精品解析：辽宁省鞍山市海城市初中协作体2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

2024—2025下学期第五周阶段检 八年级数学 （考试时间：90分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，列式解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2. 下列二次根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握运算化简法则是解答本题的关键． 先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A.该选项为最简二次根式，与不是同类二次根式，所以不能合并，故该选项不符合题意； B.该选项为最简二次根式，与不是同类二次根式，所以不能合并，故该选项不符合题意； C.该选项为最简二次根式，与不是同类二次根式，所以不能合并，故该选项不符合题意； D. ，与是同类二次根式，所以能合并，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ， ， C. ， ， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减法则和乘除法则．结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，原式错误，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项正确； D．，故本选项错误． 故选：C． 5. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，这里的水深为(　　) A. 1.5米 B. 2米 C. 2.5米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】设水深为h，则红莲的高h+1，因风吹花朵齐及水面，且水平距离为2m，那么水深h与水平2组成一个以h+1为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设水深为h米，则红莲的高（h+1）米，且水平距离为2米， 则(h+1)2=22+h2， 解得h=1.5． 故选A． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理的应用这一知识点的理解和掌握，此题的关键是“水深h与红莲移动的水平距离为2米组成一个以(h+1)米为斜边的直角三角形”这是此题的突破点，此题难度不大，属于中档题． 6. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式乘法法则，“夹逼法”估算是解题的关键． 先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值在0和1之间． 故选：A． 7. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵AB∥DC， ∴∠DAB+∠ADC=180°， ∵∠DAB=∠DCB， ∴∠DCB+∠ADC=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； C、∵AO=CO，AB=DC，∠AOB=∠COD，不能判定△AOB≌△COD， ∴不能得到∠OAB=∠OCD， ∴不能得到AB∥CD， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； D、∵AB∥DC， ∴∠OAB=∠OCD， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴AB=DC， 又∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，解题的关键是正确把握平行四边形的判定． 8. 下列命题： 全等三角形的对应角相等； 等边三角形的三个内角都等于； 若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是直角三角形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】考查了命题与定理知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题． 写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解∶ 全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题； ②等边三角形的三个内角都等于的逆命题是：三个内角都等于的三角形是等边三角形，是真命题； 若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是直角三角形的逆命题是：直角三角形的三边长a、b、c满足，是真命题； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形的逆命题是：平行四边形的两组对角分别相等，逆命题是真命题． 逆命题是真命题的有，共3个，逆命题是假命题； 故选∶C． 9. 如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行四边形的对角线互相平分得，，再在中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则四边形的周长是（　　） A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】先由作图知平分，然后利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出，再由已知证出为等边三角形，最后利用等量代换即可得解． 【详解】解：由作图知平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴四边形周长 ，   故选：C ． 【点睛】本题主要考查了作图−基本作图，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，首先根据把化简，得到：，再根据绝对值的定义去绝对值即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若，，用含的式子表示_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键．根据二次根式的除法法则可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则_______． 【答案】1.5 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵将△ABC折叠得△AB′E ∴AB′＝AB，B′E＝BE ∴B′C＝5－3＝2 设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x 在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2 ∴（4－x）2＝x2＋22 解得 故答案为：1.5 14. 如图，在的正方形网格中，____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，等腰三角形的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键．连接，运用勾股定理可得，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，，，，， ∵，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在平行四边形中，，，点，分别是，上的动点，，连接，过点作，垂足为，若，则的最大值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，作交的延长线于点，由平行四边形的性质得，，，则，而，可证明，由，求得，再由勾股定理求得和，证明后，可得，因为于点，所以的最大值为． 【详解】解：连接交于点，作交的延长线于点，则， 四边形是平行四边形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于点， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、勾股定理解直角三角形、全等三角形的判定与性质，解题关键是作出合适的辅助线． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算； （1）先化简各二次根式，去括号，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法与除法运算，再计算加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 17. 如图，在四边形中，，为对角线．已知，，，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理求出，再根据，得出是直角三角形即可． 【详解】证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 18. 如图，点、、、在同一条直线上，．连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形平行四边形，见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质定理并灵活应用． 先利用线段的和差找出相等的线段，根据三边相等两个三角形全等得出，然后得出，，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 19. 如图，在一条东西走向河一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路．测得千米， 千米， 千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线的长． 【答案】（1）是，见解析 （2）千米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设，则AH=x-3，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ∵ ， ∴ ∴ ∴是从村庄C到河边的最近路 【小问2详解】 ，则 在中 ∴ 解得： ∴原来的路线的长为千米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键． 20. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】（1） （2）；严禁高空抛物 【解析】 【分析】（1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可．本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． 【小问1详解】 ∵，, ∴． 【小问2详解】 ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， 对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 21. 如图，在中，点是延长线上的一点，连接，，交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）104度 【解析】 【分析】（1）平行四边形的性质，得到，，进而得到，推出，得到，即可得证； （2）邻补角求出，平行四边形的性质，得到，结合，求出，进而得到的度数，再利用外角的性质，求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质定理和判定定理． 22. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：____________（填写运算结果）； （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________； （3）证明你的猜想． （4）应用运算规律： ①化简：____________； ②若（a，b均为正整数），则的值为____________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想； （3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题； （4）①②根据（2）中的规律即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案是：； 【小问2详解】 ， 故答案是：； 【小问3详解】 证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立； 【小问4详解】 ①， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题． 23. 阅读与思考 勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，谭老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为，，斜边长为）和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 任务： （1）如图2，这是小敏同学拼成的图形． ①请你利用图2验证勾股定理． ②若，，求小正方形（阴影部分）面积． （2）一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和需要是直角．工人师傅测得零件各边尺寸（单位：cm）如图4所示，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）①过程见详解；②49 （2）这个零件符合要求，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理逆定理的应用，掌握面积法，以及勾股定理逆定理的作用是解题的关键． （1） ①用不同方式表示出图2中正方形的面积，得到等式，整理即可验证勾股定理； ②用勾股定理求出a的长，结合图形利用正方形的性质求出小正方形的边长进而可求小正方形（阴影部分）的面积． （2）根据勾股定理的逆定理验证和是否为直角即可判断这个零件是否符合要求． 【小问1详解】 解：①∵正方形面积可表示为：， 根据图2，正方形面积还可以表示为：，， 即， ； ②，， ， 小正方形的边长为， 小正方形的边长面积为； 【小问2详解】 解：这个零件符合要求，理由如下： 在中，， 所以是直角三角形，是直角． 在中， ， ． 所以是直角三角形，是直角． 因此，这个零件符合要求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025下学期第五周阶段检 八年级数学 （考试时间：90分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ， ， C. ， ， D. ，， 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A B. C D. 5. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，这里的水深为(　　) A. 1.5米 B. 2米 C. 2.5米 D. 1米 6. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题： 全等三角形的对应角相等； 等边三角形的三个内角都等于； 若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是直角三角形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则四边形的周长是（　　） A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 若，，用含的式子表示_____． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则_______． 14. 如图，在的正方形网格中，____． 15. 如图，在平行四边形中，，，点，分别是，上的动点，，连接，过点作，垂足为，若，则的最大值为 ____． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 计算： （1） （2） 17. 如图，在四边形中，，为对角线．已知，，，．求证：直角三角形． 18. 如图，点、、、在同一条直线上，．连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 19. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路．测得千米， 千米， 千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线的长． 20. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 21. 如图，在中，点是延长线上的一点，连接，，交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求的度数． 22. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：____________（填写运算结果）； （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________； （3）证明你的猜想． （4）应用运算规律： ①化简：____________； ②若（a，b均为正整数），则的值为____________． 23. 阅读与思考 勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，谭老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为，，斜边长为）和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 任务： （1）如图2，这是小敏同学拼成的图形． ①请你利用图2验证勾股定理． ②若，，求小正方形（阴影部分）的面积． （2）一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和需要是直角．工人师傅测得零件各边尺寸（单位：cm）如图4所示，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$