精品解析：2025届辽宁省辽阳市高考二模数学试卷

高三考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. 6 B. C. D. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知为第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5. 函数图象上一点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量和的统计数据如下表： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 若和线性相关，则关于的回归直线方程为（ ） （附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为） A. B. C. D. 7. 一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于两点．若的内切圆与直线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 在上单调递减 10. 已知，且为等比数列，公比为，记，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴的距离的最大值为1 C. 若，且点在上，则 D. 若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，若，则__________． 13. 甲、乙等5人站成一排拍照，已知甲没有站在最中间，则甲、乙相邻的概率为__________． 14. 如图，在棱长为6的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若的周长为，证明：为等边三角形． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围． 17. 在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为． （1）求； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 18. 已知分别为椭圆的左、右顶点，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点． （1）求椭圆的标准方程． （2）试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． （3）设的面积与的面积分别为，求的最小值． 19. 已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得． （1）当时，求． （2）当时，证明：成等差数列． （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数的乘法计算公式化简复数，再求虚部. 【详解】，所以复数的虚部为6． 故选：A 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】利用判断命题的真假，举例说明，令，可判断命题的真假性. 【详解】由，得是真命题，是假命题； 当时，，则，则是真命题，是假命题． 综上，和都是真命题. 故选：A 3. 已知为第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平方，利用平方关系化简，再开方求解. 【详解】． 因为为第一象限角，所以． 故选：C 4. 已知是奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用的解析式以及奇函数的性质求出时的解析式即可. 【详解】当时，，则， 因为是奇函数，所以， 即时，，则． 故选：D 5. 函数图象上一点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数形结合，得出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点处即为到直线的距离最小的点，所以结合导数表示出过点的切线方程，在结合斜率相等求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为． 因为，所以，解得，则切点坐标为． 最短距离为点到直线的距离，即． 故选：C 6. 已知变量和的统计数据如下表： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 若和线性相关，则关于的回归直线方程为（ ） （附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用回归直线方程系数的计算公式，直接求出，即可求解. 【详解】由题意得, 因为， 所以，， 故回归直线方程为, 故选：D. 7. 一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，套公式求期望即可. 【详解】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布， 取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则． 故选：C. 8. 已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于两点．若的内切圆与直线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的内切圆分别切于点，然后结合三角形内切圆的性质以及双曲线的定义可求得，再结合可求出，从而可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设的内切圆分别切于点， 则，， 因为， 所以，得， 所以，即，① 因为，所以， 即，②， 所以①②，得，得， 因为，所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 即. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由分式函数的定义域求解判断；B.由正弦函数的值域判断；C.由函数奇偶性的定义判断；D.由复合函数的单调性判断. 【详解】的定义域为，值域为，A错误，B正确． 是奇函数，C正确． 当时，，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减，D正确． 故选：BCD 10. 已知，且为等比数列，公比为，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由等比数列下标性质及通项公式逐项判断即可. 【详解】由等比数列的性质得，A正确 共有项，则2，即，B正确． 若为偶数，则为奇数，由得．若为奇数，则为偶数，由得，C错误． 当为偶数，， 所以， 当为奇数时，， ， 当为奇数时，， ， 综上D错误． 故选：AB 11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴的距离的最大值为1 C. 若，且点在上，则 D. 若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据点代入判断对称性判断A，根据判断B，根据点在上计算1判断C，联立方程得出公共点计算判断D. 【详解】把点关于轴对称的点代入轨迹方程成立，A正确． 因为，所以，所以曲线上的点到轴的距离的最大值为1，正确． 因为，所以． 当时，因为点在上， 所以． 因为，所以，即． 当时，因为点在上，所以． 因为，所以．故1，C正确． 联立得． 当时，，当时，，即是曲线与圆的2个公共点． 因为曲线与圆只有2个公共点，所以方程除外没有其他解． 因为，所以4，所以，D错误． 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由可解得的值，即可写出的坐标，从而得到的坐标，再由数量积的坐标形式即可得出答案. 【详解】由，可得，解得， 则，所以． 故答案为：. 13. 甲、乙等5人站成一排拍照，已知甲没有站在最中间，则甲、乙相邻的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件为甲没有站在最中间，事件表示甲、乙相邻， 则甲没有站在最中间的概率为，即， 甲没有站在最中间，且甲，乙相邻的概率为，即， 所以． 故答案为： 14. 如图，在棱长为6的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正四面体的空间几何特征得到点在平面上，再结合几何特征求解出建立空间直角坐标系外接球的半径为，则利用外接球的几何特征求得外接球的半径.从而求出外接球的体积. 【详解】在正四面体中，取的中点为，连接． 易知平面． 设四面体的外接球的球心为，则点在平面上． 设在平面上的射影分别为，显然为的重心， 则． 在中，， 则． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，外接球的半径为，则， 即， 即解得即， 则所求外接球的表面积． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若的周长为，证明：为等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：由余弦定理得． 因为的周长为，即， 所以，即， 所以，故为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理转化为三角函数即可得解； （2）由余弦定理及三角形周长化简可得证. 【小问1详解】 由及正弦定理，得． 因为，所以，则，得． 【小问2详解】 略 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，得出切线方程； （2）分离参数后，利用导数判断函数的单调性，据此求出最值即可得解. 【小问1详解】 当时，， ． 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，所以． 令，则， 所以在上单调递减，， 所以，即的取值范围为． 17. 在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为． （1）求； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出所求线段，根据勾股定理以及余弦定理，表示出四棱锥的高，结合四棱锥的体积公式，可得答案. （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 取的中点分别为，连接， 过点作，垂足为， 设，则， 为等边三角形，， 在中，， 在中，， ， 又梯形的面积， 所以四棱锥的体积为， 解得（舍去），即； 【小问2详解】 由（1）可得． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以．． 设平面的法向量为，则 取，得． 设平面的法向量为，则 取，得． 所以，， 所以平面与平面所成角的正弦值为． 18. 已知分别为椭圆的左、右顶点，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点． （1）求椭圆的标准方程． （2）试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． （3）设的面积与的面积分别为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件与椭圆的性质列方程组，求得，的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）设，，则，由点点在椭圆上，可得，化简求得，同理可求得，进而可得解. （3）由（2）结合三角形面积公式易得由，得结合基本不等式即可求得的最小值，即可得解. 【小问1详解】 依题意可得：，解得，， 所以椭圆的标准方程 【小问2详解】 易得，，设，， 则， 所以 得，， 同理可得， 则. 【小问3详解】 由（2）易得 由，得 因为所以，解得或(舍去)， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 19. 已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得． （1）当时，求． （2）当时，证明：成等差数列． （3）设，证明：． 【答案】（1） （2）当时，设， 其中，， 由得，去除的相同元素， 设剩余元素中最大的元素为，设剩余元素中最大的元素为， ， 若，则同理由， 所以对任意的，，即恒成立， 由题意可知，， 因为对任意的，，恒成立，且， 所以，所以， 故，所以成等差数列； （3）①若，， 即， ②若不包含于，则，， 不妨设， 则，，， 由，得， 设， 由，，得， 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，因为，，所以， ， 即，得， ，所以， 即， 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）当时，集合，再结合新定义求解； （2）设，只需证得恒成立即可得成等差数列； （3）分和不包含于；两种情况进行讨论，结合新定义以及等比数列的前n项和公式化简求解可得证. 【小问1详解】 当时，集合，其子集及其对应的为： ①空集：；②：；③：；④：； 重新排列之后：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $