2025届上海市长宁区高三二模考试数学试卷

2024学年第二学期高三数学教学质量调研试卷 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则_________． 2. 复数，，则_________． 3. 已知数列是等差数列，且，则其前7项和_________． 4. 某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是_________． 5. 为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断_________原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 6. 已知随机变量的分布是，则其方差_________． 7. 已知，，用 表示为__． 8. 顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示_________． 9. 一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为_________． 10. 已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是_________． 11. 现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于，则切割好后，木料体积的最大值是_________．（结果保留） 12. 已知函数 和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知非零实数，则下列命题中成立的是（ ）． A. B. C. D. 14. 某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A. 变量x、y之间呈正相关 B. 预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C. D. 拟合误差 15. 如图，等腰直角三角形ABC中， ，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（ ） A. 存在点D和，使得 B. 存在点D和，使得 C. 存在点D和，使得 D. 存在点D和，使得 16. 椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知向量． （1）求函数 的单调递减区间； （2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 18. 如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点． （1）求证：平面 平面； （2）求点到平面的距离以及三棱锥的体积． 19. 为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． （1）顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； （2）顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线 的离心率． （1）求双曲线 的方程； （2）若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； （3）直线不垂直于x轴，且与曲线 的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 21. 已知函数 的定义域 ，对任意实数a，定义集合 ． （1）已知，求 ． （2）已知 ，若集合 只有一个元素，求a的值； （3）已知，其中且，求证：集合 是一个区间． 2024学年第二学期高三数学教学质量调研试卷 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】## 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】拒绝 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1），. （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：连接 ，取的中点，连接， ， ， ， 在直三棱柱中，平面 平面， 平面 平面 ， 平面， 平面， 分别为， 的中点，且， 点D是棱的中点，且， 且 ，四边形 是平行四边形， ， 平面， 平面，平面 平面； （2）； 【19题答案】 【答案】（1） （2）①分布列见解析，；②选择方案 【20题答案】 【答案】（1） （2）或. （3） 【21题答案】 【答案】（1） （2）1 （3） 证明：函数 的定义域为， 由题意可知 即不等式 的解集， 令 ，所以 即 的解集， 若集合 只有一个元素，即方程 有唯一解， 且函数在该点处与轴相切. 因为 ， （i）当 时， 恒成立，在上单调递增， 所以 ， 无解，故不成立； （ii）当时，令 ，解得 ， 当 时， ，单调递增， 当 时， ，单调递减， 所以 ，即 ， 即 ，解得. 经检验，当时， ， 所以 只有一个解，且， 符合题意，故a的值为1； 函数的定义域为， 由题意可知 即不等式 （且）的解集， 即 （且）的解集 令 ， 则， ①当时， 恒成立，单调递增，当 所以 的解集，即集合 必是一个区间； ②当 时，令，解得 所以在上单调递增，在和单调递减， 且 ，所以 的解集，即集合 必是一个区间； ③当 时，令，解得 所以在上单调递增，在和单调递减， 且 ，所以 的解集，即集合 必是一个区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $