精品解析：广东省湛江市雷州市第八中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期初二数学期中考试卷 考试范围：第11章-第13章；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三条线段的长分别是3，7，，若它们能构成三角形，则以下值可以取的是（    ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 10米 B. 8米 C. 6米 D. 4米 7. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 8. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角度数为（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，已知和均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上；与交于点O，与交于点N，与交于点M，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 点关于轴的对称的点的坐标是______． 12. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 13. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 14. 如图，在三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为____． 15. 如图，的面积为2，分别倍长（延长一倍）得到，则的面积为______． 16. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为________°． 三、解答题（6+6+8+8+10+10+12+12） 17. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 18. 已知点P关于x轴对称的点在第一象限，化简：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶角的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）已知点，在轴上找一点，使的值最小，并直接写出点的坐标． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 21. 一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 22. 如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相于点． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 23. 如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（P与点、不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设的长为，则_____，_____． （2）当时，求的长； （3）过点作交延长线于点，则，有怎样的关系?请说明理由． 24. 如图①，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在的延长线上，且． 【问题思考】在图①中，求证：； 【问题再探】若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】若且平分，如图③，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期初二数学期中考试卷 考试范围：第11章-第13章；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，故本选项符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高； 故选D． 3. 已知三条线段的长分别是3，7，，若它们能构成三角形，则以下值可以取的是（    ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形构成的条件，理解两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答关键． 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式求解． 【详解】解：条线段的长分别是3，7，，若它们能构成三角形， ,， ， 故选：A． 4. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据直角求出，然后根据三角形内角和求解即可，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意知：， ∴， 故选：B． 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 6. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 10米 B. 8米 C. 6米 D. 4米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键．根据含30度角的直角三角形的边长的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，米， ∴米， ∴这棵大树在折断前的高度为米． 故选：C． 7. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 8. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，易证，结合A的坐标为，即得出，，从而可知． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵A的坐标为， ∴，， ∴． 故选B． 9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．由于此题高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况，根据三角形的内角和、直角三角形的性质、三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，分两种情况： 如图①，当顶角为锐角时， ，，， ， ； 如图②，当顶角为钝角时， ，，， ，， ， ； 综上所述，底角度数为或， 故选：D． 10. 如图，已知和均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上；与交于点O，与交于点N，与交于点M，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出①正确，全等三角形对应角相等可得，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，过点C分别作，垂足分别为F、G，根据等积法求出，从而得到，判断出④正确；判断出为等边三角形，根据等边三角形的性质可得，得到，再根据内错角相等，两直线平行可得，判断出③正确；在上截取，连接，通过，得到，证得是等边三角形，于是得到，于是得到，⑤正确．利用反证法说明②不成立 【详解】解：∵和均是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ，，，故①正确； ， ， 在和中， ， ∴， ∴， 过点C分别作，垂足分别为F、G， ∵， ∴，即， ∴， ∴平分， ，故④正确； ，， 为等边三角形， ， ， ∴，故③正确； 在上截取，连接， 在与中，， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ， ，故⑤正确． ， 不妨设，则，显然不可能，故②错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，角平分线的判断定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 点关于轴的对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称，根据点关于轴的对称的点的坐标特征是：纵坐标不变、横坐标互为相反数直接求解即可得到答案，熟记点关于轴的对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于轴的对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可求得边数。 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形的一个外角为，且正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的边数为， 13. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】解：∵沿折叠点C落在边上的点E处， ∴，． ∵，，， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：． 15. 如图，的面积为2，分别倍长（延长一倍）得到，则的面积为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．连接，，，根据等底等高的三角形面积相等，求解即可． 【详解】解：如图，连接，，． ∵与同底等高， ∴与的面积都相等， 同理可知：，，，，，，的面积都相等， ∵的面积为2， ∴的面积为， 故答案为14． 16. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为________°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、线段最短问题、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，先证明得到，从而推出当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小；如图：过点C作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，、，同理可得，则，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小， 如图：过点C作于点交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴． ∴当取得最小值时，的度数为． 故答案为：40． 三、解答题（6+6+8+8+10+10+12+12） 17. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明三角形全等是关键；由题意用即可证明，从而有对应角相等． 【详解】略 18. 已知点P关于x轴对称的点在第一象限，化简：． 【答案】5． 【解析】 【分析】由点P关于x轴对称的点在第一象限，可得点P在第四象限，则x+1＞0，且2x-3＜0．再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵点P（x+1，2x-3）关于x轴对称的点在第一象限， ∴点P（x+1，2x-3）在第四象限， ∴x+1＞0，且2x-3＜0， ∴2x+2＞0， ∴ =-(2x-3)+ 2x+2 =-2x+3+ 2x+2 =5． 【点睛】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系和平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点．解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶角的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）已知点，在轴上找一点，使的值最小，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析，，， （2）画图见解析， 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中的描点，轴对称作图，最短距离问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据对称点连线被对称轴垂直平分画图，根据图形即可得到的坐标； （2）连接交轴于一点即为点，根据图形求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据对称点连线被对称轴垂直平分分别作、、三点的对称点、、，连接、、，如图所示： ， 由图可得：，，； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求， 由图可得：． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为3． 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）步骤：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于为半径作弧，相交于点；③作射线，交于点，即为所求的平分线，则点D到的距离相等； （2）过点作于点，则，设，根据，列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， 是的角平分线，，， ， 设， 在中，，，， ， ， 解得：， 即的长为3． 21. 一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】（1） （2）与，或与 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； 【小问1详解】 解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； 【小问2详解】 当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 22. 如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相于点． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质， （1）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得证； （2）由可得，进而由直角三角形的性质可得，又可得是等边三角形，得到，即可得解； 掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 23. 如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（P与点、不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设的长为，则_____，_____． （2）当时，求的长； （3）过点作交延长线于点，则，有怎样的关系?请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）且，见解析 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质及线段的和差关系即可求解； （2）易得，由含度角的直角三角形的性质可得，解之，即可求得的长； （3）可证得，进而证得，即可得到． 【小问1详解】 解：是边长为的等边三角形， ，， 设，则, 点，速度相同， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 解得：， ； 【小问3详解】 解：且，理由如下： 如图， ，， ， ， 是边长为的等边三角形， ，， 又， ， 点，速度相同， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 如图①，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在的延长线上，且． 【问题思考】在图①中，求证：； 【问题再探】若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】若且平分，如图③，若，求的值． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴，． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 如图，在上取点G，使，连接． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易证，得出，即得出，从而得出； （2）在上取点G，使，连接，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出； （3）延长交于点H，易证，得出．再证明，得出，从而即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：延长交于点H，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，角平分线的定义等知识．掌握全等三角形的性质和判定是解题关键，正确作出辅助线构造等边三角形和全等三角形也是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $