精品解析：甘肃省靖远县2025届高三第三次高考模拟测试数学试题

按秘密级事项管理★启用前 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 2 3. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆台的上､下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上､下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的展开式中（ ） A. 前三项系数之和为112 B. 二项式系数最大的项是第3项 C. 常数项为240 D. 所有项的系数之和为1 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是是椭圆上的一个动点（不与重合），则（ ） A. 的离心率 B. 的周长与点的位置无关 C. 的取值范围为 D. 直线与直线的斜率之积为 11. 已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点中心对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有__________个. 13. 某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________． 14. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 新增新能源汽车万辆 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 （1）计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性. （2）求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量； 参考数据：.参考公式：. 16. 如图所示，在四棱锥中，平面为边上一点，且． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若，证明：当时，． 18. 已知双曲线的实轴长为2，且过点为其右焦点． （1）求双曲线的标准方程． （2）直线经过点，倾斜角为，与交于两点（点在两点之间），若，求的值． （3）已知点，过点作直线与交于两点，记直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和. （1）若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到. （2）若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值. （3）若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 按秘密级事项管理★启用前 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法，根据模长公式，可得答案. 【详解】因为，所以． 故选：D. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量共线向量定理求解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得． 故选：A 3. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由在区间上单调递减，则需要在区间上单调递增， 故对称轴，则，解得， 故选：C 4. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】确定解析式，由确定满足的条件，得到的最小值. 【详解】， 又的图象关于点对称 ，即， ，即， ， 的最小值为4． 故选：B. 5. 正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据调和数列的和的公式，利用对数的运算性质，代值估算即得. 【详解】因， 则得， 又因， 故， 于是， 故. 故选：D. 6. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，利用导数有变号零点可求答案. 【详解】由题意知在上有变号零点， 显然在上单调递增， 故原条件等价于解得， 故实数的取值范围是． 故选：C 7. 已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的轨迹方程解出两点均在圆上，然后将直线的方程转化为两个圆得公共弦方程求解即可. 【详解】圆，即， 且圆与轴相切于点，故， 所以， 设动点，满足，则， 则，即， 故点的轨迹是圆，且，故两点均在圆上， 且两点均在圆上，故直线的方程为两个圆的公共弦方程， 两个圆的方程相减得：，即. 故选：C 8. 已知圆台的上､下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上､下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高，根据勾股定理求解，即可利用体积公式求解. 【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为，设圆台的母线为，则侧面积为，故， 则圆台的高， 依题意画出轴截面， 记外接球球心到上底面的距离为， 则，解得， 故两个体积之比为 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的展开式中（ ） A. 前三项系数之和为112 B. 二项式系数最大的项是第3项 C. 常数项为240 D. 所有项的系数之和为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，根据选项要求逐一分析计算即得. 【详解】的展开式的通项为，， 对于A，由通项可得，前三项系数之和为，故A正确； 对于B，因二项展开式有7项，故二项式系数最大的项是最中间项，即第4项，故B错误； 对于C，在通项中，使，解得，故常数项为，故C正确； 对于D，在中，令，即得所有项的系数之和为1，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是是椭圆上的一个动点（不与重合），则（ ） A. 的离心率 B. 的周长与点的位置无关 C. 的取值范围为 D. 直线与直线的斜率之积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到，即可求出离心率，从而判断A，根据椭圆的定义判断B，根据椭圆的性质判断C，设，表示出斜率，即可判断D. 【详解】对于A，因为椭圆，所以， 则离心率，故A正确； 对于B，因为是椭圆上的动点（不与重合）， 所以的周长，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，设，则， 因为， 所以，故D正确． 故选：ABD 11. 已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点中心对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用抽象函数的赋值法即可判断选项ABC,利用函数的值域和对称性即可判断选项D. 【详解】对于A，令则，故或， 令，则， 若，则，与的值域为矛盾，故，故A错误； 对于B，令则，故或， 令，则， 若，则，与的值域为矛盾，故， 令则，故，或， 因为的值域为，故，故，故B正确； 对于C，令则，故， 故C正确； 对于D，的值域为，故的图象不可能关于点中心对称，故D错误. 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有__________个. 【答案】7 【解析】 【分析】结合子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由⫋，则集合中一定有元素， 且至少含有其中一个元素， 则这样的集合共有个. 故答案为：7. 13. 某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________． 【答案】 ①. 0，1； ②. . 【解析】 【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得. 【详解】X的取值可能为0，1． 依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 故答案为：0，1；. 14. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得最小值，然后利用余弦定理得，由得，利用辅助角公式即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 由有 所以， 又由，所以， 因为， 所以 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 新增新能源汽车万辆 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 （1）计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性. （2）求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量； 参考数据：.参考公式：. 【答案】（1）可以用线性回归模型拟合与的关系. （2），估计该市2026年新增燃油车5.14万辆. 【解析】 【分析】（1）根据题意求相关系数r，结合相关系数的性质分析理解； （2）根据题意求得回归方程为，令，代入运算即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得：， 则 ， 因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系. 【小问2详解】 由题意可得：，， 则，当时，， 所以估计该市2026年新增燃油车5.14万辆. 16. 如图所示，在四棱锥中，平面为边上一点，且． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量为， 则即令，得，则 又，可得，因为平面，所以平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算线面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知，设平面的法向量为， 则即令，则，则． 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 易知，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 17. 已知函数． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若，证明：当时，． 【答案】（1） （2） ， 即． 令， 则， 令，则恒成立， 故在上单调递减． 又，故， 故在上恒成立， 故在上单调递减． 又， 故，结论得证． 【解析】 【分析】（1），令，利用导数法求得其最小值即可； （2）将问题转化为，令，利用导数法证明在上恒成立即可. 【小问1详解】 ， 令， 则，令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，最小值为， 故，即的取值范围是． 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线的实轴长为2，且过点为其右焦点． （1）求双曲线的标准方程． （2）直线经过点，倾斜角为，与交于两点（点在两点之间），若，求的值． （3）已知点，过点作直线与交于两点，记直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）为定值，且该定值为 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再通过点在双曲线上，构造等式求解即可； （2）利用点斜式方程得直线的方程为，与双曲线方程联立求出点C，D坐标，最后利用向量的坐标运算求出即可； （3）设直线方程，与双曲线方程联立，韦达定理，代入两点斜率公式化简求解即可； 【小问1详解】 由题意可知，则此双曲线方程为， 把点代入方程，得 所以得，即双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 因为直线经过点，倾斜角为， 所以直线的方程为，由 解得或故得点和点， 则， 由得，解得． 【小问3详解】 如图，由题意得直线的斜率存在且不可能与轴重合， 设直线的方程为， 由得到 而． 由韦达定理得 则 ， 故为定值，且该定值为． 19. 若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和. （1）若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到. （2）若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值. （3）若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有. 【答案】（1） 因数列为“2阶归化数列”，则， 则或， 因且欲使尽可能的大，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，此时， 故，且等号在时取到. （2）； （3） 因正项数列为“阶归化数列”，则，即， 现用数学归纳法证明：对于任意的，均有. 因，则 假设当时有， 则当时有， 故对于任意的，均有. 【解析】 【分析】(1)欲使，则只需找寻的最大值，故而选择即可； (2)因，故而数列不可能仅满足，因此先解决特殊情况，即数列仅满足，再从反面说明两种关系均存在的情况不可能发生； (3)采用数学归纳法即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因数列为“16阶归化数列”， 则， 则或， 若满足，则数列为递增数列； 若，则，则，则数列为周期数列， 即奇数项为，偶数项为. ①若对任意恒成立，则， 此时. ②存在为偶数且，使得，则第项之后的项 ， 其中，，值为或， 故. 存在为奇数且，使得，则 ， 其中，值为或， 故. 则若存在使得，则将变大或变小， 综上，的值只可能为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛： (1)抓住关键点，故而探寻的最大值； (2)由已知信息抓住关键点，数列不可能仅满足，因此考虑是否可以仅满足，得出满足题意的答案，再从反面说明两种关系均存在的情况不可能发生； (3)正面证明无法说明任意性，故而采用数学归纳法证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $