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 对恒成立， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$