福建省龙岩市一级校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

龙岩市一级校联盟2024—2025学年第二学期半期考联考 高一数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 5. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为BC的中点，DE与CO相交于点F，M为DF的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 8. 在四边形ABCD中，，，，若P为三条边上的一个动点，且，则以下说法正确的是（ ） ①满足的点P有且只有1个 ②满足的点P恰有2个 ③能使取最大值的点P恰有2个 ④能使取最大值的点P有无数个 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数是方程的解 D. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 11. 如图，在长方体中，，，，E是棱上的一个动点，下列命题正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积为 B. 过A，E，三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为 C. 在棱上存在相应的点G，使得平面 D. 若，点F在四边形（包括边界）上运动，且平面，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，的夹角为，则______. 13. 如图，为测量高度CD，选取与C在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得，，千米，在点B处测得D的仰角为，则CD的高为______千米. 14. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若存在最大值，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. （1）求a的值； （2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值. 16. 已知平面向量，. （1）当实数为何值时，与垂直？ （2）若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 17. 在中，D是BC边上的点且，. （1）求的值； （2）若，，求的面积. 18. 如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. （1）求证：平面平面ABC. （2）求四面体ACMN的体积. （3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 19. 古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线. （1）若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度； （2）若，且为正三角形，求面积的最大值； （3）已知，且，，求的最大值 龙岩市一级校联盟2024—2025学年第二学期半期考联考 高一数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）或. 【16题答案】 【答案】（1）的值为4； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明如下： 因为M，N分别是OB，OC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，同理得平面ABC， 又平面PMN，平面PMN，， ∴平面平面ABC. （2）. （3）存在，，证明如下： 如图所示： 在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下： 取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以，. 取CB的四等分点G，使，连接GE，FG. 因为，所以，， 所以，，所以四边形DFGE是平行四边形， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC. 【19题答案】 【答案】（1），. （2）. （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $