精品解析：浙江省杭州市余杭区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

2024届浙江省杭州余杭区数学九上期末统考试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. 方程的两根分别是，则等于 （ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 2. 下列四组线段中，不是成比例线段的为（ ） A. 3，6，2，4 B. 4，6，5，10 C. 1，，， D. 2，，， 3. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 若反比例函数y=的图象经过点(2，3)，则它的图象也一定经过的点是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，错误的结论是（      ）． A. B. C. D. 6. 如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知在中，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 65° D. 75° 9. 二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ） A. △BAC∽△BDA B. △BFA∽△BEC C. △BDF∽△BEC D. △BDF∽△BAE 二、填空题(每小题3分,共24分) 11. 如图，在中，，为边上一点，已知，，，则____________． 12. 不透明布袋里有5个红球，4个白球，往布袋里再放入x个红球，y个白球，若从布袋里摸出白球的概率为，则y与x之间的关系式是_____． 13. 如图，矩形的边上有一点E，的中点分别是G，H，，，则的面积是______． 14. 把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____． 15. 如图，P为平行四边形边上一点，E、F分别为、的中点，的面积分别为．若，则_______． 16. 写出一个你认为的必然事件_________． 17. Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____． 18. 若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是_____． 三、解答题(共66分) 19. 如图①，矩形中，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交边（或）于点，交边（或）于点.当旋转至处时，的旋转随即停止. （1）特殊情形：如图②，发现当过点时，也恰好过点，此时是否与相似？并说明理由； （2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （3）拓展延伸：设时，的面积为，试用含的代数式表示； ①在旋转过程中，若时，求对应的的面积； ②在旋转过程中，当的面积为4.2时，求对应的的值. 20. 在一个不透明的盒子里装有三个标记为1，2，3的小球（材质、形状、大小等完全相同），甲先从中随机取出一个小球，记下数字为后放回，同样的乙也从中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标． （1）请用列表或画树状图的方法写出点所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 21. 佩佩宾馆重新装修后,有间房可供游客居住，经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满，当每间房每天的定价每增加元时,就会有一间房空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每间房每天支出元的各项费用．设每间房每天的定价增加元，宾馆获利为元． (1)求与的函数关系式(不用写出自变量的取值范围) ; (2)物价部门规定，春节期间客房定价不能高于平时定价的倍,此时每间房价为多少元时宾馆可获利元? 22. 如图，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，点A在第四象限，点P坐标为（8，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O和A、P两点． （1）求抛物线的函数关系式． （2）点B是y轴正半轴上一点，连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点，且BC＝AB，求点B坐标； （3）在（2）的条件下，点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，求△CBN面积的最大值． 23. 中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上。过点E作EF⊥AD垂足为点G， （1）求证：FE=AE； （2）填空：=__________ （3）若，求的值(用含k的代数式表示)． 24. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是 ； （2）请用列表法或画树状图（树形图）法，求小明和小亮诵读两个不同材料的概率． 25. 如图，是的直径，四边形是矩形，与圆相交于点E，，D是上的点，，与交于点C，的半径为． （1）求的长． （2）若，求的长． 26. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）请直接写出D点的坐标． （2）求二次函数的解析式． （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届浙江省杭州余杭区数学九上期末统考试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. 方程的两根分别是，则等于 （ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案. 【详解】解：∵的两根分别是， ∴， 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题. 2. 下列四组线段中，不是成比例线段的为（ ） A. 3，6，2，4 B. 4，6，5，10 C. 1，，， D. 2，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键． 只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断． 【详解】解：A、∵，∴四组线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四组线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； C、∵，∴四组线段1，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； D、∵，∴四组线段2，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D． 4. 若反比例函数y=的图象经过点(2，3)，则它的图象也一定经过的点是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意得k=2×3=6， 所以反比例函数解析式为y=， ∵﹣3×（﹣2）=6，2×（﹣3）=﹣6，3×（﹣2）=﹣6，﹣2×3=﹣6， ∴点（﹣3，﹣2）在反比例函数y=的图象上． 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征． 5. 如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，错误的结论是（      ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论. 【详解】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，并可得： ，，，故A，B，C正确；D错误； 故选D． 【点睛】考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质． 6. 如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：连接CD， 因为， 所以CD为直径， 在Rt△OCD中，CD=6，OC=2， 根据勾股定理得OD=4 所以tan∠CDO=， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO， 则tan∠OBC=， 故选C． 7. 已知在中，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟知余弦的定义是解题的关键． 8. 如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 65° D. 75° 【答案】C 【解析】 【详解】∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OA，即∠OBA=90°． ∵∠BAO=40°，∴∠BOA=50°． ∵OB=OC，∴∠OCB=． 故选C． 9. 二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数图象与系数的关系．首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在y轴右侧，可确定a与b异号，即，最后根据二次函数与y轴的交点可以确定． 【详解】解：由图象可知该二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点位于x轴上方， ∴，，， ∴， 故选：A． 10. 如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ） A. △BAC∽△BDA B. △BFA∽△BEC C. △BDF∽△BEC D. △BDF∽△BAE 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】∵∠BAD=∠C， ∠B=∠B， ∴△BAC∽△BDA．故A正确． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴△BFA∽△BEC．故B正确． ∴∠BFA=∠BEC， ∴∠BFD=∠BEA， ∴△BDF∽△BAE．故D正确． 而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 二、填空题(每小题3分,共24分) 11. 如图，在中，，为边上一点，已知，，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意直接根据特殊三角函数值，进行分析计算即可得出答案. 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握三角函数定义以及特殊三角函数值进行分析是解题的关键. 12. 不透明布袋里有5个红球，4个白球，往布袋里再放入x个红球，y个白球，若从布袋里摸出白球的概率为，则y与x之间的关系式是_____． 【答案】x﹣2y＝3． 【解析】 【分析】根据从布袋里摸出白球的概率为，列出＝，整理即可得． 【详解】根据题意得＝， 整理，得：x﹣2y＝3， 故答案为：x﹣2y＝3． 【点睛】本题考查概率公式的应用，熟练掌握概率公式建立方程是解题的关键． 13. 如图，矩形的边上有一点E，的中点分别是G，H，，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质：由题意利用中位线定理得出，进而根据相似三角形性质得出，利用三角形面积公式以及矩形性质分析计算得出的面积即可． 【详解】解：∵的中点分别是G，H， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∴ ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积． 【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x， ∵AB∥EF， ∴△ABC∽△FEC ∴＝， ∴＝ 解得x＝， ∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答. 15. 如图，P为平行四边形边上一点，E、F分别为、的中点，的面积分别为．若，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，易得是的中位线，进而得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积，根据平行四边形的性质，得到的面积为平行四边形的面积的一半，进而求出的值即可． 【详解】解：∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵P为平行四边形边上一点， ∴平行四边形的面积， ∴； 故答案为：4． 16. 写出一个你认为的必然事件_________． 【答案】瓮中捉鳖（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题根据事件的可能性举例即可． 【详解】必然事件就是一定会发生的，例如：瓮中捉鳖等， 故答案：瓮中捉鳖（答案不唯一）． 【点睛】此题考查事件的可能性：必然事件的概念． 17. Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____． 【答案】3.6或4.32或4.8 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可． 【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4， ∴AB==5，S△ABC=AB•BC=6． 沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： ①当AB=AP=3时，如图1所示， S等腰△ABP=•S△ABC=×6=3.6； ②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示， 作△ABC的高BD，则BD=， ∴AD=DP==1.8， ∴AP=2AD=3.6， ∴S等腰△ABP=•S△ABC=×6=4.32； ③当CB=CP=4时，如图3所示， S等腰△BCP=•S△ABC=×6=4.8； 综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8， 故答案为3.6或4.32或4.8． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键． 18. 若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是_____． 【答案】y2＜y1＜y3 【解析】 【分析】画出反比例函数的图象，找出符合条件的三点，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵x1＜x2＜0＜x3， ∴y2＜y1＜y3． 故答案为：y2＜y1＜y3． 【点睛】此题考查的是比较反比例函数值的大小，掌握反比例函数图象的画法及性质是解决此题的关键． 三、解答题(共66分) 19. 如图①，矩形中，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交边（或）于点，交边（或）于点.当旋转至处时，的旋转随即停止. （1）特殊情形：如图②，发现当过点时，也恰好过点，此时是否与相似？并说明理由； （2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （3）拓展延伸：设时，的面积为，试用含的代数式表示； ①在旋转过程中，若时，求对应的的面积； ②在旋转过程中，当的面积为4.2时，求对应的的值. 【答案】（1）相似；（2）定值，；（3）①2，②. 【解析】 【分析】（1）根据“两角相等的两个三角形相似”即可得出答案； （2）由得出，又为定值，即可得出答案； （3）先设结合得出 ①将t=1代入中求解即可得出答案； ②将s=4.2代入中求解即可得出答案. 【详解】（1）相似 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2） 在旋转过程中的值为定值， 理由如下：过点作于点，∵， ，∴，∴， ∵四边形为矩形，∴四边形为矩形， ∴ ∴ 即在旋转过程中，的值为定值，； （3）由（2）知：，∴， 又∵， ∴，， ∴ 即：； ①当时，的面积， ②当时，∴ 解得：，（舍去） ∴当的面积为4.2时，； 【点睛】本题考查的是几何综合，难度系数较高，涉及到了相似以及矩形等相关知识点，第三问解题关键在于求出面积与AE的函数关系式. 20. 在一个不透明的盒子里装有三个标记为1，2，3的小球（材质、形状、大小等完全相同），甲先从中随机取出一个小球，记下数字为后放回，同样的乙也从中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标． （1）请用列表或画树状图的方法写出点所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 【答案】（1）树状图如下： 由树状图得，点P所有可能的坐标为： （1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据列表分与树形图法即可写出结果； （2）把所有P点坐标代入函数解析式中即可求解． 【详解】(1)略 (2)把代入函数解析式，得， 把代入函数解析式，得， 把代入函数解析式，得， 9个点中有（1，2）、（2，1）、（3，2）共3个点在该函数的图象上， 所以． 所以点在函数的图象上的概率为． 【点睛】本题考查了表格法与树形图法求概率、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是正确列出表格或画出树形图． 21. 佩佩宾馆重新装修后,有间房可供游客居住，经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满，当每间房每天的定价每增加元时,就会有一间房空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每间房每天支出元的各项费用．设每间房每天的定价增加元，宾馆获利为元． (1)求与的函数关系式(不用写出自变量的取值范围) ; (2)物价部门规定，春节期间客房定价不能高于平时定价的倍,此时每间房价为多少元时宾馆可获利元? 【答案】（1）；（2）每间房价为元时，宾馆可获利元 【解析】 【分析】(1)根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； (2)代入(1)求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的. 【详解】解：由题意得 答: 与的函数关系式为： 由可得： 令，即 解得 解得 此时每间房价为: (元) 答:每间房价为元时，宾馆可获利元。 【点睛】本题考查的是盈利问题的二次函数式及二次函数的最值问题，通常做法是先列出二次函数式，然后利用y最值或化成顶点式进行求解.用代数表示每间房间的利润和房间数是关键. 22. 如图，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，点A在第四象限，点P坐标为（8，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O和A、P两点． （1）求抛物线的函数关系式． （2）点B是y轴正半轴上一点，连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点，且BC＝AB，求点B坐标； （3）在（2）的条件下，点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，求△CBN面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）先根据是等腰直角三角形，和点P的坐标求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求得； （2）设点，如图（见解析），过点C作CH垂直y轴于点H，过点A作AQ垂直y轴于点Q，易证明，可得，则点C坐标为，将其代入题（1）中的抛物线函数关系式即可得； （3）如图，延长NM交CH于点E，则，先通过点B、C求出直线BC的函数关系式，因点N在抛物线上，则设，则可得点M的坐标，再根据三角形的面积公式列出等式，利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）是等腰直角三角形，，点P坐标为 则点A的坐标为 将点O、A、B三点坐标代入抛物线的函数关系式得： ，解得： 故抛物线的函数关系式为：； （2）设点，过点C作CH垂直y轴于点H，过点A作AQ垂直y轴于点Q， 又 故点C的坐标为 将点C的坐标代入题（1）的抛物线函数关系式得： ，解得： 故点B的坐标为； （3）如图，延长NM交CH于点E，则 设直线BC的解析式为：，将点，点代入得： 解得： 则直线BC的解析式为： 因点N在抛物线上，设，则点M的坐标为 的面积 即 整理得： 又因点M是线段BC上一点，则 由二次函数的性质得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 故当时，取得最大值. 【点睛】本题是一道较好的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、三角形全等的判定定理与性质、二次函数图象的性质，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题关键. 23. 中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上。过点E作EF⊥AD垂足为点G， （1）求证：FE=AE； （2）填空：=__________ （3）若，求的值(用含k的代数式表示)． 【答案】 （1）证明：∵， ， ∵垂足为点， ， ∵， ， ∵， ， ∵， ， 在和中，，，， ， ， ∵，， ， ； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由得，由∠AGH=∠ECH=90°可得∠DAC=∠BEF，由轴对称的性质得到∠DAC=∠EAC，从而可得∠BEF=∠EAC，利用三角形外角的性质得到，即可得到结论成立； （2）过点E作EM⊥BE，交BA延长线于点M，作AN⊥ME于N，先证明，得到BF=AM，再利用等腰直角三角形的性质和矩形的性质得到，DE=2CE=2AN，即可得到答案； （3）先利用相似三角形的判定证明，得到，从而得到，再证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）如图，过点E作EM⊥BE，交BA延长线于点M，作AN⊥ME于N， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠B=45°， ∵EM⊥BE， ∴∠M=∠B=45°， 由（1）已证：， ，即， 在和中，， ∴， ∴BF=AM， ∵AN⊥ME，∠M=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴AN=MN，AM=， 易知四边形ACEN是矩形， ∴CE=AN=MN， ∵DE=2CE=2AN， ∴， 故答案为：； （3）∵，， ， ∵， 由（1）知， ， 由（1）知， ， ， 设，，则，，，， ， ， ∵，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，以及等角对等边等性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题，注意角度之间的相互转换． 24. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是 ； （2）请用列表法或画树状图（树形图）法，求小明和小亮诵读两个不同材料的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）画树状图列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多少即可． 【小问1详解】 解：∵诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种， ∴小明诵读《论语》的概率； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 由树状图可知，共有 9 种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有 6 种：， 故（小明和小亮诵读两个不同材料）． 25. 如图，是的直径，四边形是矩形，与圆相交于点E，，D是上的点，，与交于点C，的半径为． （1）求的长． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，弧长的计算，矩形的性质，是基础知识要熟练掌握． （1）连接，过作于，在 中，由勾股定理得出的长，进而求得的长． （2）连接，则在直角三角形中，可求得，过点作于，在直角三角形中，可求得，则得出的长度． 【小问1详解】 解：连接，过作于， 则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：连接， 在直角三角形中，∵， ， ∴， 过点作于，在直角三角形中， ， ， ， ． 26. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）请直接写出D点的坐标． （2）求二次函数的解析式． （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 【答案】（1）D（﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标； （2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （3）由图象直接写出答案． 【详解】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点， ∴对称轴是x==﹣1． 又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点， ∴D（﹣2，3）； （2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3； （3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $