精品解析：湖南省常德市临澧县2024—2025学年下学期九年级期中质量监测试卷数学试题

2025年上学期九年级期中质量监测 数学试题卷 考生注意：1．请考生在试题卷首页填好准考证号及姓名． 2．请将答案填写在答题卡上，填写在试题卷上无效． 3．本学科试题卷共4页，三道大题，满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 5. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（   ） A. B. C. 0 D. 6. 湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 左视图与俯视图相同 C. 主视图与俯视图相同 D. 三个视图完全相同 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 8. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论中：①；②；③对任意实数，均成立；④若点，在抛物线上，则．正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 为庆祝中国改革开放47周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是（ ） A. 2007 B. 2008 C. 2009 D. 2010 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分， 11. 已知方程，则______． 12. 染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为__________． 13. 若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为_________． 14. 如图，三角形硬纸板（记为）在灯光照射下形成投影，若，，则的长是__________． 15. 将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为________． 16. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是_________． 17. 如图，在中，弦长为8，圆心O到的距离，则的半径长为___________． 18. 对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．当时，若点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，则点的坐标__________． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步㵵． 19. 计算： 20. 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 21. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 22. 为了落实“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对学生进行体育科目抽测，女生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，仰卧起坐；男生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，引体向上，每个学生必抽且只抽一个项目．结合信息回答下列问题． （1）女同学小丽抽中“跳远”属于__________事件；（填“必然”，“随机”或“不可能”） （2）男同学小明抽中“引体向上”的概率为__________； （3）请用列表或画树状图的方法，求女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率． 23. 根据如下素材，完成探索社务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元． 素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件 素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台． 解决问题 任务 求、两种型号智能机器人的单价； 任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于，两点，已知点的坐标为． （1）求值； （2）求点的坐标； （3）求的面积． 25. 如图，是四边形的外接圆，直径为10，平分，过点D作，交的延长线于点P． （1）如图①，若是的直径． ①求证：与的相切； ②若，求的度数； （2）如图②，若，求的最大值．（提示：连接，在上截取） 26. 在平面直角坐标系中，二次函数图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期九年级期中质量监测 数学试题卷 考生注意：1．请考生在试题卷首页填好准考证号及姓名． 2．请将答案填写在答题卡上，填写在试题卷上无效． 3．本学科试题卷共4页，三道大题，满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一组相反意义的量，零上为正，则零下为负，判断即可． 【详解】解：气温为零上记作，则表示气温为零下； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法是解题的关键．利用，则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：B． 4. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 5. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（   ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】反例中的满足，使，从而对各选项进行判断． 【详解】解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果，那么”是假命题，举出． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6. 湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 左视图与俯视图相同 C. 主视图与俯视图相同 D. 三个视图完全相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识点，根据主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形，可得答案，理解三视图的意义是正确判断的前提． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆； 故选：A． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上的表示，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和不等式的解集在数轴上的表示方法是解题的关键．先分别解两个不等式，再利用数轴表示即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为，且其在数轴上表示为： 故选：B． 8. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量取值范围的问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：根据分式和二次根式有意义的条件可得， 解得：且， 故选：B． 9. 如图，二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论中：①；②；③对任意实数，均成立；④若点，在抛物线上，则．正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．由题意求出对称轴，再根据抛物线的开口方向，结合二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴相交于点，， 对称轴是直线， ， 由图像可知，， ，故①正确； 在抛物线上， ， ， ， ， 故，故②错误； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 故当时，取最小值为， 故对任意实数，当时，函数值 故，③正确； 抛物线开口向上， 故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ，故④错误； 综上，正确的有个， 故选B． 10. 为庆祝中国改革开放47周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是（ ） A 2007 B. 2008 C. 2009 D. 2010 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握题意是解题的关键．根据题意列出方程进行计算即可． 【详解】解：设这位参与者的出生年份是，选取的数字为， ， ， ， 由于参与者均为在校中学生，应该在年后， ， ， 故选C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分， 11. 已知方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接移项求解一元一次方程的解． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的解，解题的关键是：掌握解一元一次方程的一般步骤． 12. 染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，熟记扇形的弧长公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的弧长． 故答案为：． 14. 如图，三角形硬纸板（记为）在灯光照射下形成投影，若，，则的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中心投影的定义和性质，位似三角形的性质，熟练掌握中心投影和位似三角形的性质是解题的关键．利用中心投影得定义可得与是位似三角形，再利用位似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由中心投影的定义可得与是位似三角形， ∴，且由位似得， ∴， 得：， 故答案为：． 15. 将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 16. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数． 【详解】解：， ∴盒子中棋子的总个数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比． 17. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点O作于E，连接，利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点O作于E，连接，如图， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．当时，若点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，则点的坐标__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：点是线段的“等距点”， 点的坐标为， ， 故点横坐标为， 设点的坐标为， ， ， 点是线段的“完美等距点”， ， ， 解得， 点是线段的“完美等距点”， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得或， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步㵵． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂，负整数幂，立方根，绝对值，熟练掌握相关定义和运算法则是解题的关键．先利用零指数幂，负整数幂，立方根，绝对值化简，再进行加减即可． 【详解】解： ． 20. 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 【答案】该市谷时电价元/度 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得， ， 解得：，经检验是原方程的解， 答：该市谷时电价元/度． 21. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】化简得，求值得 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，代数式求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简求值方法和解一元二次方程的方法是解题的关键．先化简分式，再解一元二次方程，利用分式有意义的条件确定具体解，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ∵是方程的根， ∴， 解得：，， ∴对于分式， ∴， ∴原式． 22. 为了落实“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对学生进行体育科目抽测，女生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，仰卧起坐；男生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，引体向上，每个学生必抽且只抽一个项目．结合信息回答下列问题． （1）女同学小丽抽中“跳远”属于__________事件；（填“必然”，“随机”或“不可能”） （2）男同学小明抽中“引体向上”的概率为__________； （3）请用列表或画树状图的方法，求女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率． 【答案】（1）随机 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，概率公式，列表或树状图求概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键． （1）利用随机事件，必然事件和不可能事件的定义即可解决； （2）利用概率公式即可求解； （3）利用列表或画树状图即可求解． 【小问1详解】 解：女同学小丽抽中“跳远”属于随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：∵男生抽测项目共种等可能事件：坐位体前屈，跳远，米，引体向上， ∴男同学小明抽中“引体向上”的概率为， 故答案：； 【小问3详解】 解：根据题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由表可知共有种等可能的结果，其中女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的有，；，；，共种情况， 故女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率为． 23. 根据如下素材，完成探索社务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元． 素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件 素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台． 解决问题 任务 求、两种型号智能机器人的单价； 任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】任务：万元、万元 任务: 型号智能机器人台，型号智能机器人台 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意正确列出等式、式子、不等式是解题的关键． 任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，台型机器人，共需万元”和“买台型机器人，台型机器人，共需万元”列式求解即可； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出关于的一次函数，再利用“用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台”列出不等式，求出的范围，最后利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台， 则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， ∵， 解得：， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值（万件）， （台）， 即购买型号智能机器人台，购买型号智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数与图象相交于，两点，已知点的坐标为． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，待定系数法求解析式，解一元二次方程，三角形的面积，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题是解题的关键． （1）将代入，求解即可； （2）将代入，求出一次函数解析式，联立反比例函数与一次函数列式，解一元二次方程即可求解； （3）设直线交轴于点，求出点坐标，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：将代入， 得：， 解得：； 【小问2详解】 解：将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 联立，得：， 解得：，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线交轴于点， 令，则， 得：， 则， ∴． 25. 如图，是四边形的外接圆，直径为10，平分，过点D作，交的延长线于点P． （1）如图①，若是的直径． ①求证：与的相切； ②若，求的度数； （2）如图②，若，求的最大值．（提示：连接，在上截取） 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，由得到，根据平分，即得到，而，即可得到，即可得到结论； ②先判断出，求出，即可得到答案． （2）连接，在上截取，证明是等边三角形，证明，根据全等三角形的性质进行证明即可． 【小问1详解】 解：①证明：连接， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 与相切； ②是的直径， ， ， ， ， 由①知， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如题图，连接，在上截取， ， ， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 当为直径，即时，取最大值是． 【点睛】本题主要考查圆的切线判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定及性质、解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点或或或或 【解析】 分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； 【小问3详解】 解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$