专题5.6 利用导数研究恒成立与存在性问题（3类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.6 利用导数研究恒成立与存在性问题 【知识梳理】 1 【考点1：恒成立问题】 2 【考点2：存在性问题】 7 【考点3：恒成立与存在性综合问题】 12 【知识梳理】 1、恒成立问题： (1)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I)． (2)对∀x1，x2∈D使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. [方法技巧] 不等式恒成立问题的求解策略 (1)已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下： (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ<0)求解．　　 2、存在性问题： (1)f(x)>g(x)对x∈I能成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I)． (2)对∀x1∈D1，∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min，f(x)的定义域为D1，g(x)的定义域为D2. [方法技巧] 不等式存在性问题的求解策略 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．　　 3、恒成立与存在性综合问题： （1）设函数、，对任意的，存在，使得，则 （2）设函数、，对任意的，存在，使得，则。 （3）设函数、，对任意的，存在，使得，则在上的值域M是在上的值域N的子集。即：MN。 （4）设函数、，存在，存在，使得，则 （5）设函数、，存在，存在，使得，则 【考点1：恒成立问题】 【知识点：恒成立问题】 1．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，构造函数，借助导数研究其单调性即可得解. 【详解】等价于， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 所以只需，即． 故选：B. 2．（2025高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，令，求得，进而可得对恒成立，进而令，利用导数求得，可求得实数的取值范围. 【详解】， ，解得， 对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 令，解得或， 易得在上单调递增，在上单调递减，故， 故实数的取值范围是. 故选：A. 3．（2025高二下·天津河西·阶段练习）对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，构造函数，结合导数判断函数单调性及最值情况，进而可得参数范围. 【详解】由已知， 不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 即函数在处取得最大值为， 所以， 故答案为：. 4．（2025高二下·全国·课后作业）设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ． 【答案】4 【分析】由题意求导得函数的单调区间，进一步由，且列不等式组即可求解. 【详解】由题意得，，令，解得，． ①当时，，单调递增； ②当时，，单调递减； ③当时，，单调递增． 所以只需，且即可， 由，可得， 由，可得， 综上可得，． 故答案为：4. 5．（2025高二上·广东东莞·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)极小值，无极大值 (2) 【分析】（1）利用求导判断函数单调性，即可求得极值； （2）由恒成立，转化为恒成立，继而结合求导得出的最小值即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）因为恒成立，得，， 令，，则， 当，，当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则， 所以的取值范围为. 6．（2025·辽宁·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在处的切线方程. （2）分析函数的单调性，求函数的最小值，根据可证. 【详解】（1）因为，所以， 则，则. 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 令，得. 令，得，则在上单调递减； 令，得，则在上单调递增. . 因为，所以，即. 7．（2025高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性； （2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可. 【详解】（1）由，则 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得， 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减． （2） 由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记则， 令，得，令，得，即在上单调递减， 令可得，即在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 【考点2：存在性问题】 【知识点：存在性问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 2．（2025高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离后得到在上有解，利用配方求出，得到实数的取值范围. 【详解】的定义域为， 由题意得在上有解， 即在上有解， 其中， 故，故实数的取值范围是. 故选：B 3．（2025高二下·四川宜宾·期中）已知，若∃，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为不等式在内有解，构造函数，，求出其最小值即可得解. 【详解】依题意可得不等式在内有解， 设，， 则， 由，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以， 所以. 故选：A. 4．（2025高二下·安徽黄山·期中）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数在区间上递增，根据题意问题等价于方程在上至少有两个不等正根，分离参数得，令，函数的图象与直线的图象至少有两个不同的公共点，再利用导数研究函数的单调性、极值即可求解. 【详解】解：， 设，则， 当时，，递增，当时，，递减， 故，故在区间上递增， 又∵，故在上单调递增． ∴在上的值域为． 又∵上的值域是，故，， 存在区间满足题意，等价于方程在上至少有两个不等正根， 分离参数得，令， 则题意等价于函数的图象与直线的图象至少有两个不同的公共点． ，得， 由得，当得， 得在递减，在递增， 又∵当时，，趋近于时，趋近于． ∴题意等价于， ∵，，， 故选：B． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】存在，使得可得， 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减， 则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（2025高二·全国·课后作业）已知函数，若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先将问题转化为，再利用导数求得，从而得解. 【详解】由题意可知，存在，使得，则． 因为，所以， 当时，，所以函数在上单调递增， 则，所以， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（2025高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【详解】（1）当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令，                    则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 8．（2025高二下·四川雅安·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极小值. (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）利用导数求的单调性，即可求极值. （2）将问题转化为在上，再应用导数求的最小值，即可求的范围． 【详解】（1）当时，则，令，得． 时，函数的单调递增区间为， 时，函数的单调递减区间为； 所以函数的极小值为. （2）由题设，在上， 设，则，显然当时恒成立， 所以在单调递增，则， 综上，，故． 【考点3：恒成立与存在性综合问题】 【知识点：恒成立与存在性综合问题】 1．（2025高二下·天津南开·期中）已知函数，，，，使不等式成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得，再利用导数求出最值，代入即可得解. 【详解】因为对，，使不等式成立，所以， 当时，，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为在上单调递减，所以， 所以，即. 故答案为：. 2．（2025高二上·河北邢台·阶段练习）函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数判断单调性，可得，判断的单调性，可得，根据 ，可得结果 【详解】由，所以 令，得或 又 当时， 当时， 所以函数在单调递减 在单调递增， 所以 又在单调递增 所以 根据题意：若，， 使得 即， 所以 可得得取值范围为 故答案为： 【点睛】本题主要考查恒成立与存在性问题的结合，这种题型往往转化为最值问题，属中档题. 3．（2025高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，） 【答案】C 【分析】原命题等价于，再求 以及解不等式即可. 【详解】，使得成立，则， 由题得， 所以函数在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增， 所以， 由题得， ∴ 故选：C 4．（2025高三上·江苏常州·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)对于，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号确定区间单调性； （2）问题化为对恒成立，讨论、求参数范围. 【详解】（1）由题设且， 当时在上递减； 当时，令， 当时在区间上递减； 当时在上递增． 所以当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为. （2）由题设知对恒成立． 当时，此时，不合题设，舍去． 当时，在上递增，只需符合． 综上：． 5．（2025高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数. （1）若，求曲线在处切线的方程； （2）求的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；（3）. 【分析】（1）求出切点处的导数值，利用导数的几何意义即可求解. （2）求解定义域和导数，利用导数的正负与函数单调性的关系得到结论． （3）由已知，转化为，由（2）知，当时，在上单调递增，值域为R，故不符合题意；当时，在上单调递增，上单调递减，故的极大值即为最大值，进而得到． 【详解】（1）由已知， ， 曲线在处切线方程为，即. （2）. ①当时，由于，故， 所以，的单调递增区间为，无单调递减区间. ②当时，由，得. 在区间上，，在区间上， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由已知，转化为， 由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意. (或者举出反例：存在，故不符合题意.) 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值即为最大值，， 所以， 解得. 6．（2025高二下·安徽合肥·阶段练习）已知函数在处取得极小值-2. (1)求实数的值； (2)若，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，求解即可. （2）问题等价于，利用导数法求得的最大值和最小值，从而可以求解. 【详解】（1）， 因为函数在处取得极小值-2， 所以，即，解得． 经检验，当，时，在处取到极小值， 所以，. （2）由（1）可知，，则 令，解得或， 而，所以当，时，单调递增； 当时，单调递减. 又 所以当时，. 若，都有成立， 只需，所以. 故实数的取值范围为. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导根据极值点的大小关系可得导函数正负区间，进而可得函数单调性； （2）由（1）在上的最小值为，再将题意转化为在上的最小值不大于在上的最小值，进而结合二次函数的最值讨论即可. 【详解】（1）∵，∴， 令，可得两根分别为1，， ∵，∴ 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． （2），，由（1）知， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴在上的最小值为． 对，，使，即 在上的最小值不大于在上的最小值，（*） 又， ∴①当时，，此时与（*）矛盾； ②当时，，同样与（*）矛盾； ③当时，，且当时，， 解不等式，可得， ∴实数b的取值范围为． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.6 利用导数研究恒成立与存在性问题 【知识梳理】 1 【考点1：恒成立问题】 2 【考点2：存在性问题】 4 【考点3：恒成立与存在性综合问题】 5 【知识梳理】 1、恒成立问题： (1)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I)． (2)对∀x1，x2∈D使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. [方法技巧] 不等式恒成立问题的求解策略 (1)已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下： (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ<0)求解．　　 2、存在性问题： (1)f(x)>g(x)对x∈I能成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I)． (2)对∀x1∈D1，∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min，f(x)的定义域为D1，g(x)的定义域为D2. [方法技巧] 不等式存在性问题的求解策略 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．　　 3、恒成立与存在性综合问题： （1）设函数、，对任意的，存在，使得，则 （2）设函数、，对任意的，存在，使得，则。 （3）设函数、，对任意的，存在，使得，则在上的值域M是在上的值域N的子集。即：MN。 （4）设函数、，存在，存在，使得，则 （5）设函数、，存在，存在，使得，则 【考点1：恒成立问题】 【知识点：恒成立问题】 1．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·天津河西·阶段练习）对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为 . 4．（2025高二下·全国·课后作业）设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ． 5．（2025高二上·广东东莞·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 6．（2025·辽宁·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 7．（2025高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【考点2：存在性问题】 【知识点：存在性问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·四川宜宾·期中）已知，若∃，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二下·安徽黄山·期中）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ． 6．（2025高二·全国·课后作业）已知函数，若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 . 7．（2025高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 8．（2025高二下·四川雅安·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极小值. (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 【考点3：恒成立与存在性综合问题】 【知识点：恒成立与存在性综合问题】 1．（2025高二下·天津南开·期中）已知函数，，，，使不等式成立，则的取值范围是 . 2．（2025高二上·河北邢台·阶段练习）函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是 . 3．（2025高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，） 4．（2025高三上·江苏常州·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)对于，使得，求实数的取值范围． 5．（2025高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数. （1）若，求曲线在处切线的方程； （2）求的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 6．（2025高二下·安徽合肥·阶段练习）已知函数在处取得极小值-2. (1)求实数的值； (2)若，都有成立，求实数的取值范围. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$