精品解析：重庆市名校联盟2024-2025学年高二下学期第一次联合考试数学试卷

重庆市名校联盟2024-2025学年度第二期第一次联合考试 数学试卷（高2026届） 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ） A 20 B. 26 C. 32 D. 36 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 4. 若，则（ ） A B. 6 C. 3 D. -3 5. 五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 6. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 7. 已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为32 C. 展开式中的常数项为540 D. 展开式中二项式系数最大的项是第四项 10. 有本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A. 分给甲､乙､丙三人，每人各本，有90种分法； B 分给甲､乙､丙三人中，一人本，另两人各本，有种分法； C. 分给甲乙每人各本，分给丙丁每人各本，有种分法； D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各本，另两人各本，有种分法； 11. 已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 若有3个零点，则的取值范围为 C. 当时，是的极大值点 D. 当时，有唯一零点，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某电视台连续播放个不同的广告，其中个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为_______. 13. 已知函数，则=______． 14. 已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示） （1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数； （2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数； （3）恰有两个数字重复五位数的个数. 16. 已知函数在时取得极小值． （1）求实数，的值； （2）求在区间上的最值． 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值（结果用数字表示）． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数零点的个数； （3）当时，证明：当时，. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点. ①求t的取值范围； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市名校联盟2024-2025学年度第二期第一次联合考试 数学试卷（高2026届） 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由间接法以及组合数即可求解. 【详解】从个球中任取个球的取法共有种， 两个球都不是红球的取法有种， 所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为. 故选：B. 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间. 【详解】∵，∴， 令，解得， 即函数的单调递减区间为， 故选：B. 3. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项为. 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 5. 五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为. 故选：B 6. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知： 当时，；时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 因此函数在时取得极小值，在取得极大值. 故ABD错误，C正确. 故选：C 7. 已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数，根据奇函数的性质有：要使函数在上单调，只要函数在上单调，对函数求导，代特殊值求得，结合函数在上单调，可知在上恒成立，即可知，确定值并检验即可求解. 【详解】因为，且， 所以为奇函数，要使函数在上单调，只要函数在上单调； 又，且， 又函数在上单调，故函数在上只能单调递减， 由，即，解得， 当时，，时，，， 故有在上恒成立， 经检验知，时符合题意． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数的单调性，判断出导数的取值情况，由此确定值并检验. 8 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数判断其单调性，由已知可得，， ，；，，进而利用单调性可得答案. 【详解】令， ， 时，，则在上递减， 时，，则在上递增， 由可得， 化为 ∴，则， 同理，；，， 因为，所以， 可得， 因为在上递减，， ∴， 故选：C． 【点睛】方法点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内分别令求得的范围，可得函数增区间，由求得的范围，可得函数的减区间. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为32 C. 展开式中的常数项为540 D. 展开式中二项式系数最大的项是第四项 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，可求出，然后再结合组合的知识、二项式系数的性质、系数的变化规律逐项判断． 【详解】令，得，得，故A正确； 展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确， 由上得二项式为，常数项为，故C错误； 最大的二项式系数为，即第四项的二项式系数最大，故D正确； 故选：ABD． 10. 有本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A. 分给甲､乙､丙三人，每人各本，有90种分法； B. 分给甲､乙､丙三人中，一人本，另两人各本，有种分法； C. 分给甲乙每人各本，分给丙丁每人各本，有种分法； D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各本，另两人各本，有种分法； 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项B，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲､乙､丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项D，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 【详解】对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法. 所以不同的分配方法有种，故A正确； 对B，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有种，故B正确； 对C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故C错误； 对D，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法； 再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故D正确. 故选：. 【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题. 11. 已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 若有3个零点，则的取值范围为 C. 当时，是的极大值点 D. 当时，有唯一零点，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为与的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到，讨论函数的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当时，得到，函数单调递增，结合，可判定D正确； 【详解】对于A中，当时，可得，则，所以切线为A正确： 对于B中，若函数有3个零点，即有三个解， 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与的图像有3个交点， 又由， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 又由时，，当时，且， 如下图： 所以，即实数的取值范围为，所以B正确： 对于中，当时，，可得， 令，上单调递增， 且,所以存在使得， 所以在上，单调递减， 在上，单调递增，又, 所以在上，即，单调递减， 上，即，单调递增， 所以是的极小值点，所以错误． 对于D中，当时，， 设，可得， 当时，在单调递减；当时，在单调递增， 所以当时，，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 又因为，即， 所以有唯一零点且，所以D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某电视台连续播放个不同的广告，其中个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为_______. 【答案】720 【解析】 【分析】分两步求解，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他4个不同商业广告进行排列，第二部对个不同的公益广告进行排列，得结果 【详解】解：由题意，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他4个不同商业广告进行排列，不同的安排方式有种， 第二部对个不同的公益广告进行排列，不同的安排方式有种， 故总的不同安排方式有种， 故答案为720. 【点睛】本题考查捆绑法解排列组合问题，是基础题. 13. 已知函数，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，赋值求出，再赋值即可得解. 【详解】, 令，可得，解得， 所以，即， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的单调性，将绝对值去掉后得，构造新函数，这样就知道了函数的单调性，分离参量求导，得实数的取值范围 【详解】不妨设. 因为，所以，所以在上单调递增，即. 又因为在上也单调递增，所以. 所以不等式即为， 即， 设，即， 则，因此在上单调递减. 于是在上恒成立，即在上恒成立. 令，则， 即在上单调递增，因此在上的最小值为，  所以， 故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示） （1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数； （2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数； （3）恰有两个数字重复的五位数的个数. 【答案】（1）72个；（2）72个；（3）1200个. 【解析】 【分析】（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可. （2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4即可. （3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即可. 【详解】解：（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可. 个. （2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即个 （3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即个 16. 已知函数在时取得极小值． （1）求实数，的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）， （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，解得、的值，再代入检验； （2）由（1）可得函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，求出区间端点的函数值与极小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 依题意，即， 解得或， 若，则，则无极值点，不满足题意， 经检验符合题意，所以，. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 则在处取得极小值， 又，，， 所以在上最小值为，最大值为. 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值（结果用数字表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，令，化简可得的值，再令，化简可得结果； （2）结合二项式展开式通项公式可得，结合组合数性质求值. 【小问1详解】 在中， 令，得，所以. 在中， 令，得， 所以. 【小问2详解】 ∵的展开式的通项公式为， ∴. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处切线方程； （2）讨论函数零点的个数； （3）当时，证明：当时，. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，令，可得，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，即可得到结果； （3）根据题意，求导可得，令，求导可得在上单调递减，从而可得在上单调递减，即可证明. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 由直线的点斜式可得，化简可得， 所以切线方程为. 【小问2详解】 因为函数， 令，可得， 设，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，， 且时，， 所以当时，函数与函数无交点； 当时，函数与函数有且仅有一个交点； 当时，函数与函数有两个交点； 当时，函数与函数有且仅有一个交点； 综上所述，当时，函数无零点； 当或时，函数有且仅有一个零点； 当时，函数有两个零点. 【小问3详解】 当时，， 令， 则，令，则， 因为，所以，， 则当时，恒成立， 所以在上单调递减， 即在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减， 所以，即. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题以及利用导数证明不等式问题，难度较大，解答问题的关键在于将零点问题转化为函数交点问题，将不等式问题转化为最值问题. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点. ①求t的取值范围； ②证明： 【答案】（1）是上的"双中值函数"，理由见详解 （2）①；②证明见详解. 【解析】 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可; （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为,构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【小问1详解】 函数是上的"双中值函数". 理由如下： 因为，所以. 因为，所以, 令，得，即，解得. 因为, 所以是上的"双中值函数". 【小问2详解】 ①因为，所以。 因为是上的"双中值函数"，所以 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以， 即的取值范围为； ②不妨设， 则， 即. 要证，即证. 设, 则. 设，则 所以在上单调递增，所以， 所以则在上单调递减. 因为，所以，即. 因为，所以. 因为，所以 因为，所以. 由（1）可知在上单调递增， 所以,即得证. 点睛: 思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调吽与最值即可：第一小问.可利用等量关系消元转化证明,类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$