专题05 矩形、菱形与正方形72道压轴题型专训（9大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题05 矩形、菱形与正方形72道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 矩形、菱形与正方形的翻折压轴题型 题型二 矩形、菱形与正方形的旋转压轴题型 题型三 矩形、菱形与正方形的存在性压轴题型 题型四 矩形、菱形与正方形的最值问题 题型五 根据正方形的性质与判定求角度、长度、面积 题型六 根据菱形的性质与判定求角度、长度、面积 题型七 根据矩形的性质与判定求角度、长度、面积 题型八 （特殊）平行四边形的动点问题 题型九 四边形其他综合问题 【经典例题一 矩形、菱形与正方形的翻折压轴题型】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点，过点作交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）先根据四边形为菱形可得，再利用勾股定理列方程出，由此可求出，然后根据菱形的四边相等可得菱形的周长． 此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：由折叠可知：，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是菱形． （2）解：∵是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴， 设， ∴， 解得：（负值已经舍去） ∴， ∴， ∴四边形的周长 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在正方形中，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于点E，延长交于F． 【感知】如图1，当点H与点C重合时，可得． 【探究】如图2，当点H为边上任意点时，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【应用】在图2中，当时，利用【探究】中的结论，求的长． 【答案】探究：，理由见解析；应用： 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等． 探究：连接，利用折叠的性质及正方形的性质证明，即可得出； 应用：设，利用勾股定理解即可． 【详解】解：探究：猜想， 理由如下：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 由折叠的性质可得，， ，， 在和中， ， ， ； 应用：设， ， ，， ，，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 3．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）： （1）如图1，把一个长方形纸片按如图方式折一下，得到四边形是___________；（填“特殊的四边形”的名称） 拓展应用 （2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点的直线折叠，使得点恰好落在上的处，为折痕．若，求． 【答案】（1）正方形；（2）． 【分析】（1）由长方形的性质得，由折叠的性质得，，进而可证明四边形是正方形； （2）先证明和为等腰三角形，在中，求出，在Rt中，求出，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形； （2）四边形为正方形， ． ， ， ． 又沿着直线翻折到， ， ． 和为等腰三角形． 又四边形是长方形， ， ． 在中，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，掌握折叠的性质是解答本题的关键． 4．（23-24八年级下·河北沧州·期中）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，将矩形沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边于点E、F． ①求证：． ②若，，求折痕的长． (2)如图2，将矩形沿直线翻折，点C、D分别落在点，处，若，，，连接，当点E为的三等分点时，求的值． 【答案】(1)①见解析；②； (2)或． 【分析】题目主要考查矩形的性质，翻折的性质及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点进行分类讨论是解题关键． （1）①根据翻折的性质得出，再由等角对等边即可证明；②过点F作于点H，再由翻折的性质及勾股定理得出，利用矩形的判定和性质即可得出结果； （2）分两种情况分析：①若E为的三等分点，且，②若E为的三等分点，且，作出相应图形，然后利用其性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图1，过点F作于点H． ∵将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴由①可得． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． （2）①若E为的三等分点，且，如图2所示． ∵， ∴，． 过点E作于点M， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． ∵将矩形沿折叠， ∴，，， ∴， ∴． ②若E为的三等分点，且，如图3所示． ∴，．过点E作于点N， 同理可得，， ∴， 同理由折叠可得，，， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 5．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)作图见解析，6； (2)见解析； (3)4或16． 【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形与折叠的性质，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点的对应点在上，可得折线是的垂直平分线，由此可作图，根据矩形的性质，折叠的性质可得，由勾股定理即可求解； （2）由翻折的性质得，，，设，则，，可得，，，，在中，由勾股定理 解得，，由此即可求解； （3）分两种情况：如解图所示，点在线段上时；如解图所示，点在延长线上时；根据矩形、折叠，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），点落在边上， ∴即为所求的三角形， ∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：6． （2）证明：由翻折的性质得，，， ， 设，则， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得，， 解得，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：分两种情况： 如解图所示，点在线段上时， 由翻折的性质得，，，， ， , 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 如解图所示，点在延长线上时， 由翻折的性质得，，， , 设，则，， ， , 在中，由勾股定理得，， 解得，即， 综上所述，的长为4或16． 6．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，点是边上一点，将沿折叠后，点的对应点为点． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是菱形． (2)如图2，当点恰好落在上，且时，求的值． (3)如图3，当，，时，连接，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为2分、3分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解． ①当时，求的长． ②当时，求的长． ③当点恰好落在上时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)；； 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，结合平行线的性质得出，从而推出，即可得出结论； （2）由“”证明得出，即可得解； （3）①由等腰直角三角形的性质可得，由折叠的性质得出，，即可求解；②通过证明四边形为平行四边形，得出，由勾股定理得出的长，由平行线的性质和折叠的性质可证，即可得解；③由面积公式求得的长，的长，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵将沿折叠后，点的对应点为点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵将沿折叠后，点的对应点为点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图，连接，设与交点， ∵，，， ∴， ∵将沿折叠后，点的对应点为点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴设， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∴由①知：，， ∴， ∴， 在中，， 由轴对称的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵将沿折叠后，点的对应点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、折叠性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 7．（2024·河南南阳·一模）综合与实践，数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动．如图1．已知矩形纸片，其中． (1)操作判断 将矩形纸片按图1折叠，使点B落在边上的点E处，可得到一个的角，请你写出一个的角， (2)探究发现 将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点M，将沿折叠得到，延长交于点N，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 (3)拓展应用 改变图2中点M的位置，令点M为射线上一动点，按照(2)中方式将沿折叠得到，所在直线交于点N，若点N为的三分点，请直接写出此时的长， 【答案】(1) (或) (2)是定值；17 (3)或 【分析】（1）利用矩形的性质和折叠的性质证明四边形是正方形，然后利用正方形的性质即可得出结论； （2）周长为定值．连结，先证明四边形是矩形，可得，，由折叠性质并结合为的中点可得到，，，然后证明可得到，最后计算可知是一常数，结论得证； （3）分两种情况计算：①当点为的三分点且靠近点时，②当点为的三分点且靠近点时，利用勾股定理和折叠的性质即可得出结论． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， ， 将矩形纸片按图1折叠，使点落在边上的点处， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 的角有（或或或； （2）解：是定值，理由如下： 连结，如图2， 四边形是矩形，，，，， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠性质得：，，， 为的中点， ， ， 在与中， ， ∴， ， ∴ ， 的周长为； （3）解：①如图3，当点为的三分点且靠近点时，连接， ， ， 在中，， ； ②如图4，当点为的三分点且靠近点时，连接， ， 在中，， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系______； (2)迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断，这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． (3)拓展探索： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（1）连接，证，然后得出结论即可； （2）连接，证是等腰三角形，然后得出结论即可； （3）设的长为，则，，利用勾股定理求出，然后求出的值即可． 本题主要考查四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形和平行四边形的性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）连接， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 由折叠知，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 连接， 四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， 由折叠知，，，， ，， ， ， ， ； （3）解：四边形是矩形，， ， ， 令，则， 由（1）知， ， 解得， 即的长为． 【经典例题二 矩形、菱形与正方形的旋转压轴题型】 9．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定． （1）旋转的性质，得到，证明即可； （2）等边对等角，推出，得到，同理，得到四边形是平行四边形，再根据，即可得出结论． 掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵旋转， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，      ∵，     ∴，      ∴，      同理，     ∴四边形是平行四边形         ∵， ∴平行四边形是菱形． 10．（2024·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，，，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于，于点，． (1)证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段与总保持相等； (3)在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形可以是菱形．理由见详解，旋转角为 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及菱形的判定和性质； （1）根据平行四边形的判定即可求证； （2）根据三角形全等的性质即可求得其相等； （3）根据菱形的判定及其性质求解即可． 【详解】（1）证明：当时，， 又， 四边形为平行四边形． （2）证明：四边形为平行四边形， ． ． （3）四边形可以是菱形． 理由：如图，连接，    ∵四边形为平行四边形， ∴， 由（2）知，得， 与互相平分． 当时，四边形为菱形． 在中，， ，又， ， ， 绕点顺时针旋转时，四边形为菱形． 11．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G． (1)如图1，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图2，当点F落在矩形的边的延长线上时，连接，取的中点M，求证：； (3)如图3，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）利用证明，得出，，由得出，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （3）过点作于点，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为1； （2）证明：连接，， 旋转， ，，， ， ，， 又 ，即， M是中点， ∴； （3）解：如图，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 12．（2024·山东烟台·二模）【探究】（1）如图1，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．判断与之间的数量关系，并证明． 【延伸】 （2）如图2，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连接、．判断与之间的数量关系，并证明． （3）将图2中的正方形绕点B旋转一定的角度（如图3），求证上述和的数量关系仍然成立． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）见解析 【分析】（1）证明，再利用直角三角形中线定理即可求解； （2）证明，再利用直角三角形中线定理即可求解； （3）证明，再利用直角三角形中线定理即可求解； 【详解】（1）：，理由： 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【延伸】（2），理由： 证明：如图，延长交于点M， ∵四边形，为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）证明：延长到点Q，使，连接，作于点H， ∴， ∴， 由题意，，，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、中点的性质、直角三角形中线定理等，依据题意作出辅助线是解题的关键． 13．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长．    【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2）；理由见解答过程；（3）． 【分析】（1）由，，可证四边形是正方形； （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得△ADH≌△BAE，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求的长，即可得出的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）；理由如下： 如图②，过点D作于H，    ∵， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （3）如图①，过点D作于H，      由（2）同理可证：， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 14．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）；理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； 【详解】解：（1）结论：．理由如下： 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图，取的中点，连接，    四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴， 是等边三角形， ，， ∴， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ． 15．（2024·山西吕梁·模拟预测）在进行“图形的性质与判定”单元主题复习时，数学老师引导同学们得到如下结构图： (1)通过不同类型的三角形绕某一固定点旋转得到特殊的四边形，这一图形变化体现了上述特殊四边形共有的性质是________． A．轴对称性    B．中心对称性    C．旋转对称性 (2)上述结构图中的②所指的定理是________． A．对角线相等的矩形是正方形    B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形    D．有一组邻边相等的矩形是正方形 (3)如下图，A是直线l外一点，以A为圆心画弧，交直线l于M，N两点；分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G；连接交直线l于点O，再以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点C；最后以A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，D，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)B (2)BCD (3)见解析 【分析】此题考查了中心对称图形、正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，掌握中心对称图形和相关判定定理是解题的关键． （1）根据中心对称图形的定义即可解答； （2）根据正方形的判定定理进行解答即可； （3）证明即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：过不同类型的三角形绕某一固定点旋转得到特殊的四边形，这一图形变化体现了上述特殊四边形共有的性质是中心对称性， 故选：B （2）上述结构图中的②所指定理是对角线互相垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形， 故选：BCD （3）证明：由题意可得，，， ∴垂直平分， ∴， 由题意可知，， ∴，垂直平分， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 16．（2024·山东济南·一模）如图1，正方形与正方形有公共顶点，点分别在边和上，连接，是的中点，连接交于点．    (1)【观察猜想】 线段与之间的数量关系是__________，位置关系是________． (2)【问题呈现】 将图1中的正方形绕点顺时针旋转至图2的位置，是的中点，所在直线交于点，请尝试探究线段与之间的关系是否仍然成立？ 【探究思路】 延长至点，使，连接，可证明，从而将线段转化为线段，进而探究所需结论． 【问题解决】 ①请在图2中按要求作出辅助线，并写出的证明过程； ②线段与之间的关系是否仍然成立？并说明理由． (3)若，将图1中的正方形绕点旋转一周，是否存在最小值？若存在请求出最小值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)①见解析；②关系仍然成立，理由见解析 (3)存在最小值，为 【分析】（1）由“”证明，可得，，可得结论； （2）①由“”证明，可得，，由“”证明；②由全等三角形的性质可得，，由余角的性质可得结论； （3）当点，点，点三点共线时，有最小值，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ，， ，点是的中点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图1，延长至点，使，连接，   ， 点是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ； 结论仍然成立，理由如下： ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 点在以为直径的圆上， 如图2，取的中点，以为圆心，为半径作圆，连接，   ， ，点是的中点， ， ， 当点、点、点三点共线时，有最小值， 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、圆的有关知识、旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解此题的关键． 【经典例题三 矩形、菱形与正方形的存在性压轴题型】 17．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在正方形中，，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)存在， 【分析】（1）由正方形的性质可知，，再利用同角的余角相等，即可证明结论； （2）在上截取，连接，由正方形和等腰三角形的性质，得出，进而可证，即可证明结论； （3）过点作，交于点，交于点，连接，证明，得到，进而得到，证得四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ， ， ， ∵为正方形的外角平分线， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：存在点使得四边形是平行四边形，， 理由如下： 过点作，交于点，交于点，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， 由（2）可知，， ， ∴四边形是平行四边形， 此时． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 18．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若的面积为． (1)求的长； (2)求的面积为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查折叠的性质，长方形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理列出方程． （1）根据三角形的面积求得的长，再根据勾股定理求得的长，即的长，设，则，，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）根据三角形的面积公式代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得：，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， ； （2）解：由（1）知，， ． 19．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D．    (1)线段的长度___________； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)存在， 【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式； （3）过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标，根据，求出直线的解析式，根据点的纵坐标求出其横坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，得：点的坐标为，，， ， 故答案为：10． （2）设，则，， ，即， ， ， 点的坐标为． 设直线所对应的函数表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线所对应的函数表达式为； （3）存在，理由：过点作轴于点，如图所示．   ， ， ， 在中，， 点的坐标为， 由，设直线的解析式为：， 把代入得：，解得：， 直线的解析式为：， 令，则，解得：， 存在，点的坐标为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题． 20．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，．若、为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点、的“相关矩形”，如图①为点、的“相关矩形”示意图．若点，点． (1)当时，在图②中画出点、的“相关矩形”并求它的周长． (2)若点、的“相关矩形”为正方形，求的值． (3)已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，若在线段上存在一点，使得点、的“相关矩形”是正方形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，图形见解析 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查新定义问题，一元一次函数的图像和性质，矩形的性质，正方形的性质，准确理解题目中的“相关矩形”的定义是解题的关键． （1）根据点、的“相关矩形”的定义画出图形，利用矩形的周长公式即可求出点、的“相关矩形”的周长； （2）利用点、的“相关矩形”的定义可得：，即，根据正方形的性质得到，即，解方程即可得到答案； （3）设，且，则，，得到，根据正方形的性质得到，得到，利用不等式的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：当时，，点、的“相关矩形”如图所示： 四边形是矩形， ， 矩形的周长； （2）解：， 轴，轴，轴，轴， ， ， 四边形是正方形， ， ， 或； （3）解：在一次函数中，令，得， 令，得， ， 在线段上， 设，且，则，， 得点、的“相关矩形”是正方形， 即四边形是正方形， ，即， 或 当时， ，即； 当时， ，即； 综上所述，的取值范围为或． 21．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）【探究与证明】 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，，将边绕点 A逆时针旋转（）得到线段，过点E作，交直线于点F． 【猜想证明】从特殊到一般． (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)是否存在α，使点F，E，D三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)正方形 (2) (3)存在，或 【分析】（1）当时，落在边上，易得四边形为正方形； （2）过E作于G，由旋转的性质及勾股定理的长，从而求得的面积； （3）分两种情况：当点E在线段上；当点E在线段反向延长线上；利用旋转的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，当时，落在边上， 由旋转得：， ， ， 四边形为正方形； 故答案为：正方形； （2）解：如图，过E作于G， 由旋转得：，； 由四边形是矩形，得， ； ， ， ； 由勾股定理得， ； （3）解：存在 设，连接； 当点E在线段上时，如图； ， ， ， ； ， 由勾股定理得：， ； 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 当点E在线段反向延长线上时，如图； 同理，， ； 由勾股定理得：， ； 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 综上，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，熟练运用这些知识是关键． 22．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图1，四边形是菱形，，过点作 ，垂足为，交对角线于，连接，且． (1)求的长； (2)如图2，动点从出发，沿折线方向以个单位／秒的速度向终点匀速运动，设的面积为（），点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当点在边上运动时是否存在这样的 值，使与互余，若存在，则求出值，若不存，在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出，然后根据勾股定理即可得到结论； （2）由计算出，分两种情况计算即可； （3）由菱形的性质判断出，再判断出是等腰三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：是菱形的对角线， ，． 在和中， ，，， ， ； 在中，，， 由勾股定理得：． 在中，，，， 根据勾股定理得：，即：， ， （2）在和中， ，，， ， ，， ， ． ①当在之间时，即时， ②当在之间时，即时， 综上所述： ； （3）存在． ，， ． ， ． 四边形是菱形， ． ， ， ， ． ． ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23．（23-24八年级下·辽宁锦州·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于12时，请求出点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以、、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点D的坐标；不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)存在，，， 【分析】（1）设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可； （2）设点的横坐标为，分情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可． （3）按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式， 直线与轴，轴分别交于、两点， ，， 直线经过点，与轴交于点， ， ， 直线的解析式：； （2）解：由题意可知，， 设点的横坐标为， 当点在第二象限时， 由题意得， 解得， ， 点P的坐标为； 当点在第一象限时，不存在，舍去， 当点在第四象限时， 由题意得， 解得， ， 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设将沿着轴平移个单位长度得到， ， ，， 设点坐标为， ①当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况： 当时，即， 此时，即点在轴上，且， 点与点重合，即． 当时， ，， ， 解得， 此时，即点在轴上， 且， ． ②当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称， 当向左一移动，，，， ， 解得或（舍）， 当向右移动时，，，， ， 解得（舍）或（舍）， ， ． 综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键． 24．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在正方形中，点为边上的点，，且交正方形外角的平分线于点． 【问题初探】 （1）如图若点为的中点，求证：； 小明的思路是：取的中点，利用角边角证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程； 【类比分析】 （2）如图若点在线段上滑动（不与点，重合），是否总成立？请给出证明； 【拓展延伸】 （3）在图的边上是否存在一点M，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（）证明见解析；（）总成立，证明见解析；（）存在，理由见解析． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，由点是的中点，点是边的中点，则，再证明即可求解； （）在上截取，连接，证明是等腰直角三角形，同上理证明即可； （）过作交于点，则有，连接，证明，然后根据平行四边形的判定方法即可求证； 本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，平行四边形的判定，掌握正方形的性质，三角形全等判定方法与性质，平行四边形的判定方法，利用辅助线画出准确图形是解题的关键． 【详解】证明：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （）若点在线段上滑动时，总成立，理由： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵平分正方形的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）如图，过作交于点，则有，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【经典例题四 矩形、菱形与正方形的最值问题】 25．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，在四边形 中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，已知点是线段上的一个动点，则的最小值为_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质等． （1）先根据，平分，证明，推出，可依次证明四边形是是平行四边形、菱形； （2）菱形的面积，据此求解； （3）由菱形的性质可得垂直平分线段，进而可得，当点P在线段上时等号成立，取最小值． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， 又， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，，， ，，，， 在中，， ， ， ， ， （3）解：四边形是菱形， 垂直平分线段， ， ， 当点P在线段上时等号成立，取最小值，如图： ，， ， 在中，， 故答案为：． 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图1，正方形的边长是2，E为对角线上一动点，，，当点E从点B运动到点D的过程中，回答下列问题 (1)求对角线的长度； (2)求周长的最小值； (3)如图2，在线段上取一点G，连接和，当时，试探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质： （1）由正方形的性质可求解； （2）由“”可证，可得，即，则当有最小值时，周长有最小值，即可求解； （3）由“”可证，可得． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 在中， （2）解：四边形是正方形， ， ， ，， 又， ， 即是个定值，要使周长最小，就要使长度最小 在中，， 当最小时，取得最小值 连接，交于点O， 在正方形中，， 如图2，当，即点E与点O重合时最小， 此时， 的周长最小值是 （3）解：解：如图3，在上截取，连接． 在正方形中，， 又， ， 由（2）知， ， 又，， ，即 又， ， ， 27．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)2 (2)①见解析② (3)的最大值为，最小值为1 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）在中，由勾股定理得出，由折叠得，从而可求出； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点A时，此时最小；当折痕所在直线经过点C时，最大，，由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵矩形纸片中，， ∴， 由折叠得，点落在对角线上的点E处， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：①证明：由折叠得 在和中， ， ∴， ②设， 由折叠的性质得：，， ∵ ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：当折痕所在直线经过点A时，如图所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点C时，如图所示： 此时最大，， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，最小值为1． 28．（23-24八年级下·广东深圳·期中）在长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题． (1)如图（1），折痕为，点A的对应点F在上，折痕的长是______； (2)如图（2），H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，求折痕的长； (3)如图（3），在图（2）中，把长方形沿着剪开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合，使得重叠部分是四边形，重叠四边形的周长是否存在最大值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，20 【分析】（1）根据题意可得四边形是正方形，由勾股定理即可求解； （2）根据题意可得，进而得到，再根据折叠性质即可求解； （3）先根据题意证明是菱形，当重叠四边形顶点Q，N与矩形顶点重合时，则其周长最大，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：四边形是正方形， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，分别为，的中点， ∴， ∴，， 又由折叠可知， ，， ， ∴； （3）解：因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，则四边形是平行四边形， 过点Q作，，如图， ∵， ∴， ∴， 四边形是菱形， 当重叠四边形顶点Q，N与矩形顶点重合时，如图，则其周长最大， 设，则，， 由勾股定理得：，解得：， 重叠四边形周长的最大值是20； 【点睛】本题考查的是图形的翻折变换、矩形的性质、勾股定理，正方形的判定与性质等，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键． 29．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，作点关于的对称点为，以为邻边构造．点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求线段的长（用含的代数式表示）； (2)连结，则的最小值是______； (3)当是菱形时，求的值； (4)连结，当与的一条边平行或垂直时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)的最小值是， (3)； (4)或． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． （）分两种情况讨论即可求解； （）关于的对称点为，则，由勾股定理得即可求解； （）由关于的对称点为，，，得是等腰直角三角形，在根据菱形的性质即可求解； （）分当时和当两种情况即可． 【详解】（1）解：当在线段上时，即， ， 当在线段上时，即， ， 综上可知：； （2）解：如图， ∵关于的对称点为， ∴， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， ∴当时，有最小值， ∴的最小值是， 故答案为：； （3）解：设与交于点，如图， ∵关于的对称点为，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 当是菱形时，， ∴， ∴（舍去）或； （4）解：如图，当时， ，即 解得：； 当，此时与重合， ∴，解得． 30．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，． (1)若E为的中点，于点O． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，求的值． (2)如图3，若，，则的最小值为 ．（直接写出结果）． 【答案】(1)①证明见解析；②的值为 (2) 【分析】（1）①证明，即可得； ②过点分别作于，于，先证明，再证明，由此可得，，即可得到； （2）连接，延长至，使得，连接，由垂直平分线性质得，再证明，得，从而的最小值为的长，由勾股定理求得即可． 【详解】（1）①解：四边形为正方形， ，， 又，， ， ， 又为的中点， ； ②证明：过点分别作于，于， ，， 为的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ； （2）解：如图，连接，延长至，使得，连接， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． 31．（2024·陕西西安·三模）如图1，木匠陈师傅现有一块五边形木板，它是矩形木板用去后的余料，，，，是边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上． (1)[初步探究] 当时． ①若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______； ②若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______； (2)[问题解决] 如图2，陈师傅还有另一块余料，，，，，，且和之间的距离为4，若以所在直线为轴，中点为原点构建直角坐标系，则曲线是反比例函数图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，所截矩形材料面积是．求的长． 【答案】(1)①4；②10 (2) 【分析】（1）①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大； ②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大； （2）由题意可知，，，，再由点在函数图象上，求出反比例函数的解析式为，再求点，，用待定系数法求出直线的解析式，设，则，再由方程，求出的值即可求的长． 【详解】（1）解：①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大， ，， ， 截取的矩形面积的最大值4； 故答案为：4； ②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大， ，， ， 截取的矩形面积的最大值10； 故答案为：10； （2）解：， ，， ， ，， 点在函数图象上， ， 反比例函数的解析式为， 和之间的距离为4，， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， 解得， 的长为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 32．（23-24七年级下·福建泉州·期末）小明学习“图形的旋转”以后，对数学很感兴趣，于是亲自动手剪出2块等腰直角三角形△ABC和△CDE纸片，，，，并按如图1放置，进行数学探究． (1)实践与探究 探究一：如图1，连结，将绕点C逆时针旋转，请在图1中画出这对全等三角形，并写出与其对应线段的数量关系，即________； 探究二：如图2，连结，得到和．问这两个三角形的面积是否相等？请说明理由． (2)发现新结论 探究三：把原来等腰直角三角形改为一般如图3所示，分别以的三边向外侧作正方形、和，发现图中3个阴影三角形的面积之和存在最大值，设，，求出其最大值． 【答案】(1)探究一：图见解析，；探究二：，理由见解析 (2) 【分析】（1）探究一：由旋转的性质可得，可得，即可求解； 探究二：由旋转的性质可得，，可得，，由中线的性质可得，即可求解； （2）由探究二可得，，，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：探究一：如图， ∵将绕点C逆时针旋转， ∴， ∴， 故答案为：； 探究二：，理由如下： 如图，∵，， ∴将绕点C顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴，， 即、C、B三点共线， ∵为的边上的中线， ∴， ∴； （2）解：如图，过点A作，交的延长线于点Q， 由探究二可得，，，， ∴， 设，， ∴， ∵， ∴当，即，的最大值为， ∴阴影部分的面积和的最大值为． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【经典例题五 根据正方形的性质与判定求角度、长度、面积】 33．（23-24八年级下·贵州黔南·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹． (1)在图中画出一个以AB为边的正方形； (2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，理由见解析 【分析】(1)连接AD、DC、BC，所得四边形即为所作正方形； (2)作正方形的对角线，即可画出． 【详解】（1）解：如图，四边形ABCD为所求； 连接AD、DC、BC，所得四边形即为所作正方形； （2）解：如图，∠BAC即为所求． 理由如下： ∵四个全等的矩形被对角线分成的直角三角形全等， ∴． ∴四边形ABCD是菱形． 又∵(SAS)， ∴． ∵， ∴． ∴四边形ABCD是正方形，连接AC． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各特殊平行四边形的性质与判定是解决本题的关键． 34．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，，进而得到，即可得证； （2）先证明矩形是正方形，然后根据正方形的性质和勾股定理，即可求出答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， ． 在中，为中点， ． ， 矩形是正方形， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定和平行四边形的判定定理，勾股定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于中等题型． 35．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3)四边形的面积为24 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以得到 ，再证明，继而证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到四边形是菱形． （2）欲证明四边形是正方形，因为第一问已经证明四边形是菱形，所以只需要证明其中一个角是直角，根据题目条件分析，可证明当时，，即四边形是正方形． （3）在（2）的条件下，四边形是正方形，得出四边形为直角梯形，求出，再根据梯形的面积公式即可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是菱形． （2）解：四边形是正方形， 理由如下：∵，， ∴， ∵四边形是菱形 ∴， ∴菱形是正方形， （3）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，正方形的性质及判定以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握四条边都相等的四边形是菱形． 36．（23-24八年级下·贵州黔南·阶段练习）下列图形是由四块完全相同，底角为的等腰梯形拼接而成的平行四边形和正方形，如图（1）、（2）所示． (1)设图1中的阴影部分面积为，图2中阴影部分面积．请你用含、的代数式表示，． (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式． (3)当，，时，试利用这个公式计算的值． 【答案】(1)； (2)平方差公式 (3) 【分析】（1）先证明图1的面积为，再利用正方形的判定与性质可得； （2）结合（1）的结论可得答案； （3）利用平方差公式先计算，再代入数据计算即可； 【详解】（1）解：如图，作出等腰梯形的两条高，而， ∴四边形是矩形， ∴， ∵等腰梯形是轴对称图形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由四条边相等，四个角是直角的四边形是正方形可得图2的两个四边形是正方形， 由正方形的性质可得： （2）解：由（1）得：平方差公式； （3）解：∵ 当，，时， 原式； 【点睛】本题考查的是平方差公式的几何意义与应用，等腰梯形的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用等面积法证明乘法公式是解本题的关键． 37．（23-24八年级下·北京·期中）在中，，，点D为射线上一动点（不与点B、C重合），点B关于直线的对称点为E，作射线，过点C作的平行线，与射线交于点F．连接 (1)如图1，当点E恰好在线段上时，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时， ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见详解 (2)①见详解②，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定，矩形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由轴对称性质，得出再证明，因为，得出得证即可作答． （2）①根据题意的描述作图即可； ②易得，过点作于点，四边形是正方形，证明，则，再通过角的运算，即可作答． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图：当点E恰好在线段上时， ∵在中， ∴， ∵点B关于直线的对称点为E， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴， 即有； （2）解：当点在线段的延长线上时 ①依题意补全图形如下 ②用等式表示和的数量关系是，证明如下 ∵点关于直线的对称点为E， ∴， ∴， 过点作于点，如上图， 则， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即有， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴． 38．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 【答案】【问题一】；【问题二】；【问题三】证明见解析 【分析】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等． 问题一：证明，即可得到结论； 问题二：连接，由正方形的性质可得，，由（1）中结论可得，等量代换即可得到； 问题三：先证明四边形是菱形，再证明，即可得证． 【详解】问题一： ， 证明如下：在 和 中， 因为 ， 且 ， 所以 ，又因为 ， ， 所以 ，所以 ； 问题二： 如图，连接， 因为点O是正方形的中心，所以， 又由问题一可知，，所以， 所以； 问题三：四边形是正方形， 证明如下：由问题一知，，所以， 所以由勾股定理知，所以四边形是菱形， 又因为在和中，对应边均相等，所以两个三角形全等，所以， 所以，所以，所以四边形是正方形． 39．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图1，在平行四边形中，，，点E为对角线上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接．    (1)求证； (2)若所在的直线交于点M，求的长度； (3)如图2，当点F落在的外部，构成四边形时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）过作于，由“”可证，可得，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求解； （3）将绕点逆时针旋转得到，通过证明四边形为正方形，即可求解． 【详解】（1）解：证明：绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过作于，   四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ； （3）如图，过D作于N，将绕点逆时针旋转得到，   ，，， ， ， ， 点，点，点三点共线， ， 四边形是矩形， 又， 四边形为正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 40．（24-25八年级下·海南海口·阶段练习）【问题情境】 如图，在矩形中，是边上的一点，过点作，过点作，过点作，且． 【基础探究】 （1）如图，求证：； 【深入探究】 （2）如图，当在延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明； 【拓展迁移】 （3）如图，在（2）的条件下，连接，，当在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2），证明见解析  （3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）证明即可得证； （2）证明四边形是矩形，结合，可得四边形是正方形，所以，进一步即可得出结论； （3）过点作于点，在上截取，连接，证明，可得，，，证明，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 又，，， ， ， ， ， 又，， ， ； （2），证明如下： ，，， 四边形是矩形， 同（1）理可得， ，， 四边形是正方形， ， ； （3），理由如下： 过点作于点，在上截取，连接， ，， 由（2）得， ， 矩形是正方形， 又四边形是正方形形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， 又， ． 【经典例题六 根据菱形的性质与判定求角度、长度、面积】 41．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，平分，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点， （1）根据平分，得到，结合四边形是平行四边形，证出，，得出四边形是菱形，即可得． （2）根据四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理得出，设，则，即可求解； 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵，， ， ， 设，则， 解得：， ． 42．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 43．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定可得结论； （2）先利用菱形的性质得到，，然后根据平行线的性质和勾股定理，结合三角形的等面积法分别求得、、即可求解． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 44．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． (1)求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：四边形是菱形． (3)在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、； （2）根据垂直平分线的性质得，，由，得，，证明，得，推出四边形为平行四边形，即可得证； （3）先根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得，然后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、， 则四边形即为所作； （2）证明：设，交于点， 根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （3）解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 45．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点； ②作直线交于点，连接； ③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，四边相等的四边形是菱形 (2)四边形的面积为． 【分析】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识． （1）根据作图得到垂直平分， 然后得到，即可求解； （2）首先根据题意得到，再利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据作图可得，垂直平分， ∴，， ∵由作图得，， ∴， ∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 46．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）已知：，尺规作图得四边形，作图步骤如下： （i）分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； （ii）直线交于点D，连接； （iii）以B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点E，连接，． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断的根据； (2)在（1）的前提下，若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)菱形，四边相等四边形是菱形 (2)20 【分析】（1）根据作图得到垂直平分， 然后得到，即可求解； （2）首先根据题意得到，然后利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）根据作图可得，垂直平分 ∴， ∵由作图得， ∴ ∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等四边形是菱形； （2）∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 47．（23-24八年级下·广西贵港·期末）【问题情境】在如下的三个图中，四边形都是平行四边形，的平分线与直线交于点E，与直线交于点F． 【思考发现】（1）在图1中，线段的数量关系是______； 【探究论证】（2）如图2，若，G是的中点，连接．求证：是等腰直角三角形； 【拓展应用】（3）如图3，若，交的延长线于点H，点K在上且，连接，求的度数．    【答案】（1）相等；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据平行四边形对边平行和平行四边形的性质可得，，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，即可得出； （2）连接，同（1）可得，推出是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质可得，，再证，结合， 推出，根据证明，可得，，等量代换得出，即可证明是等腰直角三角形； （3）连接，先根据已知条件证明四边形是菱形，进而可得和是全等的等边三角形，再通过证明，推出， 即可得出． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分， ， ， ， 故答案为：相等； （2）证明：如图，连接，   ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 同（1）可得， 是等腰直角三角形， ， ， 又矩形中， ， ， 矩形中， ， 等腰直角中， G是的中点， ，， ， ， 又， ， 在和中，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，连接，   四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． ， ，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． ，， 和是全等的等边三角形， ，， ，， ， 在和中，， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，难度较大，综合应用上述知识点，逐步推导论证是解题的关键． 48．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）【探究与证明】 折叠变换是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学探究． 【动手操作】 如图1，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，点与点重合，连接，请完成： （1）证明：； （2）猜想四边形的形状，并说明理由． 【类比操作】 （3）如图2，在矩形中，是的中点，在边上，将矩形沿折叠，点的对应点分别为的延长线过点，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）四边形是菱形，理由见详解；（3） 【分析】（1）根据四边形是矩形，得出，根据折叠，得出，根据同角的余角相等得出，根据“”即可证明． （2）根据四边形是矩形，得出，根据折叠，得出，证明，得出，根据，得出，结合折叠可得，即可证明四边形是菱形； （3）根据四边形是矩形，得出，连接，根据折叠，得出，证明，得出，，设，则，在中，由勾股定理，列式求解即可； 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ∵折叠，点与点重合， ， ， ， 又， ． （2）解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ， ∵折叠，点与点重合， ， 在和中， ， ， ， ∵， ， 根据折叠可得， ， ∴四边形是菱形； （3）解：∵四边形是矩形， ， 如图所示，连接， ∵折叠， ， 延长线过点， ， 在和中 ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质是解题的关键． 【经典例题七 根据矩形的性质与判定求角度、长度、面积】 49．（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是证明四边形是矩形． （1）由平行四边形的性质得到，得到，由即可证明； （2）由，，得到，推出四边形是平行四边形，又，得到四边形是矩形，因此，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）知， 同理：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 50．（23-24八年级下·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分，，， ∴． 在直角三角形中，由勾股定理得：． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． 51．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数； (3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)详见解析； (2)75°； (3)． 【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论； （2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果； （3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴EC＝DC， 又∵∠BDE＝15°， ∴∠CDO＝60°， 又∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴OD＝OC， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠DOC＝∠OCD＝60°， ∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°， ∵CO＝CE， ∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°； （3）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°， 由（1）可知，∠OCB＝30°， ∴AC=2AB=4， ∴， ∴矩形OEC的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 52．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在矩形OABC中，A（4，0），C（0，3），F是AB上的一个动点，F不与A、B重合，过点F的反比例函数y=的图象与BC边交于点E． (1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式及△EFA的面积； (2)当的面积为时，求F点的坐标． 【答案】(1)， (2)F点的坐标（4，1）或F2（4，2）． 【分析】（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（4，），由此代入求得函数解析式即可；将y=3代入求出点E的坐标，从而求出△EFA的面积； （2）先求点F的坐标，再求点E，表示出△EFA的面积，最后求出点F的坐标． 【详解】（1）解：∵在矩形OABC中，A（4，0），C（0，3）， ∴在矩形OABC中，OA=4，OC=3， ∴B（4，3）， ∵F为AB的中点， ∴F（4，）， ∵点F在反比例函数y=的图象上， ∴k=6， ∴该函数的解析式为y=； 当y=3时，x=2， ∴E（2，3）， ∴BE=4-2=2， ∴S△AEF=×2×＝． （2）解：设点F（4，），则AF=， ∵点E的纵坐标为3， ∴E（，3）， ∴BE=4-， ∴S△AEF=××(4−)=， 解得：k1=4，k2=8， ∴F1（4，1），F2（4，2）． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 53．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处． (1)如图1，当点E恰好落在y轴时，连接，求的长度． (2)如图2，当点E恰好落在长方形的对角线上时，求点D的坐标． (3)如图3，当以O、C、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)27或 【分析】（1）利用长方形的性质，求出点的坐标，得出的长，的长，再根据勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理得，设,则，由勾股定理得：，即，求出，即可求解； （3）①当时，，则的面积；②当时，利用勾股定理得：，求出，进而求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，且四边形是长方形， ∴点的坐标分别为， ∴，， 由折叠得，，，， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴中，， ∵四边形是长方形， ∴， ∵沿折叠， ∴， ∴， ∴， 设,则， ∵中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：过点E分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ①当时， ∵， ∴， 的面积； ②当时， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得：， 则， 的面积； 故的面积为27或． 【点睛】本题考查的是长方形的性质、勾股定理的运用、面积的计算、坐标与图形，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 54．（23-24八年级下·江西九江·期末）课本再现： （1）定理  直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是边上的中线． 求证：． 证明：如图1，延长到点，使得，连接． …… 请把证明过程补充完整． 知识应用： （2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形即可； （2）由直角三角形斜边中线的性质得，进而可证，然后证明是线段的垂直平分线即可． 【详解】解：（1）是边上的中线， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ． ， ． （2）如图，连接． 是边上的高，是边上的中线， ，是的中点． ． ， ． ． 是的中点， ． 是线段的垂直平分线． ． 55．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图1，已知长方形，，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求对应的值； (2)如图2、3、4，求出当点分别在边、和上时，与之间的关系式； (3)如图5，当在线段上运动时，是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请在图5中用直尺和圆规画出点的位置，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)11 (2) (3)存在，理由见详解； 【分析】（1）根据计算出BP的值，再计算出PC的值，分别算出、、和长方形ABCD的面积，即可计算出的值； （2）当点P在AB上运动时，可直接计算出的面积，当点P在BC上运动时，，当点P在EC上运动时，先计算出EP，可直接得到y的表达式，根据三种情况分别计算即可； （3）延长AB，用圆规以点B为圆心，以AB为半径画圆弧，与射线AB交于点，用直尺画直线连接交BC于点P，点P即所求的点，再根据等腰直角三角形的性质可以求得． 【详解】（1）解： 当时，点P在BC上，且BP=1，如下图所示， ， ， ， ∵， ∴， ∴当时，； （2）当点P在AB上运动时，如图2所示，，， ∴当时，； 当点P在BC上运动时，如图3所示， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在EC上运动时，如图4所示，过点P作，交AB与点F， 得， ∴ ∴， ∴． （3）存在点P，使得的周长最小， 如下图所示，延长AB，用圆规以点B为圆心，以AB为半径画圆弧，与射线AB交于点，用直尺画直线连接交BC于点P，点P即所求的点， ∵, ∴是的垂直平分线， ∴, ∵，其中AE的长不变， ∴， ∴当、P、E三点在同一条直线上时，的周长最小; 如下图所示，过点E作， ∴, ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴, ∴． 【点睛】本题考查三角形、长方形、等腰直角三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是能够根据不同的情况列出表达式． 56．（2024·河南·模拟预测）综合与实践——探究平行四边形折叠中的数学问题 问题情境： 已知中，为锐角，，点分别是边的中点，点分别是边上的点，分别沿和折叠，点的对应点分别为点，． 操作分析： （1）如图1，点与点重合，点与点重合． ①四边形 平行四边形（填“是”或“不是”）． ②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是 ． （2）点，均落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗?若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由． 拓展探究： （3）在（2）的条件下，若，，且与的一边平行，则此时四边形的面积为 ． 【答案】（1）①是；②（答案不唯一，正确即可）；（2）是，证明见解析；（3）或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得及角度转换的计算可证，可得，由此即可求证；②根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可求证； （2）连接，根据平行四边形的性质可证，根据角度的转换可得，可得，且，结合平行四边形的判定即可求证； （3）根据平行四边形的性质，分类讨论：当时；当时；图形结合分析，即可求解． 【详解】解析：（1）四边形是平行四边形， ，，， 如图(1)，由折叠可知，，， ， ，即， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ②四边形是矩形， ， ， 又由折叠可知，， ． （2）四边形是平行四边形， 证明：如图(2)，连接， 四边形是平行四边形， ，，， 点分别是的中点， ，， ， ， ， ， 由折叠可知，，，，， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （3）当时，如图(3)，点落在上，，则， ． 当时，如图(4)，则， ， 从而易得，，，均是等边三角形，，， ． 综上可知，四边形的面积为或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握折叠的性质，特殊四边形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 【经典例题八 （特殊）平行四边形的动点问题】 57．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B向点C运动．设的长度为x，阴影部分的面积为y．    (1)求y与x的函数表达式； (2)当点P运动的路程为多少时，的面积为？ 【答案】(1) (2)当点P与点C重合，点P运动的路程为1时，的面积为 【分析】（1）的长度为x，则，根据的面积＝正方形的面积的面积的面积的面积即可求出； （2）根据第（1）问，令求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为1，E为的中点， ∴，， ∵的长度为x， ∴， ∴的面积＝正方形的面积的面积的面积的面积 ， 即； （2）解：∵的面积为， ∴，解得， 也就是当点P与点C重合，点P运动的路程为1时，的面积为． 【点睛】本题考查正方形的性质，一次函数的实际运用，以及三角形的面积计算公式来研究动点问题． 58．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点B运动；点Q从点C出发，以的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点Q的运动时间为．P，Q两点同时出发．    (1)若存在某一时刻，四边形为正方形，求x的值； (2)当时，若，求t的值． 【答案】(1) (2)t的值为或 【分析】 （1）由题意可得，，，根据正方形的性质可得，，从而可得，即可求解； （2）当四边形为平行四边形时，满足，此时，即，从而求解即可；当四边形为等腰梯形时，满足，作于点E， 作于点F，可得，再求解即可． 【详解】（1） 解：由题可知，，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 解得． （2） 解：如图1所示，当四边形为平行四边形时，满足，此时， 即， 解得，       如图2所示，当四边形为等腰梯形时，满足，作于点E， 作于点F， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查动点问题、正方形的性质、平行四边形的性质及等腰梯形的性质，熟练掌握正方形和平行四边形的性质是解题的关键． 59．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）在四边形中，，，，，点E从A出发以的速度向D运动，同时，点F从点B出发，以的速度向点C运动，设运动时间为，    (1)t取何值时，四边形为矩形？ (2)M是上一点，且，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)时，四边形为矩形 (2)或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形 【分析】（1）当时，四边形为矩形，列出方程即可解决问题； （2）分两种情形列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，四边形为矩形，则有， 解得， 答：时，四边形为矩形． （2）解：①当点F在线段上，时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有， 解得， ②当F在线段上，时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有， 解得， 综上所述，或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 60．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿方向向点D运动且不与点D重合，动点Q从点A出发，以的速度沿方向向点B运动且不与点B重合，若P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）连接，求当t为何值时，的面积为． （2）当点P在上运动时，是否存在这样的t使得是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1或；（2）存在， 或 【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （2）分当时和当时，进行讨论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为， ∴， 当点P在边上 ． ∴ ，解得． 当点P在边上时， ， 解得． 当t为1或时，的面积为． （2）存在．理由如下： ①当时，根据勾股定理，得, 解得（不符合题意，舍去）． ②当时，根据勾股定理，得 ， 解得（不符合题意，舍去）． 所以存在或时，使得是以为一腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用． 61．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图①，四边形中，．    (1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到点D停止．设运动时间为a，的面积为S，求、的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，以每秒7个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到边上时，当的面积为24时，求t的值． 【答案】(1) (2)2.5或3.1或8 【分析】（1）由函数图象可知，点M从A出发，从点C至D用时16秒，即，再由，即可求解； （2）由题意得，当Q运动到A停止的时间为4，而点P到D的时间为，故有点在边上，此时有以为底边，为高的三角形，再分按点P在Q上方，点P在Q下方两种情况求解，当点P在上、点Q在A点上来求解． 【详解】（1）解：根据图象得出：在时间为20的时候，点M到达C点，点M到达D点， 所以M从点C到点D所用的时间为：， 所以的长度：， ∴， 解得． （2）解：当点P、Q都在边上，且点P在点Q上方，此时有以为底边，为高的三角形， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 同理，当点P在上、点Q在A点上，此时有以为底边，为高的三角形， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当的面积为24时， t的值为：2.5，3.1、8． 【点睛】本题考查的是四边形动点问题和一次函数图象的相关性质，运用四边形动点问题解决办法与一次函数图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键． 62．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，欢欢和乐乐分别站在正方形广场的顶点A和顶点C处，欢欢以的速度走向终点，途中位置记为点；乐乐以的速度走向终点，途中位置记为．假设两人同时出发，当其中一人到达终点时结束运动．已知正方形边长为，点在上，．记三角形的面积为，三角形的面积为．设出发时间为： (1)两人同时运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度： ______m；______m；______m；______m； (2)他们出发多少秒后？ (3)是否存在这样的时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；；； (2)秒 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质得出，由题意得，，，； （2）由三角形面积得出，解方程即可； （3）由题意得方程，解得 （不符合，舍去）． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 由题意得：，，，， 故答案为：；；；； （2），， ， ， 则， 即：， 解得：， 他们出发秒后； （3）不存在，理由如下： 由题意得：， 解得： （不符合，舍去）； 不存在这样的时刻，使得． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质，求出三角形面积是解题的关键． 63．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)的长为______． (2)用含t的代数式表示线段的长． (3)连接， ①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 【答案】(1)5 (2)或 (3)①不存在，理由见解析；②存在，t的值为 (4)t的值为或2 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据题意可得，先求出当点Q与点B重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即可：当点Q在线段上时和当点Q在线段的延长线上时； （3）①连接，假设与互相平分，则可得四边形是平行四边形，进而可得，解得即可到答案； ②连接，假设与互相平分，则可得四边形是平行四边形，进而可得，解得即可到答案； （4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P关于直线对称的点落在点A下方时和当点P关于直线对称的点落在点A上方时． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5； （2）在中，，， 由题意得，， 当点Q与点B重合时，， ∴， 当点Q在线段上时，， 当点Q在线段的延长线上时，， 综上所述，或； （3）①不存在，理由如下： 如图，连接， 若与互相平分，则四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得（不合题意）， ∴不存在t的值，使得与互相平分； ②存在， 如图，连接， 若与互相平分，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，与互相平分； （4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图， 由对称得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图， 由对称得，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 64．（23-24八年级下·广东肇庆·期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米．点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么： (1)如图1，当t＝ 　　 秒时，线段AQ＝AP（即△QAP为等腰直角三角形）； (2)如图2，当t＝ 　　 秒时，△QAB的面积等于长方形ABCD的面积的；（温馨提示：此时点P的运动可暂且不考虑哦！） (3)如图3，P到达B，Q到达A后继续运动，直到P点到达C点后都停止运动．那么当t为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半．写出计算过程． 【答案】(1)2 (2)3 (3)7.5，见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论； （2）根据已知条件得到DQ=tcm，AQ=（6−t）cm，根据三角形的面积和矩形的面积公式列方程即可得到结论； （3）根据已知条件得到AQ=（t−6）cm，CP=（18−2t）cm，依题意使线段AQ的长等于线段CP的长的一半，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意，得 DQ=tcm，AQ=（6−t）cm，AP=2t cm 当AQ=AP时 6−t=2t 解得：t=2 （2）解：∵DQ=tcm ∴AQ=（6−t）cm S△QAB=（6−t）×12 （6−t）×12=×6×12 解得：t=3 （3）解：由题可知： AQ=（t−6）cm，CP=（18−2t）cm 依题意，使线段AQ的长等于线段CP的长的一半 ∴t−6=12（18−2t） 解得：t=7.5 【点睛】此题考查了动点移动问题，一元一次方程的性质及其应用，三角形的面积，矩形的面积，等腰三角形的性质．根据几何图形的边长及面积列方程求出t值是解题的关键． 【经典例题九 四边形其他综合问题】 65．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，，是对角线上的点（不与点，重合），且． (1)如图1，若， ①四边形的面积为 　　； ②若四边形为菱形，求长． (2)如图2，过点作的垂线交，于点，，连接，猜想与的数量关系与位置关系，并证明． 【答案】(1)①8；②； (2)，，证明见解析． 【分析】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键． （1）①根据四边形的面积是正方形面积的一半得出结论即可； ②设和的交点为，根据四边形为菱形，得出和的长，然后根据勾股定理求出的长度即可； （2）设和的交点为，根据证，然后得出，即可． 【详解】（1）①四边形是正方形， 与垂直平分， ， 四边形的面积是正方形面积的一半， 四边形的面积为， 故答案为：8； ②设和的交点为， 四边形为菱形，，， ，， 在中， 由勾股定理得； （2），，证明如下： 设和的交点为， 四边形是正方形，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故，． 66．（2024·山东青岛·二模）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作且，连接、、． (1)求证：； (2)请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：连接AF，． （注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分） 已知：________（填写序号） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，全等三角形的判定，三角形内角和定理等知识． （1）由平行四边形，可得，，再由证明，结合，证明即可； （2）四边形是平行四边形，条件①证明，进而可得平行四边形是矩形；条件②：邻边相等的平行四边形即可判定平行四边形是菱形，条件③由对角线互相平分的平行四边形是菱形即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵在平行四边形中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 已知：①， 结论：四边形是矩形． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 故是矩形； 已知：②；； 结论：四边形是菱形． 证明：∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形． 已知：③ 结论：四边形是菱形． 证明：连接， ∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形． 67．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在边长为12的正方形内部有两个大小相同的矩形、，与相交于点，与相交于点，，． (1)用含有、的代数式表示矩形与矩形重叠部分的面积，并求出应满足的条件； (2)当，时， ①的长为________ ②四边形旋转后能与四边形重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的点，并分别说明如何旋转的（至少两种）． 【答案】(1)， (2)①8；②见解析 【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可x、y表示出的长，利用长方形面积公式即可得到面积，再求出x的取值范围； （2）①由，，得到，由得到，即可解得； ②如图，连接设相交的点为点O，再进一步求出旋转中心与旋转角即可． 【详解】（1）∵，，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴重叠部分长方形的面积为：， ∵长方形与长方形有重叠部分，正方形边长为12， ∴，即． （2）①∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：8 ②如图，连接设相交的点为点O， ∵， ∴四边形、都是正方形，点既是的中点也是的中点，点既是的中点也是的中点， ∴该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点、点、点， 四边形绕着点逆时针方向（或顺时针方向）旋转可与四边形重合； 四边形绕着点顺时针方向旋转（或逆时针方向旋转）可与四边形重合； 四边形绕着点逆时针方向旋转（或顺时针方向旋转）可与四边形重合． 【点睛】本题考查正方形的性质及旋转的性质，根据四边形、都是正方形，正确找出旋转中心是解题关键． 68．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图是一个的网格图，每个小正方形的边长都为单位1，每一个小正方形的顶点叫做格点．图中已画出了线段和线段，其端点A，B，E，G均在小正方形的顶点上，点P是线段上一非格点，请按要求画出图形（过程用虚线，结果为实线）并计算． (1)画出以为边的正方形； (2)画一个以为一条对角线的菱形（点F在的左侧），且； (3)在（1）正方形的边上画一点Q，使得； (4)在（1）中菱形的边上画一点M，使得经过点M的直线同时将菱形和正方形的面积二等分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）在A、B左侧两个单位，上方一个单位找到格点C、D即可； （2）求出正方形的面积，利用菱形面积是对角线的乘积的一半，求出另一条对角线长即可； （3）连接正方形对角线，再过交点作直线，交于Q即可； （4）过菱形对角线交点和正方形对角线交点作直线即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形就是所求作正方形； （2）解：由（1）可知正方形的边长为， 面积为， ∵，， ∴, 如图，取两个格点连线，与网格线的交点即为F、G； 菱形为所求； （3）解：连接正方形对角线，再过交点作直线，交于Q， 此时，； （4）解：过菱形对角线交点和正方形对角线交点作直线，与交点就是M； 【点睛】本题考查了网格作图，解题关键是熟练运用正方形、菱形、全等三角形的性质进行画图． 69．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【答案】（1）②④；（2）猜想正确，理由见解析；（3） 【分析】本题考查四边形中新定义的问题，熟练掌握勾股定理与几何问题的结全是解题的关键， （1）利用垂美四边形的定义结合菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）利用垂美四边形的定义可得到，再根据勾股定理即可得到答案； （3）结合垂美四边形的结论，代入即可得到答案． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线相互垂直， ∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义， 故答案为：②④； （2）猜想正确，理由如下： ∵四边形中，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）∵，，D、E分别是、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 70．（23-24八年级下·广东韶关·期中）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，、、、分别是四边形各边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后直接填写答案： ①当时，四边形为 ； ②当 时，四边形为矩形； ③当且时，四边形为 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)菱形；AC⊥BD；正方形． 【分析】（1）、、、分别是四边形各边的中点，则GH、EF分别是△ACD和△ACB的中位线，即可得到EF和GH、EH和FG的位置关系和数量关系，即可证明四边形是平行四边形． （2）①根据三角形得中位线定理，GH=EF=， EH=GF=，结合题意，则可得到四边形是菱形；②根据三角形的中位线定理，可得，结合题意四边形是矩形，可得AC⊥BD；③结合①②易得四边形为正方形． 【详解】（1）∵、、、分别是四边形各边的中点，EH、FG分别是△ABD和△CBD的中位线； ∴GH、EF、EH、FG分别是△ACD、△ACB、△ABD，△CBD的中位线； ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）①由（1）可得： GH、EF、EH、FG分别是△ACD、△ACB△ABD，△CBD的中位线； ∴GH=EF=， EH=GF=； ∵AC=BD， ∴GH=EF= EH=GF， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ② ∵四边形是矩形， ∴∠GHE=90°， 由（1）可得 ∴∠HMC=∠GHE=90°， ∵， ∴∠DNC=∠HMC=90°，即：AC⊥BD， ∴当AC⊥BD时，四边形为矩形． ③当时，由①得四边形是菱形； 当时，四边形是矩形； ∴四边形是正方形； 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行地变形的判定，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定，熟练的掌握三角形的中位线定理并在推理论证中正确的运用是解题的关键． 71．（23-24八年级下·吉林·期末）如图1，将边长为1的正方形压扁为边长为1的菱形．在菱形中，的大小为，面积记为． （1）请补全下表： 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 1 （2）填空：由（1）可以发现边长是1的正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着大小的变化而变化．不妨把边长为1，的菱形面积记为． 例如：当时，，当时， 由上表可以得到（______°），（______°），…，由此可以归纳出（______°）． （3）将两块相同的等腰直角三角形按图2的方式放置，若，，探究图中与的面积是否相等？并说明理由（友情提示：可以利用（2）的结论） 【答案】（1）；；；（2）120，150，；（3）相等，理由见解析 【分析】（1）根据菱形的面积计算即可； （2）根据已知的数据进行推断即可； （3）根据条件得出和，再根据即可得解； 【详解】（1）当时，，； 当时，，； 当时，，； 表中依次填写：；；； （2）（120°），（150°），…，由此可以归纳出； 故答案是：120，150，； （3）结论：两个三角形面积相等． 证明：如图3， ∵， ∴， ∴， ， 由（2）中结论， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合菱形的性质求解是解题的关键． 72．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）[经典问题回顾] 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE＝EF． 对于本题，我们常用的思路是在AB上截取BM＝BE，构造全等三角形进行证明； 小明通过深度研究，又总结出了以下三种思路： 思路一：如图（1），在AB的延长线上截取BN，使BN＝BE，，连接NE，利用全等三角形和特殊四边形，转化得到线段之间的数量关系，获证； 思路二：如图（2），连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q，利用全等三角形，获证； 思路三：如图（3），连接AC，作EG//AB，交AC与点G，利用全等三角形，获证． [进一步探究] 小明继续对这道题目进行了改编，请完成下面改编题目的解答． 四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上一点，∠AEF＝β，EF交正方形外角平分线CF于点F． （1）如图（4），若点E在边BC延长线上，β＝90°，线段AE与线段EF存在怎样的数量关系？并加以证明； （2）如图（5），若点E在边BC上，AE＝EF，求β的度数． 【答案】（1）AE=EF证明见解析；（2）β=90° 【分析】（1）延长BA至H，使AH=CE，连接HE，利用ASA证得△HAE≌△CEF，可得结论． （2）连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q，先证得四边形EPCQ是正方形，得出PE=EQ，∠PEQ=90°，再利用HL证得Rt△APE≌Rt△FQE，推出∠AEP=∠FEQ，从而得出∠AEF=∠PEQ=90°，继而得出结论． 【详解】解：（1）结论：AE=EF． 理由：如图（4）中，延长BA至H，使AH=CE，连接HE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA=BC，∠B=∠DCE=90°， ∵AH=CE， ∴BH=BE， ∴∠H=45°， ∵CF是正方形外角的平分线， ∴∠ECF=45°， ∴∠H=∠ECF， ∵∠AEF=90°，∠B=90°，∠HAE=∠B+∠BEA，∠CEF=∠AEF+∠BEA， ∴∠HAE=∠CEF， 在△HAE和△CEF中， ∴△HAE≌△CEF， ∴AE=EF． （2）如图（5）中，连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q． ∴∠EPC=∠Q =90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB=45°， ∵CF是正方形外角的平分线， ∴∠ECQ=∠PCE=45°， ∴∠EPC=∠Q=∠PCQ=90°， ∴四边形EPCQ是矩形， ∵∠PEC=∠PCE=45°， ∴PE=PC， ∴四边形EPCQ是正方形， ∴PE=EQ，∠PEQ=90°， 在Rt△APE和Rt△FQE中， ∴Rt△APE≌Rt△FQE（HL）， ∴∠AEP=∠FEQ， ∴∠AEF=∠PEQ=90°， ∴β=90°． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 矩形、菱形与正方形72道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 矩形、菱形与正方形的翻折压轴题型 题型二 矩形、菱形与正方形的旋转压轴题型 题型三 矩形、菱形与正方形的存在性压轴题型 题型四 矩形、菱形与正方形的最值问题 题型五 根据正方形的性质与判定求角度、长度、面积 题型六 根据菱形的性质与判定求角度、长度、面积 题型七 根据矩形的性质与判定求角度、长度、面积 题型八 （特殊）平行四边形的动点问题 题型九 四边形其他综合问题 【经典例题一 矩形、菱形与正方形的翻折压轴题型】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点，过点作交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的周长． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在正方形中，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于点E，延长交于F． 【感知】如图1，当点H与点C重合时，可得． 【探究】如图2，当点H为边上任意点时，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【应用】在图2中，当时，利用【探究】中的结论，求的长． 3．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）： （1）如图1，把一个长方形纸片按如图方式折一下，得到四边形是___________；（填“特殊的四边形”的名称） 拓展应用 （2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点的直线折叠，使得点恰好落在上的处，为折痕．若，求． 4．（23-24八年级下·河北沧州·期中）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，将矩形沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边于点E、F． ①求证：． ②若，，求折痕的长． (2)如图2，将矩形沿直线翻折，点C、D分别落在点，处，若，，，连接，当点E为的三等分点时，求的值． 5．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 6．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，点是边上一点，将沿折叠后，点的对应点为点． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是菱形． (2)如图2，当点恰好落在上，且时，求的值． (3)如图3，当，，时，连接，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为2分、3分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解． ①当时，求的长． ②当时，求的长． ③当点恰好落在上时，求的长． 7．（2024·河南南阳·一模）综合与实践，数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动．如图1．已知矩形纸片，其中． (1)操作判断 将矩形纸片按图1折叠，使点B落在边上的点E处，可得到一个的角，请你写出一个的角， (2)探究发现 将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点M，将沿折叠得到，延长交于点N，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 (3)拓展应用 改变图2中点M的位置，令点M为射线上一动点，按照(2)中方式将沿折叠得到，所在直线交于点N，若点N为的三分点，请直接写出此时的长， 8．（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系______； (2)迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断，这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． (3)拓展探索： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值． 【经典例题二 矩形、菱形与正方形的旋转压轴题型】 9．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形．                     10．（2024·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，，，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于，于点，． (1)证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段与总保持相等； (3)在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数． 11．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G． (1)如图1，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图2，当点F落在矩形的边的延长线上时，连接，取的中点M，求证：； (3)如图3，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积． 12．（2024·山东烟台·二模）【探究】（1）如图1，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．判断与之间的数量关系，并证明． 【延伸】 （2）如图2，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连接、．判断与之间的数量关系，并证明． （3）将图2中的正方形绕点B旋转一定的角度（如图3），求证上述和的数量关系仍然成立． 13．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长．    14．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 15．（2024·山西吕梁·模拟预测）在进行“图形的性质与判定”单元主题复习时，数学老师引导同学们得到如下结构图： (1)通过不同类型的三角形绕某一固定点旋转得到特殊的四边形，这一图形变化体现了上述特殊四边形共有的性质是________． A．轴对称性    B．中心对称性    C．旋转对称性 (2)上述结构图中的②所指的定理是________． A．对角线相等的矩形是正方形    B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形    D．有一组邻边相等的矩形是正方形 (3)如下图，A是直线l外一点，以A为圆心画弧，交直线l于M，N两点；分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G；连接交直线l于点O，再以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点C；最后以A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，D，连接．求证：四边形是菱形． 16．（2024·山东济南·一模）如图1，正方形与正方形有公共顶点，点分别在边和上，连接，是的中点，连接交于点．    (1)【观察猜想】 线段与之间的数量关系是__________，位置关系是________． (2)【问题呈现】 将图1中的正方形绕点顺时针旋转至图2的位置，是的中点，所在直线交于点，请尝试探究线段与之间的关系是否仍然成立？ 【探究思路】 延长至点，使，连接，可证明，从而将线段转化为线段，进而探究所需结论． 【问题解决】 ①请在图2中按要求作出辅助线，并写出的证明过程； ②线段与之间的关系是否仍然成立？并说明理由． (3)若，将图1中的正方形绕点旋转一周，是否存在最小值？若存在请求出最小值，若不存在请说明理由． 【经典例题三 矩形、菱形与正方形的存在性压轴题型】 17．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在正方形中，，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 18．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若的面积为． (1)求的长； (2)求的面积为多少？ 19．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D．    (1)线段的长度___________； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，．若、为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点、的“相关矩形”，如图①为点、的“相关矩形”示意图．若点，点． (1)当时，在图②中画出点、的“相关矩形”并求它的周长． (2)若点、的“相关矩形”为正方形，求的值． (3)已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，若在线段上存在一点，使得点、的“相关矩形”是正方形，直接写出的取值范围． 21．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）【探究与证明】 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，，将边绕点 A逆时针旋转（）得到线段，过点E作，交直线于点F． 【猜想证明】从特殊到一般． (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)是否存在α，使点F，E，D三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 22．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图1，四边形是菱形，，过点作 ，垂足为，交对角线于，连接，且． (1)求的长； (2)如图2，动点从出发，沿折线方向以个单位／秒的速度向终点匀速运动，设的面积为（），点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当点在边上运动时是否存在这样的 值，使与互余，若存在，则求出值，若不存，在请说明理由． 23．（23-24八年级下·辽宁锦州·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于12时，请求出点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以、、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点D的坐标；不存在，请说明理由． 24．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在正方形中，点为边上的点，，且交正方形外角的平分线于点． 【问题初探】 （1）如图若点为的中点，求证：； 小明的思路是：取的中点，利用角边角证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程； 【类比分析】 （2）如图若点在线段上滑动（不与点，重合），是否总成立？请给出证明； 【拓展延伸】 （3）在图的边上是否存在一点M，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 矩形、菱形与正方形的最值问题】 25．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，在四边形 中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，已知点是线段上的一个动点，则的最小值为_________． 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图1，正方形的边长是2，E为对角线上一动点，，，当点E从点B运动到点D的过程中，回答下列问题 (1)求对角线的长度； (2)求周长的最小值； (3)如图2，在线段上取一点G，连接和，当时，试探究和的数量关系． 27．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 28．（23-24八年级下·广东深圳·期中）在长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题． (1)如图（1），折痕为，点A的对应点F在上，折痕的长是______； (2)如图（2），H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，求折痕的长； (3)如图（3），在图（2）中，把长方形沿着剪开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合，使得重叠部分是四边形，重叠四边形的周长是否存在最大值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由． 29．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，作点关于的对称点为，以为邻边构造．点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求线段的长（用含的代数式表示）； (2)连结，则的最小值是______； (3)当是菱形时，求的值； (4)连结，当与的一条边平行或垂直时，直接写出的值． 30．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，． (1)若E为的中点，于点O． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，求的值． (2)如图3，若，，则的最小值为 ．（直接写出结果）． 31．（2024·陕西西安·三模）如图1，木匠陈师傅现有一块五边形木板，它是矩形木板用去后的余料，，，，是边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上． (1)[初步探究] 当时． ①若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______； ②若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______； (2)[问题解决] 如图2，陈师傅还有另一块余料，，，，，，且和之间的距离为4，若以所在直线为轴，中点为原点构建直角坐标系，则曲线是反比例函数图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，所截矩形材料面积是．求的长． 32．（23-24七年级下·福建泉州·期末）小明学习“图形的旋转”以后，对数学很感兴趣，于是亲自动手剪出2块等腰直角三角形△ABC和△CDE纸片，，，，并按如图1放置，进行数学探究． (1)实践与探究 探究一：如图1，连结，将绕点C逆时针旋转，请在图1中画出这对全等三角形，并写出与其对应线段的数量关系，即________； 探究二：如图2，连结，得到和．问这两个三角形的面积是否相等？请说明理由． (2)发现新结论 探究三：把原来等腰直角三角形改为一般如图3所示，分别以的三边向外侧作正方形、和，发现图中3个阴影三角形的面积之和存在最大值，设，，求出其最大值． 【经典例题五 根据正方形的性质与判定求角度、长度、面积】 33．（23-24八年级下·贵州黔南·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹． (1)在图中画出一个以AB为边的正方形； (2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由． 34．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 35．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求四边形的面积． 36．（23-24八年级下·贵州黔南·阶段练习）下列图形是由四块完全相同，底角为的等腰梯形拼接而成的平行四边形和正方形，如图（1）、（2）所示． (1)设图1中的阴影部分面积为，图2中阴影部分面积．请你用含、的代数式表示，． (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式． (3)当，，时，试利用这个公式计算的值． 37．（23-24八年级下·北京·期中）在中，，，点D为射线上一动点（不与点B、C重合），点B关于直线的对称点为E，作射线，过点C作的平行线，与射线交于点F．连接 (1)如图1，当点E恰好在线段上时，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时， ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明． 38．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 39．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图1，在平行四边形中，，，点E为对角线上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接．    (1)求证； (2)若所在的直线交于点M，求的长度； (3)如图2，当点F落在的外部，构成四边形时，求四边形的面积． 40．（24-25八年级下·海南海口·阶段练习）【问题情境】 如图，在矩形中，是边上的一点，过点作，过点作，过点作，且． 【基础探究】 （1）如图，求证：； 【深入探究】 （2）如图，当在延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明； 【拓展迁移】 （3）如图，在（2）的条件下，连接，，当在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由． 【经典例题六 根据菱形的性质与判定求角度、长度、面积】 41．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，平分，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 42．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 43．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 44．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． (1)求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：四边形是菱形． (3)在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积． 45．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点； ②作直线交于点，连接； ③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据； (2)若，，，求四边形的面积． 46．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）已知：，尺规作图得四边形，作图步骤如下： （i）分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； （ii）直线交于点D，连接； （iii）以B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点E，连接，． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断的根据； (2)在（1）的前提下，若，，，求四边形的周长． 47．（23-24八年级下·广西贵港·期末）【问题情境】在如下的三个图中，四边形都是平行四边形，的平分线与直线交于点E，与直线交于点F． 【思考发现】（1）在图1中，线段的数量关系是______； 【探究论证】（2）如图2，若，G是的中点，连接．求证：是等腰直角三角形； 【拓展应用】（3）如图3，若，交的延长线于点H，点K在上且，连接，求的度数．    48．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）【探究与证明】 折叠变换是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学探究． 【动手操作】 如图1，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，点与点重合，连接，请完成： （1）证明：； （2）猜想四边形的形状，并说明理由． 【类比操作】 （3）如图2，在矩形中，是的中点，在边上，将矩形沿折叠，点的对应点分别为的延长线过点，求的长． 【经典例题七 根据矩形的性质与判定求角度、长度、面积】 49．（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 50．（23-24八年级下·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 51．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数； (3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积． 52．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在矩形OABC中，A（4，0），C（0，3），F是AB上的一个动点，F不与A、B重合，过点F的反比例函数y=的图象与BC边交于点E． (1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式及△EFA的面积； (2)当的面积为时，求F点的坐标． 53．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处． (1)如图1，当点E恰好落在y轴时，连接，求的长度． (2)如图2，当点E恰好落在长方形的对角线上时，求点D的坐标． (3)如图3，当以O、C、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求的面积． 54．（23-24八年级下·江西九江·期末）课本再现： （1）定理  直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是边上的中线． 求证：． 证明：如图1，延长到点，使得，连接． …… 请把证明过程补充完整． 知识应用： （2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：． 55．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图1，已知长方形，，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求对应的值； (2)如图2、3、4，求出当点分别在边、和上时，与之间的关系式； (3)如图5，当在线段上运动时，是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请在图5中用直尺和圆规画出点的位置，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 56．（2024·河南·模拟预测）综合与实践——探究平行四边形折叠中的数学问题 问题情境： 已知中，为锐角，，点分别是边的中点，点分别是边上的点，分别沿和折叠，点的对应点分别为点，． 操作分析： （1）如图1，点与点重合，点与点重合． ①四边形 平行四边形（填“是”或“不是”）． ②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是 ． （2）点，均落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗?若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由． 拓展探究： （3）在（2）的条件下，若，，且与的一边平行，则此时四边形的面积为 ． 【经典例题八 （特殊）平行四边形的动点问题】 57．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B向点C运动．设的长度为x，阴影部分的面积为y．    (1)求y与x的函数表达式； (2)当点P运动的路程为多少时，的面积为？ 58．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点B运动；点Q从点C出发，以的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点Q的运动时间为．P，Q两点同时出发．    (1)若存在某一时刻，四边形为正方形，求x的值； (2)当时，若，求t的值． 59．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）在四边形中，，，，，点E从A出发以的速度向D运动，同时，点F从点B出发，以的速度向点C运动，设运动时间为，    (1)t取何值时，四边形为矩形？ (2)M是上一点，且，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 60．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿方向向点D运动且不与点D重合，动点Q从点A出发，以的速度沿方向向点B运动且不与点B重合，若P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）连接，求当t为何值时，的面积为． （2）当点P在上运动时，是否存在这样的t使得是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 61．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图①，四边形中，．    (1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到点D停止．设运动时间为a，的面积为S，求、的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，以每秒7个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到边上时，当的面积为24时，求t的值． 62．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，欢欢和乐乐分别站在正方形广场的顶点A和顶点C处，欢欢以的速度走向终点，途中位置记为点；乐乐以的速度走向终点，途中位置记为．假设两人同时出发，当其中一人到达终点时结束运动．已知正方形边长为，点在上，．记三角形的面积为，三角形的面积为．设出发时间为： (1)两人同时运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度： ______m；______m；______m；______m； (2)他们出发多少秒后？ (3)是否存在这样的时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由. 63．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)的长为______． (2)用含t的代数式表示线段的长． (3)连接， ①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 64．（23-24八年级下·广东肇庆·期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米．点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么： (1)如图1，当t＝ 　　 秒时，线段AQ＝AP（即△QAP为等腰直角三角形）； (2)如图2，当t＝ 　　 秒时，△QAB的面积等于长方形ABCD的面积的；（温馨提示：此时点P的运动可暂且不考虑哦！） (3)如图3，P到达B，Q到达A后继续运动，直到P点到达C点后都停止运动．那么当t为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半．写出计算过程． 【经典例题九 四边形其他综合问题】 65．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，，是对角线上的点（不与点，重合），且． (1)如图1，若， ①四边形的面积为 　　； ②若四边形为菱形，求长． (2)如图2，过点作的垂线交，于点，，连接，猜想与的数量关系与位置关系，并证明． 66．（2024·山东青岛·二模）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作且，连接、、． (1)求证：； (2)请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：连接AF，． （注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分） 已知：________（填写序号） 67．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在边长为12的正方形内部有两个大小相同的矩形、，与相交于点，与相交于点，，． (1)用含有、的代数式表示矩形与矩形重叠部分的面积，并求出应满足的条件； (2)当，时， ①的长为________ ②四边形旋转后能与四边形重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的点，并分别说明如何旋转的（至少两种）． 68．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图是一个的网格图，每个小正方形的边长都为单位1，每一个小正方形的顶点叫做格点．图中已画出了线段和线段，其端点A，B，E，G均在小正方形的顶点上，点P是线段上一非格点，请按要求画出图形（过程用虚线，结果为实线）并计算． (1)画出以为边的正方形； (2)画一个以为一条对角线的菱形（点F在的左侧），且； (3)在（1）正方形的边上画一点Q，使得； (4)在（1）中菱形的边上画一点M，使得经过点M的直线同时将菱形和正方形的面积二等分． 69．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 70．（23-24八年级下·广东韶关·期中）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，、、、分别是四边形各边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后直接填写答案： ①当时，四边形为 ； ②当 时，四边形为矩形； ③当且时，四边形为 ． 71．（23-24八年级下·吉林·期末）如图1，将边长为1的正方形压扁为边长为1的菱形．在菱形中，的大小为，面积记为． （1）请补全下表： 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 1 （2）填空：由（1）可以发现边长是1的正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着大小的变化而变化．不妨把边长为1，的菱形面积记为． 例如：当时，，当时， 由上表可以得到（______°），（______°），…，由此可以归纳出（______°）． （3）将两块相同的等腰直角三角形按图2的方式放置，若，，探究图中与的面积是否相等？并说明理由（友情提示：可以利用（2）的结论） 72．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）[经典问题回顾] 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE＝EF． 对于本题，我们常用的思路是在AB上截取BM＝BE，构造全等三角形进行证明； 小明通过深度研究，又总结出了以下三种思路： 思路一：如图（1），在AB的延长线上截取BN，使BN＝BE，，连接NE，利用全等三角形和特殊四边形，转化得到线段之间的数量关系，获证； 思路二：如图（2），连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q，利用全等三角形，获证； 思路三：如图（3），连接AC，作EG//AB，交AC与点G，利用全等三角形，获证． [进一步探究] 小明继续对这道题目进行了改编，请完成下面改编题目的解答． 四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上一点，∠AEF＝β，EF交正方形外角平分线CF于点F． （1）如图（4），若点E在边BC延长线上，β＝90°，线段AE与线段EF存在怎样的数量关系？并加以证明； （2）如图（5），若点E在边BC上，AE＝EF，求β的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$