专题1 集合新定义（4大题型）-2025年新高考数学19题新定义培优教程

专题1 集合新定义 【题型归纳目录】 题型一：新定义集合与集合性质 题型二：定义新运算 题型三：最值问题 题型四：关系与映射 题型五：抽屉原理 【知识点梳理】 1、容斥原理 基本公式：（1）； （2） （3） 2、集合的性质 （1）等幂律； （2）同一律， （3）互补律； （4）交换律； （5）结合律， （6）分配律，； （7）吸收律； （8）反演律（摩根律）， 3、集合的笛卡尔积 定义：设为两个集合，以中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做集合与的笛卡尔积（又称直称），记作，即 集合的笛卡尔积满足如下运算法则： （1）； （2）笛卡尔积对并集和交集的分配律： ； 4、有限集的阶 有限集的元素的数目叫做这个集合的阶，记作（或）． 5、集合的整体性质 已知集合．如果由性质能推出中每个元素都满足的性质，那么就是的一个必要条件．设，显然有． 6、集合的局部性质 设集合．如果条件是条件的充分条件，那么集合是集合的子集，即．这里是集合中部分元素的性质． 7、集合分划 定义：把一个集合分成个非空的子集：，如果： （1）； （2）， 那么，这些子集的全体叫做集合的一个-分划． 8、加法原理 设是有限集的一个-分划，则，这是一个基本的计数公式． 9、分类原则 设所研究的对象的全体形成集合是的一组非空子集，且 （1）； （2）， 那么，这组子集叫做研究对象的全体的一个-分类，其中每一个子集叫做所研究对象的一个类． 10、最小数原理 最小数原理I：设是自然数集的一个非空子集，则中必有最小数． 最小数原理II：设是实数集的一个有限的非空子集，则中必有最小数． 推论：设是实数集的一个有限的非空子集，则中必有最大数． 11、加法原理 我们先来看覆盖（A）的一个简单的特殊情形． 如果子集族既满足（i），又满足 那么覆盖就是有限集的一个一分划． 对于有限集的一分划，我们有下面非常有用的结论． 加法原理设为非空有限集，是的一个由非空子集构成的分划，那么 加法原理是组合数学中一个基本的计数原理．在实际运用中可根据问题的不同背景赋予有限集的元素不同的含义． 12、特殊的映射 定义1：如果在映射下，集合中任何元素在集合中都至少有一个原像，那么称映射为到上的满射． 定义2：如果在映射下，集合中不同的元素在中有不同的像，那么称映射为到的单射． 定义3：如果映射同时是到上的满射和单射，那么称映射是到上的一一映射（或双射）． 定义4：如果映射为满射，且对集合中的每一个元素，在集合中恰有个原像，那么称映射是到上的-倍数映射． 【典型例题】 题型一：新定义集合与集合性质 【典例1-1】（2025·高二·北京延庆·期末）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.例如，判断是否为集合：当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以是集合. (1)判断集合和是否为集合；（直接写出答案，结论不需要证明） (2)若集合为集合，求出所有集合，并说明理由； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数． 【典例1-2】（2025·北京房山·一模）设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值． (1)当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由； (2)当时，若具有性质，求的最大值； (3)给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值． 【变式1-1】（2025·高一·上海·期中）已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有；    ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【变式1-2】（2025·高一·上海普陀·期中）已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 题型二：定义新运算 【典例2-1】（2025·高三·全国·专题练习）已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的． (1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？ (2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论． 【典例2-2】（2025·浙江·模拟预测）称代数系统为一个有限群，如果 1、为一个有限集合，为定义在上的运算(不必交换)， 2、 3、称为的单位元 4、，存在唯一元素使称为的逆元有限群，称为的子群.若，定义运算. (1)设为有限群的子群，为中的元素. 求证: (i)当且仅当； (ii)与元素个数相同. (2)设为任一质数.上的乘法定义为，其中[x]为不大于的最小整数.已知构成一个群，求证:(其中表示个作运算) 【变式2-1】（2025·高一·重庆·期末） 定义一类集合：对于集合，若都满足，则称为“单位有界集”；在集合中定义一种运算：若，，定义.现对单位有界集进行如下操作：第一步，从中任取两个元素、，将中除了、以外的元素构成的集合记为，令；第二步，若集合还是单位有界集，则继续任取两个元素，将中除了以外的元素构成的集合记为，令；依次类推…… (1)对于任意的单位有界集，判断是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反例； (2)证明：若，则； (3)当时，对集合进行步上述操作，当只有一个元素时停止，求所有满足条件的． 题型三：最值问题 【典例3-1】（2025·高三·山东泰安·阶段练习）全集，，，若中存在两个非空子集，，满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和． (1)若． ①若，，求； ②若为偶数，证明：； (2)若，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，求的最小值，并写出取得最小值时的一个集合． 【典例3-2】（2025·浙江嘉兴·三模）记集合，为集合（）的两个子集，且满足，.定义：（，分别表示集合，中所有元素的和）. (1)当时，求的所有可能的值； (2)求的最小值； (3)设为不超过的自然数，且与的奇偶性相同，证明：存在，，使得. 【变式3-1】（2025·高三·北京·阶段练习）对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请直接写出集合和； (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； (3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 【变式3-2】（2025·浙江杭州·二模）设，，…，是1，2，…，（且）的一个排列.数列满足为，，（）的中位数，规定，.将中的所有取值构成的集合记为. (1)当时，求和； (2)求中所有元素之和的最大值； (3)求中元素个数的最小值. 【变式3-3】（2025·全国·一模）已知集合，定义集合． (1)若，写出集合； (2)若，且对任意，如果，则存在，使得，求证：； (3)给定整数，若存在集合满足：对任意，存在，且，使得，求的最小值． 题型四：关系与映射 【典例4-1】（2025·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【典例4-2】（2025·江西景德镇·三模）设，是非空集合，定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若，则称是到的一个关系.当时，则称与是相关的，记作.已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，有，则，则称是对称的；若，有，，则，则称是传递的.且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作~. (1)设，，，，求集合与； (2)设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，； (3)已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为.若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合. 【变式4-1】（2025·高一·上海闵行·阶段练习）设为非空集合，定义（其中表示有序对），称的任意非空子集为上的一个关系.例如时，与都是上的关系.设为非空集合上的关系.给出如下定义：①（自反性）若对任意，有，则称在上是自反的；②（对称性）若对任意，有，则称在上是对称的；③（传递性）若对任意，有，则称在上是传递的.如果上关系同时满足上述3条性质，则称为上的等价关系.任给集合，定义为. (1)若，问：上关系有多少个？上等价关系有多少个？（不必说明理由） (2)若集合有个元素，的非空子集两两交集为空集，且，求证：为上的等价关系. (3)若集合有个元素，问：对上的任意等价关系，是否存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得？请判断并说明理由. 【强化训练】 1．（2025·高一·北京丰台·期中）给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质. (1)设集合，，请直接写出，是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合． 2．（2025·高一·云南玉溪·期末）设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 3．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）（1）已知集合，，若集合，其中，，满足，写出所有符合条件的C； （2）集合，，从M，N中各自等概率地取出一个元素a和b，，求X的数学期望； （3）若集合，，满足，，考虑以下2500个数（可以相同）：，，对，设为k在上面2500个数中出现的次数，证明：. （注：表示，，…，中最小的数，.） 4．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得． (1)当时，求． (2)当时，证明：成等差数列． (3)设，证明：． 5．（2025·全国·模拟预测）已知集合，集合，记集合中的元素个数为.若集合中存在三个元素，使得，则称集合为集合的一个“幸福集”. (1)当时，判断集合是否有“幸福集”； (2)当时，写出集合的三元“幸福集”的个数，并列举； (3)当时，若集合中的元素个数为，证明：集合必有“幸福集”. 6．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 7．（2025·高三·全国·专题练习）设为不小于2的正整数，集合，对集合中任意两个元素和，记，其中. (1)设，，求和的值； (2)从集合中随机取一个元素，求为偶数的概率； (3)设，从集合中任取两个元素和，，求集合的元素个数最大值（用表示）． 8．（2025·江西赣州·一模）十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”；二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”；例如：十进制的数20对应二进制表示的数为，二进制的数对应十进制表示的数为15．用表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一个数，不特别说明，默认为十进制）. (1)写出“37”对应二进制表示的数及“”对应的十进制数； (2)若集合，，，，求与的所有可能值组成的集合； (3)若，且对每个正整数，都存在A的子集S，使得，求的最小值． 9．（2025·四川成都·二模）对于给定集合，若存在非负实数，对任意的满足：成立，则称集合具有性质. (1)证明：集合具有性质； (2)若集合具有性质，求的最小值； (3)若集合具有性质，求的最大值. 10．（2025·高三·浙江·开学考试）设为给定的正整数，称有序数组是二进数组．是由个互不相同的二进数组构成的集合，对于中的任意两个元素和，称是特征值．记的所有特征值中出现次数最多的数值为． (1)设，求和的值； (2)若对任意，均有，求的最大值； (3)若，证明：，其中表示不超过的最大整数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 集合新定义 【题型归纳目录】 题型一：新定义集合与集合性质 题型二：定义新运算 题型三：最值问题 题型四：关系与映射 题型五：抽屉原理 【知识点梳理】 1、容斥原理 基本公式：（1）； （2） （3） 2、集合的性质 （1）等幂律； （2）同一律， （3）互补律； （4）交换律； （5）结合律， （6）分配律，； （7）吸收律； （8）反演律（摩根律）， 3、集合的笛卡尔积 定义：设为两个集合，以中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做集合与的笛卡尔积（又称直称），记作，即 集合的笛卡尔积满足如下运算法则： （1）； （2）笛卡尔积对并集和交集的分配律： ； 4、有限集的阶 有限集的元素的数目叫做这个集合的阶，记作（或）． 5、集合的整体性质 已知集合．如果由性质能推出中每个元素都满足的性质，那么就是的一个必要条件．设，显然有． 6、集合的局部性质 设集合．如果条件是条件的充分条件，那么集合是集合的子集，即．这里是集合中部分元素的性质． 7、集合分划 定义：把一个集合分成个非空的子集：，如果： （1）； （2）， 那么，这些子集的全体叫做集合的一个-分划． 8、加法原理 设是有限集的一个-分划，则，这是一个基本的计数公式． 9、分类原则 设所研究的对象的全体形成集合是的一组非空子集，且 （1）； （2）， 那么，这组子集叫做研究对象的全体的一个-分类，其中每一个子集叫做所研究对象的一个类． 10、最小数原理 最小数原理I：设是自然数集的一个非空子集，则中必有最小数． 最小数原理II：设是实数集的一个有限的非空子集，则中必有最小数． 推论：设是实数集的一个有限的非空子集，则中必有最大数． 11、加法原理 我们先来看覆盖（A）的一个简单的特殊情形． 如果子集族既满足（i），又满足 那么覆盖就是有限集的一个一分划． 对于有限集的一分划，我们有下面非常有用的结论． 加法原理设为非空有限集，是的一个由非空子集构成的分划，那么 加法原理是组合数学中一个基本的计数原理．在实际运用中可根据问题的不同背景赋予有限集的元素不同的含义． 12、特殊的映射 定义1：如果在映射下，集合中任何元素在集合中都至少有一个原像，那么称映射为到上的满射． 定义2：如果在映射下，集合中不同的元素在中有不同的像，那么称映射为到的单射． 定义3：如果映射同时是到上的满射和单射，那么称映射是到上的一一映射（或双射）． 定义4：如果映射为满射，且对集合中的每一个元素，在集合中恰有个原像，那么称映射是到上的-倍数映射． 【典型例题】 题型一：新定义集合与集合性质 【典例1-1】（2025·高二·北京延庆·期末）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.例如，判断是否为集合：当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以是集合. (1)判断集合和是否为集合；（直接写出答案，结论不需要证明） (2)若集合为集合，求出所有集合，并说明理由； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数． 【解析】（1）对于， 由于当时，此时；当时，此时；当时，此时. 所以集合是集合， 对于， 由于当时，此时； 故不是集合， 综上可知集合是集合，不是集合， （2）当时，， 当时，， 当时，， 不妨设，由集合互异性可知： 则且互为相反数， 若，可得，不符合题意， 则，可得， 当时，，不符合题意， 当时，解得，或，，不符合题意， 当时，解得，或，，不符合题意， 当时，解得，或，，符合题意， 所以集合或， （3）假设中元素全为正实数，不妨设， 当时，， 当时，， 当时，， 由于， ， 所以， ①当中元素至少个大于时，此时，， ②所以中元素至多个大于，此时， ，， 所以， 可得，可得， 即不成立， ③所以中元素小于等于，即， ， 此时， 包含以下几种情况： 第一种：， 可得，可得， 即不成立， 第二种：当时， 可得，可得， 即不成立， 第三种：当或时， 可得，可得， 即，即不成立， 由①②③都错，可知假设集合中全为正实数为错误命题，所以集合中不全为正实数. 【典例1-2】（2025·北京房山·一模）设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值． (1)当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由； (2)当时，若具有性质，求的最大值； (3)给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值． 【解析】（1）因为，所以具有性质； 因为， 所以． （2）方法：1： 由性质得，所以， 因为， 所以， 则，，， 所以， 所以， 又因为当时， 具有性质， 且， 所以的最大值为1． 方法2： 先用反证法证明， 假设， 由，则， 所以，同理， 所以， 由， 所以， 与已知矛盾，假设不成立， 所以， 当时，， 此时， 所以的最大值为1． （3）由性质可得， 所以①，且②， 在①中不妨设， 在②中不妨设， 由对称性可以设， 所以， 所以 ，即， 因为存在，（其中有个个）， （其中有个，个）具有性质， 并且， ， ， 所以， 综上最大值为． 【变式1-1】（2025·高一·上海·期中）已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有；    ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【解析】（1）集合具有性质，则对任意的，都有，即， ，解得且，可得的最小值是. （2）①由题意，，又， ，可得， ②由①可得. （3）由（2）知，，又，可得，因此，同理，， 又，，则也均成立. 当时，取，则，可知. 又当时，，则，即. 因此集合中元素个数的最大值为7. 【变式1-2】（2025·高一·上海普陀·期中）已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 【解析】（1）由题知，集合， ， 该集合不具有性质． （2）①因为， 不妨设，则， 故， 故的最大值大于等于． ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 所以元素个数最多的集合. 题型二：定义新运算 【典例2-1】（2025·高三·全国·专题练习）已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的． (1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？ (2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论． 【解析】（1）设是A中任意两个元素，其中， 那么． 因为，所以， 故数集A对通常的乘法运算封闭． （2）数集对通常的乘法运算不封闭，证明如下： 取，则，但， 故数集对通常的乘法运算不封闭. 【典例2-2】（2025·浙江·模拟预测）称代数系统为一个有限群，如果 1、为一个有限集合，为定义在上的运算(不必交换)， 2、 3、称为的单位元 4、，存在唯一元素使称为的逆元有限群，称为的子群.若，定义运算. (1)设为有限群的子群，为中的元素. 求证: (i)当且仅当； (ii)与元素个数相同. (2)设为任一质数.上的乘法定义为，其中[x]为不大于的最小整数.已知构成一个群，求证:(其中表示个作运算) 【解析】（1）（i）如果，则，， 从而. 另一方面，如果， 则有，， 即，从而， 即， 从而， 反之由得到， 类似讨论得中的元素也全都属于，证毕； （ii）我们首先构造一个到的满射， 这直接由的定义得到， 另一方面，我们证明这个映射同时也是单射， 事实上，若对， 两边左乘， 则有，从而两集合间有一一映射， 故元素个数相等； （2）我们有如下断言:， 假设是使得的最小正整数， 则(其中表示个作.运算)在运算下构成的一个子群， 记作， 而由（1）的结论可知，这一集族中的集合有相同的元素个数， 且两两不交(若有两个集合相交，则推得， 由（1）（i）得两集合相同)从而它们构成的一个划分，从而有， 因而. 【变式2-1】（2025·高一·重庆·期末） 定义一类集合：对于集合，若都满足，则称为“单位有界集”；在集合中定义一种运算：若，，定义.现对单位有界集进行如下操作：第一步，从中任取两个元素、，将中除了、以外的元素构成的集合记为，令；第二步，若集合还是单位有界集，则继续任取两个元素，将中除了以外的元素构成的集合记为，令；依次类推…… (1)对于任意的单位有界集，判断是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反例； (2)证明：若，则； (3)当时，对集合进行步上述操作，当只有一个元素时停止，求所有满足条件的． 【解析】（1）是，证明如下： 从中任取两个元素、，，， 要证明是单位有界集，只需证明， 因为，其中， 所以，即； 因为，其中， 所以，即，所以仍然为单位有界集. （2）因为， ， 所以. （3）由（1）（2）知都为“单位有界集”，所定义的运算具有结合律， 又，即定义的运算具有交换律， 不妨先取， 因为，所以，所以， 再取，，所以， 类似的，，， 所以. 题型三：最值问题 【典例3-1】（2025·高三·山东泰安·阶段练习）全集，，，若中存在两个非空子集，，满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和． (1)若． ①若，，求； ②若为偶数，证明：； (2)若，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，求的最小值，并写出取得最小值时的一个集合． 【解析】（1）①此时，， 由题可得，则； ②由题可得， . 若，则. 当为偶数，设，则. 注意到 ，其中， 则不为整数，这与题意不合，故. （2）此时， 则. 则， 要使方程存在有理数解，则方程判别式，. 注意到， 则， 因，则， 则，其中， 则， 注意到，若为正实数， 则，当且仅当时取等号， 且在单调递减，在时单调递增. 则当为正整数时，取离最近的整数， 即或时取最小值，则. 即的最小值为. 注意到 又， 则， 即取得最小值时的一个集合可以为： 【典例3-2】（2025·浙江嘉兴·三模）记集合，为集合（）的两个子集，且满足，.定义：（，分别表示集合，中所有元素的和）. (1)当时，求的所有可能的值； (2)求的最小值； (3)设为不超过的自然数，且与的奇偶性相同，证明：存在，，使得. 【解析】（1）若，由于，的对称性，只需考虑以下情况： ，，； ，，；，，； ，，；，，； ，，；，，； ，，. 所以的所有可能值为：，，，，，. （2）首先计算时： 令，， 观察可知，，且集合，均有项，且这首尾相加为， 所以，所以，即此时的最小值为0. 对于其它情况： 当时，由为奇数， 由（1）知为奇数， 考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足，现令，， 可知，即此时最小值为1； 当时，为奇数，为奇数.考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足， 现令，，可知，即此时最小值为1； 当时，为偶数，为偶数， 考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足，现令，，可知，即此时最小值为0. 综上所述可知当或时，， 或时，. （3）首先证明与的奇偶性相同： 由题意知 所以，因为是偶数，所以对于任意的，，与的奇偶性相同. 下面用数归法证明：当与奇偶性相同且时，存在，满足. 当或时，由（2）可知存在，满足， 假设时成立（为小于且与其奇偶性相同自然数）， 即此时存在，满足，由于，不妨令，若此时，则可令，），那么， 即说明时命题成立， 若此时，必存在正整数满足且（否则有，， 此时有），令，， 此时，满足：，即时命题立，由归纳法可知命题成立. 当时，令，，，综上所述命题成立. 【变式3-1】（2025·高三·北京·阶段练习）对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请直接写出集合和； (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； (3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 【解析】（1），. （2）最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素， 可能构造如下：， 则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于1的因子组成； 最小值：不妨设，显然有， 则， 则至少有11个元素， 可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可. （3）中至少有13个元素，可能得构造如下：， 所以， 证明如下： 考虑对集合进行分类：，，， 设，，，表示集合中元素的个数， 则，， 设，在对集合进行分类： ，，， 设，，，分析与的关系： 对集合中的元素：，则， 则①； 对集合中的元素：②； 对集合中的元素：， 则， 则③； ①+②+③得到 ， 因为，则当时，，当或时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 从而元素个数至少为13. 【变式3-2】（2025·浙江杭州·二模）设，，…，是1，2，…，（且）的一个排列.数列满足为，，（）的中位数，规定，.将中的所有取值构成的集合记为. (1)当时，求和； (2)求中所有元素之和的最大值； (3)求中元素个数的最小值. 【解析】（1）当时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，故. 当时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4， 中位数只能为2或3，所以. （2）显然，不存在使得或， 故中所有元素的和， 且当时，有. 此时成立. （3）注意到对于任意，， 记中元素个数的最小值为，由（1）可知，，. 考虑的情形： 对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数； 不妨，考虑三元素组，，，至少产生2个不同的中位数. ①若此时中位数为，，不妨，则，. 所以三元组将产生新的中位数，所以； ②若此时的中位数为，，则，，. 若，则三元组产生新的中位数； 若，则三元组产生新的中位数.所以. ③同理可知，若此时中位数为，；，也有； 所以，，. 下面证明：. 比较下面两个数列： （ⅰ），，…，，，. （ⅱ），，…，，，，，，. 其中，，…，和，，…，具有相同的大小顺序. 因此，这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同. 因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组，和数列（ⅱ）中三元组 ，，，，. 因为，数列（ⅱ）中至少增加1个新的中位数，故结论成立. 因为若，的中位数在前面未出现， 则，的中位数在前面也不会出现. 对于新增的中位数，若，的2个中位数在前面出现过， 则，的中位数在前面也出现过，至少新增的中位数. 综上：（）. 下面给出一种构造： ①当时，构造：， 此时，满足. ②当时，构造：， 此时，满足. ③当时，构造： ， 此时，满足. 【变式3-3】（2025·全国·一模）已知集合，定义集合． (1)若，写出集合； (2)若，且对任意，如果，则存在，使得，求证：； (3)给定整数，若存在集合满足：对任意，存在，且，使得，求的最小值． 【解析】（1） （2）证明：不妨设． 假设， 则当时，， 当时，， 同理，当时， ， 所以均为集合中不同元素． 而共11个数，与中只有10个数矛盾． 所以． 所以． （3）不妨设中元素满足． 由题可知，存在． 使得，且均不与相等． 所以． 所以． 同理存在． 使得，且均不与相等． 所以． 所以． 所以． 若，则． 所以． 与矛盾． 所以，所以． 所以，即． 又时，若为偶数，设， 取，显然符合题意； 若为奇数，设， 取，显然符合题意． 所以的最小值是． 题型四：关系与映射 【典例4-1】（2025·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【解析】（1）由题意知，， 所以． （2）对1，，5是否属于B进行讨论： ①含1的B的个数为，此时在映射f下，； 不含1的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10； ②含5的B的个数为，此时在映射f下，； 不含5的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10； ②含的B的个数为，此时在映射f下，，； 不含的B的个数为，此时在映射f下，，； 所以所有y中的总个数和的总个数均为20． 综上，所有的总和为． （3）对于给定的，考虑在映射f下的变化． 由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个， 所以在映射f下变为； 不含的子集B共个，在映射f下变为； 所以在映射f下得到的所有的和为． 同理，在映射f下得到的所有（）的和． 所以所有的总和为． 【典例4-2】（2025·江西景德镇·三模）设，是非空集合，定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若，则称是到的一个关系.当时，则称与是相关的，记作.已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，有，则，则称是对称的；若，有，，则，则称是传递的.且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作~. (1)设，，，，求集合与； (2)设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，； (3)已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为.若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合. 【解析】（1）由，， ， 当时，有，当时，有，当时，有， 有， 又，， 当时，有，当时，有，当时，有， 则； （2）是中的一个等价关系，由自反性可知，故不为空集， 若，不妨假设， 必有与，由自反性可知即， 再由传递性可知， ，则，而，即， 于是由传递性有，故， ， 同理可证明，， 综上所述，，总有或， 任取构成，又任取构成， 再任取构成， 以此类推，是有限集合， 结合上述结论可知必存在有限个元素， 使得，其中； （3），，， 故，，必存在. 由题意可知当时，有， 整理即：， 将代入得：， 即， 数列为等差数列，设其公差为. 当时，有，显然成立. 当时，，，即数列不为常数列， 则， ， ，即， 由. 而， ， 而，显然此方程无解， ，与题意矛盾， 综上所述只有. . ，由于数列不为常数列， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 故为奇数. . ， 而为奇数，与一奇一偶，，，，三奇一偶或两奇两偶， 又，，，，不可能三奇一偶， 故，均为奇数，，均为偶数或，均为偶数，，均为奇数. . 当时，， 是自反的； 当，将，与，取值对调， 则，是对称的； 当与，即， 其中，，为奇数，，，为偶数或，，为偶数，，，为奇数， ，是传递的， 综上所述，是上的等价关系， 其中. 【变式4-1】（2025·高一·上海闵行·阶段练习）设为非空集合，定义（其中表示有序对），称的任意非空子集为上的一个关系.例如时，与都是上的关系.设为非空集合上的关系.给出如下定义：①（自反性）若对任意，有，则称在上是自反的；②（对称性）若对任意，有，则称在上是对称的；③（传递性）若对任意，有，则称在上是传递的.如果上关系同时满足上述3条性质，则称为上的等价关系.任给集合，定义为. (1)若，问：上关系有多少个？上等价关系有多少个？（不必说明理由） (2)若集合有个元素，的非空子集两两交集为空集，且，求证：为上的等价关系. (3)若集合有个元素，问：对上的任意等价关系，是否存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得？请判断并说明理由. 【解析】（1）由题意得，共有个元素，则有个非空子集，即上的关系有个. 所有等价关系,,,,,共有个. （2）证明：令， 因为的非空子集两两交集为空集，且 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则，又因为，则，即在上是自反的. 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则，又因为，则，即在上是对称的. 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则， 又因为， 则，即在上是传递的. 综上所述，为上的等价关系 （3）令， 因为为上的等价关系，则为集合的非空子集. 因为的非空子集两两交集为空集，且 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则，必有，则. 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则，则必有，故， 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则，则，必有，则. 故，不管集合中有几个元素，都能保证，则. 综上所述，对上的任意等价关系，存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得. 【强化训练】 1．（2025·高一·北京丰台·期中）给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质. (1)设集合，，请直接写出，是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合． 【解析】（1）因为集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减， 两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质， 集合中的，， 所以集合不具有性质， 所以集合具有性质，集合不具有性质； （2）记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以，       不妨设，则，且， 令，， 则，且，且， ①当时，显然， 因为，所以， 所以，解得，         此时，具有性质； ②当时，则， 因为且， 所以，， 所以，解得， 此时，与题意不符（舍）， 综上，， 故； （3）记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以， 不妨设，， 此时， 若，显然， 所以， 由集合具有性质， 所以，， 因为且与互为相反数， 所以，两个数中必然一正一负， 所以中有0，有正数也有负数， 下面对中元素的正负个数进行讨论： （1）当中有1个负数，4个正数时， 不妨设，， 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （2）当中有4个负数，1个正数时， 不妨设时，， 因为均小于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （3）当中有2个负数，3个正数时， 不妨设时，，， 因为， 所以， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以， 即，① 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以，， 因为，， 所以，，， 故，，，， 所以，，，② 由①②，得， 于是：. （4）当中有3个负数，2个正数时， 由（3），同理可得， 由此，当恰有6个元素，且时，可得符合条件的集合有5个， 分别是，，， ，. 2．（2025·高一·云南玉溪·期末）设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【解析】（1）∵，，，，， ∴具有性质． （2）假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． （3）．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个 3．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）（1）已知集合，，若集合，其中，，满足，写出所有符合条件的C； （2）集合，，从M，N中各自等概率地取出一个元素a和b，，求X的数学期望； （3）若集合，，满足，，考虑以下2500个数（可以相同）：，，对，设为k在上面2500个数中出现的次数，证明：. （注：表示，，…，中最小的数，.） 【解析】（1），，，. （2）1出现50次，2、3出现49次，4、5出现48次，…，98、99出现1次，100出现0次. 故 . （3）不妨设， 即满足的组数， 刚只需且，这样的组数有组. 由基本不等式， 而为所有小于11的，的数量，即， 故，即证. 4．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得． (1)当时，求． (2)当时，证明：成等差数列． (3)设，证明：． 【解析】（1）当时，集合，其子集及其对应的为： ①空集：；②：；③：；④：； 重新排列之后：； （2）当时，设， 其中，， 由得，去除的相同元素， 设剩余元素中最大的元素为，设剩余元素中最大的元素为， ， 若，则同理由， 所以对任意的，，即恒成立， 由题意可知，， 因为对任意的，，恒成立，且， 所以，所以， 故，所以成等差数列； （3）①若，， 即， ②若不包含于，则，， 不妨设， 则，，， 由，得， 设， 由，，得， 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，因为，，所以， ， 即，得， ，所以， 即， 综上所述：. 5．（2025·全国·模拟预测）已知集合，集合，记集合中的元素个数为.若集合中存在三个元素，使得，则称集合为集合的一个“幸福集”. (1)当时，判断集合是否有“幸福集”； (2)当时，写出集合的三元“幸福集”的个数，并列举； (3)当时，若集合中的元素个数为，证明：集合必有“幸福集”. 【解析】（1）方法一： 当时，，由，得或或或， 逐一比较与的大小，都不满足，所以集合无“幸福集”. 方法二： 设（，且）为集合的一个三元“幸福集”， 则，，，由，得，所以， 当时，的最小值为4，即集合中的最大元素与最小元素之差至少是4. 因为，且集合， 因此集合中至少要有5个元素（提示：集合中的元素是连续自然数），即，即. 由上述结论可知，当时，集合无“幸福集”. （2）方法一： 当时，，若存在，使得， 则，所以（当，时取等号），，则，， ①若，则，，所以或， 当时，为奇数且，故只能取7，而时，，与矛盾； 当时，为偶数且，故只能取8，而时，，与矛盾. ②若，则，，当时，无解； 当时，无解；当时，，故， 从而得到了一个集合，为. ③若，则，， 当时，无解；当时，无解；当时，，故或， 从而得到了两个集合，为，. ④若，则，，当时，，故， 从而得到了一个集合，为； 当时，，故，从而得到了三个集合，为，，. ⑤若，则，， 此时，，故，从而得到了四个集合，为，，，. 因此，集合的三元“幸福集”的个数为11. 方法二： 由（1）中的证明过程可知，集合的三元“幸福集”为（，且）， 当时，， ①当，时，可取4，5，6，7，则集合的三元“幸福集”为，，，； ②当，时，，则集合的三元“幸福集”为； ③当，时，可取4，5，6，则集合的三元“幸福集”为，，； ④当，时，可取4，5，则集合的三元“幸福集”为，； ⑤当，时，，则集合的三元“幸福集”为. 因此，集合的三元“幸福集”的个数为11. （3）当时，若集合中的元素个数为， 设集合且. 利用反证法，假设集合没有“幸福集”， 即对于集合中任意三个元素，均有， 则，， 记，于是， 所以, 又， 所以， 与矛盾， 所以假设不成立，从而集合必有“幸福集”. 6．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 【解析】（1）根据定义知取，有； 取，有， 取，有， 即对任意，都存在的相应子列，使得该子列的各项之和为， 所以：，，，，，，具有性质； （2）不能，理由如下： 假设，具有性质， 因为，所以M的任意四项和小于4， 所以， 则对于M的任意四项子列S，不妨设， 有， 又具有性质，，所以M的任意三项和小于3， 故不存在的子列其各项和为3，与具有性质矛盾， 所以时，不存在具有性质； （3）由题可知，时，又，所以， 由（2）道理相同可知，， 取， 因为， ，， 所以具有性质， 综上. 7．（2025·高三·全国·专题练习）设为不小于2的正整数，集合，对集合中任意两个元素和，记，其中. (1)设，，求和的值； (2)从集合中随机取一个元素，求为偶数的概率； (3)设，从集合中任取两个元素和，，求集合的元素个数最大值（用表示）． 【解析】（1）对应数位上数字的奇偶性不同，计算结果如下表所示： 奇数 奇数 0 奇数 偶数 0 偶数 奇数 0 偶数 偶数 1 所以；． （2）集合的元素个数共有， 任意元素，首先考虑三个位置的奇偶性，因为满足为偶数，所以三个位置有0个偶数或2个偶数． 三个位置有0个偶数，即全为奇数，共有（种）不同元素； 三个位置有2个是偶数，另一个为奇数，共有（种）不同元素， 所以为偶数的概率为． （3）首先将中任意元素各位置上的数字，若为奇数记成0，若为偶数记成1． 从元素改写后的中任取两个元素和，因为，所以和相同位置不能同为1． 所以下列个元素可以在同一个集合中： ①；②，，，，． 下证，元素改写后的中的元素个数不超过． 假设中含有个元素，排成如下行列： ，其中，，， 记第行的和，第列的和，则． 因为， ，矛盾！ 所以元素改写后的中元素个数不超过． 对于上述元素改写后含个元素的集合， 第①类元素：，即各位置都为奇数的，共个， 对于第②类，每种形式元素只能含有1个．（假设含型元素两个，不妨设，，则，矛盾） 故集合的元素个数最大值为． 8．（2025·江西赣州·一模）十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”；二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”；例如：十进制的数20对应二进制表示的数为，二进制的数对应十进制表示的数为15．用表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一个数，不特别说明，默认为十进制）. (1)写出“37”对应二进制表示的数及“”对应的十进制数； (2)若集合，，，，求与的所有可能值组成的集合； (3)若，且对每个正整数，都存在A的子集S，使得，求的最小值． 【解析】（1）， ； （2）根据题意为非空集合， ， 所以集合为中一种， 可能值为， ， 所以集合为中一种， 可能值为， 因此与的所有可能值组成的集合分别为； （3）根据整数二进制表示可知：1到中正整数可以表示为， 可知，对每个正整数，都存在的子集S，使得， 从而对每个正整数，都存在的子集S，使得，     进而对每个正整数，都存在的子集S，使得，即满足题意，此时， 下证：， 一方面，因为前10个数之和不能小于1012，否则设，则， 对于 ，显然不存在A的子集S，使得， 另一方面，因为， 所以根据整数二进制表示知，其前9个数之和最大为511，故， 综上：. 9．（2025·四川成都·二模）对于给定集合，若存在非负实数，对任意的满足：成立，则称集合具有性质. (1)证明：集合具有性质； (2)若集合具有性质，求的最小值； (3)若集合具有性质，求的最大值. 【解析】（1）要证明集合具有性质， 即证明，都有， 因为，所以. 因为，所以， 所以，都有， 即集合具有性质. （2）因为， ， 令，则， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又集合具有性质， 于是，有， 即， 即，成立， 令，， 因为函数在上单调递减，且， 所以，则， 所以，当且仅当时等号成立； ，当且仅当或时等号成立， 则，即的最小值为. （3）因为集合具有性质， 由题意，得， 都有， 即， 注意到 所以， 又， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值为1. 又，当且仅当时等号成立，则， 又， 令，，则，即， 则，即， 所以 ， 令，， 则，即函数在上单调递增， 又，所以， 当且仅当或时等号成立， 所以的最大值为，又的最小值为1， 所以的最大值为. 10．（2025·高三·浙江·开学考试）设为给定的正整数，称有序数组是二进数组．是由个互不相同的二进数组构成的集合，对于中的任意两个元素和，称是特征值．记的所有特征值中出现次数最多的数值为． (1)设，求和的值； (2)若对任意，均有，求的最大值； (3)若，证明：，其中表示不超过的最大整数． 【解析】（1）此时，故. 的所有特征值为 . 以上共个，其中有个，个，个，所以. （2）由于对任意，不能出现两个第位为的数组（否则）. 所以中每个数组包含的数目之和不超过. 由于不包含的数组至多有一个，故中至少有个包含至少一个的数组. 所以中每个数组包含的数目之和不小于. 以上二者结合，即可得到，故. 当时，对任意中的两个不同元素，均有. 所以的最大值是. （3）由于所有的二进数组恰有个，故必定是包含全部二进数组的集合. 对，设为使得的有序对的数量，其中. 那么在这种情况下，的同为的那个分量位置有种选择. 确定这些位置后，其它的分量不能同为，那么每个位置有三种可能，所以剩余分量有种选择. 这就得到，从而. 故当时，有；当时，有. 从而当取到大于的最小整数，也就是时，取得最大值. 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$