精品解析：湖北省广水市第二高级中学等校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期期中联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是(　　) A. B. C. D. 2. 已知数列中，，，，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ） A B. C. D. 4. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 5. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 8. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ） A. 区间内单调递减 B. 在区间内单调递增 C. 极小值点 D. 是极大值点 10. （多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有两个极值点 B. 为函数极大值 C. 有两个极小值 D. 为的极小值 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中所有项的二项式系数的和为 B. 展开式中所有奇次项的系数的和为 C. 展开式中所有偶次项的系数的和为 D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为__________. 13. 已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________. 14. 二项式展开式中，的系数是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 在数列中，，. （1）设，求证数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 16. 已知数列的前项和为，，且满足 （1）设，证明：是等比数列 （2）设，数列的前项和为，证明： 17. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）当时，求证：（记）． 18. 已知函数. （1）判定函数在上的零点个数； （2）恒成立，求实数的取值范围. 19. 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（不一定6名同学都参加） （1）每人恰好参加一项，每项人数不限； （2）每项限报一人，且每人至多参加一项； （3）每项限报一人，但每人参加的项目不限. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期期中联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知得a2=1+(-1)2=2,∴a3·a2=a2+(-1)3, ∴a3=,∴a4=+(-1)4, ∴a4=3,∴3a5=3+(-1)5,∴a5=, ∴=×=.故选C. 2. 已知数列中，，，，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数列的递推公式求出数列前几项，即可得数列是周期为3的周期数列，由其周期性即可求值. 【详解】因为，，， 所以， 则，，，， 所以数列是周期为3的周期数列，则. 故选：D. 3. 数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可. 【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是． 故选：C． 4. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求出导数，即可求出，从而得解； 【详解】解：设，所以，所以． 故选：A 5. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围. 【详解】设公切线与曲线和的交点分别为，，其中， 对于有，则上的切线方程为，即， 对于有，则上的切线方程为，即， 所以，有，即， 令，， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，故，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围. 6. 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可. 【详解】由导函数f′(x)的图象知 在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值； 在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值； 在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值； 所以f(x)的极小值点的个数为1， 故选：A 【点睛】本题主要考查极值点定义以及数形结合思想的应用，属于基础题. 7. 展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可. 【详解】的展开式中的系数是 因为且，所以， 所以， 以此类推，. 故选：D. 【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用. 8. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果. 【详解】因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位， ①当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； ②当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； 由分类加法计数原理可知，一共有种排法， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ） A. 在区间内单调递减 B. 在区间内单调递增 C. 是极小值点 D. 是极大值点 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可． 【详解】解：．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确， ．函数在区间的导数为， 在区间上单调递增，正确； ．由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误， ．时，， 当时，，为增函数，， 此时此时函数为减函数， 则函数内有极大值，是极大值点；故正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识图和用图的能力．属于中档题． 10. （多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有两个极值点 B. 为函数极大值 C. 有两个极小值 D. 为的极小值 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数图象判断符号，从而判断的单调性，进而根据极值点、极值的概念判断即可. 【详解】由题图知，当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以有三个极值点，为函数的极大值，和为的极小值. 故AD错误，BC正确. 故选：BC 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中所有项二项式系数的和为 B. 展开式中所有奇次项的系数的和为 C. 展开式中所有偶次项的系数的和为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式系数和的公式即可判断A；分别令，，即可判断B、C；令，即可判断D． 【详解】对于A，的展开式中所有项的二项式系数的和为，故A正确； 对于B，令，则， ， 所以展开式中所有奇次项的系数的和为， 展开式中所有偶次项的系数的和为，故B错误，C正确； 对于D，，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为__________. 【答案】19 【解析】 【分析】根据等差数列等差中项的性质，结合等差数列求和可得解. 【详解】设等差数列的前项和为，项数为， 则， ， 两式相除得，解得， 则项数为. 故答案为：19 13. 已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出当时，，利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程. 【详解】设分别为函数的图像上关于直线对称的两点，不妨设，则. 所以，所以 所以. 所以当时，. 所以. 而，所以. 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 14. 二项式展开式中，的系数是______． 【答案】15 【解析】 【分析】由，利用二项式展开式的通项公式求解. 【详解】解：二项式 ， 二项式展开式的通项公式为 ， 所以在二项式展开式中，的系数是 ， 故答案为：15 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 在数列中，，. （1）设，求证数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据给定的递推公式结合进行变形，再将代入整理即可得解. (2)利用(1)的结论求出数列的通项公式即可计算作答. 【小问1详解】 在数列中，，，则当时，有， 两式相减得：，而，即，则有， 整理得，即， 所以数列是等差数列. 【小问2详解】 由得：，而，则，，， 因此，等差数列公差，即是以为首项，为公差的等差数列， 则，即，于是得：， 所以数列的通项公式. 16. 已知数列的前项和为，，且满足 （1）设，证明：是等比数列 （2）设，数列的前项和为，证明： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设可得，整理变形得，结合等比数列定义即可证结论； （2）根据的关系求通项公式，进而可得，在上放缩，结合裂项求和证结论. 【小问1详解】 由题设，，则， 所以，即，而， 故是首项与公比都为的等比数列. 【小问2详解】 由（1），即， 当时，， 显然满足上式， 所以，则， 则，又时， 所以且，故. 17. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）当时，求证：（记）． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，进而求得最大值； （2）构造函数，求导得，由于当时，，所以，结合可得在区间上恒成立，进而得到在区间上为增函数，进而求解即可得证. 【小问1详解】 由，， 所以， 令，得，即； 令，得，即， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，． 所以． 【小问2详解】 设， 所以， 当时，，所以， 又， 所以恒成立． 所以在区间上恒成立． 所以在区间上为增函数， 所以， 所以当时，. 【点睛】关键点睛：本题第（2）问关键在于构造函数求导后，利用时，，放缩成，进而得到在区间上恒成立，从而得到在区间上为增函数，即可求解. 18. 已知函数. （1）判定函数在上的零点个数； （2）恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1个 （2） 【解析】 【分析】（1）将区间分成两段，分别讨论函数的单调性及零点情况； （2）构造函数，根据题意，只需，求导判断函数的单调性，求出最小值，列出不等式求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 由题意得， 当时，因为和单调递增，所以函数单调递增， 而，， 故， 当时，， 单调递减； 当时，，单调递增； 而， 所以函数在上无零点； 当时，， 所以函数在上单调递增，而， 所以函数在上有1个零点. 综上所述，函数在上有1个零点. 【小问2详解】 令，， 则. ，， 令，， 因为时，， 当时，，，， 所以在上恒成立， 则为增函数，即为增函数， ①当，即时，， 所以在上为增函数， ， 即在上恒成立； ②当，即时，， ，使， 当为增函数； 当为减函数， ，与在上恒成立相矛盾， 不成立. 综上所述，实数m的取值范围是. 19. 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（不一定6名同学都参加） （1）每人恰好参加一项，每项人数不限； （2）每项限报一人，且每人至多参加一项； （3）每项限报一人，但每人参加的项目不限. 【答案】（1） （2）120 （3） 【解析】 【分析】（1）由人选项目，分个步骤完成，根据分步乘法计数原理可求解； （2）由项目找人，分三个步骤完成，根据分步乘法计数原理可求解； （3）由项目找人，分三个步骤完成，根据分步乘法计数原理可求解； 【小问1详解】 每人都可以从这三个智力竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法． 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为． 【小问2详解】 每项限报一人，且每人至多参加一项． 因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法． 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6×5×4=120． 【小问3详解】 每项限报一人，但每人参加的项目不限． 因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参加．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$