精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

2025年上学期九年级期中检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列实数中，比2大的数是（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键． 根据实数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：因为， 所以比2大的数是5， 故选：A． 2. 的出现为全球领域带来了新的活力和机遇，其日活用户数量在上线仅仅20天就突破了2000万大关，日活增长速度超过了当初爆火的，数据2000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，要正确确定的值以及的值是解决此题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可． 【详解】解：2000万， 故选：B． 3. 近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故原计算错误，此选项不符合题意； B、，故原计算错误，此选项不符合题意； C、，故原计算错误，此选项不符合题意； D、，故原计算正确，此选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，直线，交于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用平行线的性质可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 6. 如图，内接于，连结，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵， ∴， 故选：D． 7. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点可得A错误；根据一次函数的性质：可判断出B错误、C错误，D正确． 【详解】解：A、因为4×1−5＝−1≠2，所以它的图象不过点（1，2），错误； B、图象经过第一、四、三象限，错误； C、当x＜时，y＜0，错误； D、∵4＞0，∴y的值随x值的增大而增大，正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 8. 长沙市某中学开展“经典诵读”比赛活动，九年级某班7名同学在此次比赛中的得分单位：分分别是91，91，91，92，98，99，99，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 91，91 B. 91，91.5 C. 91，92 D. 99，92 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求众数和中位数，解题关键掌握众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据为众数；一组数据按大小排序，处在最中间的一个数据或最中间的两个数据的平均数为中位.． 【详解】解：∵得分为91分的有3人，人数最多， ∴这组数据的众数为91分， 把这组数据按照从小到大的顺序排列后处在第4名的成绩为92分， ∴这组数据的中位数为92分， 故选：C． 9. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意得到共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况， 恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是， 故选：A． 10. 如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为4，则的值为（ ） A. 26 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例系数的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标的特征．过作轴于，证明，求得，，得到，即可确定的值． 【详解】解：过作轴于，如图： 轴，轴， ， ， ，点是中点， ， ， ，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共18分． 11. 使有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≥6． 【解析】 【详解】试题解析：∵有意义， ∴x的取值范围是：x≥6． 考点：二次根式有意义的条件. 12. 分式方程＝1的解是______． 【答案】x=2． 【解析】 【分析】本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为（x+1）方程去分母后化为整式方程求解． 【详解】解：＝1 x=2 经检验x=2是原方程的解 故答案：x=2． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键，注意分式方程结果要检验． 13. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义、根与系数的关系．掌握相关结论是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，． 【详解】解：分别为一元二次方程的两个实数根， ， 故答案为：． 14. 某节活动课上，安安用一张半径为的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为，则这张扇形纸板的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 【详解】解：解：这张扇形纸板的面积为， 故答案为：． 15. 如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故答案为：10． 16. 甲、乙、丙三人进行乒乓球球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当5局裁判，乙、丙分别打了8局、13局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了___________局． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查推理与论证．先确定了乙与丙打了5局，甲与丙打了10局，进而确定三人一共打的局数和甲、乙、丙当裁判的局数，即可得到答案．解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法． 【详解】解：∵甲当了5局裁判， ∴乙、丙之间打了5局， 又∵乙、丙分别共打了8局、13局， ∴乙与甲打了局，丙与甲打了局， ∴甲、乙、丙三人共打了局， 故答案为：16． 三、解答题：本题共8小题，其中17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分，22、23题每小题9分，24、25题每小题10分，共72分． 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：计算，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键． 先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，将的值代入可得答案． 【详解】原式， 当时，原式． 19. 天心阁景区位于长沙市中心东南角，自古享有“潇湘古阁，秦汉名城”的赞誉，是三千年古城长沙最具代表性的文化旅游景点，也是长沙城标志性的历史建筑．景区内有古城墙、天心古阁等建筑，在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量天心阁主阁及城墙的高度，如图，他们选取的测量点与城墙底部在同一水平线上，为城墙的高，已知，在处测得平台的仰角，顶部的仰角为． （1）求城墙的高； （2）求主阁的高度．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）在中，，代入求解即可； （2）由在中，，可得，再求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴． 20. 人工智能（AI）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务．可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对初三年级开展5种AI兴趣课程，分别是：（编程基础）、（图像识别）、（语音交互）、（数据分析）、（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，学校从初三年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次随机抽取调查的总人数为_______，并补全图①中的条形统计图； （2）图②中项目对应的圆心角的度数为_______； （3）若该校初三年级共有500名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数． 【答案】（1）60；图见解析 （2）； （3）150人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图的应用以及用样本估计总体，解题的关键是能从两种统计图中获取有效信息，并进行相关计算． （1）根据C项目的人数和占比求出总人数，进而求出D项目人数以补充条形统计图； （2）根据圆心角公式求出项目E对应的圆心角度数； （3）根据样本中喜欢B模块的比例来估计总体中喜欢B模块的学生人数． 【小问1详解】 解：由统计图可知：组人数为9名，所占百分比为， ∴这次被调查的学生人数为（名）； 项目人数为（人）， 补全条形统计图如图： 故答案为：60； 【小问2详解】 解：解：项目对应的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：样本中喜欢（图像识别）模块的比例为， 该校初三年级共有500名学生，所以估计喜欢模块的学生人数为人， 答：喜欢（图像识别）模块的学生人数是150人． 21. 如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边三角形的性质得到，运用“边角边”即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 22. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元． （1）求，两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划用不超过元购进，两种头盔共个，销售个种头盔可获利元，销售1个种头盔可获利元，假如这些头盔能全部售出，请你帮商店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 【答案】（1）种头盔的单价是元，种头盔的单价是元； （2）购进类头盔个，类头盔个时，获得最大利润为元．理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解决本题的关键是根据一次函数的性质求最大利润． 设种头盔的单价是元，种头盔的单价是元，根据两种购买方式列出二元一次方程组，解方程组即可； ：设购进类头盔个，类头盔个，根据总费用不超过元，可得不等式，解不等式得到的取值范围；设总利润为元，根据每个头盔的利润可得一次函数，根据一次函数的性质可知的值越大，利润越，从而可知购进类头盔个，类头盔个时，获得最大利润为元． 【小问1详解】 解：设种头盔单价是元，种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元； 【小问2详解】 解：设购进类头盔个，类头盔个， 则， 解得：， 设总利润为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值元， 购进类头盔个，类头盔个时，获得最大利润为元． 23. 已知：如图，为的一条弦，延长的直径至点，连，使得． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定等，熟知切线的判定定理，相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，先由等边对等角得到，再由直径所对的圆周角是直角推出，则可证明，即，据此可证明结论； （2）证明，利用相似三角形的性质即可证明结论； （3）根据（2）所证，求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴为圆的切线； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于两点、，平面直角坐标系中存在一点，使得，则称为线段的“奇妙点”．例如：如图1，，为线段的“奇妙点”． （1）已知点，点．下列是线段的“奇妙点”的有 ； ①；②；③；④ （2）如图2，已知直线上有两点、，若x轴上存在线段的“奇妙点”，求m的取值范围； （3）如图3，二次函数与x轴交于、B两点，直线与抛物线交于、两点，连接，已知点为直线上方一点，点为线段的“奇妙点”，连接，点是线段上一点且，连接，求的最大值． 【答案】（1）①④； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，然后根据“奇妙点”的定义求解即可； （2）方法一：如图，首先得出、，设轴上存在点，根据题意得到，然后代入得到，然后利用判别式求解即可； 方法一：如图，首先求出，由轴上存在线段的“奇妙点”，设为点，得到在为直径的圆上，设圆心为点，然后根据切线的性质求解即可； （3）首先求出抛物线为，直线为，求出，，如图，过点作轴，交于点，在轴上作点，连接，得到，推出当、、共线时，最长，，进而求解即可． 【小问1详解】 如图所示，①；②；③；④ 由图可得，，，， ∴是线段的“奇妙点”的有①④； 【小问2详解】 方法一：如图， ∵直线上有两点、， ∴、， 设轴上存在点， ∵为线段的“奇妙点”， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∴； 方法二：∵、， ∴， ∵轴上存在线段的“奇妙点”，设为点， ∴在为直径的圆上，设圆心为点， 如图， ①当在轴下方且与轴相切时，， 点坐标为，此时； ②当在轴上方且与轴相切时，， 点坐标为，此时， ∴； 【小问3详解】 把代入得：， 把代入得：， ∴，即， ∴抛物线为，直线为， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴，交于点， 则点的坐标为， ∵为线段的“奇妙点”， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上， 在轴上作点，连接， ∴， ∴， 当、、共线时，最长，， ∴． 【点睛】本题考查二次函数，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形性质，圆的切线的性质的应用等知识，掌握数形结合的思想是解题的关键． 25. 我们知道，若矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，在艺术上和生活中也被广泛应用． （1）将矩形的短边长度设为，长边长度设为，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①若，则该矩形是黄金矩形；（ ） ②若该矩形是黄金矩形，且，则该矩形的面积是；（ ） ③若该矩形是黄金矩形，外接圆半径为，则一定是．（ ） （2）如图1，将一张矩形纸片进行如图所示的操作：①沿对角线折叠，得到折痕；②折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；③过点折叠纸片，使点分别落在边上，展开得到折痕，折痕与折痕交于点．如果矩形是一个黄金矩形，其中． ①求证：； ②求的余弦值． （3）如图2，在中，高为，，，矩形一边在边上，分别在上，交于点，且矩形是黄金矩形．该矩形以每秒1个单位的速度沿射线匀速向上运动（当矩形的边到达点时停止运动），设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】（1）①√；②√；③√ （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据黄金矩形的定义进行判断即可； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质，求出，根据等腰三角形的判定得出； ②设，则，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，求出即可； （3）根据相似三角形的判定和性质，求出，，，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴该矩形是黄金矩形，故此说法正确； ②∵该矩形是黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为，故此说法正确； ③∵该矩形是黄金矩形， ∴， ∴， ∵外接圆半径为， ∴矩形的对角线长为， 根据勾股定理得：， 即， 整理得：，故此说法正确． 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； ②∵， ∴设，则， 设，则， 在中，由勾股定理，可知：， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵矩形是黄金矩形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 当时，如图所示： 则，，， 根据平移可知：， ∴， ∴， 即， 解得：， ； 当时，如图所示： 则， 根据平移可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了黄金比，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期九年级期中检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列实数中，比2大的数是（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. 2. 的出现为全球领域带来了新的活力和机遇，其日活用户数量在上线仅仅20天就突破了2000万大关，日活增长速度超过了当初爆火的，数据2000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，交于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，内接于，连结，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 对于函数，下列结论正确是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. y的值随x值的增大而增大 8. 长沙市某中学开展“经典诵读”比赛活动，九年级某班7名同学在此次比赛中的得分单位：分分别是91，91，91，92，98，99，99，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 91，91 B. 91，91.5 C. 91，92 D. 99，92 9. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为4，则的值为（ ） A. 26 B. 16 C. 12 D. 8 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共18分． 11. 使有意义的x的取值范围是_________． 12. 分式方程＝1的解是______． 13. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则___． 14. 某节活动课上，安安用一张半径为的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为，则这张扇形纸板的面积为_________． 15. 如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 16. 甲、乙、丙三人进行乒乓球球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当5局裁判，乙、丙分别打了8局、13局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了___________局． 三、解答题：本题共8小题，其中17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分，22、23题每小题9分，24、25题每小题10分，共72分． 17 计算：； 18. 先化简，再求值：计算，其中． 19. 天心阁景区位于长沙市中心东南角，自古享有“潇湘古阁，秦汉名城”的赞誉，是三千年古城长沙最具代表性的文化旅游景点，也是长沙城标志性的历史建筑．景区内有古城墙、天心古阁等建筑，在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量天心阁主阁及城墙的高度，如图，他们选取的测量点与城墙底部在同一水平线上，为城墙的高，已知，在处测得平台的仰角，顶部的仰角为． （1）求城墙的高； （2）求主阁的高度．（参考数据：，结果保留整数） 20. 人工智能（AI）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务．可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对初三年级开展5种AI兴趣课程，分别是：（编程基础）、（图像识别）、（语音交互）、（数据分析）、（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，学校从初三年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次随机抽取调查的总人数为_______，并补全图①中的条形统计图； （2）图②中项目对应的圆心角的度数为_______； （3）若该校初三年级共有500名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数． 21. 如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元． （1）求，两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划用不超过元购进，两种头盔共个，销售个种头盔可获利元，销售1个种头盔可获利元，假如这些头盔能全部售出，请你帮商店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 23. 已知：如图，为的一条弦，延长的直径至点，连，使得． （1）求证：是切线； （2）求证：； （3）若，，求半径的长． 24. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于两点、，平面直角坐标系中存在一点，使得，则称为线段的“奇妙点”．例如：如图1，，为线段的“奇妙点”． （1）已知点，点．下列是线段的“奇妙点”的有 ； ①；②；③；④ （2）如图2，已知直线上有两点、，若x轴上存在线段的“奇妙点”，求m的取值范围； （3）如图3，二次函数与x轴交于、B两点，直线与抛物线交于、两点，连接，已知点为直线上方一点，点为线段的“奇妙点”，连接，点是线段上一点且，连接，求的最大值． 25. 我们知道，若矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，在艺术上和生活中也被广泛应用． （1）将矩形的短边长度设为，长边长度设为，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①若，则该矩形是黄金矩形；（ ） ②若该矩形是黄金矩形，且，则该矩形的面积是；（ ） ③若该矩形黄金矩形，外接圆半径为，则一定是．（ ） （2）如图1，将一张矩形纸片进行如图所示的操作：①沿对角线折叠，得到折痕；②折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；③过点折叠纸片，使点分别落在边上，展开得到折痕，折痕与折痕交于点．如果矩形是一个黄金矩形，其中． ①求证：； ②求余弦值． （3）如图2，在中，高为，，，矩形的一边在边上，分别在上，交于点，且矩形是黄金矩形．该矩形以每秒1个单位的速度沿射线匀速向上运动（当矩形的边到达点时停止运动），设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$