专题08 一元一次不等式组的应用压轴汇编（四大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（苏科版2024）

专题08 一元一次不等式组的应用压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、分配问题 1 类型二、销售﹑利润问题 3 类型三、方案问题 7 类型四、其他问题 11 压轴能力测评（15题） 16 一元一次不等式（组）应用题的解法步骤：审，设，列，解，答。 审题过程中，找不等量关系时，多注意“不超过”、“低于”、“不少于”等不等量关系的词语；不等式组的应用题也常和方程结合，不等式的解作为方案类问题选择的范围，取整后得到对应方案。 类型一、分配问题 【典例1】某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？ 【答案】该班有学生，本次一共种植棵树 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设共有名学生，根据题意列出不等式组即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设共有名学生， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴， ∴， 答：该班有学生，本次一共种植棵树． 【变式1-1】把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 【答案】11或12人 【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出，且，分别求出即可．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 【详解】解：假设学生有x人， 根据题意得出：， 解得：． ∵x是正整数， ∴符合条件的x的值是11或12， 即学生人数为11或12人． 【变式1-2】某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 【答案】10人 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用；根据题意列出不等式组是解题的关键；设获奖学生有x人，则共有支签字笔，根据“如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支”，列出不等式组并求解即可． 【详解】解：设获奖学生有x人，则共有支签字笔． 依题意，得 解得． x为整数， x的最小值为10，即获奖学生至少有10人． 【变式1-3】有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带瓶，则剩余瓶；若每人带瓶，则有个人带了矿泉水，但不足瓶．这家人参加登山的人数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式组的实际应用，解题关键是正确理解题意并列出一元一次不等式组． 设登山人数为人，则矿泉水有瓶，根据题意列出不等式组，解不等式组后确定整数解即可． 【详解】解：设登山人数为人，则矿泉水有瓶， 依题得：， 解得， 人数应为整数， ， 即这家人参加登山的人数为人． 故答案为：． 类型二、销售﹑利润问题 【典例2】随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． (2)该公司有2种购进方案，分别是购进A 型汽车10辆，B型汽车5辆∶购进A型汽车11辆，B型汽车4辆．购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是13.6万元． 【分析】本题主要考查了二元一次不等式组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元． 【变式2-1】袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． (1)求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ 【答案】(1)购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元； (2)方案一：甲3件，乙7件，方案二：甲4件，乙6件，方案三：甲5件，乙5件；购买方案三所需资金最少，最少资金是10万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的应用． （1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，然后根据题意可得，进而求解即可； （2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具件，得，然后求解即可得出方案；再根据总价=单价×数量，分别计算出各方案所需的资金数，比较后可得答案． 【详解】（1）解：设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元． 根据题意得： ， 解得： ， 答：购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元； （2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具件， 根据题意得： ， 解得：． ∵m为整数， ∴m可取3、4、5，   方案一：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件，所需资金：（万元）； 方案二：购买甲种农机具4件，乙种农机具6件，所需资金：（万元）； 方案三：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件，所需资金：（万元）； 购买方案三所需资金最少，最少资金是10万元． 【变式2-2】某校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1500元；若购买甲种书柜2个，乙种书柜1个，共需资金600元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共30个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金6420元，请为学校设计一种比较实惠的方案． 【答案】(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元； (2)购进甲、乙两种书柜各15个，费用最少，所需费用为6300元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，设出合适的未知数，确定相等关系列方程组，确定不等关系列不等式组是解本题的关键． （1）设甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元，再根据甲种书柜3个、乙种书柜4个，共需资金1500元；甲种书柜2个，乙种书柜1个，共需资金600元，列方程组，再解方程组即可得到答案； （2）设计划购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，根据乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金6420元，列不等式组，再解不等式组结合为正整数，从而可得答案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元，则 ， 解得：， 答：甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元； （2）解：设计划购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，则 由①得： 由②得：， 所以： 又因为为正整数， 或或 所以所有可行的购买方案为： 第一种方案：购进甲种书柜13个，乙种书柜17个， 需要费用：元； 第二种方案：购进甲种书柜14个，乙种书柜16个， 需要费用：元； 第三种方案：购进甲种书柜15个，乙种书柜15个． 需要费用：元； ， 答：购进甲、乙两种书柜各15个，费用最少，所需费用为6300元． 【变式2-3】综合与实践：某学校计划购进一些足球和篮球，采购员第一次购进了足球个，篮球个，共花费元；第二次购进时，足球每个涨价，篮球每个优惠，采购员又购进了个足球和个篮球，共花费元． (1)求第一次购进的足球和篮球的单价． (2)如果第三次采购是以第一次的价格进行采购，采购员花了元购进若干篮球和足球，问在第三次购进的足球数量不低于个且不多于个的情况下，采购员有哪几种购买方案？ 【答案】(1)第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元 (2)购买个篮球，个足球；购买个篮球，个足球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；找到等量关系与不等关系列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）设第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元，则第二次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元， 依题意列出方程组，解方程组，然后作答即可． （2）设第三次采购个篮球，则采购了个足球，依题意得，，解不等式，进而实际问题，篮球与足球数量均为正整数，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元，则第二次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元， 依题意得，， 解得，， ∴第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元． （2）解：设第三次采购个篮球，则采购了个足球， 依题意得：， 解得：； ∵为正整数，为正整数， ∴或15； ∴购买方案为：购买个篮球，个足球；购买个篮球，个足球． 类型三、方案问题 【典例3】根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】任务1：共有2种租车方案，如下： 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆 任务2：花费最少的是方案1，比预算节省了200元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 【变式3-1】随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ 【答案】(1)A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元 (2)共有4种不同的进货方案：①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台；②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台；③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台；④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元，根据6台A型号8台B型号的电扇收入3040元，12台A型号7台B型号的电扇收入4280元，列方程组求解； （2）设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台，根据“A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍，200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元”，列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：，解得：， 答：A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元． （2）解：①设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴，131，132，133， ∴，69，68，67， ∴共有4种不同的进货方案： ①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台； ②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台； ③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台； ④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台． 【变式3-2】为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的运用， （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 【变式3-3】某网店销售甲、乙两种遮阳帽，已知甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元（包邮），请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种遮阳帽每顶售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过2400元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过57顶，已知甲种遮阳帽每顶进价为30元，乙种遮阳帽每顶进价为15元，该网店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)该网店甲种遮阳帽每顶售价为40元，乙种遮阳帽每顶售价为20元 (2)该网店共有3种进货方案：方案1：购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶；方案2：购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶；方案3：购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式组成为解答本题的关键． （1）设该网店甲种遮阳帽每顶售价为x元，乙种遮阳帽每顶售价为y元，根据“甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组并求解即可； （2）设购进甲种遮阳帽m顶，则购进乙种遮阳帽顶，根据“该网店决定用不超过2400元，购进甲、乙两种遮阳帽共100顶且甲种遮阳帽的数量超过57顶”，即可得出关于m的一元一次不等式组，即可求出m的取值范围，最后根据m取整数的情况，确定各货方案． 【详解】（1）解：设该网店甲种遮阳帽每顶售价为x元，乙种遮阳帽每顶售价为y元， 依题意得：，解得：． 答：该网店甲种遮阳帽每顶售价为40元，乙种遮阳帽每顶售价为20元； （2）解：设购进甲种遮阳帽m顶，则购进乙种遮阳帽顶， 依题意得：，解得：． 又∵m为整数， ∴m可以为58，59，60， ∴该网店共有3种进货方案， 方案1：购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶； 方案2：购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶； 方案3：购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶． 类型四、其他问题 【典例4】某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格/（万元/台） 8 6 月处理污水量/（吨/月） 200 180 经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨． (1)企业有哪几种购买方案？ (2)哪种购买方案更省钱？ 【答案】(1)企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台 (2)购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱 【分析】本题主要考查对于一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． （1）设购买A型设备x台，则B型设备台，根据“企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨”列出不等式组进行求解即可； （2）求出当和时所需费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设购买A型设备x台，则B型设备台， 由题意得， 解得 ∵，且x为正整数， ∴x可取3和4， 故当购买A型设备3台，则B型设备5台；购买A型设备4台，则B型设备4台． 答：企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台． （2）解：当时，（万元） 当时，（万元） ∵， ∴当购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱． 【变式4-1】为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A、B两种型号设备的月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） a 处理污水量（吨/月） 240 180 (1)设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为 万元； (2)求A、B两种型号的设备的价格； (3)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)A型设备的价格为12万元/台，B型设备的价格为10万元/台 (3)购买1台A型设备，9台B型设备 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意并正确列方程和方程组是解题关键． （1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，即可用含a的代数式表示出B型设备每台的价格； （2）根据购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设购买m台A型设备，则购买台B型设备，根据“市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出m的值，利用总价=单价×数量，分别求出m取各值时所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：∵购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，且A型设备每台的价格为a元， ∴B每台的价格为万元． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴（万元/台）． 答：A型设备的价格为12万元/台，B型设备的价格为10万元/台． （3）解：设购买m台A型设备，则购买台B型设备， 依题意得：， 解得：， ∵m为整数， ∴m可以取1或2． 当时，，所需费用为（万元）； 当时，，所需费用为（万元）． ∵， ∴最省钱的购买方案为：购买1台A型设备，9台B型设备． 【变化4-2】为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键． （1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可； （2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，根据题意列出不等式组求出整数解即可． 【详解】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人； （2）解：师生总数为（人）， ∵每位老师负责一辆车的组织工作， ∴一共租8辆车， 设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆， 根据题意，得： ， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可取3，4，5， ∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆． 【变式4-3】根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 【答案】任务1：长方体的高度为；任务2：共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒；任务3：方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为2350元 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解； 任务3：根据题意列出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：83，84，85， ∴共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒； 任务3：由题意，根据任务2中的三种方案可得， ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额（元）． ∴方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为（元）． 一、单选题 1．某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元的资金购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元．若每种笔记本至少买5本，则购买方案有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的应用，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． 设购买x本A种笔记本，根据B种笔记本的数量分类讨论即可解答． 【详解】解：设购买x本A种笔记本，y本B种笔记本．则，， 当购买5本B种笔记本时， ∴，解得：， 又∵为正整数， ∴x可以为5，6， ∴当购买5本B种笔记本时，有2种购买方案； 当购买6本B种笔记本时， ，解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为5， ∴购买6本B种笔记本时，有3种购买方案； 当购买7本B种笔记本时，， 不等式组无解，即不存在该种情况． 上所述，购买方案共有（种）． 故选：C． 2．研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，熟悉掌握不等式的运算法则是解题的关键． 根据心率的最高值和最低值列出不等式，再把年龄代入求解即可． 【详解】解：∵最佳燃脂心率最高值为，最低值为， ∴ ∴把年龄代入可得：， ∴， ∴不等式的解集为：， 故选：C． 3．某校准备组织名学生进行野外考查活动，行李共有件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．设租用甲种汽车辆，下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组的应用，解题的关键是理解题意．设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，根据行李和学生人数列不等式组即可求解． 【详解】解：设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，对于人数需要满足：， 对于行李则要满足：， 故选：A． 二、填空题 4．现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍间数为 ． 【答案】5或6 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式组．设宿舍间数为x,则住宿生有人，若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，据此可列不等式组，求得，因x为正整数，即可得到答案． 【详解】解：设宿舍为x间，则住宿生有人， 根据题意得， 解得， ∵x为正整数， ∴x可取5或6， 故答案为：5或6． 三、解答题 5．某地脱贫攻坚，大力发展有机农业，种植了甲、乙两种蔬菜．某超市花430元可购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克；花212元可购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克． (1)求该超市购进甲、乙两种蔬菜的单价分别为多少元？ (2)若该超市每天购进甲、乙两种蔬菜共计100千克（甲、乙两种蔬菜重量均为整数），且花费资金不少于1160元又不多于1200元，问该超市有多少种购进方案？ 【答案】(1)甲种蔬菜的单价为10元，乙种蔬菜的单价为14元 (2)共有11种方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）设甲单价x元，乙单价y元，根据题意列出方程组计算即可； （2）设购进甲m千克，则购进乙千克，根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）设甲单价x元，乙单价y元， 根据题意，得， 解得， ∴甲种蔬菜的单价为10元，乙种蔬菜的单价为14元； （2）设购进甲m千克，则购进乙千克， 由题意得：， 解得：， ∵是整数 ∴的值可以为50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，60，共11种方案． 6．一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 【答案】(1)这两种水果获得的总利润为元； (2)该经营户第二天批发车厘子，苹果 【分析】（1）设第一天，该经营户批发车厘子，苹果，根据该经营户用元批发了车厘子和苹果共，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润每千克的销售利润销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）该经营户购进车厘子，则购进苹果，根据“车厘子的进货量不低于，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发车厘子，苹果， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：这两种水果获得的总利润为元； （2）设第二天，该经营户购进车厘子，则购进苹果， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴， ∴． 答：该经营户第二天批发车厘子，2苹果． 7．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元． (1)求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案； 【答案】(1)甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元； (2)共有四种方案，方案一：购进甲种型号微波炉7台、乙种型号微波炉13台；方案二：购进甲种型号微波炉8台、乙种型号微波炉12台；方案三：购进甲种型号微波炉9台、乙种型号微波炉11台；方案四：购进甲种型号微波炉10台、乙种型号微波炉10台． 【分析】本题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用， （1）设甲种型号微波炉每台进价为x元，乙种型号微波炉每台进价为y元，根据题意建立方程组求解就可以求出答案； （2）设购进甲种型号微波炉a台，则购进乙种型号微波炉台，根据“用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台”建立不等式组，求出其解就可以得出结论． 【详解】（1）解：设甲种型号微波炉每台进价为x元，乙种型号微波炉每台进价为y元， 根据题意得， 解得：， 答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元； （2）解：设购进甲种型号微波炉a台，则购进乙种型号微波炉台， 根据题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴共有四种方案， 方案一：购进甲种型号微波炉7台、乙种型号微波炉13台； 方案二：购进甲种型号微波炉8台、乙种型号微波炉12台； 方案三：购进甲种型号微波炉9台、乙种型号微波炉11台； 方案四：购进甲种型号微波炉10台、乙种型号微波炉10台． 8．如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 【答案】(1)6 (2)存钱罐里大约有个1元硬币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用． （1）设每个1元硬币的质量为，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设存钱罐里有个1元硬币，根据题意列出不等式组，，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每个1元硬币的质量为，10个1元硬币的质量为， 由题意得， 解得， 答：每个1元硬币的质量为； 故答案为：6； （2）解：设存钱罐里有个1元硬币， 当时，由题意得， 解得， 当时，由题意得， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴， 答：存钱罐里大约有个1元硬币． 9．认真阅读下面三个人的对话． 小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱）． 售货员：本来你用10元钱买一盒饼干是有剩余的，但再买一袋牛奶就不够了．不过今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱． 旁观者：一盒饼干的标价可是整数哦！ 根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？ 【答案】饼干的标价为每盒9元，牛奶的标价为每袋1.1元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用．设一盒饼干x元，则一袋牛奶为元，根据元买一盒饼干有剩余的钱，买一盒饼干和一袋牛奶10元不够，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设一盒饼干x元，则一袋牛奶为元，根据题意得： ， 解得：， ∵一盒饼干的价钱为整数元， ∴， （元）， 答：一盒饼干9元，则一袋牛奶为1.1元． 10．炎炎夏日，人们经常会吃水果来解渴，印盒李子和重桥葡萄深受当地人喜爱，常青水果店购进印盒李子和重桥葡萄，决定在夏季售卖． (1)如果李子较小，那么10斤李子至少能卖40元，如果李子较大，那么5斤最多能卖到50元，求印盒李子价格的范围． (2)已知重桥葡萄进价是8元一斤，并且水果店经过谈判，决定李子的价格为每斤7元，现在订购两种水果共70斤，请写出所有购进葡萄至少18斤，价格小于等于510元的方案，并求出最划算的方案．（购买斤数为整数） 【答案】(1)印盒李子价格的范围为最低4元，最高10元 (2)最划算的方案为购买购进葡萄斤，则购进李子斤． 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，找到不等关系，正确列出不等式组是解题的关键． （1）设印盒李子价格为每斤x元，如果李子较小，那么10斤李子至少能卖40元，如果李子较大，那么5斤最多能卖到50元，据此列出不等式组，解不等式组即可； （2）设购进葡萄m斤，则购进李子斤，购进葡萄至少18斤，价格小于等于510元，据此列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设印盒李子价格为每斤x元，根据题意可得， 解得， 答：印盒李子价格的范围为最低4元，最高10元． （2）设购进葡萄m斤，则购进李子斤，有题意可得， ， 解得， 当时，； 当时，； 当时，； ∴最划算的方案为购买购进葡萄斤，则购进李子斤． 11．每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间．某农业合作社租用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割．已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩． (1)求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？ (2)每台中型收割机和每台小型收割机每天的租金分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩，合作社计划租用两型收割机共8台，在5天时间内将小麦全部收割，要使租用收割机的总金额不超过65000元，试求出所有满足条件的租用方案．并指出最经济的方案，计算出此种方案的总租金． 【答案】(1)每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩 (2)方案1、租用5台中型收割机，3台小型收割机；方案2、租用6台中型收割机，2台小型收割机；最经济的方案为：方案1，此种方案的总租金为60000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准各数量之间的关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）设每台中型收割机平均每天收割小麦亩，每台小型收割机平均每天收割小麦亩，根据“1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩”，可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用台中型收割机，则租用台小型收割机，根据“恰好用5天时间将小麦全部收割，且租用收割机的总费用不超过65000元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租用方案，分别计算各租用方案的租金进行比较即可． 【详解】（1）解：设每台中型收割机平均每天收割小麦亩，每台小型收割机平均每天收割小麦亩， 由题意得：， 解得：， 答：每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩； （2）解：设租用台中型收割机，则租用台小型收割机， 由题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为5或6， 共有2种租用方案， 方案1、租用5台中型收割机，3台小型收割机； 方案2、租用6台中型收割机，2台小型收割机； 方案1租金为：（元）， 方案2租金为：（元）， ， 最经济的方案为：方案1：租用5台中型收割机，3台小型收割机，此种方案的总租金为60000元． 12．某汽车销售公司购进A，B两种型号的汽车，其中购进2辆A型汽车和3辆B型汽车需60万元；购进辆型汽车和辆型汽车需万元． (1)求A型和B型汽车每辆的进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司每辆A型汽车售价为15.8万元，每辆B型汽车售价为10.5万元，该公司准备用不超过400万元购进A，两种型号汽车辆，且两种型号的汽车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有哪几种购车方案？在几种方案中，分别获利多少万元？ 【答案】(1)A型汽车进价为15万元，B型汽车进价为10万元 (2)种；方案一：购进型辆，型辆，获利万元；方案二：购进型辆，型辆，获利万元；方案三：购进型辆，型辆，获利万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购进型汽车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，根据为正整数，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元 由题意得 解得 答：型汽车进价为万元，型汽车进价为万元； （2）设购进型汽车辆 由题意得 解得 ∵取正整数 ，，， 所以共有种方案 方案一：购进型辆，型辆，（万元） 方案二：购进型辆，型辆，（万元） 方案三：购进型辆，型辆，（万元） 13．某旅游景点的一个商场为了抓住国庆节长假这一旅游旺季的商机，决定购进甲，乙两种纪念品．若购进甲种纪念品件，乙种纪念品件，需要元；购进甲种纪念品件，乙种纪念品件，需要元． (1)购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商场决定购进甲乙两种纪念品共件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于元，同时甲种纪念品又不能超过件，则该商场共有几种进货方案？ (3)若销售每件甲种纪念品可获利元，每件乙种纪念品可获利元，在第（）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进甲种纪念品每件需要元，购进甲种纪念品每件需要元； (2)共有种进货方案； (3)购进甲种纪念品件，乙种纪念品件利润最大，最大利润是元． 【分析】（）设购进甲种纪念品每件需要元，购进甲种纪念品每件需要元，根据题意列出方程组即可求解； （）设购进甲种纪念品件，则乙种纪念品件，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，再根据只能取整数，得出进货方案； （）甲种纪念品获利最高，可得甲种纪念品的数量越多总利润越高，即得购进甲种纪念品件，乙种纪念品件利润最高，据此计算即可求解； 此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，购进甲种纪念品每件需要元， 依题意得，， 解得， 答：购进甲种纪念品每件需要元，购进甲种纪念品每件需要元； （2）解：设购进甲种纪念品件，则乙种纪念品件， 依题意得，， 解得， ∵只能取正整数， ∴共有种进货方案； （3）解：∵甲种纪念品获利最高， ∴甲种纪念品的数量越多总利润越高， ∴选择购进甲种纪念品件，乙种纪念品件利润最高， 总利润元， 答：购进甲种纪念品件，乙种纪念品件利润最大，最大利润是元． 14．为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨． (1)求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ (2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请求出共有几种购买方案？哪种购买方案的费用是最少？ 【答案】(1)A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨； (2)有三种购买方案；选择购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台所需资金最少． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用： （1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备台，根据题意，列不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨， 由题意，得， 解得， 答：A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨； （2）解：设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备台， 则 解得，， ∵a为整数 ∴a取13，14，15 ∴共有三种购买方案 方案一：购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台； 方案二：购买A型污水处理设备14台，购买B型污水处理设备6台； 方案三：购买A型污水处理设备15台，购买B型污水处理设备5台； 方案一所需资金：万元； 方案二所需资金：万元； 方案三所需资金：万元； ∵， ∴选择方案一所需资金最少． 15．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 【答案】(1)， (2)三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人 ②招聘工种工人人，工种工人人 ③招聘工种工人人，工种工人人 方案③，万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键． （1）设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，根据题意列方程求解即可； （2）设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元， 根据题意可列方程：， 解得：， 则， 、两个工种工人的月工资分别为万元、万元； （2）解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人， 根据题意可列不等式组： ， 解得：， 为整数， 的值为、、， 该车间共有三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人； ②招聘工种工人人，工种工人人； ③招聘工种工人人，工种工人人； 工种工人的月工资比工种工人的月工资低， 招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少， 招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元， 答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元一次不等式组的应用压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、分配问题 1 类型二、销售﹑利润问题 2 类型三、方案问题 4 类型四、其他问题 6 压轴能力测评（15题） 8 一元一次不等式（组）应用题的解法步骤：审，设，列，解，答。 审题过程中，找不等量关系时，多注意“不超过”、“低于”、“不少于”等不等量关系的词语；不等式组的应用题也常和方程结合，不等式的解作为方案类问题选择的范围，取整后得到对应方案。 类型一、分配问题 【典例1】某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？ 【变式1-1】把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 【变式1-2】某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 【变式1-3】有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带瓶，则剩余瓶；若每人带瓶，则有个人带了矿泉水，但不足瓶．这家人参加登山的人数为 ． 类型二、销售﹑利润问题 【典例2】随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【变式2-1】袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． (1)求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ 【变式2-2】某校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1500元；若购买甲种书柜2个，乙种书柜1个，共需资金600元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共30个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金6420元，请为学校设计一种比较实惠的方案． 【变式2-3】综合与实践：某学校计划购进一些足球和篮球，采购员第一次购进了足球个，篮球个，共花费元；第二次购进时，足球每个涨价，篮球每个优惠，采购员又购进了个足球和个篮球，共花费元． (1)求第一次购进的足球和篮球的单价． (2)如果第三次采购是以第一次的价格进行采购，采购员花了元购进若干篮球和足球，问在第三次购进的足球数量不低于个且不多于个的情况下，采购员有哪几种购买方案？ 类型三、方案问题 【典例3】根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【变式3-1】随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ 【变式3-2】为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【变式3-3】某网店销售甲、乙两种遮阳帽，已知甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元（包邮），请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种遮阳帽每顶售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过2400元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过57顶，已知甲种遮阳帽每顶进价为30元，乙种遮阳帽每顶进价为15元，该网店有哪几种进货方案？ 类型四、其他问题 【典例4】某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格/（万元/台） 8 6 月处理污水量/（吨/月） 200 180 经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨． (1)企业有哪几种购买方案？ (2)哪种购买方案更省钱？ 【变式4-1】为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A、B两种型号设备的月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） a 处理污水量（吨/月） 240 180 (1)设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为 万元； (2)求A、B两种型号的设备的价格； (3)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【变化4-2】为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【变式4-3】根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 一、单选题 1．某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元的资金购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元．若每种笔记本至少买5本，则购买方案有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 3．某校准备组织名学生进行野外考查活动，行李共有件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．设租用甲种汽车辆，下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍间数为 ． 三、解答题 5．某地脱贫攻坚，大力发展有机农业，种植了甲、乙两种蔬菜．某超市花430元可购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克；花212元可购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克． (1)求该超市购进甲、乙两种蔬菜的单价分别为多少元？ (2)若该超市每天购进甲、乙两种蔬菜共计100千克（甲、乙两种蔬菜重量均为整数），且花费资金不少于1160元又不多于1200元，问该超市有多少种购进方案？ 6．一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 7．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元． (1)求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案； 8．如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 9．认真阅读下面三个人的对话． 小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱）． 售货员：本来你用10元钱买一盒饼干是有剩余的，但再买一袋牛奶就不够了．不过今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱． 旁观者：一盒饼干的标价可是整数哦！ 根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？ 10．炎炎夏日，人们经常会吃水果来解渴，印盒李子和重桥葡萄深受当地人喜爱，常青水果店购进印盒李子和重桥葡萄，决定在夏季售卖． (1)如果李子较小，那么10斤李子至少能卖40元，如果李子较大，那么5斤最多能卖到50元，求印盒李子价格的范围． (2)已知重桥葡萄进价是8元一斤，并且水果店经过谈判，决定李子的价格为每斤7元，现在订购两种水果共70斤，请写出所有购进葡萄至少18斤，价格小于等于510元的方案，并求出最划算的方案．（购买斤数为整数） 11．每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间．某农业合作社租用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割．已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩． (1)求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？ (2)每台中型收割机和每台小型收割机每天的租金分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩，合作社计划租用两型收割机共8台，在5天时间内将小麦全部收割，要使租用收割机的总金额不超过65000元，试求出所有满足条件的租用方案．并指出最经济的方案，计算出此种方案的总租金． 12．某汽车销售公司购进A，B两种型号的汽车，其中购进2辆A型汽车和3辆B型汽车需60万元；购进辆型汽车和辆型汽车需万元． (1)求A型和B型汽车每辆的进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司每辆A型汽车售价为15.8万元，每辆B型汽车售价为10.5万元，该公司准备用不超过400万元购进A，两种型号汽车辆，且两种型号的汽车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有哪几种购车方案？在几种方案中，分别获利多少万元？ 13．某旅游景点的一个商场为了抓住国庆节长假这一旅游旺季的商机，决定购进甲，乙两种纪念品．若购进甲种纪念品件，乙种纪念品件，需要元；购进甲种纪念品件，乙种纪念品件，需要元． (1)购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商场决定购进甲乙两种纪念品共件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于元，同时甲种纪念品又不能超过件，则该商场共有几种进货方案？ (3)若销售每件甲种纪念品可获利元，每件乙种纪念品可获利元，在第（）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 14．为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨． (1)求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ (2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请求出共有几种购买方案？哪种购买方案的费用是最少？ 15．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$