信息必刷卷03（湖北省卷专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（湖北省卷专用） 考情速递 中考·新动向：1.实际应用与跨学科融合：第14题以生硬在空气例的传播为背景考察一次函数，体现数学与科技的融合，数学的跨学科性。第22题通过人体对药物的吸收建模，将二次函数与医药结合，体现数学在医学中的应用。2.动态几何与分类讨论：第9题通过旋转探究规律解决问题；第15题动态几何，运用分类讨论考察综合能力和思维的缜密。3.代几综合：第20题平行四边形的性质与反比例函数及三角形的面积等结合，体现了数形结合的思想；第24题二次函数，一次函数，，不等式，几何有机融合。 中考·新考法：1.常规考点创新设问：第12题同样的概率问题，题设不一样，具有一定的迷惑性，考察知识点是否理解透彻；第20题把反比例函数与平行四边形，三角形面积结合。2.知识融合与跨章节整合：第23题 综合了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，强化知识的系统性和知识减的紧密联系。有比如第15题，第20题等。 中考·新情境：1.开放性与探究性：第22题通过表格探究而阐述的运用，再次基础上建立模，解决问题；第23题通过递进探究答案。2.实时性与生活化情景：如第18题，第22题。3.数学文化场景：比如第1题，第7题。 命题·大预测：1，跨学科整合；2.彰显我国传统数学文化；3，生活情景，科学情景，实时情景在数学中的应用；4.数学的实际应用。第9题，15题，第20题，第21题，第22题为中档题；第10题，第23题和第24题中的一些小题为压轴题。压轴题注重数学知识的综合应用，注重逻辑推理能力，注重深度思考。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中．如果向南走米，记作米，那么向北走米，记作（        ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（     ）． A．150° B．130° C．120° D．100° 4．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 6．下列各事件中，是必然事件的是（   ） A．是实数，则 B．掷一枚硬币时，正面朝上 C．三角形内角和是 D．任意买一张电影票，座位号是单号 7．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，是半圆的直径，为的中点，，则的度数为（    ）. A．80° B．100° C．140° D．110° 9．如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A．（-6，4） B．（4，－6） C．（6，4） D．（－4，6） 10．抛物线 的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方． 以下结论：①；  ②； ③；  ④ ；⑤； ⑥，其中正确的个数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．用4个“1”，写一个尽可能大的数是 ． 12．小王掷一枚硬币，结果是一连4次掷出正面朝上，那么他第5次掷硬币时，出现正面向上的概率是 ． 13．计算： ． 14．声音在空气中传播的速度与气温（）之间的关系式为．当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形与正方形的边长分别为6和4，正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ，当C，G，F三点共线时，的长为 ． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．计算： 17．如图，中，是对角线，、是上两点，且．连接，，，，求证：四边形是平行四边形．    18．某校的教学楼和宿舍楼之间隔了一个小湖，湖中有一观景平台，已知教学楼和宿舍楼高度均为20米． 校庆来临之际，校团委想在两楼之间拉一条横幅，横幅长度准备做成42米． 小亮所在的数学兴趣小组为核算横幅长度是否够用，对两楼之间的距离进行以下测量：如图，他们在观景平台F处测得教学楼楼顶A的仰角为，测得宿舍楼楼顶C的仰角为，已知测角仪的高度为米，点B，F，D在同一水平线上． 请你通过计算，说明校团委准备做的横幅长度是否够用． （参考数据：，，，） 19．每年的月日是中国的全国法制宣传日，也是国家宪法日．某中学为了提高学生对宪法知识的了解，在全校开展了主题为“学宪法知识，做守法公民”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组为，组为，组为，组为，组为，组为，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图表信息解答以下问题： (1)本次调查随机抽取了 名参赛学生的成绩．在扇形统计图中 组所在扇形的圆心角是 度； (2)补全频数分布直方图，并直接写出学生竞赛成绩的中位数落在______组； (3)若取每组成绩的中点值作为该组的平均成绩（例如组的中点值为： ）试求抽取的该部分参赛学生的平均成绩． 20．如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB＝，反比例函数y＝（x>0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F． (1)若OA＝10，求反比例函数的解析式； (2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标． 21．如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为． (1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； (2)若的半径长为，，求的长． 22．通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：h）满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系，下表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： （） （） (1)求这位患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系； (2)这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为． ①当时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由； ②当该药的血药浓度不低于时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出的取值范围． 23．在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； (3)如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 24．在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． (1)如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； (2)如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； (3)定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷03（湖北省卷专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C D A C A D C B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上 11． 12． 13．/ 14．1695 15. 或或 三、解答题:本大题有9个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．【详解】解： ． 17．【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形是平行四边形． 18．【详解】解：校团委准备做的横幅长度不够用，理由如下： 如图，过点E作于点G，延长交于点H． 则米 ∴米 在中，米 在中，米 ∴米 ∵ ∴校团委准备做的横幅长度不够用． 19．【详解】（1）本次调查随机抽取了（名）参赛学生的成绩， 在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是， 故答案为：，； （2）组的人数为(人)， 补全频数分布直方图如图所示. 将名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和位的成绩都落在组， ∴学生竞赛成绩的中位数落在组， 故答案为：； （3）组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， ∴抽取的该部分参赛学生的平均成绩为 ． 20．【详解】（1）解：过点A作于H， ∵，， ∴，， ∴A点坐标为，根据题意得：， 可得：， ∴反比例函数解析式：； （2）解：设，过点F作轴于M，过点C作轴于点N， 由平行四边形性质可证得， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵根据点A，F都在的图象上， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，． 21．【详解】（1）解：与相切； 理由如下： 连接， ， ； ， ， ， ∴； ， ， 与相切． （2）连接，； ，是的切线， ，， 又， 四边形为矩形， ； 在中，， ， ，， ． 答：长度为． 22．【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴， 把代入得，， 解得， ∴患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系为； （2）解：①患者存在中毒风险，理由如下： ∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时， ∴血药总浓度， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴存在中毒风险； ②由①知，当时，存在中毒风险， 当时，， 此时，当时，有最大值为，刚好中毒， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 综上，的取值范围为． 23．【详解】（1）证明∶∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∴， 在中， ， 即， 解得： ∴． （3）解：方法1：如图，连接， 设，，， 则，， 由折叠得，，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 由得：， 由得：， 得：， ∵， ∴， 即． 方法2：延长交的延长线于点M， ∵， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴ ∴，， 设，， 由折叠知， ∴， ∴， 由(1)知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 24．【详解】（1）解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为2， ， ， 点在抛物线M上， ， t的值为． （2）解：如图，过点A作于点D，作轴交直线l于点E， 则， 对于直线，易知，， ， ， 抛物线M：， 顶点A的坐标为， 把代入到，得， ， ， 轴， ， 又， ， ，即， ，即， 当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为． （3）解：， ，其对称轴为直线，图象必过点， 当时，开口向上，如下图： 当时，此时整点有，，，，，根据对称性，整点显然超过9个，不符合题意； 当时，开口向下，如下图： 要保证封闭区域内（包括边界）共有9个整点，需要同时满足： 当时，，当时，， 即， 解得， 故a的取值范围为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（湖北省卷专用） 考情速递 中考·新动向：1.实际应用与跨学科融合：第14题以生硬在空气例的传播为背景考察一次函数，体现数学与科技的融合，数学的跨学科性。第22题通过人体对药物的吸收建模，将二次函数与医药结合，体现数学在医学中的应用。2.动态几何与分类讨论：第9题通过旋转探究规律解决问题；第15题动态几何，运用分类讨论考察综合能力和思维的缜密。3.代几综合：第20题平行四边形的性质与反比例函数及三角形的面积等结合，体现了数形结合的思想；第24题二次函数，一次函数，，不等式，几何有机融合。 中考·新考法：1.常规考点创新设问：第12题同样的概率问题，题设不一样，具有一定的迷惑性，考察知识点是否理解透彻；第20题把反比例函数与平行四边形，三角形面积结合。2.知识融合与跨章节整合：第23题 综合了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，强化知识的系统性和知识减的紧密联系。有比如第15题，第20题等。 中考·新情境：1.开放性与探究性：第22题通过表格探究而阐述的运用，再次基础上建立模，解决问题；第23题通过递进探究答案。2.实时性与生活化情景：如第18题，第22题。3.数学文化场景：比如第1题，第7题。 命题·大预测：1，跨学科整合；2.彰显我国传统数学文化；3，生活情景，科学情景，实时情景在数学中的应用；4.数学的实际应用。第9题，15题，第20题，第21题，第22题为中档题；第10题，第23题和第24题中的一些小题为压轴题。压轴题注重数学知识的综合应用，注重逻辑推理能力，注重深度思考。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中．如果向南走米，记作米，那么向北走米，记作（        ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果向南走3米，记作+3米，那么向北走6米，记作：米， 故选：C． 2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图为： 故选C． 3．如图，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（     ）． A．150° B．130° C．120° D．100° 【答案】C 【详解】解：∵直线AB∥CD， ∴∠CDB=∠ABD， ∵∠CDB=180°-∠CDE=30°， ∴∠ABD=30°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°， ∵AB∥CD， ∴∠C=180°-∠ABC=180°-60°=120°． 故选C． 4．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式得到不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∴数轴表示如下所示： ， 故选：A． 6．下列各事件中，是必然事件的是（   ） A．是实数，则 B．掷一枚硬币时，正面朝上 C．三角形内角和是 D．任意买一张电影票，座位号是单号 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，绝对值的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可解答． 【详解】解：、是实数，则，是不可能事件，故不符合题意； 、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故不符合题意； 、三角形内角和是，是必然事件，故符合题意； 、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故不符合题意； 故选：C． 7．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 依题意得， 故选：A． 8．如图所示，是半圆的直径，为的中点，，则的度数为（    ）. A．80° B．100° C．140° D．110° 【答案】D 【分析】连接OC，OD，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】 解：连接OC，OD， ∵OC=OB，∠B=40°， ∴∠BCO=∠B=40°，∠AOC=80°． ∵点D是弧AC的中点， ∴∠AOD=∠COD=40°， ∵OD=OC， ∴∠OCD=70， ∴∠BCD=70°+40°=110°． 故选:D. 【点睛】本题考查的是圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 9．如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A．（-6，4） B．（4，－6） C．（6，4） D．（－4，6） 【答案】C 【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2021次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC， ∵OA=OB=2， ∴∠ABO=∠BAO=45°， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBE=45°， ∵BC=AD=4， ∴CE=BE=4， ∴OE=OB+BE=6， ∴C（-4，6）， ∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， 则第1次旋转结束时，点C的坐标为（6，4）； 则第2次旋转结束时，点C的坐标为（4，-6）； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为（-6，-4）； 则第4次旋转结束时，点C的坐标为（-4，6）； … 发现规律：旋转4次为一个循环， ∴2021÷4=505⋯⋯1， 则第2021次旋转结束时，点C的坐标为（6，4），故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转、规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律． 10．抛物线 的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方． 以下结论：①；  ②； ③；  ④ ；⑤； ⑥，其中正确的个数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析判断，即可解题． 【详解】解：抛物线 的顶点为， 抛物线对称轴为直线， ，异号， 不能确定， 故①错误； 抛物线与y轴的交点位于x轴上方． ， 故②错误； 抛物线 的顶点为， ， 故③正确； 抛物线 的顶点为，抛物线的开口方向不确定， 的取值不确定； 故④错误； 抛物线对称轴为直线， ， ， ； 故⑤正确； 抛物线 的顶点为， ， ， 整理得， 故⑥正确． 综上所述，正确的有③⑤⑥共3个； 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．用4个“1”，写一个尽可能大的数是 ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义解题． 【详解】根据实数的运算包括加，减，乘，除，乘方，开方六种运算及简单的混合运算， 利用4个1只有进行乘方运算写成尽可能大的数， 对于四个1，可以分为以下几种情况： ①； ②； ③； 显然②最大，故答案为：． 【点睛】本题考查乘方，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12．小王掷一枚硬币，结果是一连4次掷出正面朝上，那么他第5次掷硬币时，出现正面向上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的意义理解．概率等于所求情况数与总情况数之比． 根据一枚硬币只有正反两面求解即可． 【详解】解：∵一枚硬币只有两面，掷出正面朝上或朝下的概率均为， ∴他第5次掷硬币时出现正面朝上的机会为． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母的分式加法法则进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 14．声音在空气中传播的速度与气温（）之间的关系式为．当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为 ． 【答案】1695 【分析】此题考查了一次函数的应用．先求出当时声音在空气中传播的速度，根据路程等于速度乘以时间即可求出答案． 【详解】解：当时， ∴（米）． 答：此人与燃放烟花所在地距离是1695米． 故答案为：1695． 15．如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形与正方形的边长分别为6和4，正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ，当C，G，F三点共线时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】根据已知可知，根据距离公式求解即可；求的长分两种情况：画出图形求解即可． 【详解】解：正方形与正方形的边长分别为6和4， 如图： 则， 当正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ∴平分， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， 整理得：； 当C，G，F三点共线时，分两种情况： ①如图： 作于M，的延长线于K，连接， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， 设， 则， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：或（舍去） ∴， ∵为正方形对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图：作于M，的延长线于K，连接， ∴四边形为矩形， 同理可证明四边形为正方形， 设，则， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，，， 解得：或（舍去）， ∴，即， ∵为正方形对角线， ∴， 同理再证明， ∴， 综上所述：或， 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线构造全等三角形，并学会分类讨论的思想． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，立方根，乘方的运算，先计算零指数幂，负整数指数幂，立方根，乘方的运算，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解： ． 17．如图，中，是对角线，、是上两点，且．连接，，，，求证：四边形是平行四边形．    【答案】证明见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得到，则，再证明，进而证明，得到，同理证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 18．某校的教学楼和宿舍楼之间隔了一个小湖，湖中有一观景平台，已知教学楼和宿舍楼高度均为20米． 校庆来临之际，校团委想在两楼之间拉一条横幅，横幅长度准备做成42米． 小亮所在的数学兴趣小组为核算横幅长度是否够用，对两楼之间的距离进行以下测量：如图，他们在观景平台F处测得教学楼楼顶A的仰角为，测得宿舍楼楼顶C的仰角为，已知测角仪的高度为米，点B，F，D在同一水平线上． 请你通过计算，说明校团委准备做的横幅长度是否够用． （参考数据：，，，） 【答案】校团委准备做的横幅长度不够用，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义是解本题的关键．过点E作于点G，延长交于点H．在中，在中，分贝求出米，米，再求出与42米比较即可． 【详解】解：校团委准备做的横幅长度不够用，理由如下： 如图，过点E作于点G，延长交于点H． 则米 ∴米 在中，米 在中，米 ∴米 ∵ ∴校团委准备做的横幅长度不够用． 19．每年的月日是中国的全国法制宣传日，也是国家宪法日．某中学为了提高学生对宪法知识的了解，在全校开展了主题为“学宪法知识，做守法公民”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组为，组为，组为，组为，组为，组为，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图表信息解答以下问题： (1)本次调查随机抽取了 名参赛学生的成绩．在扇形统计图中 组所在扇形的圆心角是 度； (2)补全频数分布直方图，并直接写出学生竞赛成绩的中位数落在______组； (3)若取每组成绩的中点值作为该组的平均成绩（例如组的中点值为： ）试求抽取的该部分参赛学生的平均成绩． 【答案】(1)，； (2)补全频数分布直方图见解析，； (3)抽取的该部分参赛学生的平均成绩为分． 【分析】（）用频数(率) 分布直方图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查随机抽取的学生人数，用乘以本次调查中的人数所占的百分比，即可得出答案； （）求出组的人数，补全频数分布直方图即可，根据中位数的定义可得答案； （）根据平均数的定义计算即可； 本题考查频数 (率) 分布直方图、扇形统计图、加权平均数、中位数，能够读懂统计图，掌握加权平均数、中位数的定义是解题的关键． 【详解】（1）本次调查随机抽取了（名）参赛学生的成绩， 在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是， 故答案为：，； （2）组的人数为(人)， 补全频数分布直方图如图所示. 将名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和位的成绩都落在组， ∴学生竞赛成绩的中位数落在组， 故答案为：； （3）组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， ∴抽取的该部分参赛学生的平均成绩为 ． 20．如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB＝，反比例函数y＝（x>0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F． (1)若OA＝10，求反比例函数的解析式； (2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）过点A作于H，根据已知条件得到，，求得，，于是得到结论； （2）设，过点F作轴于M，过点C作轴于点N，根据平行四边形的性质得到，根据已知条件得到，，于是得到求得，得到，根据点A，F都在的图象上，得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：过点A作于H， ∵，， ∴，， ∴A点坐标为，根据题意得：， 可得：， ∴反比例函数解析式：； （2）解：设，过点F作轴于M，过点C作轴于点N， 由平行四边形性质可证得， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵根据点A，F都在的图象上， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、待定系数法求反比例函数的解析式、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想． 21．如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为． (1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； (2)若的半径长为，，求的长． 【答案】(1)与相切，证明详见解析； (2)． 【分析】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点即为半径，再证垂直即可． （1）由已知可证得，为圆的半径，所以与相切； （2）连接，，由已知可得四边形为矩形，从而得到的长，再利用勾股定理求得的长，从而可求得的长，此时就不难求得了． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下： 连接， ， ； ， ， ， ∴； ， ， 与相切． （2）连接，； ，是的切线， ，， 又， 四边形为矩形， ； 在中，， ， ，， ． 答：长度为． 22．通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：h）满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系，下表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： （） （） (1)求这位患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系； (2)这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为． ①当时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由； ②当该药的血药浓度不低于时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由表格可知二次函数的顶点坐标为，进而可得，再利用待定系数法解答即可； （）①由题意可得，利用二次函数的性质可得的最大值为，据此即可判断求解；②当时，，可得当时，有最大值为，刚好中毒，即得，当时，可得，，由二次函数的性质可得当时，随的增大而减小，得到，综上即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴， 把代入得，， 解得， ∴患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系为； （2）解：①患者存在中毒风险，理由如下： ∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时， ∴血药总浓度， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴存在中毒风险； ②由①知，当时，存在中毒风险， 当时，， 此时，当时，有最大值为，刚好中毒， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 综上，的取值范围为． 23．在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； (3)如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由长方形的性质及折叠的性质证出，在根据等角对等边即可得出结论． （2）设，则，由（1）的结论以及翻转的性质可得出，，由勾股定理可得出答案． （3）方法1：连接，设，，，由折叠得，，， 由勾股定理解，，可得，由勾股定理解，可得，联立，通过加减消元解出，即可求解； 方法2：延长交的延长线于点M，证明，得出，，设，，由折叠知，，，由勾股定理得出，进而求出y，进而可求出． 【详解】（1）证明∶∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∴， 在中， ， 即， 解得： ∴． （3）解：方法1：如图，连接， 设，，， 则，， 由折叠得，，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 由得：， 由得：， 得：， ∵， ∴， 即． 方法2：延长交的延长线于点M， ∵， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴ ∴，， 设，， 由折叠知， ∴， ∴， 由(1)知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 24．在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． (1)如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； (2)如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； (3)定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为 (3) 【分析】（1）根据顶点为A的横坐标为2，得到，再将点代入解析式求解，即可解题； （2）过点A作于点D，作轴交直线l于点E，结合一次函数解析式得到，，利用勾股定理求出，结合二次函数解析式得到顶点A的坐标为，进而求出，再证明，最后利用相似三角形性质和二次函数最值求解，即可解题； （3）通过抛物线的解析式可得对称轴为直线，过点，对a分情况讨论或求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为2， ， ， 点在抛物线M上， ， t的值为． （2）解：如图，过点A作于点D，作轴交直线l于点E， 则， 对于直线，易知，， ， ， 抛物线M：， 顶点A的坐标为， 把代入到，得， ， ， 轴， ， 又， ， ，即， ，即， 当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为． （3）解：， ，其对称轴为直线，图象必过点， 当时，开口向上，如下图： 当时，此时整点有，，，，，根据对称性，整点显然超过9个，不符合题意； 当时，开口向下，如下图： 要保证封闭区域内（包括边界）共有9个整点，需要同时满足： 当时，，当时，， 即， 解得， 故a的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数性质，一次函数与坐标轴交点，勾股定理，二次函数一般式化顶点式，相似三角形的性质和判定，二次函数与一元一次不等式组，解题的关键在于理解题意列出不等式组． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$