数学（新高考八省专用01）-学易金卷：2025年高考押题预测卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考押题预测卷 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考押题预测卷 高三数学（新高考八省专用01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 3．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，且与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（   ） A． B． C．36 D．27 8．已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设抛物线的焦点为，过的直线交轴的负半轴于点，交抛物线于两点，，，过作抛物线的切线交轴于点，则（    ） A． B．直线的斜率为 C． D．的面积为 10．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（    ） A．在上是“弱减函数” B．在上是“弱减函数” C．若在上是“弱减函数”，则 D．若在上是“弱减函数”，则 11．沿着下面左图纸带宽的三等分线（虚线）剪开，不能得到的剪开图是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知且，，函数，若，则 . 13．袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是 . 14．曲线所围成的封闭图形的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某地区为了检测某种农业有机肥料的效果，农业专家播撒肥料到200块试验田中，一段时间后测量土地的某项肥力指标，按，，，，分组，绘制成如下频率分布直方图.试验后发现，产生土地肥力的为160块，其中该项指标不小于60的有110块.假设各块试验田播撒肥料后是否产生肥力相互独立. (1)填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关； 指标值 合计 小于60 不小于60 产生肥力 未产生肥力 合计 (2)为了检验有机肥第二次播撒的有效性，对第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒，结果又有20块试验田产生肥力.用频率估计概率，求一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16．（15分） 设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 17．（15分） 已知函数. (1)若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程； (2)若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围. 18．（17分） 已知椭圆的一个焦点短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 19．（17分） 球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.    (1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. (2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考押题预测卷 数学（新高考八省专用01）·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．【答案】D 【解析】由题意可得，则. 故选：D. 2．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 2．【答案】B 【解析】因为函数的最小正周期， 所以函数的最小正周期为. 故选：B. 3．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．【答案】D 【解析】因为，所以，即， 所以，所以， 故选:D． 4．已知向量，，且与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 4．【答案】D 【解析】因为向量，，且与的夹角为， 所以，，即，可得，解得， 故选：D. 5．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．【答案】B 【解析】由题意双曲线，所以，， 由计算得：，又因为双曲线的离心率为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 其渐近线方程为． 故选：B. 6．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．【答案】B 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 7．已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（   ） A． B． C．36 D．27 7．【答案】D 【解析】因为，且，所以， 由余弦定理得：， 即即，即， 所以， 所以的面积为. 故选：D. 8．已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】因为函数与均是增函数， 所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得， 由得，即恒成立， 所以，当时，函数取得最大值，所以，，即， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设抛物线的焦点为，过的直线交轴的负半轴于点，交抛物线于两点，，，过作抛物线的切线交轴于点，则（    ） A． B．直线的斜率为 C． D．的面积为 9．【答案】ABD 【解析】因为为，所以，故A正确； 设，因此，由，从而，直线的斜率为，故B正确； 直线的方程为， 所以或， 因此可求得，，可得，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为， 方程为，因此， 所以的面积为，故D正确． 故选：ABD． 10．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（    ） A．在上是“弱减函数” B．在上是“弱减函数” C．若在上是“弱减函数”，则 D．若在上是“弱减函数”，则 10．【答案】BD 【解析】对于A选项，因为函数在上不是增函数，故A不满足条件； 对于B选项，，当时，，故函数在上是减函数. 令，则， 故函数在上为增函数，故B满足条件； 对于C选项，若在上单调递减，由，得， 故的单调递减区间为. 若在上单调递增，则. 故若在上是“弱减函数”，则，故C错误； 对于D选项，若在上单调递减， 则在上恒成立，即. 令， 则，令， 则， 则在上单调递减，故. 故，在上单调递减，. 所以，解得. 若在上单调递增， 则在上恒成立， 所以. 令， 则， 所以在上单调递增，. 所以，解得. 综上，，故D正确. 故选:BD. 11．沿着下面左图纸带宽的三等分线（虚线）剪开，不能得到的剪开图是（    ） A． B． C． D． 11．【答案】ACD 【解析】解：因为纸带是由一个长方形纸条一端扭曲180°后粘贴而成封闭环，沿着三等分线剪开时，会一次性剪完纸带的所有三等分线． 所以剪开图是两个套在一起的环，并且两个环的宽度是原纸带环宽度的.正确剪开图是B． 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知且，，函数，若，则 . 12．【答案】 【解析】函数， 则， 简化可得：，即， 所以. 故答案为：. 13．袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是 . 13．【答案】 【解析】根据题意可知：有放回地依次随机抽取四张卡片可得所有情况有种， 任意两张卡片数字之和不为5的情况有： ①1111，2222，3333，4444，都各有1种， ②1112，1122，1222，有种， ③1113，1133，1333，有种， ④2224，2244，2444有种， ⑤3334，3344，3444有种， 故总的情况有， 故有两张卡片数字之和为5的概率是， 故答案为：. 14．曲线所围成的封闭图形的面积为 ． 14．【答案】 【解析】对于曲线， 在上式中，将y换成得，即曲线关于x轴对称， 将x换成得，即曲线关于y轴对称， 因此只需考虑在第一象限的情形， 当，时曲线即，即， 所以曲线在第一象限内与x轴所围成的图形是由半径为的圆去掉一个等腰直角三角形而形成的图形， 根据对称性可得曲线所围成的封闭图形为下图阴影部分， 所以所围成的封闭图形的面积． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某地区为了检测某种农业有机肥料的效果，农业专家播撒肥料到200块试验田中，一段时间后测量土地的某项肥力指标，按，，，，分组，绘制成如下频率分布直方图.试验后发现，产生土地肥力的为160块，其中该项指标不小于60的有110块.假设各块试验田播撒肥料后是否产生肥力相互独立. (1)填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关； 指标值 合计 小于60 不小于60 产生肥力 未产生肥力 合计 (2)为了检验有机肥第二次播撒的有效性，对第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒，结果又有20块试验田产生肥力.用频率估计概率，求一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】（1）在指标内的有块， 同理：内的有25块，内的有35块，内的有100块， 内的有30块， 指标值 指标值 产生肥力 50 110 未产生肥力 20 20 ，（3分） 所以根据列联表及的独立性检验，不能认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关.（5分） （2）由题意，第一次播撒后产生肥力的频数为160， 第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒后产生肥力的频数为20，（9分） 则一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的频率为，以频率估计概率，这块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率为.（13分） 16．（15分） 设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 【解析】（1）当时，，即， 则，而，则，（2分） 于是时，，整理得，又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列.（4分） （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则，（6分） 因此，数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式.（8分） （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则．（10分） 不等式，（12分） 当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此， 所以实数的取值范围是，的最小值为.（15分） 17．（15分） 已知函数. (1)若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程； (2)若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以，而，得到切点为， 设切线斜率为，由导数的几何意义得， 则切线方程为，（3分） 而切线l过点，得到， 解得，此时l的方程为， 即，则l的方程为.（6分） （2）因为， 且，所以， 令， 则． 因为有两个不同的极值点，，（），（8分） 所以当时，，则只有一个极值点，不符合题意， 当且， ①当，，即时， 当时，恒成立，即，即恒成立， 设 ，则， 所以在上单调递减， 则，则，故；（10分） ②当，，即时， 当时，恒成立，即恒成立， 若，则当时，，不满足题意， 所以，此时，即，（13分） 设 ，则， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，故， 综上，的取值范围是．（15分） 18．（17分） 已知椭圆的一个焦点短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意得，所以， 则椭圆的标准方程为.（4分） （2）（i）由题意得，， 当直线斜率为0时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外； 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 由可得，， 恒成立，（6分） 设， 则， ，（8分） 故在以为直径的圆外.（9分） （ii）当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形，（11分） 当斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 设中点为，又，由（i）得， ，由于在直线上，所以，（13分） 直线的斜率为，所以. ， 因为是等边三角形，所以，则，（15分） 解得，即， 故直线的方程为或.（17分） 19．（17分） 球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.    (1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. (2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 【解析】（1）因为球面三角形的三条边长均为， 所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体. 取的中点，连接，则，且， 则为二面角的平面角.（2分） 由余弦定理可得. 所以此球面三角形一个内角的余弦值为.（4分） （2）因为平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，即为球的直径，所以.（6分） 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则令，则，（8分） 所以线段长度的最小值为.（9分） （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则取，可得.（11分） 设平面的一个法向量为， 则取，可得.（13分） 设平面与平面的夹角为. 因为 ，（15分） 令，则， 可得， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值， 故.（17分） 4 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考押题预测卷 高三数学（新高考八省专用01）·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D D B B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）在指标内的有块， 同理：内的有25块，内的有35块，内的有100块， 内的有30块， 指标值 指标值 产生肥力 50 110 未产生肥力 20 20 ，（3分） 所以根据列联表及的独立性检验，不能认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关.（5分） （2）由题意，第一次播撒后产生肥力的频数为160， 第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒后产生肥力的频数为20，（9分） 则一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的频率为，以频率估计概率，这块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）当时，，即， 则，而，则，（2分） 于是时，，整理得，又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列.（4分） （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则，（6分） 因此，数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式.（8分） （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则．（10分） 不等式，（12分） 当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此， 所以实数的取值范围是，的最小值为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为， 所以，而，得到切点为， 设切线斜率为，由导数的几何意义得， 则切线方程为，（3分） 而切线l过点，得到， 解得，此时l的方程为， 即，则l的方程为.（6分） （2）因为， 且，所以， 令， 则． 因为有两个不同的极值点，，（），（8分） 所以当时，，则只有一个极值点，不符合题意， 当且， ①当，，即时， 当时，恒成立，即，即恒成立， 设 ，则， 所以在上单调递减， 则，则，故；（10分） ②当，，即时， 当时，恒成立，即恒成立， 若，则当时，，不满足题意， 所以，此时，即，（13分） 设 ，则， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，故， 综上，的取值范围是．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意得，所以， 则椭圆的标准方程为.（4分） （2）（i）由题意得，， 当直线斜率为0时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外； 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 由可得，， 恒成立，（6分） 设， 则， ，（8分） 故在以为直径的圆外.（9分） （ii）当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形，（11分） 当斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 设中点为，又，由（i）得， ，由于在直线上，所以，（13分） 直线的斜率为，所以. ， 因为是等边三角形，所以，则，（15分） 解得，即， 故直线的方程为或.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为球面三角形的三条边长均为， 所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体. 取的中点，连接，则，且， 则为二面角的平面角.（2分） 由余弦定理可得. 所以此球面三角形一个内角的余弦值为.（4分） （2）因为平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，即为球的直径，所以.（6分） 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则令，则，（8分） 所以线段长度的最小值为.（9分） （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则取，可得.（11分） 设平面的一个法向量为， 则取，可得.（13分） 设平面与平面的夹角为. 因为 ，（15分） 令，则， 可得， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值， 故.（17分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考押题预测卷 高三数学（新高考八省专用01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 3．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，且与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（   ） A． B． C．36 D．27 8．已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设抛物线的焦点为，过的直线交轴的负半轴于点，交抛物线于两点，，，过作抛物线的切线交轴于点，则（    ） A． B．直线的斜率为 C． D．的面积为 10．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（    ） A．在上是“弱减函数” B．在上是“弱减函数” C．若在上是“弱减函数”，则 D．若在上是“弱减函数”，则 11．沿着下面左图纸带宽的三等分线（虚线）剪开，不能得到的剪开图是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知且，，函数，若，则 . 13．袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是 . 14．曲线所围成的封闭图形的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某地区为了检测某种农业有机肥料的效果，农业专家播撒肥料到200块试验田中，一段时间后测量土地的某项肥力指标，按，，，，分组，绘制成如下频率分布直方图.试验后发现，产生土地肥力的为160块，其中该项指标不小于60的有110块.假设各块试验田播撒肥料后是否产生肥力相互独立. (1)填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关； 指标值 合计 小于60 不小于60 产生肥力 未产生肥力 合计 (2)为了检验有机肥第二次播撒的有效性，对第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒，结果又有20块试验田产生肥力.用频率估计概率，求一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16．（15分） 设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 17．（15分） 已知函数. (1)若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程； (2)若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围. 18．（17分） 已知椭圆的一个焦点短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 19．（17分） 球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.    (1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. (2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$各的去现地的士 2025年高考押题预测卷 在的现义苦,出到的阻以的无! 四、解答题(共77分,答应写出文字说明,证过程或满算步) 15.口) 高三数学·答题卡 15.1) 章 考证: 注意事 士.节遇:考%记花:考证号站 技。计达在段点考贴号。 贴条形码区 n 2. 选择必铅笔填洁,选择远必用 :字工势。笔迹清。 3.请按题号黑序在各逐日的答题区域作,坦 风域的无,在掉确,认上答起 此栏考生禁 考 4. 偏,不要析是,不要效 口 5. i1 一.选择题(每小题5分,共40分) 11]i问 ,]sCp] 18m1c 61Cp 1A田 , 71D m]e1 三.共1) 二、选择题(全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0 10Ap以D 11i]im 三.请空题(每小题5分,共15分 1 日题内,的耻的死 的,的比 数学第1疫(其点突) 第3耳 语在各日的选现作答,比②阻的符上! 1P 各日的内,到区皆家! ☆在现日题内些。计较时站论题的答无! 1.(17 7.0i5) 117) 1{ m2 各题的题内院,目区域的答实无效! 在纯甘, 在各的地内,位区的处 数学节5日(4 学第4页(8官 段 室(t4)