精品解析：上海市西中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

上海市市西中学2024学年度第二学期期中考试 高二数学 2025.4 一、填空题：（每题3分，3·12=36分） 1. 直线的倾斜角是____________． 【答案】##0 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系即可得结果. 【详解】易知直线的斜率为0， 设倾斜角为，其中， 由，可得. 故答案为： 2. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程． 【详解】由抛物线，可得， 抛物线的准线方程为， 故答案为：． 3. 事件A与事件B是独立的，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由独立事件的乘法公式即可得出答案. 【详解】因为事件A与事件B是独立的，且， 所以. 故答案为： 4. 某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为____________m/s． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意，求导可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，则， 即质点在时的瞬时速度为m/s． 故答案为： 5. 将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有____________种． 【答案】6 【解析】 【分析】先分为两组，再进行排列，得到答案. 【详解】先分为两组，再进行排列，故不同的分配方案为种. 故答案为：6 6. 两直线与的夹角为____________．（结果用反三角表示） 【答案】 【解析】 【分析】确定斜率，，根据夹角公式计算得到答案. 【详解】因为直线的斜率为， 直线的斜率为， 设两条直线的夹角为，则， 因为，所以． 故答案为： 7. 设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得： ，解得：. 所以的取值围为：. 故答案为：. 8. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求得，得到，进而求得切线的方程，得到答案. 【详解】由函数，可得，则， 即曲线在点处的切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 9. 直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，再利用两直线平行求出的值，最后利用平行直线间距离公式计算. 【详解】直线的斜率为，则直线的方程为，即， 因直线与直线平行，则，得， 则直线与之间的距离为. 故答案为： 10. 一组数据的平均值为3，方差为1，记的平均值为a，方差为b，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平均数和方差的运算性质可求出值，再求即可. 【详解】因为一组数据的平均值为3，方差为1， 所以的平均值为，方差为， 所以，，所以. 故答案为: 11. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案. 【详解】由题意得在上恒成立， ，故， 即， 令，， 则上恒成立， 故在上单调递减， 故， 故，故a的最小值为. 故答案为：. 12. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________． ①在区间上严格增；②是的极小值点； ③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点． 【答案】 【解析】 【分析】已知导函数的图象，结合图象可识别导数值的正负，从而判断函数的单调情况，由变号零点的先负后正或先正后负判断极小或极大值点即可得解. 【详解】当时，，此时，函数单调递减，①错误； 时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 则是的极小值点，②正确； 时，，函数单调递增，时，，函数单调递减， 则是的极大值点，③正确，④错误. 故答案为： 二、选择题（每题4分，4·4=16） 13. 直线必过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 14. 设函数在处存在导数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】因为函数在处存在导数为， 所以， 所以. 故选：D 15. 若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案. 【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 16. 已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可求解． 【详解】从的图象可以看出，在区间,内，导函数大于0，且在区间,内， 导函数单调递增，在区间,内，导函数单调递减， 所以函数在区间,内单调递增，且的图象在区间内,越来越陡峭， 在区间,内越来越平缓，故选项符合题意． 故选：B． 三、解答题（8+12+12+16） 17. 设． （1）若，求的值； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2）6561 【解析】 【分析】（1）令，得，根据二项展开式的通项公式可得. （2）令，得，令，得，根据平方差公式展开求解即可 【小问1详解】 令， 得，解得， 所以 【小问2详解】 当时， 令，得， 令，得， 即， 所以 18. 已知函数． （1）当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程． （2）若函数在处有极值，求函数的极值． 【答案】（1）、、； （2）极大值为；极小值为. 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，直线斜率不存在和斜率存在，斜率不存在时写出直线方程再检验，斜率存在时联立方程组，解即可； （2）先求导，解得出的值，再求导研究的单调性即可求极值. 【小问1详解】 当时，， 当直线斜率不存在时，与曲线有且仅有1个公共点，符合题意； 当直线斜率存在时，设， 联立，得， 因直线与曲线有且仅有1个公共点， 则，得或， 则直线的方程为：或 综上，符合条件的直线方程为、、. 小问2详解】 由，得， 因函数在处有极值，则，得， 则，， 则得或；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，极小值为． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最大值． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，利用导数与函数单调性的关系，可得答案； （2）由（1）所得函数单调性，利用分情况，可得答案. 小问1详解】 函数的定义域为，则． 因时，由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 当时，函数在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，此时，． 综上所述：. 20. 设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成． （1）若，求的值； （2）设，、分别为与轴的左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小； （3）过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围． 【答案】（1）2 （2） （3），离心率取值范围 【解析】 【分析】（1）由点在圆和双曲线上代入可解； （2）由双曲线的性质和在中由余弦定理可得； （3）由与的渐近线平行结合点斜式设出直线方程，利用点到直线的距离得到与相切，然后由点坐标为方程组的实数解解出，再联立与相切和圆的方程解出点坐标，令可得的范围；由离心率的齐次式计算可得. 【小问1详解】 将分别代入与可得，解得，因为，所以； 【小问2详解】 由题设，． 、的坐标分别为、，即为的两个焦点． 因为，所以点只能在上． 由双曲线的定义，可得，故． 在中，， 故； 【小问3详解】 由题设，直线的方程为，与的渐近线平行，故与有且仅有一个公共点． 由圆的圆心到直线的距离， 得与相切，即与有且仅有一个公共点． 由题意，与及各有一个公共点，依次记为、，且点的横坐标大于． 由点坐标为方程组的实数解，解得 由与相切，得，直线的方程为， 代入圆的方程，解得点的坐标为． 于是，由，即解得． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市市西中学2024学年度第二学期期中考试 高二数学 2025.4 一、填空题：（每题3分，3·12=36分） 1. 直线的倾斜角是____________． 2. 抛物线的准线方程为______． 3. 事件A与事件B是独立的，且，则________. 4. 某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为____________m/s． 5. 将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有____________种． 6. 两直线与的夹角为____________．（结果用反三角表示） 7. 设，若方程表示焦点在轴上椭圆，则的取值围是____________． 8. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 9. 直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为____________． 10. 一组数据的平均值为3，方差为1，记的平均值为a，方差为b，则_________. 11. 已知函数在区间上单调递增，则最小值为______． 12. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________． ①在区间上严格增；②是的极小值点； ③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点． 二、选择题（每题4分，4·4=16） 13. 直线必过定点（ ） A. B. C. D. 14. 设函数在处存在导数为，则（ ） A. B. C. D. 15. 若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ） A 0 B. 4 C. 8 D. 12 16. 已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（8+12+12+16） 17. 设． （1）若，求的值； （2）若，求的值； 18. 已知函数． （1）当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程． （2）若函数在处有极值，求函数的极值． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最大值． 20. 设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成． （1）若，求值； （2）设，、分别为与轴的左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小； （3）过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$