专题2 整数与整除（4大题型）-2025年新高考数学19题新定义培优教程

专题2 整数与整除 【题型归纳目录】 题型一：整数与整除问题 题型二：素数和合数问题 题型三：算数基本定理 题型四：高斯函数 【知识点梳理】 1、整除 （1）定义：设是整数，，若存在整数，使得，则称整除，记为，并称是的一个约数（或因子），而为的倍数．如果不存在上述的整数，则称不整除，记作． （2）基本性质 ①对，有． ②，有． ③若，则时． ④若，则，且对． ⑤若为质数（也称为素数），，则或． ⑥个连续整数之积一定能被整除（其中必有一个的倍数），进一步必有． 2、最大公约数 （1）设是整数，且，则． （2），即（a，b）作为的函数以为周期． 一般地，对任意整数，有． （3）辗转相除法 ①互素的充分必要条件是，存在整数，使得． ②，则存在整数，使得个数的最大公约数也满足此定理． 和的任一个公约数都是它们的最大公约数的约数． （4）设是正整数，则．设，则． （5）设均与互素，则也与互素，即与互素的整数关于乘法封闭．一般地，如果均与互素，则与互素． 4、最小公倍数 （1）设是整数，，则．即的任一公倍数是其最小公倍数的倍数． （2）若是正整数，则． （3）．特别地，若，则． （4）设是两两互素的正整数，是任意整数．若，则．因此，特别地，两两互素的正整数的最小公倍数等于它们的乘积． 5、素数的基本性质 （1）大于1的整数必有素因子，因为其最小的大于1正约数必然没有真因子． （2）设为素数，是任意整数，则或者整除，或者与互素． （3）设是素数，是整数．如果，则中至少有一个被整除． 6、算数基本定理 算数基本定理，也被称为唯一分解定理或质因数分解定理，可以表述为：任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积，即其中均为质数均为正整数，且这样的分解称为N的标准分解式． 【典型例题】 题型一：整数与整除问题 【例1】（2025高三·全国·专题练习）（1）设，证明：存在，使得能被整除． （2）已知，求的表达式． 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）设是一个定义在整数集上取值为正整数的函数，已知对任意两个整数、，差能被整除．证明：对所有整数、，若，则被整除． 【变式1-2】（24-25高二上·北京东城·期末）设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质. (1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由； (2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值； (3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？ 【变式1-3】（24-25高三上·北京通州·期末）定义：若正整数能表示成（为正整数且）的形式，则称为“型数”，也称具有“结构”. 若数列中的项均为“型数”，则称数列为“型数列”. (1)写出这四个数中的“型数”； (2)若为等差数列，且，，求证中任意一项均不为“型数”； (3)若数列，均为“型数列”，设，求证数列为“型数列”. 题型二：素数和合数问题 【例2】（24-25高三上·全国·阶段练习）如果和除以所得余数相同，则称对模同余，记作， 若集合，集合，现从集合中的个数中可以抽出个数， （）且，使这个数平均分为组，若存在一组数对 (三者不相等）且满足恰好能被整除，对模同余，则为“灵魂莲华集合”，为“灵魂莲华数对” (1)判断为“灵魂莲华集合” (2)若，判断有多少组数对为灵魂莲华数对 (3)现从素数集合中任取三个不同的数，若构成公差为8的等差数列，求证：无论且为任何集合，最多有一对满足条件的为灵魂莲华数对． 【变式2-1】（23-24高三下·广西柳州·阶段练习）表示正整数a，b的最大公约数.若，且，则将k的最大值记为，例如： (1)求; (2)设，数列 的前n项和为 证明： 【变式2-2】（2024·河南·模拟预测）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为． (1)若，求； (2)对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中； (3)已知．对，令．证明：． 题型三：算数基本定理 【例3】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如，等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数，我们将比小且与互质的正整数的个数记为．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以，同理有． (1)求，； (2)求所有，，使得是奇数； (3)若正整数，其中表示互不相同的质数．证明：. 【变式3-1】（24-25高三下·河北·开学考试）算数基本定理，也被称为唯一分解定理或质因数分解定理，可以表述为：任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积，即其中均为质数均为正整数，且这样的分解称为N的标准分解式. (1)求99225的标准分解式只写出结果即可； (2)请结合算数基本定理证明：一个大于1的正整数为完全平方数的充要条件为这个正整数的标准分解式中任何一个质因子的次数为偶数； (3)给定正整数p，q，r，数列定义如下：对整数记 证明：数列中有无穷多项是完全平方数. 题型四：高斯函数 【例4】（22-23高一下·北京海淀·开学考试）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数．例如，，．若对于函数，存在实数且，使得，则称函数是函数． (1)直接写出下列式子的值：；；； (2)分别判断函数，是否是函数；（只需写出结论） (3)已知，请写出一个a的值，使得是函数，并给出证明； (4)定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．如果在所有的周期中存在一个最小的正数，就把它叫做的最小正周期．设函数是定义在R上的周期函数．其最小正周期为T，若不是函数．求T的最小值 【变式4-1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）设，我们常用来表示不超过的最大整数.如：. (1)求证：； (2)解方程：； (3)已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围. 【变式4-2】（2023高三·全国·专题练习）（1），且至之间的整数中，有个是的倍数． （2）在中，质数的最高方次数是． （3）为实数，为正整数，求证：． 【强化训练】 1．（2025·陕西·三模）在人工智能的训练过程中，数据预处理至关重要．现有一种“数据筛选器”工具，其功能为：对于一个无穷非负正整数数列，通过操作删去其中除以余数为的所有项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据筛选器”工具对数列进行操作后得到，设前项和为． (1)求； (2)是否存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由； (3)若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）对给定的整数，若在数集中任取个元素，都可以通过这个元素进行加减乘除四则运算（每个元素都必须使用且只能使用1次），使其结果为的整数倍，则称整数具有性质. (1)若，，请分别判断5是否具有性质和，并说明理由； (2)求证：3具有性质，其中表示整数集； (3)若12具有性质，求的最小值，其中表示整数集. 3．（19-20高三·北京·强基计划）求证：对任意正整数k，均存在n为k的倍数，且n的十进制表示以2020开头． 4．（2021高三·全国·竞赛）设n是正整数，是n的全部正因数.定义，已知是2的幂次，求证：n没有1之外的平方因数. 5．（2019高三·全国·竞赛）四位数和互为反序的正整数，且，、分别有16个、12个正因数（包括1和本身），的质因数也是的质因数，但的质因数比的质因数少1个，求的所有可能值. 6．（2023高三·全国·专题练习）设素数 满足 ，且 ，若 ，这里的m，n是互素的正整数，求证: 整除m．其中，[x]表示不超过实数 的最大整数． 7．（2023高三·全国·专题练习）设n，k，m是正整数，满足k≥2，且．设A是的n元子集．证明：区间中的每个整数均可表示为，其中． 8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点满足都是整数，则称点为格点. (1)指出椭圆上的所有格点； (2)设是抛物线上的两个不同的格点，且线段的长度是正整数.求直线的斜率的所有可能值； (3)设且项的数列满足：点是函数的图象上的格点.则是否存在正整数，使得数列为常数列；若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由. 9．（24-25高三上·江苏南通·期中）如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列. (1)写出所有满足的数列； (2)证明：存在数列是等比数列，且有无穷个； (3)对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值. 10．（24-25高三上·河北·期中）若正整数，则称为的一个“分解积”. (1)当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大； (2)当正整数的分解积最大时，求中2的个数； (3)当正整数的分解积最大时，求出中的值. 11．（24-25高三上·全国·阶段练习）黎曼函数与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关.是这样定义的：记为复数s的实部，.当时，有，故对的研究具有重要意义. (1)已知对任意正整数n，都存在唯一的整数和，使得，其中为奇数，为自然数，求； (2)试判断是否存在正整数k，使得，并证明你的结论； (3)求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 整数与整除 【题型归纳目录】 题型一：整数与整除问题 题型二：素数和合数问题 题型三：算数基本定理 题型四：高斯函数 【知识点梳理】 1、整除 （1）定义：设是整数，，若存在整数，使得，则称整除，记为，并称是的一个约数（或因子），而为的倍数．如果不存在上述的整数，则称不整除，记作． （2）基本性质 ①对，有． ②，有． ③若，则时． ④若，则，且对． ⑤若为质数（也称为素数），，则或． ⑥个连续整数之积一定能被整除（其中必有一个的倍数），进一步必有． 2、最大公约数 （1）设是整数，且，则． （2），即（a，b）作为的函数以为周期． 一般地，对任意整数，有． （3）辗转相除法 ①互素的充分必要条件是，存在整数，使得． ②，则存在整数，使得个数的最大公约数也满足此定理． 和的任一个公约数都是它们的最大公约数的约数． （4）设是正整数，则．设，则． （5）设均与互素，则也与互素，即与互素的整数关于乘法封闭．一般地，如果均与互素，则与互素． 4、最小公倍数 （1）设是整数，，则．即的任一公倍数是其最小公倍数的倍数． （2）若是正整数，则． （3）．特别地，若，则． （4）设是两两互素的正整数，是任意整数．若，则．因此，特别地，两两互素的正整数的最小公倍数等于它们的乘积． 5、素数的基本性质 （1）大于1的整数必有素因子，因为其最小的大于1正约数必然没有真因子． （2）设为素数，是任意整数，则或者整除，或者与互素． （3）设是素数，是整数．如果，则中至少有一个被整除． 6、算数基本定理 算数基本定理，也被称为唯一分解定理或质因数分解定理，可以表述为：任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积，即其中均为质数均为正整数，且这样的分解称为N的标准分解式． 【典型例题】 题型一：整数与整除问题 【例1】（2025高三·全国·专题练习）（1）设，证明：存在，使得能被整除． （2）已知，求的表达式． 【解析】（1）由，可知， 依此类推，可知， 于是， 我们记，由，可知． 利用斐蜀（Be'zout）恒等式，可知存在，，使得， 进而，故，令，就有. （2）我们利用不动点方法来求，考虑方程，得． 于是，将的表达式变形可得． 就有， 依此类推，可知． 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）设是一个定义在整数集上取值为正整数的函数，已知对任意两个整数、，差能被整除．证明：对所有整数、，若，则被整除． 【解析】证明：若整数、，满足，又，则符合被整除， 设整数、，使得，则可得，即  ，  ① 所以， 故差满足 ． 令，，得，故，从而． 由①式，得，故， 从而命题得证． 【变式1-2】（24-25高二上·北京东城·期末）设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质. (1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由； (2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值； (3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？ 【解析】（1）因为，所以对任意有， 即对任意正整数，总存在正整数，使得， 所以数列具有性质. （2）设等差数列的公差为d，数列具有性质， 当时，恒成立； 当时，则， 所以即， 若时，则，不满足题意； 所以，得， 由等差数列的各项均为整数，则为整数，又，且， 所以有或，即或. 又， 若对任意，且， 则， 又正整数n和必一奇一偶，且，则为非负整数， 因此只需为整数，那么即为数列的第项， 故当，即时， 则，满足题意； 当，即时， 则，满足题意； 当，即时， 则，满足题意； 故d的所有可能值为或. （3）①若给定，则， 所以， 故给定，则任意，都具有性质，故此时这样的数列有无穷多个； ②若给定，则， 由（2）知，，，则， 则，只需为整数，则， 即为数列的第项， 因为任意给定整数的约数为有限个，故公差d必为有限个， 故若给定，则具有性质P的数列有有限个； 综上所述，若给定，具有性质的数列有无穷多个； 若给定，具有性质的数列有有限个. 【变式1-3】（24-25高三上·北京通州·期末）定义：若正整数能表示成（为正整数且）的形式，则称为“型数”，也称具有“结构”. 若数列中的项均为“型数”，则称数列为“型数列”. (1)写出这四个数中的“型数”； (2)若为等差数列，且，，求证中任意一项均不为“型数”； (3)若数列，均为“型数列”，设，求证数列为“型数列”. 【解析】（1）7，14，21，28这四个数中的＂型数＂有7，21，28． ；；. （2）因为为等差数列，且， 所以有． 所以． 下面用反证法证明： 假设存在N，使为＂T型数＂ 则有． ①若，均可以被3整除，则一定被3整除， 与矛盾． ②若，则， 与矛盾． ③若， 则 与矛盾. ④若，结论与②同． ⑤若，结论与③同． ⑥若， 则 与矛盾． ⑦若，则结论与⑥同． 综上，中任意一项均不为＂T型数＂． （3）因为数列均为＂T型数列＂， 所以有为正整数且为正整数且 不妨设， ①当时，则存在正整数以及既约分数， 使得 则 ②当时， ， ③当时，则， 由①②③可知为＂T型数＂，所以数列为＂T型数列＂． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用反证法，然后再合理分类讨论. 题型二：素数和合数问题 【例2】（24-25高三上·全国·阶段练习）如果和除以所得余数相同，则称对模同余，记作， 若集合，集合，现从集合中的个数中可以抽出个数， （）且，使这个数平均分为组，若存在一组数对 (三者不相等）且满足恰好能被整除，对模同余，则为“灵魂莲华集合”，为“灵魂莲华数对” (1)判断为“灵魂莲华集合” (2)若，判断有多少组数对为灵魂莲华数对 (3)现从素数集合中任取三个不同的数，若构成公差为8的等差数列，求证：无论且为任何集合，最多有一对满足条件的为灵魂莲华数对． 【解析】（1）是灵魂莲华集合，证明：从取，而 ，因此是灵魂莲华集合； （2）不妨设这组数为，且， 第一种情况：若 ，则只能是偶数， 由于样本数量并不大，不妨直接枚举寻找规律，单独分析和， 而我们知道模5只能余，若余0，则 ， 有以上六种情况，而的偶数有9个，由乘法原理可知此时一共有 组，减去或的情况，共有组， 若余1，除以5余1的有四个，也就是四个数相互组合，共有种， 有种， 若余2，除以5余2的有四个，减去12种，种， 若余3，除以5余3的有，同上有96组， 若余4，除以5余4的有三个，因此有组，种， 所以时，有. 第二种情况：只能是，而模2只能余0或1， 模2余0的有9个数，因此，此时共有组数， 减去有10的情况，从共有16组组合，组， 模2余1的有9个数，同上有216组 减去有5或15的情况，有30组，因此组，因此第二种情况有386组， 综上所述，共有组数； （3），由于等价，设为偶数，且为素数，则只能为2， 因此不是素数，因此不满足题意，此时不存在， 若为奇数，，则只能为3，下面来证明： 不妨设这三个数分别为， 令，因此可遍布所有整数， 第一种情况，，则，若为素数，则， 这三个数分别为满足题意， 第二种情况，，因此不是素数， 第三种情况，，则，因此不是素数， 综上，必须满足条件中，必须为1或3，而 才为灵魂莲华数对， 若均，则均无法整除，此时不存在， 若或3，但11和19对模不同余，此时也不是灵魂莲华数对， 故综上所述，是灵魂莲华数对. 【点睛】方法点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果． 【变式2-1】（23-24高三下·广西柳州·阶段练习）表示正整数a，b的最大公约数.若，且，则将k的最大值记为，例如： (1)求; (2)设，数列 的前n项和为 证明： 【解析】（1） 依题可得表示所有不超过正整数m，且与m互质的正整数个数. 因为与2互质的数为1，所以， 因为与3互质的数为1，2，所以， 因为在中与互质的正整数只有， 所以在中与互质的正整数的个数为，因此； （2），则， 因为， 所以，因此有， 所以， 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄懂题中定义的实质，利用放缩法进行求解. 【变式2-2】（2024·河南·模拟预测）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为． (1)若，求； (2)对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中； (3)已知．对，令．证明：． 【解析】（1）若，又注意到， 所以. （2）【方法一】：当时，此时，此时，， 故， 此时. 当时，因相异，故， 而，故互质. 记， 则，使得， 故，故， 设，则， 因为除以的余数两两相异， 且除以的余数两两相异， 故，故， 故，而其中， 故即. 法2：记，，， 其中，，k是整数，则， 可知． 因为1，a，，…，两两不同， 所以存在，使得， 即可以被p整除，于是可以被p整除，即． 若，则，，因此，．   记，，，其中l是整数， 则， 即． （3）【方法二】：当时，由（2）可得，若，则也成立. 因为，所以. 另一方面， . 由于，所以. 法2：由题设和（2）的法2的证明知： ， ． 故 ． 由（2）法2的证明知，所以． 【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解. 题型三：算数基本定理 【例3】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如，等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数，我们将比小且与互质的正整数的个数记为．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以，同理有． (1)求，； (2)求所有，，使得是奇数； (3)若正整数，其中表示互不相同的质数．证明：. 【解析】（1）我们先证明一个引理. 引理：对正整数，设的质因数分解式为，其中表示互不相同的质数，则有. 引理的证明：由于，故和不互质，从而就是中，和互质的数的个数. 由于的全部质因子为，故一个正整数和互质，当且仅当它不被每个整除. 设集合，，这里. 换言之，就是中全体的倍数. 由于是不同的质数，故它们两两互质，从而对任意，都有 . 从而，这里表示集合的元素个数. 所以由容斥原理可得 . 将展开即知. 所以，引理得证. 回到原题，由于，，故由引理知 ，. （2）根据（1）中的引理，我们可以直接得出，若正整数，则是的倍数，所以如果是奇数，则一定是奇数. 对正整数，我们分两种情况讨论. 情况一：是的倍数. 取最大的正整数，使得整除，则. 根据正整数的取法，一定是奇数，所以和互质. 若，则根据（1）中的引理有是偶数； 若，设，这里是互不相同的奇质数，则根据（1）中的引理，有 . 从而是偶数. 无论怎样都有是偶数，故此时不满足条件； 情况二：不是的倍数，且是偶数. 此时如果，则，满足条件； 如果，则是大于的奇数，设，这里是互不相同的奇质数，则根据（1）中的引理，有 . 而是奇数，故是奇数，所以是奇数，满足条件. 无论怎样都有是奇数，故此时满足条件； 情况三：是奇数. 此时由于是奇数，所以是奇数，故此时满足条件. 综上，所求的全部的集合为. （3）显然这就是（1）中引理的直接推论. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于给出适当的结论作为基础，从而方便研究所求的问题. 【变式3-1】（24-25高三下·河北·开学考试）算数基本定理，也被称为唯一分解定理或质因数分解定理，可以表述为：任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积，即其中均为质数均为正整数，且这样的分解称为N的标准分解式. (1)求99225的标准分解式只写出结果即可； (2)请结合算数基本定理证明：一个大于1的正整数为完全平方数的充要条件为这个正整数的标准分解式中任何一个质因子的次数为偶数； (3)给定正整数p，q，r，数列定义如下：对整数记 证明：数列中有无穷多项是完全平方数. 【解析】（1） （2）证明： 必要性：任何一个正整数完全平方数可以写成 由算数基本定理为N的标准分解式， 其中均为质数均为正整数，且 则 其中均为正整数，必要性得证. 充分性：若大于1的正整数N的标准分解式中任何一个质因子的次数为偶数， 由算数基本定理为N的标准分解式， 其中均为质数均为正整数，且 设为正整数， 则 所以N为完全平方数，充分性得证. （3）对正整数n，有 又因为 令其中当为奇数时，k为正偶数； 当为偶数时，k为正奇数. 则 由k的取值可知为偶数， 所以满足上述要求的为完全平方数， 由k的任意性知，数列中有无穷多项是完全平方数. 【点睛】易错点睛：注意新定义题型中所给条件的充分挖掘和应用. 题型四：高斯函数 【例4】（22-23高一下·北京海淀·开学考试）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数．例如，，．若对于函数，存在实数且，使得，则称函数是函数． (1)直接写出下列式子的值：；；； (2)分别判断函数，是否是函数；（只需写出结论） (3)已知，请写出一个a的值，使得是函数，并给出证明； (4)定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．如果在所有的周期中存在一个最小的正数，就把它叫做的最小正周期．设函数是定义在R上的周期函数．其最小正周期为T，若不是函数．求T的最小值 【解析】（1）不超过-3.5的最大整数是-4，故； ，故， ，故； ，所以. （2）， ， 由题意， 当且时，容易知道是单调增函数，因此不成立； 当且时，容易知道是单调增函数，因此不成立； 故不是函数. ， ， ， 所以， 所以存在实数，使得 故是函数. （3） ， 所以， ， 所以， 即， 所以存在实数，使得， 所以符合题意. （4）恒成立， 所以， 所以， 故最小值为1. 【变式4-1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）设，我们常用来表示不超过的最大整数.如：. (1)求证：； (2)解方程：； (3)已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）设， 若，则，， 故，而，，故. 若，则，， 故，而，，故. 综上，. （2）因为，故， 因为，故，故，故， 若，则，又，故符合； 若，则，故，又，不符合，均舍； 若，则，故，又，故符合； 若，则，故，又，故符合； 综上，或或. （3）, 当时，，故，故 因为对，使不等式成立， 故在上恒成立， 故在上恒成立，而在上恒成立， 故在上恒成立， 设，， 因为在上均为增函数，故，为增函数， 故， 设， 设， 则， 而，故，故， 即，故为减函数， 故，故. 【变式4-2】（2023高三·全国·专题练习）（1），且至之间的整数中，有个是的倍数． （2）在中，质数的最高方次数是． （3）为实数，为正整数，求证：． 【解析】（1），且至之间的整数中，是的倍数的数是共个． （2）由于是质数，因此在中，质数的最高方次数是一定是个数中所含的方次数的总和．由（1）知，中有个的倍数，有个的倍数，…， ∴． （3）设， 则 ∴函数是以为周期的周期函数， 令，得， ∴，又由周期性，得． 【强化训练】 1．（2025·陕西·三模）在人工智能的训练过程中，数据预处理至关重要．现有一种“数据筛选器”工具，其功能为：对于一个无穷非负正整数数列，通过操作删去其中除以余数为的所有项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据筛选器”工具对数列进行操作后得到，设前项和为． (1)求； (2)是否存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由； (3)若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和． 【解析】（1）由，知：， 中除了除以4余2，其余各项除以4余数均不为2， 故，，故， 故，故， 故当时，， 当时，. 而，故. （2）存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列， 不妨设，，，，． 即，， 两边同除以得，， 设，，，，则． 当时，为奇数，为偶数，矛盾； 故不存在这样的正整数组. （3）由题意，， 则，，， 所以保留，则，，， 又当代入上式，得 ，，，，． 将，删去，得到，则，，． ，，． 即：，，，即：． 每个大于1的正奇数、、、， 若正奇数为，则取， 则； 若正奇数为，则取， 则； 若正奇数为，则取， 则； 若正奇数为，则取， 则 综上，对任意大于1的正奇数，每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和， 故原命题得证． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）对给定的整数，若在数集中任取个元素，都可以通过这个元素进行加减乘除四则运算（每个元素都必须使用且只能使用1次），使其结果为的整数倍，则称整数具有性质. (1)若，，请分别判断5是否具有性质和，并说明理由； (2)求证：3具有性质，其中表示整数集； (3)若12具有性质，求的最小值，其中表示整数集. 【解析】（1）若从中选和两个元素，进行四则运算均得不到的整数倍， 所以5不具有性质， 若从中任选两个元素，则通过相减即可得到的整数倍， 所以5具有性质； （2）若任取两个元素之一是三的倍数， 则他们的乘积是的倍数，若任取的两个元素被除都余或， 则他们的差是的倍数，若任取的两个元素一个被除余，另一个被除余， 则他们的和是的倍数，所以3具有性质； （3）设任取两个元素一个为，另一个为， 取，，易证明，，，均不是的倍数， 所以任取两个元素不能凑出的倍数， 设任取三个元素分别为， 若至少两个余数相同，则两个余数相同的数的差一定是的倍数， 故差与另一个数的乘积为4的倍数. 若这三个元素除的余数相异， 第一种情况，若有个元素是的倍数，这三个元素的乘积为的倍数， 第二种情况，3个数都不是4的倍数， 设，，， 则，则是的倍数， 已经证明任意三个元素可以凑出的倍数， 根据（2）可知任意两个元素可以凑出的倍数，根据题意这两个数不能再使用， 取这两个数，然后再任取个数，按照以上证明方法凑出的倍数， 它们的乘积就是的倍数，所以的最小值是. 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键在于使用（2）中相同思路证明任意三个元素能凑出的整数倍. 3．（19-20高三·北京·强基计划）求证：对任意正整数k，均存在n为k的倍数，且n的十进制表示以2020开头． 【解析】设，共中．记， 则数列中必然存在两个数模r同余， 设为m，n且，，进而， 进而，而后者的十进制表示以2020开头，命题得证． 4．（2021高三·全国·竞赛）设n是正整数，是n的全部正因数.定义，已知是2的幂次，求证：n没有1之外的平方因数. 【解析】用表示n的正因数之和. 如果n是奇数，则，舍去. 当n是偶数时，设， 其中（为n的奇质因数，，）. 所以. 其中， 因为是2的幂次，所以，每个是2的幂次，且是奇数， 又， 故均为4的倍数， 因为，所以如果，则这些数的总个数是4的倍数，所以. 因为，所以不是2的幂次，于是不成立. 所以，所以（为互异的奇质因数），，可见n没有非平凡的平方因数. 【点睛】思路点睛：竞赛中与正因数和有关的问题，多用因数和函数来分析处理，令注意利用因数分解定理把因数问题转化为即质因数的问题来处理. 5．（2019高三·全国·竞赛）四位数和互为反序的正整数，且，、分别有16个、12个正因数（包括1和本身），的质因数也是的质因数，但的质因数比的质因数少1个，求的所有可能值. 【解析】设，.则. 由，则. 故，，. 于是，，. 由为奇数，知与一奇一偶. 若为偶数，即，则，为偶数.矛盾. 因此，为偶数，为奇数. 记分解质因数后，的个数为，2的个数为.则，. 由因数个数定理得. 于是 ，，. 所以，或8，或7. 故至多有三个质因数. 于是，至多含有两个质因数，3是的一个质因数. 若只有一个质因数，则这个质因数为3.从而，，与是四位数相矛盾. 因此，含有两个质因数. 设的另一个质因数为. 因为，所以，或或 . 故. 又，则，，即. 由，知. 此时，的值大于. 当时，. 而不互为反序数，于是，.此时，. 因此，.于是，， ， .        ① . 故. 因为为奇数，所以，为奇数.故. 由式①得 . 因为为偶数，所以，为偶数. 于是，或8. 当时，由式①得 . 因为，所以，. 得，，. 于是，或9. 当时，； 当时，. 于是，或1998. 因为，所以，. 又，符合题意. 因此，. 6．（2023高三·全国·专题练习）设素数 满足 ，且 ，若 ，这里的m，n是互素的正整数，求证: 整除m．其中，[x]表示不超过实数 的最大整数． 【解析】证明:因为 ，记 ，则 于是 故 因为 是大于2k的素数，所以 不整除 ，从而 整除 ． 7．（2023高三·全国·专题练习）设n，k，m是正整数，满足k≥2，且．设A是的n元子集．证明：区间中的每个整数均可表示为，其中． 【解析】用反证法．假设存在整数不可表示为．作带余除法m=xq+r，其中0≤r<x．将按模x的同余类划分成x个公差为x的等差数列，其中r个等差数列有q+1项，x-r个等差数列有q项．由于A中没有两数之差为x，故A不能包含以x为公差的等差数列的相邻两项．从而     ①． 这里表示不小于a的最小整数． 由条件，我们有    ②． 又，故    ③． 情形一：q是奇数．则由①知，        ④． 结合②，④可知，，从而q<2k-1． 再由q是奇数可知，q≤2k-3，于是， 与③矛盾． 情形二：q是偶数．则由①知，．⑤ 结合②，⑤可知，， 从而． 故q<2（k-1）．再由q是偶数可知，q≤2k-4，于是，与③矛盾． 综上可知，反证法假设不成立，结论获证． 8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点满足都是整数，则称点为格点. (1)指出椭圆上的所有格点； (2)设是抛物线上的两个不同的格点，且线段的长度是正整数.求直线的斜率的所有可能值； (3)设且项的数列满足：点是函数的图象上的格点.则是否存在正整数，使得数列为常数列；若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）根据题意，椭圆， 当时，不满足； 当时，，不满足； 当时，，则点和为椭圆上的格点， 由椭圆的对称性可得格点：. （2）设且， 则为正整数，记为， 所以， 由于都是整数，所以与都是完全平方数， 故只能有， 因此，即直线的斜率为0. （3）设存在正实数，使得数列为常数列， 记，则为整数. 由题意得，，即， 所以，且，为的因数， 所以正整数只可能使得， 经检验得，当时，不是正整数， 所以不存在正整数，使得数列为常数列. 【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是利用题目条件得到，根据，为正整数确定的值，验证得到不合题意，即不存在正整数，使得数列为常数列. 9．（24-25高三上·江苏南通·期中）如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列. (1)写出所有满足的数列； (2)证明：存在数列是等比数列，且有无穷个； (3)对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值. 【解析】（1）由题可得， 令，为使任意连续三项的和都能被3整除，则或； 令，则；令，则不存在满足题意；，则. 综上，满足的数列为：1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7； （2）证明：设这样的数列对应的公比为， 则相应的四项，从小到大排列为. 要使任意连续三项的和都能被3整除， 则能被3整除，即被3整除即可. 考虑集合，当时， 一定能被3整除， 因中的元素有无穷多个， 则存在数列是等比数列，且有无穷个； （3）设. 因都能被3整除，，则. 若，因都能被3整除，则； 则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为5； 若，因都能被3整除，则； 结合，则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为13； 若，因都能被3整除，则； 结合，则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为9. 综上，当存在，，，使得数列，，，，是数列，整数t的最小值是13. 【点睛】关键点睛：本题关键为读懂题意，以及由题目中提及的“被3整除”想到将整数按照被3除的余数分为3类. 10．（24-25高三上·河北·期中）若正整数，则称为的一个“分解积”. (1)当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大； (2)当正整数的分解积最大时，求中2的个数； (3)当正整数的分解积最大时，求出中的值. 【解析】（1），分解积的最大值为； ，分解积的最大值为； ，分解积的最大值为. （2）由（1）可知，中可以有0个2，1个2，2个2. 当有3个或3个以上的2时， 因为，且，所以分解积不是最大的. 因此，中至多有2个2. （3）①当中有1时，因为， 所以分解积不是最大的，可将1加到其它数中，使得分解积变大； ②由（2）可知，中至多有2个2； ③当中有4时， 若将4分解为，由①可知分解积不会最大；若将4分解为，则分解积相同； 若有两个4，因为，且，所以将改写为，使得分解积更大. 因此，中至多有1个4，而且可写成； ④当中有大于4的数时，不妨设， 因为，所以将分解为会使得分解积更大. 综上，中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解分解积定义并根据正整数之间的分解和积的关系，可得出分解积最大时所得的数字组合，即可得出结论. 11．（24-25高三上·全国·阶段练习）黎曼函数与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关.是这样定义的：记为复数s的实部，.当时，有，故对的研究具有重要意义. (1)已知对任意正整数n，都存在唯一的整数和，使得，其中为奇数，为自然数，求； (2)试判断是否存在正整数k，使得，并证明你的结论； (3)求证：. 【解析】（1）由，，，，， ，，，，， 知. （2）不存在，证明如下： 证明：设，其中为奇数，为自然数， 设，， 设，，则． 否则，当时，，与r的定义矛盾，故， 则 ，其中， 则为奇数，时为偶数，从而分子为奇数，分母为偶数， 则不可能为整数，故不存在这样的k，使； （3）证明：对任意正整数n，当时， 注意到， 故， 又， 故， 从而， 则. 【点睛】关键点点睛：本题涉及黎曼函数，第一问关键在于读懂信息，第二问背景为调和级数前n项和不可能为整数，第三问利用放缩解决问题，关键在于找到放缩的“度”. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$