第6章 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第六章 <<< 章末复习课 知识网络 一、导数的计算 二、函数的性质与导数 三、与导数有关的综合性问题 内容索引 一 导数的计算 1.此部分内容涉及导数的几何意义、基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档. 2.通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养. 5 (1)已知函数f(x)=，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(x)等于 A. B. C. D. 例 1 √ 根据题意，知函数f(x)=， 其导函数f'(x)= ==. 6 (2)已知函数f(x)=ln x+2x2-4x，则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为 A.x-y+3=0 B.x+y-3=0 C.x-y-3=0 D.x+y+3=0 √ 由f(x)=ln x+2x2-4x，得f'(x)=+4x-4，所以f'(1)=1，又f(1)=-2， 所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+2=1×(x-1)，即x-y-3=0. 7 导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合关系的函数的求导问题，同时不要忘记对内层函数求导. 反 思 感 悟 8 跟踪训练 1 　(1)已知曲线f(x)=aln x+x2在点(1，1)处的切线与直线x+y=0平行，则实数a的值为 A.-3 B.1 C.2 D.3 √ 由f(x)=aln x+x2，得f'(x)=+2x，则曲线在点(1，1)处的切线斜率为k=a+2，由切线与直线x+y=0平行，可得k=-1，即a+2=-1，解得a=-3. 9 (2)设f'(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)=x·ln(2x-1)，则f'(1)=　　.  因为f(x)=x·ln(2x-1)， 所以f'(x)=ln(2x-1)+·(2x-1)' =ln(2x-1)+，则f'(1)=2. 2 10 二 函数的性质与导数 1.利用导数研究函数的性质，以指数型函数、对数型函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档. 2.通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 例 2 　已知函数f(x)=ln x-(m∈R). (1)当m=-2时，求函数f(x)的单调区间和极值； 当m=-2时，f(x)=ln x+(x>0)， 则f'(x)=， 当x∈(0，2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f(2)=ln 2+1，无极大值. 13 (2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值. 14 f'(x)=， ①当m≥-1时，f'(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)min=f(1)=-m=4， 解得m=-4，不满足m≥-1，故舍去. ②当-e<m<-1时，x∈(1，-m)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， x∈(-m，e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， f(x)min=f(-m)=ln(-m)+1=4， 解得m=-e3，不满足-e<m<-1，故舍去. ③当m≤-e时，f'(x)≤0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)min=f(e)=1-=4， 解得m=-3e，满足m≤-e.综上，m=-3e. 15 反 思 感 悟 利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的. 　 设函数f(x)=x3-x2-mx. (1)若f(x)在(0，+∞)上存在单调递减区间，求m的取值范围； 跟踪训练 2 f'(x)=x2-2x-m， 由题意可知， f'(x)=x2-2x-m<0在(0，+∞)上有解， 所以存在x∈(0，+∞)，使得m>x2-2x， 则m>-1，即m的取值范围为(-1，+∞). 17 (2)若x=-1是函数的极值点，求函数f(x)在[0，5]上的最小值. 因为f'(-1)=1+2-m=0，所以m=3. 所以f'(x)=x2-2x-3，f(x)=x3-x2-3x， 令f'(x)=0，解得x=-1或x=3. 所以当x∈(0，3)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(3，5)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增. 所以函数f(x)在[0，5]上的最小值为f(3)=9-9-9=-9. 18 三 与导数有关的综合性问题 从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式等问题常考到，其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以解决.一般出现在高考题解答题中，难度中高档，有时以压轴题的形式出现. 20 　已知函数f(x)=-ax2+ln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； 例 3 21 f'(x)=-2ax+=(x>0)， 当a≤0时，f'(x)>0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，令f'(x)=0，得x=或x=-(舍去)， 令f'(x)>0，得x∈，f(x)单调递增； 令f'(x)<0，得x∈，f(x)单调递减， 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在上单调递减. 22 (2)若存在x∈(1，+∞)，使f(x)>-a，求a的取值范围. 23 由f(x)>-a，得a(x2-1)-ln x<0， 因为x∈(1，+∞)，所以-ln x<0，x2-1>0， 当a≤0时，a(x2-1)-ln x<0，符合题意； 设g(x)=a(x2-1)-ln x(x>1)， 则g'(x)=， 当a≥时，g'(x)>0，g(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以g(x)>g(1)=0，不符合题意； 当0<a<时，令g'(x)>0，得x∈， 24 令g'(x)<0，得x∈， 所以g(x)min=g<g(1)=0， 则存在x∈(1，+∞)，使g(x)<0， 综上，a的取值范围是. 25 反 思 感 悟 综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题. 　已知函数f(x)=ex-1，g(x)=+x，其中e是自然对数的底数，e=2.718 28…. (1)证明：函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1，2)上有零点； 跟踪训练 3 由题意可得h(x)=f(x)-g(x)=ex-1--x， 所以h(1)=e-3<0，h(2)=e2-3->0， 所以h(1)h(2)<0， 所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点. 27 (2)求方程f(x)=g(x)的根的个数，并说明理由. 28 由(1)可知h(x)=f(x)-g(x)=ex-1--x. 由g(x)=+x知x∈[0，+∞)， 而h(0)=0，则x=0为h(x)的一个零点. 又h(x)在(1，2)内有零点， 因此h(x)在[0，+∞)上至少有两个零点. h'(x)=ex--1， 记φ(x)=ex--1， 则φ'(x)=ex+. 29 当x∈(0，+∞)时， φ'(x)>0， 因此φ(x)在(0，+∞)上单调递增， 又φ(1)=e->0， 当x→0时， φ(x)→-∞， 故∃x0∈(0，1)使φ(x0)=0， 当x∈(0，x0)时， φ(x)<0，即h'(x)<0， 30 此时h(x)单调递减， h(x)<h(0)=0， 此时无零点； 当x∈(x0，+∞)时， φ(x)>0， 即h'(x)>0， 此时h(x)单调递增， 又h(x0)<0， 当x→+∞时， h(x)→+∞， 31 故h(x)有且仅有一个零点. 所以在[0，+∞)上， h(x)有且仅有两个零点， 所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2. 32 第六章 <<< $$ 一、导数的计算 1.此部分内容涉及导数的几何意义、基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档. 2.通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养. 例1　(1)已知函数f(x)=，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(x)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　根据题意，知函数f(x)=， 其导函数f'(x)= ==. (2)已知函数f(x)=ln x+2x2-4x，则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为(　　) A.x-y+3=0 B.x+y-3=0 C.x-y-3=0 D.x+y+3=0 答案　C 解析　由f(x)=ln x+2x2-4x，得f'(x)=+4x-4，所以f'(1)=1，又f(1)=-2， 所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+2=1×(x-1)，即x-y-3=0. 反思感悟　导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合关系的函数的求导问题，同时不要忘记对内层函数求导. 跟踪训练1　(1)已知曲线f(x)=aln x+x2在点(1，1)处的切线与直线x+y=0平行，则实数a的值为(　　) A.-3 B.1 C.2 D.3 答案　A 解析　由f(x)=aln x+x2，得f'(x)=+2x，则曲线在点(1，1)处的切线斜率为k=a+2，由切线与直线x+y=0平行，可得k=-1，即a+2=-1，解得a=-3. (2)设f'(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)=x·ln(2x-1)，则f'(1)=　　　　.  答案　2 解析　因为f(x)=x·ln(2x-1)， 所以f'(x)=ln(2x-1)+·(2x-1)' =ln(2x-1)+，则f'(1)=2. 二、函数的性质与导数 1.利用导数研究函数的性质，以指数型函数、对数型函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档. 2.通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 例2　已知函数f(x)=ln x-(m∈R). (1)当m=-2时，求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若函数f(x)在区间［1，e］上取得最小值4，求m的值. 解　(1)当m=-2时，f(x)=ln x+(x>0)， 则f'(x)=， 当x∈(0，2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f(2)=ln 2+1，无极大值. (2)f'(x)=， ①当m≥-1时，f'(x)≥0，x∈［1，e］，f(x)在［1，e］上单调递增，f(x)min=f(1)=-m=4， 解得m=-4，不满足m≥-1，故舍去. ②当-e<m<-1时，x∈(1，-m)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， x∈(-m，e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， f(x)min=f(-m)=ln(-m)+1=4， 解得m=-e3，不满足-e<m<-1，故舍去. ③当m≤-e时，f'(x)≤0，x∈［1，e］，f(x)在［1，e］上单调递减，f(x)min=f(e)=1-=4， 解得m=-3e，满足m≤-e.综上，m=-3e. 反思感悟　利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的. 跟踪训练2　设函数f(x)=x3-x2-mx. (1)若f(x)在(0，+∞)上存在单调递减区间，求m的取值范围； (2)若x=-1是函数的极值点，求函数f(x)在［0，5］上的最小值. 解　f'(x)=x2-2x-m， (1)由题意可知， f'(x)=x2-2x-m<0在(0，+∞)上有解， 所以存在x∈(0，+∞)，使得m>x2-2x， 则m>-1，即m的取值范围为(-1，+∞). (2)因为f'(-1)=1+2-m=0，所以m=3. 所以f'(x)=x2-2x-3，f(x)=x3-x2-3x， 令f'(x)=0，解得x=-1或x=3. 所以当x∈(0，3)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(3，5)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增. 所以函数f(x)在［0，5］上的最小值为f(3)=9-9-9=-9. 三、与导数有关的综合性问题 从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式等问题常考到，其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以解决.一般出现在高考题解答题中，难度中高档，有时以压轴题的形式出现. 例3　已知函数f(x)=-ax2+ln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若存在x∈(1，+∞)，使f(x)>-a，求a的取值范围. 解　(1)f'(x)=-2ax+=(x>0)， 当a≤0时，f'(x)>0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，令f'(x)=0，得x=或x=-(舍去)， 令f'(x)>0，得x∈，f(x)单调递增； 令f'(x)<0，得x∈，f(x)单调递减， 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减. (2)由f(x)>-a，得a(x2-1)-ln x<0， 因为x∈(1，+∞)，所以-ln x<0，x2-1>0， 当a≤0时，a(x2-1)-ln x<0，符合题意； 设g(x)=a(x2-1)-ln x(x>1)， 则g'(x)=， 当a≥时，g'(x)>0，g(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以g(x)>g(1)=0，不符合题意； 当0<a<时，令g'(x)>0，得x∈， 令g'(x)<0，得x∈， 所以g(x)min=g<g(1)=0， 则存在x∈(1，+∞)，使g(x)<0， 综上，a的取值范围是. 反思感悟　综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题. 跟踪训练3　已知函数f(x)=ex-1，g(x)=+x，其中e是自然对数的底数，e=2.718 28…. (1)证明：函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1，2)上有零点； (2)求方程f(x)=g(x)的根的个数，并说明理由. (1)证明　由题意可得h(x)=f(x)-g(x)=ex-1--x， 所以h(1)=e-3<0，h(2)=e2-3->0， 所以h(1)h(2)<0， 所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点. (2)解　由(1)可知h(x)=f(x)-g(x)=ex-1--x. 由g(x)=+x知x∈［0，+∞)， 而h(0)=0，则x=0为h(x)的一个零点. 又h(x)在(1，2)内有零点， 因此h(x)在［0，+∞)上至少有两个零点. h'(x)=ex--1， 记φ(x)=ex--1， 则φ'(x)=ex+. 当x∈(0，+∞)时， φ'(x)>0， 因此φ(x)在(0，+∞)上单调递增， 又φ（1）=e->0， 当x→0时， φ（x）→-∞， 故∃x0∈（0，1）使φ（x0）=0， 当x∈（0，x0）时， φ（x）<0， 即h'（x）<0， 此时h（x）单调递减， h（x）<h（0）=0， 此时无零点； 当x∈（x0，+∞）时， φ（x）>0， 即h'（x）>0， 此时h（x）单调递增， 又h（x0）<0， 当x→+∞时， h（x）→+∞， 故h（x）有且仅有一个零点. 所以在［0，+∞）上， h（x）有且仅有两个零点， 所以方程f（x）=g（x）的根的个数为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$