精品解析：河南省南阳市六校联盟体2024-2025学年高一下学期4月期中模拟联考数学试题

南阳市十校联盟体2025年春季期中模拟联考 高一年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一、二章． 参考公式：，． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 已知在中，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 以下变换中，能将函数的图象变为函数的图象的是（ ） A. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 B. 每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再将每个点横坐标缩短为原来的 D. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍 4. 已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数①，②，③，④，⑤，则下列选项中同时满足（1）是偶函数，（2）最小正周期是，（3）对称轴相同这三个条件的是（ ） A ①②⑤ B. ①③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 6. 在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递减区间和值域分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知，，，，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 周期函数不一定有最小正周期 B. 时针走了1小时40分钟，则分针转过的角是 C. 若角满足，，则一定为第四象限角 D. 点是函数图象的一个对称中心 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 在中，若，，则 C. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D. 已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“” 11. 已知是表示不超过的最大整数（比如：，），则下列说法错误的是（ ） A. 函数是周期函数，最小正周期是 B. 函数是周期函数，最小正周期是 C. 若函数，则的值域是 D. 当时，函数的零点有5个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量，的夹角为，则向量，的夹角为______． 13. 已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为______． 14. 如图，在梯形中，，，是边所在直线上动点，若该梯形的面积为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知向量，，若，求实数的值； （2）已知向量，，，若，求的值． 16. 已知某扇形的周长是8． （1）当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； （2）在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变成原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，求的单调递减区间和其图象的对称中心． 18. 在中，，，分别是角，，的对边，已知是锐角，向量，，且． （1）若，求实数的值． （2）已知． （i）求面积的最大值； （ii）在（i）条件下，判断的形状． 19. 我市某大型综合商场门前有条长120米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有24个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，该商场郭经理提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边的绿化带及改变停车位的方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度米，停车位相对道路倾斜的角度，其中． （1）若，求和的长； （2）求关于的函数表达式； （3）若，按照郭经理的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加了多少个？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳市十校联盟体2025年春季期中模拟联考 高一年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一、二章． 参考公式：，． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求得答案. 【详解】. 故选：A 2. 已知在中，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将条件转化为，再利用平面向量基本定理即可. 【详解】因，则， 故， 则，所以． 故选：D 3. 以下变换中，能将函数的图象变为函数的图象的是（ ） A. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 B. 每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 D. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数伸缩变换，平移变换知识结合诱导公式，可判断选项正误. 【详解】对于A，变换后的函数为 ，故A错误； 对于B，变换后函数为 ，故B正确； 对于C，变换后的函数为 ，故C错误； 对于D，变换后的函数为 ，故D错误. 故选：B 4. 已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进而求投影向量. 【详解】因为向量，，则， 所求投影向量的坐标为． 故选：B. 5. 已知函数①，②，③，④，⑤，则下列选项中同时满足（1）是偶函数，（2）最小正周期是，（3）对称轴相同这三个条件的是（ ） A. ①②⑤ B. ①③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象以及函数图象变换，画出函数图象，结合图象判断. 【详解】结合三角函数图象与图象变换，依次画出①②③④⑤的函数图象， 由图象可知，②⑤不是周期函数，故②⑤不符合； ①③④均为偶函数，最小正周期为，对称轴为，符合所有条件. 故选：B 6. 在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理及有两解，列不等式求边长范围. 【详解】因为且，有两解， 所以，得． 故选：C 7. 函数的单调递减区间和值域分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先由对数函数性质直接求出函数定义范围和值域，接着由对数函数单调性和余弦函数单调性结合定义将问题转化成求函数在上的减区间即可直接计算得解. 【详解】由题，则，即， 又为上的增函数，且， 所以所求函数值域为；函数的单调递减区间即为函数在上的减区间， 所以，解得所求单调递减区间为. 故选：D 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】作出图形如图所示，扇形，设半径为1，， 设，，由图可知， 又， 所以，所以， 由，，得．， ，故． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 周期函数不一定有最小正周期 B. 时针走了1小时40分钟，则分针转过的角是 C. 若角满足，，则一定为第四象限角 D. 点是函数图象的一个对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可判断A，由弧度制概念可判断B，由各个象限三角函数符号可判断C，由正切函数对称中心的概念可判断D. 【详解】对于A，函数是周期函数，但没有最小正周期，故A正确； 对于B，易知分针转过的角是，故B正确； 对于C，由，可得：，， 所以一定为第三象限角，故C错误； 对于D，由，可知是函数图象的一个对称中心，故D正确． 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 在中，若，，则 C. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D. 已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“” 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断； 对于C，利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断； 对于D，由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断. 【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由即 解得，故C正确； 对于D，由正弦定理，可知，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知是表示不超过的最大整数（比如：，），则下列说法错误的是（ ） A. 函数是周期函数，最小正周期是 B. 函数是周期函数，最小正周期是 C. 若函数，则的值域是 D. 当时，函数的零点有5个 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数的周期性的定义，计算并判断A,B；利用正弦函数的值域，计算并判断C；利用函数图象，数形结合分析两个函数图象的交点，可判断D. 【详解】对于A，因为的最小正周期是，即， 所以，所以函数是周期函数，最小正周期是，故A正确； 对于B，因为，则， 所以不是函数的最小正周期，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以当时，；当时，，则，故C正确； 对于D，函数的零点就是函数与的图象的交点， 其中，函数是周期为1的函数，其值域为， 当时，函数与的图象如下， 由图象可知，它们在内有6个交点，故D错误． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量，的夹角为，则向量，的夹角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件结合数量积定义求，再利用数量积的运算律结合向量模的性质求，，，再利用向量夹角公式求结论. 【详解】由已知，， 所以， 又，， 所以， ， ， 设向量，的夹角为， 所以． 又因为，所以. 所以向量，的夹角为． 故答案为：. 13. 已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，分离参变量，构造两个函数图象有交点问题，即可求参数范围. 【详解】令，则， 原方程可转化为关于的方程在上有解， 分离参变量得：， 即等价于直线与函数的图象在内有交点． 又因为图象开口向下，对称轴为直线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 故答案为：. 14. 如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】取的中点，作，垂足为，根据数量积的运算律整理可得，根据题型面积可得，利用基本不等式结合高线性质即可得最小值. 【详解】取的中点，作，垂足为， 则， 因为该梯形的面积为，且，， 则，即， 可得， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知向量，，若，求实数的值； （2）已知向量，，，若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案； （2）由向量线性运算的坐标表示，根据垂直向量数量积的坐标表示，建立方程，结合向量模长公式，可得答案. 【详解】（1）因为，所以由，解得． （2）因为，，．所以． 因，所以，即，解得， 即，所以． 16. 已知某扇形的周长是8． （1）当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； （2）在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设该扇形的半径为，弧长为，可得，利用基本不等式可求扇形的面积的最大值；进而可求圆心角的大小； （2）由（1）知，．求得三角形的面积，进而可求弓形的面积. 【小问1详解】 设该扇形的半径为，弧长为， 则， 当且仅当时，等号成立， 此时该扇形的面积，， 其圆心角， 故所求圆心角． 【小问2详解】 由（1）知，． 又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积， 所以所求弓形的面积， 故所求弓形的面积是． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变成原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，求的单调递减区间和其图象的对称中心． 【答案】（1）； （2）单调递减区间为，，，． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，结合函数的周期性求参数值，即可得解析式； （2）由图象平移得到，由余弦型函数的性质及整体法求单调减区间和对称中心. 【小问1详解】 由的部分图象知，当时，， 当时，，解得，． 因为，所以，则． 因为且，得，故． 【小问2详解】 将的图象先向左平移个单位长度，得到的图象， 将所有点的横坐标变成原来的，纵坐标保持不变，得的图象． 令，整理得，， 故的单调递减区间为，． 令，则，故图象的对称中心为，． 18. 在中，，，分别是角，，的对边，已知是锐角，向量，，且． （1）若，求实数的值． （2）已知． （i）求面积的最大值； （ii）在（i）的条件下，判断的形状． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）等边三角形 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积的坐标表示及平方关系可得，可得，再结合余弦定理及题设求解即可； （2）（i）由余弦定理及基本不等式可得，再结合三角形的面积公式求解即可； （ii）由（i）可得，再结合即可判断的形状． 【小问1详解】 因为是锐角，且，， 所以， 解得或（舍去），所以， 由余弦定理得， 又，则，结合， 所以． 【小问2详解】 （i）由（1）知，， 由余弦定理得， 即，得， 当且仅当时，等号成立， 则， 即面积的最大值为. （ii）由（i）可知， 取得最大值时，， 又，所以为等边三角形． 19. 我市某大型综合商场门前有条长120米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有24个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，该商场郭经理提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边的绿化带及改变停车位的方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度米，停车位相对道路倾斜的角度，其中． （1）若，求和的长； （2）求关于的函数表达式； （3）若，按照郭经理的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加了多少个？ 【答案】（1）米，米． （2），． （3）13个． 【解析】 【分析】（1）由图，结合几何性质与三角函数可得答案； （2）由图可得，后由（1）可得答案； （3）由（2）及可得 .设改造后停车位数量最大值为，由图可得第个车位顶点到的距离，后结合可得，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得米，米，， 则，即． 由，且，，可得，， 则米，米． 【小问2详解】 由（1）可得，， ， 故，． 小问3详解】 由，可得，即． 设，则， 整理得，解得． 由，可得． 当时，解得，，不符合题意； 当时，解得，，符合题意． 设改造后停车位数量的最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为， 则顶点到线段的距离为． 由图及题意可知，， 则． 因为， 所以，，， 则． 由题可知，即，解得，则取， 故该路段改造后的停车位比改造前增加了个． 【点睛】关键点睛：本题前两问需利用三角函数及几何知识，用已知量表示未知量；第三问，需将停车位数量与停车位顶点到停车场边界距离联系起来，再利用之前所得到的部分结论解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $