章末检测试卷二(第6章)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

章末检测试卷二(第六章) ［时间：120分钟 分值：150分］ 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是(　　) A.在x=x0处的函数值 B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值 C.曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 D.点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率 答案　C 2.已知函数f(x)=ln x，导函数为f'(x)，那么f'(2)等于(　　) A.- B.- C. D.1 答案　C 解析　因为f(x)=ln x，则f'(x)=， 所以f'(2)=. 3.函数y=x4-2x2+5的单调递减区间为(　　) A.(-∞，-1)，(0，1) B.(-1，0)，(1，+∞) C.(-1，1) D.(-∞，-1)，(1，+∞) 答案　A 解析　y'=4x3-4x=4x(x2-1)， 令y'<0，得x<-1或0<x<1，故其单调递减区间为(-∞，-1)∪(0，1). 4.已知函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y=x+2，则f(1)+f'(1)的值等于(　　) A.1 B. C.3 D.0 答案　C 解析　由已知得点M(1，f(1))在切线上，所以f(1)=+2=， 切点处的导数为切线斜率，所以f'(1)=， 所以f(1)+f'(1)=3. 5.设曲线y=在点(1，0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直，则a等于(　　) A.- B. C.-2 D.2 答案　A 解析　由题意得，y'==(x>0)， ∵曲线在点(1，0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直， ∴=-a，解得a=-. 6.函数f(x)=的部分图象大致为(　　) 答案　C 解析　f(x)=，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， ∵f(-x)=-=-f(x)，∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；f(1)=<1，故排除A；∵当x>0时，f'(x)=，又当x>1时，f'(x)>0，∴f(x)在(1，+∞)上单调递增，故排除D. 7.x=1是函数f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex的极值点，则a的值为(　　) A.-2 B.3 C.-2或3 D.-3或2 答案　B 解析　由f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex， 得f'(x)=(x2+2ax+2x-a2-a+3)ex， ∵x=1是函数f(x)的极值点， ∴f'(1)=(6-a2+a)e=0，解得a=3或a=-2， 当a=-2时，f'(x)=(x2-2x+1)ex=(x-1)2ex≥0恒成立，即f(x)单调递增，无极值点，舍去； 当a=3时，令f'(x)=(x2+8x-9)ex=0，则x=1或x=-9，满足x=1为函数f(x)的极值点， ∴a=3. 8.已知函数f(x)=xex-x-ln x-a在(0，e)上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A.［0，+∞) B. C.［1，+∞) D.［e，+∞) 答案　C 解析　根据题意，由f(x)=0，得a=xex-x-ln x，令g(x)=xex-x-ln x，x∈(0，e)， 则函数f(x)=xex-x-ln x-a在(0，e)上有零点等价于直线y=a与g(x)的图象有交点. g'(x)=ex+xex-1-=ex(x+1)-=(x+1)=， 令h(x)=xex-1，x∈(0，e)，则h'(x)=ex+xex>0，故h(x)在(0，e)上单调递增， 因为h(0)=-1<0，h(1)=e-1>0，所以存在唯一的x0∈(0，1)，使得h(x0)=0， 即x0-1=0，即=，x0=-ln x0， 所以当0<x<x0时，h(x)<0，g'(x)<0，g(x)单调递减； 当x0<x<e时，h(x)>0，g'(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min=g(x0)=x0-x0-ln x0=1-x0+x0=1， 又当x→0时，g(x)→+∞，故当x∈(0，e)时，g(x)∈［1，+∞)，所以a≥1. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A.<0 B.函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)有最大值 答案　ABC 解析　由图可知， =f'(-2)<0，故A正确； 由图可知，当x∈(-∞，-1)时，f'(x)≤0恒成立，故函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减，故B正确； 由图可知，当x∈(-1，1)时，f'(x)>0，当x∈(1，3)时，f'(x)<0，故函数f(x)在x=1处取得极大值，故C正确； 由图可知，当x∈(3，+∞)时，f'(x)>0恒成立，故f(x)在(3，+∞)上单调递增，无最大值，故D错误. 10.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞，+∞)上是单调函数，则实数a的值可以是(　　) A.- B.-1 C. D.2 答案　ABC 解析　由题意得f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞，+∞)上恒成立，则Δ=4a2-12≤0，解得 -≤a≤. 11.已知函数f(x)及其导函数f'(x)，若存在x0，使得f(x0)=f'(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=e-x C.f(x)=ln x D.f(x)= 答案　ACD 解析　对于A，f'(x)=2x，由x2=2x，得x=0或x=2，有“巧值点”； 对于B，f'(x)=-e-x，-e-x=e-x无解，无“巧值点”； 对于C，f'(x)=，方程ln x=有解，有“巧值点”； 对于D，f'(x)=-，由=-，得x=-1，有“巧值点”. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若函数y=-x3+ax在［1，+∞)上是单调函数，则a的最大值是　　　　.  答案　3 解析　y'=-3x2+a，由题意得-3x2+a≤0在区间［1，+∞)上恒成立，即a≤3x2在区间［1，+∞)上恒成立，据此可得a≤3，即a的最大值是3. 13.函数g(x)=x3-6x2+9x-10的零点有　　　个.  答案　1 解析　g(x)=x3-6x2+9x-10， 故g'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)， 令g'(x)>0，得x<1或x>3，令g'(x)<0，得1<x<3， 故函数在(-∞，1)和(3，+∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，则函数的极大值为g(1)=1-6+9-10=-6<0，函数的极小值为g(3)=27-54+27-10=-10<0， 当x→+∞时，f(x)→+∞，故函数共有1个零点. 14.若不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为　　　　.  答案　e 解析　不等式ex≥kx对任意实数x恒成立， 即ex-kx≥0恒成立， 令f(x)=ex-kx，即有f(x)min≥0. f'(x)=ex-k， 若k≤0，则f'(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增，无最小值. 若k>0，则当x>ln k时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x<ln k时，f'(x)<0，f(x)单调递减. 即当x=ln k时，f(x)取得最小值，最小值为k-kln k， 由k-kln k≥0， 解得0<k≤e，即k的最大值为e. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知函数f(x)=x3-x2+6x-a. (1)若对任意实数x，f'(x)≥m恒成立，求m的最大值；(5分) (2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.(8分) 解　(1)f'(x)=3x2-9x+6 =3-≥-， 由f'(x)≥m恒成立，可得m≤-， 即m的最大值为-. (2)f'(x)=3x2-9x+6=3(x-2)(x-1)， 由f'(x)>0，得x>2或x<1； 由f'(x)<0，得1<x<2， ∴f(x)在(-∞，1)和(2，+∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f(x)极大值=f(1)=-a，f(x)极小值=f(2)=2-a. ∵f(x)恰有一个零点，∴-a<0或2-a>0， 即a>或a<2. ∴a的取值范围为(-∞，2)∪. 16.(15分)已知函数f(x)=aln x+x2-3b，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x+y-4=0. (1)求实数a，b的值；(7分) (2)若曲线C：y=-x3-4b，求曲线C过点(2，4)的切线方程.(8分) 解　(1)f'(x)=+2x， 因为直线2x+y-4=0的斜率为-2，且过点(1，2)， 所以即解得 (2)由(1)知曲线C：y=+，则y'=x2. 设切点为(x0，y0)，则切线斜率k=， 故切线方程为y--=(x-x0). 由切线过点(2，4)，代入可解得x0=2或x0=-1， 所以切线斜率为4或1， 则切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 17.(15分)设函数f(x)=x3-6x+5，x∈R. (1)求f'(2)的值；(3分) (2)求f(x)的单调区间和极值；(5分) (3)若关于x的方程f(x)=a有3个不同的实根，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)∵f'(x)=3x2-6，∴f'(2)=6. (2)f'(x)=3(x2-2)， 令f'(x)=0，得x1=-，x2=， 当x<-或x>时，f'(x)>0； 当-<x<时，f'(x)<0， ∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-)，(，+∞)，单调递减区间是(-，). ∴当x=-时，f(x)取得极大值为f(-)=5+4， 当x=时，f(x)取得极小值为f()=5-4 . (3)令g(x)=f(x)-a，则g'(x)=f'(x)， 由(2)可得g(x)的极大值为5+4-a， 极小值为5-4-a， ∵g(x)=0有3个不同的实根，故 解得5-4<a<5+4， ∴当5-4<a<5+4时，直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交点，即关于x的方程f(x)=a有3个不同的实数根. ∴实数a的取值范围是(5-4，5+4). 18.(17分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y(单位：辆)关于x的函数为y=3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少万元？(年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量) 解　由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1+x)万元，每辆车的出厂价为13(1+0.7x)万元，年利润f(x)=［13(1+0.7x)-10(1+x)］·y =(3-0.9x)×3 240× =3 240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5)， 则f'(x)=3 240(2.7x2-9.6x+4.5) =972(9x-5)(x-3)， 由f'(x)=0，解得x=或x=3(舍去)， 当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减. 所以当x=时，f(x)取得最大值，f=20 000. 所以当x=时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元. 19.(17分)已知函数f(x)=2ax-+ln x. (1)若f(x)在x=1，x=处取得极值. ①求a，b的值；(4分) ②若存在x0∈，使得不等式f(x0)-c≤0成立，求c的最小值；(6分) (2)当b=a时，若f(x)在(0，+∞)上是单调函数，求a的取值范围.(7分) 解　(1)①函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=2a++. ∵f(x)在x=1，x=处取得极值， ∴f'(1)=0，f'=0， 即解得 ②若存在x0∈，使得不等式f(x0)-c≤0成立，则只需c≥f(x)min. ∵f'(x)=--+=- =-， ∴当x∈时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减； 当x∈时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增； 当x∈［1，2］时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减， ∴f(x)在x=处取得极小值， 即f=+ln =-ln 2， 又f(2)=-+ln 2，∴f(x)min=f(2)， ∴c≥f(x)min=-+ln 2， ∴c∈， 故cmin=-+ln 2. (2)当b=a时，f'(x)=. 当a=0时，f(x)=ln x， 则f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，∵x>0，∴2ax2+x+a>0， ∴f'(x)>0，则f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a<0时，设g(x)=2ax2+x+a=2a+a-， ∵->0，故只需Δ≤0，即1-8a2≤0，从而得a≤-， 此时f'(x)≤0，f(x)在(0，+∞)上单调递减. 综上可得，a∈∪［0，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 章末检测试卷二(第六章) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、单项选择题 1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是 A.在x=x0处的函数值 B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值 C.曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 D.点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率 √ 17 18 19 13 14 15 16 2.已知函数f(x)=ln x，导函数为f'(x)，那么f'(2)等于 A.- B.- C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 因为f(x)=ln x，则f'(x)=， 所以f'(2)=. 3.函数y=x4-2x2+5的单调递减区间为 A.(-∞，-1)，(0，1) B.(-1，0)，(1，+∞) C.(-1，1) D.(-∞，-1)，(1，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y'=4x3-4x=4x(x2-1)， 令y'<0，得x<-1或0<x<1，故其单调递减区间为(-∞，-1),(0，1). 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y=x+2，则f(1)+f'(1)的值等于 A.1　　　B.　　　C.3　　　D.0 √ 17 18 19 由已知得点M(1，f(1))在切线上，所以f(1)=+2=， 切点处的导数为切线斜率，所以f'(1)=， 所以f(1)+f'(1)=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设曲线y=在点(1，0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直，则a等于 A.- B. C.-2 D.2 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意得，y'==(x>0)， ∵曲线在点(1，0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直， ∴=-a，解得a=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.函数f(x)=的部分图象大致为 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f(x)=，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， ∵f(-x)=-=-f(x)，∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； f(1)=<1，故排除A； ∵当x>0时，f'(x)=，又当x>1时，f'(x)>0，∴f(x)在(1，+∞)上单调递增，故排除D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.x=1是函数f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex的极值点，则a的值为 A.-2 B.3 C.-2或3 D.-3或2 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex， 得f'(x)=(x2+2ax+2x-a2-a+3)ex， ∵x=1是函数f(x)的极值点， ∴f'(1)=(6-a2+a)e=0，解得a=3或a=-2， 当a=-2时，f'(x)=(x2-2x+1)ex=(x-1)2ex≥0恒成立，即f(x)单调递增，无极值点，舍去； 当a=3时，令f'(x)=(x2+8x-9)ex=0，则x=1或x=-9，满足x=1为函数f(x)的极值点， ∴a=3. 8.已知函数f(x)=xex-x-ln x-a在(0，e)上有零点，则实数a的取值范围是 A.[0，+∞) B. C.[1，+∞) D.[e，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，由f(x)=0，得a=xex-x-ln x，令g(x)=xex-x-ln x，x∈(0，e)， 则函数f(x)=xex-x-ln x-a在(0，e)上有零点等价于直线y=a与g(x)的图象有交点. g'(x)=ex+xex-1-=ex(x+1)-=(x+1)=， 令h(x)=xex-1，x∈(0，e)，则h'(x)=ex+xex>0，故h(x)在(0，e)上单调递增， 因为h(0)=-1<0，h(1)=e-1>0，所以存在唯一的x0∈(0，1)，使得h(x0)=0， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即x0-1=0，即=，x0=-ln x0， 所以当0<x<x0时，h(x)<0，g'(x)<0，g(x)单调递减； 当x0<x<e时，h(x)>0，g'(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min=g(x0)= x0-x0-ln x0=1-x0+x0=1， 又当x→0时，g(x)→+∞，故当x∈(0，e)时，g(x)∈[1，+∞)，所以a≥1. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题 9.已知定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，下列说法正确的是 A.<0 B.函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)有最大值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由图可知， =f'(-2)<0，故A正确； 由图可知，当x∈(-∞，-1)时，f'(x)≤0恒成立，故函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减，故B正确； 由图可知，当x∈(-1，1)时，f'(x)>0，当x∈(1，3)时，f'(x)<0，故函数f(x)在x=1处取得极大值，故C正确； 由图可知，当x∈(3，+∞)时，f'(x)>0恒成立，故f(x)在(3，+∞)上单调递增，无最大值，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞，+∞)上是单调函数，则实数a的值可以是 A.- B.-1 C. D.2 √ √ 17 18 19 √ 由题意得f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞，+∞)上恒成立，则Δ=4a2-12≤0，解得-≤a≤. 11.已知函数f(x)及其导函数f'(x)，若存在x0，使得f(x0)=f'(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是 A.f(x)=x2 B.f(x)=e-x C.f(x)=ln x D.f(x)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，f'(x)=2x，由x2=2x，得x=0或x=2，有“巧值点”； 对于B，f'(x)=-e-x，-e-x=e-x无解，无“巧值点”； 对于C，f'(x)=，方程ln x=有解，有“巧值点”； 对于D，f'(x)=-=-，得x=-1，有“巧值点”. 17 18 19 三、填空题 12.若函数y=-x3+ax在[1，+∞)上是单调函数，则a的最大值是　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 y'=-3x2+a，由题意得-3x2+a≤0在区间[1，+∞)上恒成立，即a≤3x2在区间[1，+∞)上恒成立，据此可得a≤3，即a的最大值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.函数g(x)=x3-6x2+9x-10的零点有　　个.  17 18 19 1 g(x)=x3-6x2+9x-10， 故g'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)， 令g'(x)>0，得x<1或x>3，令g'(x)<0，得1<x<3， 故函数在(-∞，1)和(3，+∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，则函数的极大值为g(1)=1-6+9-10=-6<0，函数的极小值为g(3)=27-54+27-10=-10<0， 当x→+∞时，f(x)→+∞，故函数共有1个零点. 14.若不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 e 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 不等式ex≥kx对任意实数x恒成立， 即ex-kx≥0恒成立， 令f(x)=ex-kx，即有f(x)min≥0. f'(x)=ex-k， 若k≤0，则f'(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增，无最小值. 若k>0，则当x>ln k时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x<ln k时，f'(x)<0，f(x)单调递减. 即当x=ln k时，f(x)取得最小值，最小值为k-kln k， 由k-kln k≥0， 解得0<k≤e，即k的最大值为e. 四、解答题 15.已知函数f(x)=x3-x2+6x-a. (1)若对任意实数x，f'(x)≥m恒成立，求m的最大值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f'(x)=3x2-9x+6 =3-≥-， 由f'(x)≥m恒成立，可得m≤-， 即m的最大值为-. (2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f'(x)=3x2-9x+6=3(x-2)(x-1)， 由f'(x)>0，得x>2或x<1； 由f'(x)<0，得1<x<2， ∴f(x)在(-∞，1)和(2，+∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f(x)极大值=f(1)=-a，f(x)极小值=f(2)=2-a. ∵f(x)恰有一个零点，∴-a<0或2-a>0， 即a>或a<2. ∴a的取值范围为(-∞，2)∪. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=aln x+x2-3b，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x+y-4=0. (1)求实数a，b的值； 17 18 19 f'(x)=+2x， 因为直线2x+y-4=0的斜率为-2，且过点(1，2)， 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若曲线C：y=-x3-4b，求曲线C过点(2，4)的切线方程. 由(1)知曲线C：y=+，则y'=x2. 设切点为(x0，y0)，则切线斜率k=， 故切线方程为y--=(x-x0). 由切线过点(2，4)，代入可解得x0=2或x0=-1， 所以切线斜率为4或1， 则切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.设函数f(x)=x3-6x+5，x∈R. (1)求f'(2)的值； 17 18 19 ∵f'(x)=3x2-6，∴f'(2)=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求f(x)的单调区间和极值； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f'(x)=3(x2-2)， 令f'(x)=0，得x1=-，x2=， 当x<-或x>时，f'(x)>0； 当-<x<时，f'(x)<0， ∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-，+∞)，单调递减区间是(-). ∴当x=-时，f(x)取得极大值为f(-)=5+4， 当x=时，f(x)取得极小值为f()=5-4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若关于x的方程f(x)=a有3个不同的实根，求实数a的取值范围. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令g(x)=f(x)-a，则g'(x)=f'(x)， 由(2)可得g(x)的极大值为5+4-a， 极小值为5-4-a， ∵g(x)=0有3个不同的实根，故 解得5-4<a<5+4， ∴当5-4<a<5+4时，直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交点，即关于x的方程f(x)=a有3个不同的实数根. ∴实数a的取值范围是(5-4，5+4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y(单位：辆)关于x的函数为y=3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少万元？(年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量) 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1+x)万元，每辆车的出厂价为13(1+0.7x)万元，年利润f(x)=[13(1+0.7x)-10(1+x)]·y =(3-0.9x)×3 240× =3 240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5)， 则f'(x)=3 240(2.7x2-9.6x+4.5) =972(9x-5)(x-3)， 由f'(x)=0，解得x=或x=3(舍去)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减. 所以当x=时，f(x)取得最大值，f=20 000. 所以当x=时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19.已知函数f(x)=2ax-+ln x. (1)若f(x)在x=1，x=处取得极值. ①求a，b的值； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=2a++. ∵f(x)在x=1，x=处取得极值， ∴f'(1)=0，f'=0， 即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②若存在x0∈，使得不等式f(x0)-c≤0成立，求c的最小值； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 若存在x0∈，使得不等式f(x0)-c≤0成立，则只需c≥f(x)min. ∵f'(x)=--+=- =-， ∴当x∈时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减； 当x∈时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增； 当x∈[1，2]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴f(x)在x=处取得极小值， 即f=+ln =-ln 2， 又f(2)=-+ln 2，∴f(x)min=f(2)， ∴c≥f(x)min=-+ln 2， ∴c∈， 故cmin=-+ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当b=a时，若f(x)在(0，+∞)上是单调函数，求a的取值范围. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当b=a时，f'(x)=. 当a=0时，f(x)=ln x， 则f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，∵x>0，∴2ax2+x+a>0， ∴f'(x)>0，则f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a<0时，设g(x)=2ax2+x+a=2a+a-， ∵->0，故只需Δ≤0，即1-8a2≤0，从而得a≤-， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 此时f'(x)≤0，f(x)在(0，+∞)上单调递减. 综上可得，a∈∪[0，+∞). 第六章 <<< $$