精品解析：2025年广东省汕头市潮南区峡山街道中考一模数学试题

2024～2025学年度第二学期 九年级数学科模拟考试卷（A） 说明：1．全卷共4页，考试用时120分钟，满分为120分． 2．请将答案写在答题卷相应的位置上． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：的倒数为， 故选：D． 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 如图是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求简单组合体的俯视图，由图可得它的俯视图有2层，第1层正方形的个数为1，第2层正方形的个数为3，即可得解． 【详解】解：由题意可得，它的俯视图有2层，第1层正方形的个数为1，第2层正方形的个数为3，如图： ， 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把代入，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键． 由圆的面积求出，证明是等边三角形，得到，由垂径定理得到，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴ ∵六边形为正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，中，，，，将绕点A逆时针方向旋转得，交于点E，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，先求出，，由旋转的性质可得，，，再利用勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， 故选：C． 7. ，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，由题意可得，从而得出，即可得解，熟练掌握运算法则，进行适当变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，为中点，，若的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例，根据三角形的中线的性质可得，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中线平分三角形面积即可求解． 【详解】解：∵在中，点D是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 故选：B． 9. 如图，点E在矩形的边上，将矩形沿翻折，点B恰好落在边的点F处，如果，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，矩形、等腰直角三角形的性质，根据翻折的性质得出，，，再根据等腰直角三角形的性质及勾股定理，设，求出，，，进一步可得结论． 【详解】解：∵四边形矩形， ，． ∵将矩形沿翻折， ，，． ， ， ． ， ， ． 设， 在中，， ， ． ． 故选：B． 10. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 在实数中，其中无理数有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 本题考查无理数以及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：在实数，中，无理数有，，共2个． 故答案为： 13. 如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝54°，则∠1的大小为_____． 【答案】24° 【解析】 【分析】由平行线的性质和三角形的外角性质可得∠3=∠1+30°，可求∠1的度数． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB∥CD ∴∠2＝∠3＝54° ∵∠3＝∠1+30° ∴∠1＝24° 故答案为24° 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是本题的关键． 14. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 15. 如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求出的坐标是解此题的关键． 过作轴于，得出，则根据菱形的性质得出是的中点，求得的坐标，进而求得的坐标，由反比例函数的图象经过点即可求出的值． 【详解】解：过作轴于， ∵， 则， 设， 则， ∵四边形是菱形， ∴是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∵反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角形函数的混合运算，先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 18. 已知关于的一元二次方程，求证：该方程一定有两个实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的与判别式的关系，理解一元二次方程的判别式与根的关系是解答关键． 先求出一元二次方程的判别式，再来判断根的情况． 【详解】证明：，，， ， 该方程一定有两个实数根． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 20. 文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商城销售某品牌空调，该空调每台进货价为2500元，已知该商店6月份售出75台空调，8月份售出108台空调．求该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率； 调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台； 售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商城如何定价能使每天的利润最大？ 最大利润是多少？ 【答案】该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为；该商城将空调定价为2800元时，每天的利润最大，最大利润是7200元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确建立方程模型与函数模型解决问题． （1）设该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为，根据题意列方程求解即可； （2）设该商城每台空调降价m元，则每天可多售台， 每天的利润为w元. 根据题意列出，然后根据二次函数的性质即可求解 【详解】解（1）设该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为x， 根据题意得∶， 解得∶ ，(舍去)． 答∶该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为； （2）设该商城每台空调降价m元，则每天可多售台， 每天的利润为w元， 根据题意得出： ， 当时，w取得最大值，最大值为5000， 此时， 答∶该商城将空调定价为2800元时，每天的利润最大，最大利润是7200元． 21. 在矩形中，连接． （1）如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作的垂直平分线交于，点即为所求； （2）设，则，由勾股定理可得，证明，再由相似三角形的性质计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； ， 由作图可得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ， ∵，又， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，因为，所以，由是的直径，得，推导出，即可证明是的切线； （2）因为的半径为5，所以，，由，， ，则，由勾股定理求得，再证明 ，得，则，且，于是得，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 23. 在平面直角坐标中，点O是坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D在抛物线上，且在第二象限，连接交y轴于点E． ①若的长为d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式； ②取的中点F，连接，当时，求点D的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）①；②点D的坐标为 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上，得到点坐标，再根据求出点坐标，代入抛物线解析式即可得到值； （2）①过点作轴于点，证明，设点坐标为，结合相似三角形对应边成比例，表示出，从而表示出，得到和的关系式； ②先通过待定系数法求出直线的表达式，因为和平行，知道直线的与直线的相同，再代入点，求出的表达式，设点坐标为，表示出的坐标，然后将代入直线，求出． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴点坐标为， ∴， ， ∴， ∴点的坐标为， 将代入抛物线解析式，得：， ， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图，过点作轴于点， ，， ， ， ∵点的横坐标是，抛物线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ， 即； ②∵抛物线与轴交于点， ∴令， 解得：或， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 把点代入解析式，得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把点坐标代入上式，得：， ， ∴直线的解析式为， 设点坐标为，作轴，如图所示： 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点， ， ， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴将点坐标代入中， 得：， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的表达式，三角形相似的判定与性质，一次函数平移问题，解一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期 九年级数学科模拟考试卷（A） 说明：1．全卷共4页，考试用时120分钟，满分为120分． 2．请将答案写在答题卷相应的位置上． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 5. 如图，正六边形内接于，周长为，则边心距的长为（ ） A B. C. D. 6. 如图，中，，，，将绕点A逆时针方向旋转得，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. ，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 8. 如图，在中，为中点，，若的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点E在矩形的边上，将矩形沿翻折，点B恰好落在边的点F处，如果，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解： =___． 12. 在实数中，其中无理数有______个． 13. 如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝54°，则∠1的大小为_____． 14. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 15. 如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 解不等式组：并求所有整数解的和． 18. 已知关于的一元二次方程，求证：该方程一定有两个实数根． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 图1是一盏台灯照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 20. 文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商城销售某品牌空调，该空调每台进货价为2500元，已知该商店6月份售出75台空调，8月份售出108台空调．求该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率； 调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台； 售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商城如何定价能使每天的利润最大？ 最大利润是多少？ 21. 矩形中，连接． （1）如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若半径为5， ，求的长． 23. 在平面直角坐标中，点O是坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D在抛物线上，且在第二象限，连接交y轴于点E． ①若的长为d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式； ②取的中点F，连接，当时，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $