河南部分高中2025届高三下学期4月青桐鸣大联考数学试题

秘密★启用前 2025届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学 注意事项： 】,答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用粮皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={一7，-3,1,5}，B={x|y=lg(x+2)},则A∩B= A.{-7,-3) B.(1,5) C.{-3,1,5} D.5} 2.已知f(x)=(2025十m)sinx一x为偶函数，则实数m= A.0 B.1 C.-2025 D.-2024 3.已知a为平面，m,n为两条不同的直线，且m∥a,设命题甲：m∥m:命题乙：n∥a,则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 證 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 4.已知随机事件M,N满足M仁N,P(M)= PGN)-品则PMIN= A.2 17 6 c 0. 5,记抛物线Ey=px(p>0)的焦点为F,E上一点A满足1AF=艺，则直线FA的斜 率为 ☒ A.±1 B.土2 C.±2 D.土22 e 6.已知a>1,且log9×log.3=1-log.3,则a= A.7 B.8 C.9 D.10 数学试题第1页（共4页） 7,已知变量y与变量x的关系可以用模型y=c1e'(c1,c为常数)拟合，设z=lny,变换后 得到一组数据如下： 2 好 6 6 之 1.02 L.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为z=0,206x十a,则c,= A.0.206 B.e. C.0.596 D. 8.函数f(x)=sinx+sin2x在x∈[0,2π]上的零点和极值点的个数分别为 A.5,3 B.5,4 C.3,4 D.3,2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知z=4+2ai 1为虚数单位，a∈R,2是x的共轭复数，则下列说法正确的是 A.若z为纯虚数，则a=2 B.若之在复平面内所对应的点位于第一象限，则a∈（一3,3） C.x|的最小值为22 D.z2为定值 10.已知O为坐标原点，点P(cosa,sina),Q(cosB,sing),A(1,1),则下列说法正确的是 A.OP.OQ=cos(a-B) B.若OP=QA,则PQ1=OA C.△AOP和△AOQ的面积之和的最大值为1 D.若∠PA0=开，则OA.O-A 11.记S。为数列{a,}的前n项和，且 为等差数列 an n(n+1) 为等比数列，a1=1,则下 列说法正确的是 A.a,-n(n+1) 20 B.存在正整数m,对于任意的正整数r≠m,均有a,<am C.对于任意的正整数n,均有S.<8 D.存在正整数n,使得S.≥8 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知M(-2,-D为椭圆C,乙+X=1(a>6>0)上一点，且直线y=2与C行且仅有门 个交点，则C的焦距为 13.设函数f(x)=e,若f(a)+2f(b)=了(a+b),a,b∈R,则当f(a+b)取得最小值时，a一 b= 14,已知(xo,yo)是函数f(x)=ln(3x一1)十3的图象上一点，函数g(x)='(xo)x满足 g(1)=3,则坐标原点到曲线∫(x)在点(x。y。)处的切线的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在压力日益增大的当下，越来越多的人每天的睡眠时长无法满足级解压力的需要.某研究 小组随机调查了某地100名工作人员每天的睡眠时长，这100名工作人员平均每天睡眠时 长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周末无差异， 睡眠时长/小时 5.756.25 6.25～6.75 6.75~7.25 7.25～7.75 7.75-8.25 8.258.75 人数 5 12 28 36 17 2 (1)估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值为 代表) (2)在被调查的100名工作人员中，有40名表示“近期压力过大”，由频率估计概率.在该地 的所有工作人员中随机调查3名，设“近期压力过大”的人数为X. (i)求P(X≤1)的值： ()求X的分布列和期望. 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，四边形BB,C,C为正方形，AB⊥BC,AB=BC=6.点 M,N满足AM=2MA,C1N=2NC,MN⊥BB1. (1)证明：平面AA,B,B⊥平面BB,C1C; (2)求三棱锥A-BMN的体积； (3)求直线B,M与平面ABN所成角的正弦值. 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) i记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,bsin C+csin B=bcos C+ ccos B. (1)求△ABC的面积. (2)若AB·AC-1. (i)求bc的值； (I)求△ABC内切圆的半径 18.(17分) 已知双曲线W:-兰-1(6>0)的左顶点为A,右焦点为F,P,Q是W上的两点， 在△APQ中，边PQ的中点为R.当直线PA的倾斜角为牙时，有PF1=|AF. (1)求W的离心率； (2)若直线PQ不与x轴平行，且2|AR|=|PQ1,证明：直线PQ过定点. 19.(17分) 若b2<ac,则称b是a和c的减比中项. (1)若2是a和c的减比中项，求a2十c2的取值范围. (2)已知数列an}满足a1=1,a2=1,数列b.}满足b1=2,b2=2,存在正数m>1,使 √mam+1是am+2和a,的等比中项，且√mbn+1是b,+2和bn的减比中项，n∈N”, （i)证明：√a.+2bn+1是am+1和bm+2的减比中项； (ⅱ)记数列 b一aa b.t1-an+i 的前n项和为5，证明：5，<n” 数学试题第页（共4页）2025届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学参考答案 1.B【解析】因为A={一7，一3,1,5}，B= 8.B【解析】令f(x)=sinx十sin2.x=sinx(1十 {x|y=lg(.r+2)}=(xx>-2},故A∩B= 1,5}. 2cosx)=0,所以sinx=0或c0sx=- 2,又xe 故选B. 2.C【解析】易得函数f(x)的定义域为R,由f(x) [021所以=0，号，2，即/)在x 是偶函数，得f(x)一(-x)=(2025十m)sinx- [0,2x]上有5个零点：f(.x)=c0sx+2cos2.x x'-[(2025十m)sin(-x)-(-x)]=0恒成立， 4cos2x+cosx-2,令f'(x)=0,解得cosx 可得2025+m=0,故m=一2025. V√33-1 或cosx=一 33+1 又-1<-3+ 故选C, 8 8 8 3.D【解析】若mn,又m∥a,则na或nCa,故充 y3丽-1<1，所以cosx=-在区间[0.2x1上 分性不成立：若n∥a,又m∥a,则m∥n,或m与n 8 8 相交，或m与n为异面直线，故必要性不成立，故 有2个解，cosx=- 甲是乙的既不充分也不必要条件. 丽+在区间[0,2]上有2 8 故选D. 个解，故了'(x)在[0,2π]上有4个变号零点，即 4.A【解析】由题意可得P(N)=1-PN)=1- f(x)在x∈[0,2π]上有4个极值点. 19 故选B. 1 故P(MIN)=PMN=PMn 9.AC 2 191 【解析】：=4+2ai=4+2aiD(1+i) 1-i (1-i)(1+i) P(N)P(N) 2=2 19 4-2a十(2a+4)i=2-a+(a+2)i,若x为纯虚 2 故选A. 数，则2-a=0,a十2≠0，故a=2,故A正确： 5.D【解析】设A(xA,ya),由抛物线的第一定义可 由复数的几何意义可得，若？在复平面内所对应 得xA=p,代人E的方程可得yA=士√2p,故直线 2-a>0, 的点位于第一象限，则 故a∈(-2,2)， FA的斜率为yA。=士2,2 a+2>0, xA一2 故B错误； 故选D. |z|=√/(2-a)+(a+2)产=√8+2a≥22，故 6.C【解析】因为log9×log3=1一log3,所以 C正确； z2=(2-a)°-[(a+2)i门=8十2a°不为定值，故 21og3)=1-1og3.解得1og3=号或1og3= D错误. 一1（舍去），所以a=9. 故选AC 故选C 10.ABD【解析】由题意得，OP.Od=cos acos日+ 7.D【解析】由表格中数据得x-2+3+4+5+6 sin asin B=cos(a一B),故A正确： 5 若OP=QA,则Q|=1,又因为Q(cosB, 4.=.02+1.20+1.2+1.62+1.84-.42.代 sin),所以Q(1,0)或Q(0,1),若Q(1,0),则 P(0,1),此时1PQ1=OA|=2,若Q(0,1),则 入方程得，1.42=0.206×4+a,解得a=0.596,因 P(1,0),此时PQ1=OA=√2，故B正确： 此=0.206.x+0.596,由y=c1e两边取对数， 得lny=c:x+lnc1,又x=ny,所以c2=0.206, SAwm+Sawe=号IAO1IOP1sin∠AOP+ 1nc1=0.596,即c1=e36 故选D. A01OQn∠AQ.整理得号(m∠A0P+ ·数学答案（第1页，共4页）· sin∠A0Q)<号×2=2，所以△AOP和△A0Q b3)十…十(b。-b。+1)=b1-ba+1=8 2 ”十5n十8，因此对于任意的正整数n,均有S. 的面积之和的最大值为2，故C错误： 2 若∠PAO-,注意到P(cosa,sina)在单位圆 8-”+5n+88,故C正确，D错误。 2 上，当且仅当PA与单位圆相切时，∠PAO取最 故选AC 大值，此时恰为，故△AOP为以OA为斜边的 45 12. 3 【解析】将M(一2，一1)代人椭圆方程，得到 等腰直角三角形，所以OA·O币=A户1：=1，故 +疗=1，又因为直线y=2与C仅有一个交 4 D正确. 故选ABD 点所以6=2进面解得。2-c-碧-2 11.AC【解析】对于A,因为 2a. 为等差数列，取 含，所以C的纸距为2=45 3 8 前3项知2,2a:,3a成等差数列，即4a:- 13.ln2【解析】依题意得，e十2e=e≥ 2√e·2E=22e学，即e学≥22，所以c+≥ 2+骨0因为为等比数列取前3项如 8,当且仅当e=2e时取等号，此时a-ln4,b ln2,故a-b=ln2. 告影我等比数到，可2a=代人a: 14.00 3 10 【解析】f(x)=3x因为g(1) 哥，+2得4u:-+2.即8a-18a十9=0. 8 了)-，所以x33,解得一号散 也即(（2a:-34a,-3)=0,所以a:=号或2若 。=1n3×号-)+3=3，故x)在x=号处的 u=那么-52，所以,- ”自 切线方程为y=3x十1，故坐标原点到曲线∫(x) n(n十D(n+1)X2不为等比数列，所以假 5一 在点（红，处的切线的距离为是-而 10 10 15,解：(1)记这100名工作人员平均每天的睡眠时长 设不成立，则a,=多得a,=”十 2 ,检验得 为无小时， 1 行为等差数列，+D为等比数列，故入 则x=100×(6×5+6.5×12+7×28+7.5× n 正确 36+8×17+8.5×2)=7.27(小时)， (4分) 对于B,也就是验证数列{a,}是否存在唯一的最 故估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长为 7.27小时. (5分) 大项，令4。<4m-1,解得n<2,令a.>4+1,解得 >2又a,-受a,-号所以u,a=a,> (2)(1)被调查的100名工作人员中有40名表示 3 “近期压力过大”，则表示“近期压力过大”的频率 4:>·,即最大项不唯一，因此不存在符合题意的 为0-号 (6分) 正整数，故B错误， 由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机 对于C,D,因为4。= n(n+1) 调查1名工作人员，表示“近期压力过大”的概率 2 (2n2+6n+8)-(n2+5n+8) =2.”+3n+4 2 (7分) 2.”+5n+8 (8分) 21、记6.=2. n2+3n+4 放X~B,) 2 ,注意到 故P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C× 61=2.0+2m++3m+3+4=2.+5n+8 2*+ 2"+1 ()x-)+×()×1-)-器 所以an=bn一bu+1,于是Sm=(b1-b:）+(bg (10分) ·数学答案（第2页，共4页）· (1)X~B3,号），故其分布列如下表所示： n·BN=0, =-3.x, 即 n.BA=0,y=22x, 0 1 2 3 可取x=3.得n=(-2√2,62,3) (13分) 27 54 36 8 记直线B,M与平面ABN所成的角为0， 125 125 125 2 B1M·n (12分) 故sin0= BMn 其期望E0)-3X号-号 (13分) -4×6V2+4w2×3 16.解：(1)证明：由四边形BB,C,C是正方形，可知 /(-4)+(42)2×(-2√2)2+(6√2)2+3 BC⊥BB1, (1分) 6534 (15分) 又AB⊥BC,AB,BB,C平面AA:B,B,AB∩ 89 89 BB=B. 17.解：(1)由条件及正弦定理可知，sin Bsin C十 可知BC⊥平面AA,B,B. (2分) sin Csin B=sin Beos C+sin Ccos B.( 而BCC平面BB,C,C,故平面AA,B,B⊥平面 2sin Bsin C=sin(B+C)=sin A, (2分) BB,CC. (3分) sin Aa 所以sinB (2)取BB,上一点O满足OB,=2BO,连接MO, 2sin C 2c' (3分) NO,由平面几何知识可知NO⊥BB,NO= 所以△ABC的面积S=7ac· =a BC=6. (4分) 2￥=1. 而平面AAB,B⊥平面BB,CC,平面AA,B1B∩ (5分) 平面BB,C,C=BB,NOC平面BB,C,C,故 (2)(1)AB.AC=bccos A=1. (6分) NO⊥平面AA,B,B. (5分) 1 又S=2 ocsin A=1, (7分) 而NO⊥BB,MN⊥BB,MN,NOC平面 则可知tanA=2, (8分) MON,MN∩NO=W, 可知BB1⊥平面MON (6分) 则c0sA=15 (9分) 由OMC平面MON可知OM⊥BB,,故以O为 故bc=5, (10分) 坐标原点，ON的方向为x轴正方向，OB,的方向 为y轴正方向，OM的方向为：轴正方向，建立如 (1)因为cosA= b+c2-45 25 图所示的空间直角坐标系O-xy2, 所以b2+c2=6, (11分) 则(b+c)2=b2+2bc+e2=6+2、5, 解得b+c=1+5. (13分) 设△ABC内切圆的半径为r, 由等面积法得，S= 2r(a+b+c)=1, 设OM=t,则B(0,一2,0)，B,(0,4,0),M(0,0, 2 所以r= a+b+c (14分) t),A(0,-4,t),V(6,0,0) (7分) 由AB=6可知，√(-4+2)+t=6,得1=4v2, 故r= 2_315 2+b+e3+52 (15分) 故OM=42. (8分) 1 1 于是V=V,w=3·ON·SaAw=6· 18.解：(1)设F(c,0),当直线PA的倾斜角为于时， 因为PF|=|AFI,所以PF⊥AF,故P的横坐 ON·OM·AM=16V2. (9分) 标为c, (3)由(2)得B,M=(0,-4,42),BN=(6,2, 代人W的方程，得y2=bc2-b, (2分) 0),Bi=(0,-2,4v2) (11分) 因为c=1十62，所以y”=b,故y=士b2,(3分) 记平面ABN的法向量为n=(x,y,z), 所以c十1=b,故c=c十2， ·数学答案（第3页，共4页）· 解得c=2(负值舍去)， (5分) 同理，由于ma+1=a+:·a。,则{a。}为正项 故号=2，即W的离心率为2。 (6分) 数列， (2)证明：因为2AR|=1PQ,而R是线段PQ 故+=m0+=ma=…=m=m”, a+1 a4-1 的中点，符合直角三角形的定义，所以AP⊥AQ, (9分) 进而AP·AQ=0. (8分) 设P(x1y1),Q(x2y2),直线PQ:x=my十n, 故>m"= (10分) 0。+1 联立w-苦= 故aw+2bn+1<am+ibm+2: 故(va+bw+i)2<aw+b.+z,即Va+zbn+1是a。+i 得(3m2-1)y2+6mmy+3m2-3=0, (10分) 和b.+的减比中项. (11分) 6mn 4>0.则y,+y:三3m1y1y13m2一)， b.b bnb。-1.… （i)证明：因为h,一6c二‘6 b (11分) AP=(.x1+1,y1)=(my1十n十1，y),(12分） an…· -.a1 4-14m- AQ=(my,+n+1,y), (13分) 所以(my1十n+1)(my十n+1)+y:y:=0, 且6>a,>u<所以6，>0引 展开得(m2+1)y1y2十m(n+1)(y:十y)+ (12分) (n+1)2=0, (14分) 易得 6mn 3n-3 ax+2 aw+l 将y+y=3my=m-代人上式， 则二a>a山，也即二a> 等式两边同时乘3m一1得， ax+ a+1 bu+i一an+1 (m2+1)(3-3)-6mn(n+1)+(3m2-1)· dnte (13分) (n+1)2=0, (15分) a-1 即2n2一2n-4=0,解得n=2或n=一1（舍去）， 由()，有b,-ai 有b—a+2>m”,则0<士< (16分) 所以直线PQ:x=my十2，即经过定点(2,0). (14分) (17分) 19.解：(1)若2是a和c的减比中项，则ac>4, 故S。<S+1 =-4+b-a十…+ ba-az (2分) 1 1- 故a+c2>≥2ac>8,当且仅当a=c时取等号， b.+1一a1<1十 b.+2一a.-2 所+…+1 故a十c2的取值范围为(8，十o∞). (4分) 1人1 (2)证明：(i)由√mb.-1是b,+:和b,的减比中 项，则mb+1<b+:·b· (6分) 又n为正数，故(b.}为正项数列， (17分) 好>> b (准：直接得出S,=1<m”可给1分) (7分) ·数学答案（第4页，共4页）·