2025年中考数学二轮复习讲义之二次函数应用题

2025年中考数学二轮复习讲义之二次函数应用题（培优） 中考二次函数题，顺口溜来记秘籍： 一建模要闪电疾，现实问题变公式戏，价格涨跌是剧情，利润方程当主演6。 二手稳如秤别抖臂，符号算错全盘弃，答案秒变窜天猴，分扣好比抛物线坠8。 三细节抠到头发丝，单位范围要卡死，漏写就像没刹车，满分直接变凉席6。 四验算好比查案细，答案落地得抓牢，否则老师送《凉凉》，当场表演心碎技6。 横批：速度准头卷面齐，函数难题变送分题！ 第一部分：解题策略 中考数学二次函数应用题解决策略 一、解题核心思路 建立数学模型 将实际问题转化为数学语言，重点识别变量间的二次关系。例如商品销售问题中，通过分析"价格变动与销量变化"的线性关系，组合成利润的二次函数表达式。 分步拆解问题 将复杂问题拆分为设变量、列关系式、求解最值、检验合理性四个步骤。如几何图形问题中，先通过已知条件消元建立面积函数，再求顶点确定最大值。 二、高频题型应对 待定系数法问题 根据题目特征选择函数形式（如顶点式、一般式）。 代入已知点求解参数，例如喷泉水柱轨迹问题中，利用顶点和落点坐标确定抛物线解析式。 利润最优化问题 核心公式：利润=（售价-成本）×销量-固定成本。 关键技巧：通过"每涨1元少卖N件"转化为销量与价格的线性关系，构建二次函数求顶点。 动态几何问题 将图形条件（如周长固定）转化为代数约束，消元后建立面积函数。 利用配方法或顶点公式求最大值，例如栅栏围矩形场地求最大面积。 三、细节处理与避坑 易错点预防 注意自变量实际范围：如售价不能低于成本，时间不能为负数。 单位统一：涉及长度、时间等量时先换算单位。 检验方法 结果代入原题验证：检查是否满足所有约束条件。 现实合理性判断：如最大利润对应的销量是否为整数。 四、训练提升建议 专题分类训练 每天专攻一类题型（如周一利润问题、周二几何建模），整理同类题解题模板。 错题深度分析 建立分类错题本，标注"未考虑自变量范围"、"配方错误"等高频错误类型。 对错误题进行条件改编（如将"涨价"改为"降价"），重新构建模型。 考场模拟策略 限时20分钟完成综合题，模仿考试节奏。 使用方格本规范书写，用双色笔标注易错点与速算技巧。 五、核心能力培养 信息提炼能力 训练从题干中快速提取关键数据，如"最大高度"对应顶点坐标，"固定成本"对应常数项。 逻辑表述规范 几何证明采用符号分段，代数题等号对齐书写。 应用题按"设未知数→列方程→解算→检验→作答"五步呈现。 通过系统性训练，重点提升建模能力与细节把控，可显著提高此类题型的得分率。建议初期以准确率为核心，熟练后再逐步提升解题速度。 第二部分：课后减负作业（多思考多实践） 1、（常考）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 2、（常考）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … （1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）． （2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． ①求：三月份每件产品的成本是多少万元？ ②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 3、深圳某公司生产A、B两种玩具，每个B玩具的成本是A玩具的1.5倍，公司投入1600元生产A种玩具，3600元生产B种玩具，共生产玩具1000个，请解答下列问题： (1)A、B两种玩具每个的成本分别是多少元？ (2)某大学生自主创业，在网上销售B玩具，物价部门规定每个售价不低于进货价且每个的利润不允许高于进货价的．试营销阶段发现：当销售单价是8元时，每天的销售量为120件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少20件．求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 4、某公司在甲、乙两城生产同一种产品，受原材料产地，上、下游配套工厂等因素影响，生产成本不同．甲城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为，图象为如图的虚线所示：乙城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为，其图象为如图的实线所示．    (1)求a、b、k的值． (2)若甲、乙两城一共生产50件产品，请设计一种方案，使得总生产成本最小． (3)从甲城把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系式为：，；从乙城把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系为：，；现在A地需要40件，B地需要10件，在（2）的条件下，求总运费的最小值（用含n的式子表示）． 5、如图，拱形桥的截面由矩形和抛物线组成，矩形长12m，宽4m，以当前水面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．其中拱桥的最高点D到水面OB的距离为10m．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若一艘货轮宽为8m，要确保货轮安全通过拱桥，求其装完货物后的最大高度； (3)若要在拱桥抛物线的左右两侧同样的高度安装两个摄像头，要求摄像头到水面的距离不低于6m、不超过8m，请直接写出两个摄像头水平距离的最大值． 6、电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米（即 、 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：    (1)若以米为一个单位长度，则点坐标为 (2)求出下垂电缆的抛物线表达式 (3)若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 轴分别交直线 和抛物线于点 、．点距离坡面的铅直高度为的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$