精品解析：江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高一下学期4月期中学业水平质量监测数学试题（A）

2024-2025学年度第二学期期中学业水平质量监测 高一年级数学试题（A） （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 设，若向量，，且，则m的值为（ ） A. B. C. 4 D. 9 2. 设复数，（）.若为实数，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 4. 在中，C是AB上一点，且，若，则实数值为（ ） A B. C. 1 D. 2 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. C. D. 7 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（ ） ①②③ ④ A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z虚部为 B. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限 C. z的共轭复数 D. 10. 已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 不与垂直 11. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若是锐角三角形，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，，，则＝__________． 13. 已知，则__________. 14. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，的面积，若且，则______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）求； （2）求与的夹角. 16. 已知复数（） （1）若，求实数m的值； （2）若z为虚数，求实数m的取值范围； （3）若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 17. 定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为. （1）写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M； （2）求函数的伴随向量的模. 18. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求证：； （2）若D为BC的中点，，，求AD的长. 19. 在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且） （1）若，且，求的值； （2）求证：； （3）是否存在函数，使得对于一切满足条件，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中学业水平质量监测 高一年级数学试题（A） （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 设，若向量，，且，则m的值为（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：D 2. 设复数，（）.若为实数，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法法则化简，得到，解得. 【详解】， 为实数，故，解得. 故选：B 3. 在中，若，则的形状是（ ） A 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出，进一步求得，即可得解． 【详解】解：由，结合正弦定理可得：， ，可得：， ，则的形状为等腰三角形． 故选：． 4. 在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】变形得到，故，得到答案. 【详解】， 所以，故 故选：D 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦和差公式得到方程，求出，利用同角三角函数关系得到答案. 【详解】， ， 联立可得， 所以. 故选：B 6. 已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的公式得到方程，求出，从而利用向量数量积运算法则得到答案. 【详解】在向量上的投影向量为，故， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C 7. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求得，再用倍角公式求即可. 【详解】因为，，， 所以，即， 所以，解得或（舍）， 所以， 故选：B 8. 一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（ ） ①②③ ④ A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，过M作于C，结合正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 由题意可知，，，过M作于C， 设，根据正弦定理可得，， 又因为时没有触礁危险， 即，故（1）正确， ，（4）正确， 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限 C. z的共轭复数 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用复数的乘除运算和乘方运算得到，A正确；B选项，写出z在复平面内对应的点坐标，得到所在象限；C选项，根据共轭复数的定义得到C错误；D选项，利用模长公式得到D正确. 【详解】A选项，， 故虚部为-2，A正确； B选项，z在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，B错误； C选项，z的共轭复数，C错误； D选项，，D正确. 故选：AD 10. 已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 不与垂直 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用向量数量积公式得到，所以同向共线，A正确；B选项，只能得到，B错误；C选项，得到，，C正确；D选项，计算出，故D错误. 【详解】A选项，，又，，是非零向量， 所以，所以同向共线，A正确； B选项，若，则， 是非零向量，故，故不一定相等，B错误； C选项，若，，设， 故，，C正确； D选项，， 与垂直，D错误. 故选：AC 11. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若是锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 分析】A选项，由正弦定理得到，从而，得到A正确；B选项，由同角三角函数关系，正弦定理和二倍角公式得到，所以或，B错误；C选项，由大角对大边得到，由正弦定理得到；D选项，根据锐角三角形得到，结合正弦函数单调性和诱导公式比较出大小 【详解】A选项，由正弦定理得， 故， 故 ， 所以，即， 则为直角三角形，A正确； B选项，若，则， 由正弦定理得， 又，故， 所以，即，， 所以或，所以或， 为等腰三角形或直角三角形，B错误； C选项，若，则， 由正弦定理得，又，， 故，C正确； D选项，若是锐角三角形，则，则， 其中，， 又在上单调递增， 故，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，，，则＝__________． 【答案】或. 【解析】 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】由，且根据正弦定理可知， 因，所以或. 故答案为：或. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由得到，由两角和差余弦公式展开化简即可求解； 【详解】由， 得：， ， ， 所以， 故答案为： 14. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，的面积，若且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理和化简得到，求出，由三角形面积公式得到，由余弦定理得到方程，求出，舍去不合要求 的解，由正弦定理得到 【详解】，故， 又， 故， 所以， 因为，所以，故，， 因为，所以， 由三角形面积公式得， 又，故，所以， 由余弦定理得， 即，所以， 方程两边同除以得， 解得， 又，故， 所以满足要求，舍去， 故. 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）求； （2）求与的夹角. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，利用向量数量积运算法则得到，故，求出模长； （2）利用向量夹角余弦公式得到，得到. 【小问1详解】 ， 故， 故，解得， 故， 所以； 【小问2详解】 ， 又，故. 16. 已知复数（） （1）若，求实数m的值； （2）若z为虚数，求实数m的取值范围； （3）若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1）-1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到为实数，从而得到方程和不等式，求出答案； （2）由求出答案； （3）根据第四象限的坐标特征得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ，故为实数， ，解得； 【小问2详解】 z为虚数，故，所以； 【小问3详解】 由题意得，解得 17. 定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为. （1）写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M； （2）求函数的伴随向量的模. 【答案】（1），，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先得到伴随函数，由辅助角公式得到最大值； （2）利用三角恒等变换得到，得到伴随向量，利用模长公式得到答案. 【小问1详解】 向量的伴随函数为， ，当， 即时，取得最大值，最大值； 【小问2详解】 ， 故伴随向量，故. 18. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求证：； （2）若D为BC的中点，，，求AD的长. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到方程，计算出； （2）作出辅助线，得到三角形全等，，由余弦定理得到方程，求出，进而求出答案. 【小问1详解】 由正弦定理得， 所以，即， 又，故，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，故， 延长至点，使得，连接， 因为D为BC的中点，所以， 又，所以≌， 所以， 在中，， 由余弦定理得， 即，解得， 所以. 19. 在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且） （1）若，且，求的值； （2）求证：； （3）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理的边角互化化简可得，然后结合条件由余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，化边为角，再进行三角式的变形，即可证明； （3）根据题意，运用结构特征构造函数，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即，即， 又，即， 由余弦定理可得 【小问2详解】 因为，所以， 即. 则. 故 ， 即. 故. 【小问3详解】 存在.下面给出证明. 因为，所以，. 展开整理可得， 即, 故. 因此，. 所以，存在函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$