专题12 直线、平面垂直的判定与性质七种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）

专题12 直线、平面垂直的判定与性质七种考法 一、方法讲解 1.客观题中线线、线面、面面垂直的判定 证明直线与平面平垂直的常用方法： ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（）； ⑤面面垂直的性质（）． 证明面面垂直常用方法： ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 证明线线垂直的常用方法： ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． 注：（1）排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找棱或面进行排除 （2）线线线面面面 2.线线垂直证明中的常规构造 3.线面垂直判定定理的运用 线面垂直的判定定理． 线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 4.线面垂直性质定理的运用 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 ( _ b _ a ) 5.面面垂直的证明 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 6.面面垂直的性质定理运用 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 7.垂直关系的综合应用 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 二、重难点例题及变式 类型一、客观题中线线、线面、面面垂直的判定 例．（多选）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 【变式训练1】（多选）已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【变式训练2】已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（  ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 类型二、线线垂直证明中的常规构造 例．如图，已知AB为圆O的直径，D为线段AB上一点，且AD＝DB，C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证： PA⊥CD. 【变式训练1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段上，且． 求证：； 【变式训练2】图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，． 证明：； 类型三、线面垂直判定定理的运用 例．（1）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，．求证：平面. （2）如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点为的中点，，，都是正三角形． 求证：平面； 【变式训练1】如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，为棱的中点.求证：平面. 【变式训练2】如图，在三棱锥中，为上的动点，若，求证：平面； 类型四、线面垂直性质定理的运用 例．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 【变式训练1】如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. 【变式训练2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1. 类型五、面面垂直的证明 例．在四棱锥中，底面是正方形，若， 证明：平面平面. 【变式训练1】如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，．    证明：平面平面； 【变式训练2】如图，四面体中，，E为AC的中点． 证明：平面平面ACD； 类型六、面面垂直的性质定理运用 例．如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且. 证明：平面； 【变式训练1】如图，三棱锥中，平面平面，平面平面，平面平面， 求证：两两垂直； 【变式训练2】如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点，，. 证明：； 类型七、垂直关系的综合应用 例．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，DC的中点. (1)求证：D1E⊥AB1； (2)若点M，N分别在C1D，AF上，且MN⊥C1D，MN⊥AF.求证：MN∥D1E； (3)棱CC1上是否存在点P，使平面CD1E⊥平面AFP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由. 【变式训练1】如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 三、能力测试练 1．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（  ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．，，，则 2．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（  ） A． B． C． D． 4.已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点， 则满足直线的图形的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（多选）已知m、n为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（  ） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 6.（多选）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（  ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 7.如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为 ． 8．如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 9．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上异于A，B的任意一点，AN⊥PM，N为垂足. （1）求证：AN⊥平面PBM； （2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 10．如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 直线、平面垂直的判定与性质七种考法 一、方法讲解 1.客观题中线线、线面、面面垂直的判定 证明直线与平面平垂直的常用方法： ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（）； ⑤面面垂直的性质（）． 证明面面垂直常用方法： ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 证明线线垂直的常用方法： ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． 注：（1）排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找棱或面进行排除 （2）线线线面面面 2.线线垂直证明中的常规构造 3.线面垂直判定定理的运用 线面垂直的判定定理． 线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 4.线面垂直性质定理的运用 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 ( _ b _ a ) 5.面面垂直的证明 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 6.面面垂直的性质定理运用 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 7.垂直关系的综合应用 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 二、重难点例题及变式 类型一、客观题中线线、线面、面面垂直的判定 例．（多选）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【解析】对于A，若，，则平行、相交或异面； 对于B，若，则存在，使得，又因为，，而，所以，故B正确； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，，且如果不在内，则不会有，故D错误. 故选：B. 【变式训练1】（多选）已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】BCD 【解析】A：若，有可能，故A错误； B：若，则，这是线面垂直的判定定理，故B正确； C：若，则，这是线面平行的性质定理，故C正确； D：若，则，这是面面垂直的性质定理，故D正确. 故选：BCD 【变式训练2】已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（  ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】A 【解析】对于A，因为，，所以， 又，，所以，A正确； 对于B，在正方体中， 记平面为，平面为，为，为， 则，，，但与不平行，B错误； 对于C，记平面为，平面为，为，为， 由正方体性质可知，平面，平面，所以， 则，，，但不垂直，C错误； 对于D，记为，为，平面为， 则，，但与不垂直，D错误. 故选：A 类型二、线线垂直证明中的常规构造 例．如图，已知AB为圆O的直径，D为线段AB上一点，且AD＝DB，C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证： PA⊥CD. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB. 在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°，设AD＝1， 由AD＝DB，得DB＝3，BC＝2. 由余弦定理，得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3， 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO. 因为PD⊥平面ABC，CD⊂ 平面ABC，所以PD⊥CD. 由PD∩AO＝D，PD，AO⊂平面PAB，得CD⊥平面PAB. 又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD. 【变式训练1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段上，且． 求证：； 【答案】证明详见解析 【解析】（1）证明：在正方形中，，又，∴ 在中，点E为线段PC的中点，，DE平分， 在中，， 过E作交CD于H，连接FH，则， 在正方形中，，∴四边形AFHD是矩形， ∴，又，，平面， ∴平面，又平面，∴． 【变式训练2】图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，． 证明：； 【答案】证明详见解析 【解析】侧面是边长为2的正方形， ，，， 侧面是平行四边形， ， 在中，由余弦定理有， 解得，是直角三角形， ，，，平面， 平面，又平面， ； 类型三、线面垂直判定定理的运用 例．（1）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，．求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为平面，平面，所以， 又因为，且，所以， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以， 在中，可得，即， 又因为，且平面，所以平面. （2）如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点为的中点，，，都是正三角形． 求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】因为是正三角形，点为的中点，所以． 因为，是正三角形，点为的中点， 所以，． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面． 【变式训练1】如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，为棱的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】由题意可知，平面，又平面，所以， 又，所以， 又，面，所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点，， 在中，，所以， 所以，即， 而，面， 故有平面. 【变式训练2】如图，在三棱锥中，为上的动点，若，求证：平面； 【答案】证明详见解析 【解析】 在中，，则， 又，所以 由勾股定理可得为直角三角形，, 所以，所以 在中，因为，由余弦定理可得： 则，所以， 又，在中由余弦定理可得： ， 则，所以， 又平面平面， 所以平面 类型四、线面垂直性质定理的运用 例．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 【答案】证明详见解析 【解析】∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点， ∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD， ∴AE∥MN. 【变式训练1】如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. 【答案】证明详见解析 【解析】∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l. 同理PB⊥l. ∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴a⊥平面PAB. ∴a∥l. 【变式训练2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC. 求证：EF∥BD1. 【答案】证明详见解析 【解析】如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1. ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，BD∩DD1＝D， BD，DD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1. 又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C， 又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C， 又EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C， ∴EF∥BD1. 类型五、面面垂直的证明 例．在四棱锥中，底面是正方形，若， 证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】 取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. 【变式训练1】如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，．    证明：平面平面； 【答案】证明详见解析 【解析】由题意，得，所以． 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，所以，． 所以，即． 又因为为等腰直角三角形，， 所以，． 因为平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． 【变式训练2】如图，四面体中，，E为AC的中点． 证明：平面平面ACD； 【答案】证明详见解析 【解析】由于，是的中点，所以. 由于，所以， 所以，故， 由于，平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. 类型六、面面垂直的性质定理运用 例．如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且. 证明：平面； 【答案】证明详见解析 【解析】如图，取棱靠近的三等分点， 连结，则是的中点， 因为为棱的中点，所以是的中位线， 所以，因为，所以， 设，因为， 所以，作，连接， 则，因为，所以． 在中，由余弦定理得， ． 又面， 平面，因为面，所以． 又由平面平面，平面平面， 平面得证. 【变式训练1】如图，三棱锥中，平面平面，平面平面，平面平面， 求证：两两垂直； 【答案】证明见解析 【解析】在上任取一点，作交于，作交于， 由平面平面交于面，，则平面， 又平面，则，同理， 又由平面，可得平面， 平面，则． 同理可得，即两两垂直． 【变式训练2】如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点，，. 证明：； 【答案】证明见解析； 【解析】 连接，，， 由已知四边形为菱形，又 所以为等边三角形，又点是棱的中点， 所以，即， 因为平面平面，且交线为， 由，平面，得平面， 由平面，得，， 因为，，且，平面， 所以平面， 由平面，得， 设，，有， 解得：，即， 所以，满足，即； 类型七、垂直关系的综合应用 例．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，DC的中点. (1)求证：D1E⊥AB1； (2)若点M，N分别在C1D，AF上，且MN⊥C1D，MN⊥AF.求证：MN∥D1E； (3)棱CC1上是否存在点P，使平面CD1E⊥平面AFP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由. 【答案】证明见解析； 【解析】(1)如图， 连接A1B，CD1 ， ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， ∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B， 又∵BC⊥平面ABB1A1， AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1， 又BC∩A1B＝B，BC，A1B⊂平面A1D1CB， ∴AB1⊥平面A1D1CB， 又∵D1E⊂平面A1D1CB， ∴AB1⊥D1E . (2)证明　如图，连接DE，CD1 . 在正方形ABCD中，E，F分别为棱BC，DC的中点， ∴AD＝DC，DF＝EC，∠ADF＝∠DCE， ∴△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠CDE. ∵∠CDE＋∠ADE＝90°， ∴∠DAF＋∠ADE＝90°，即DE⊥AF. 又∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴AF⊥DD1. ∵DD1∩DE＝D，D1D，DE⊂平面D1DE， ∴AF⊥平面D1DE. 又∵D1E⊂平面D1DE，∴AF⊥D1E. 由(1)可知AB1⊥D1E， 又∵AB1∩AF＝A，AB1，AF⊂平面AB1F， ∴D1E⊥平面AB1F. 又∵MN⊥C1D，AB1∥C1D， ∴MN⊥AB1， 又∵MN⊥AF，AB1∩AF＝A，AB1，AF⊂平面AB1F， ∴MN⊥平面AB1F，∴MN∥D1E. (3)解　存在.如图，当点P为棱CC1的中点时，平面CD1E⊥平面AFP.理由如下： 连接FP，AP，B1P. ∵点P，F分别为棱CC1，CD的中点， ∴FP∥C1D. ∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1， ∴四边形AB1C1D为平行四边形， ∴C1D∥AB1，∴FP∥AB1 ， ∴FP与AB1共面于平面AB1PF. 由(2)知D1E⊥平面B1AF，即D1E⊥平面AFP. 又∵D1E⊂平面CD1E. ∴平面CD1E⊥平面AFP. 【变式训练1】如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面，平面，则有， 而，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， （2）在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面， 所以平面，则点即为所要找的点， 如下图所示，因为，，所以与相似， 因此， 即有，于是，，所以. 【变式训练2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得， 由正方形，得，而平面平面，平面平面， 且平面，则平面，又平面，于是， 而平面， 所以平面. （2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接， 于是，由正方形，得，则，令， 显然是正的中心，，， 又平面平面，平面平面，则平面， 平面，即有，而平面， 则平面，平面，在平面内过作交于， 显然，而平面，因此平面， 连接并延长交于，连接，于是平面平面， 过作，则有，，， ，，则，又，， 从而点是线段的中点，，过作交于， 于是，即，显然，因此， 所以在棱上存在点N使平面平面成立，. 三、能力测试练 1．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（  ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．，，，则 【答案】C 【解析】A：若，则与可能相交，可能平行，故A错误； B：若，则与可能相交，可能平行，故B错误； C：若，由线面垂直的性质知，故C正确； D：若，则与可能相交，可能平行，故D错误. 故选：C 2．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A,因为设， 又，则当时，，故A错误； 对于B，若，且，则有，故B错误； 对于C，因为 故，又，故存在直线，且， 此时，由面面垂直的判定定理知，故C正确； 对于D,当，则或者，故D错误， 故选：C. 3．已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，当时，由线面垂直的性质定理可知； 只有当且时才能得到. 所以的必要不充分条件是. 故选：C. 4.已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点， 则满足直线的图形的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】对于①：如下图所示，点为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面 ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故①正确； 对于②：如下图所示，点为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面, ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故②正确； 对于③：如下图所示，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面, ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故③正确； 对于④：如下图所示，点为所在棱的中点，由③可知，， 由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面， ，从而由线面垂直的判定得出平面，则， 平面，，由线面垂直的判定可得平面， 则，故④正确； 故选：D 5．（多选）已知m、n为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（  ） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】ABD 【解析】对于A，若， ，所以， 又且m、n为两条不重合的直线，则，故A正确； 对于B，若，，则或， 当时，又，从而， 当，存在平面，使得，且， 又，从而，又，所以，故B正确； 对于C，若，，则，又，则或，故C错误； 对于D，若，，则，又 ，，所以，故D正确. 故选：ABD. 6.（多选）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（  ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 【答案】ABC 【解析】因为是正方体，所以平面平面， 平面，所以平面，A选项正确； 因为平面，平面，所以，B选项正确； 因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， ，所以平面即为平面， 平面，所以平面，C选项正确； 因为平面，平面，所以平面平面，D选项错误 故选：ABC. 7.如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【解析】如图，取的中点，连接交于点，连接．易知四边形为正方形，则， 由翻折前后的不变性可知，， 当平面平面时，又平面平面，平面， 所以平面． 由题意可知，，， 所以． 故答案为： 8．如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 【答案】(1)证明见解析; (2) 【解析】（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. （2）如图，    过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 9．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上异于A，B的任意一点，AN⊥PM，N为垂足. （1）求证：AN⊥平面PBM； （2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析. 【解析】（1）∵AB为⊙O的直径， ∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. （2）由（1）知AN⊥平面PBM， 又PB⊂平面PBM， ∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ. 10．如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC， 所以平面ABC，平面ABC，所以， 又，，所以, 又，所以， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面PAB （2） 存在，当时，平面BMN， 过点M作垂足为F， 由（1）知平面ABC，平面ABC，所以， 又点M为AC的中点，， 所以，，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，，是平面BMN内的两条相交直线， 所以平面BMN， 由已知得， 又，即， 又，所以，所以， 故当时，平面BMN， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$