第6章 习题课 含参数的函数的最大(小)值-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

习题课　含参数的函数的最大(小)值 ［学习目标］　1.能利用导数求简单的含参数的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题. 一、求含参数的函数的最值 例1　已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在［0，+∞)上的最小值. 解　f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a)， 令f'(x)=0，得x1=-，x2=a. ①当a>0时，f(x)在［0，a)上是减函数，在［a，+∞)上是增函数.所以f(x)min=f(a)=-a3. ②当a=0时，f'(x)=3x2≥0，f(x)在［0，+∞)上是增函数，所以f(x)min=f(0)=0. ③当a<0时，f(x)在上是减函数， 在上是增函数. 所以f(x)min=f=a3. 综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为-a3； 当a=0时，f(x)的最小值为0； 当a<0时，f(x)的最小值为a3. 延伸探究　当a>0时，求函数f(x)=x3-ax2-a2x在［-a，2a］上的最值. 解　f'(x)=(3x+a)(x-a)(a>0)， 令f'(x)=0，得x1=-，x2=a. 所以f(x)在上是增函数， 在上是减函数，在［a，2a］上是增函数. 因为f(-a)=-a3，f=a3，f(a)=-a3， f(2a)=2a3. 所以f(x)max=f(2a)=2a3. f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3. 反思感悟　含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题. (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 二、由最值求参数的值或取值范围 例2　已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，x∈［-1，2］的最大值为3，最小值为-29，求a，b的值. 解　由题设知a≠0，否则f(x)=b为常数函数，与题设矛盾. 求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)， 令f'(x)=0，得x1=0，x2=4(舍去). ①当a>0，且当x变化时， f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x -1 (-1，0) 0 (0，2) 2 f'(x) + 0 - f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b 由表可知，当x=0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在［-1，2］上的最大值， ∴f(0)=b=3. 又f(-1)=-7a+3，f(2)=-16a+3<f(-1)， ∴f(2)=-16a+3=-29， 解得a=2. ②当a<0时，同理可得，当x=0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在［-1，2］上的最小值， ∴f(0)=b=-29. 又f(-1)=-7a-29，f(2)=-16a-29>f(-1)， ∴f(2)=-16a-29=3，解得a=-2. 综上可得，a=2，b=3或a=-2，b=-29. 反思感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 跟踪训练1　已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间［k，2］上的最大值是28，求k的取值范围. 解　∵h(x)=x3+3x2-9x+1， ∴h'(x)=3x2+6x-9. 令h'(x)=0，得x1=-3，x2=1， 当x变化时，h'(x)，h(x)的变化情况如下表： x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞) h'(x) + 0 - 0 + h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗ ∴当x=-3时，h(x)取极大值28； 当x=1时，h(x)取极小值-4. 而h(2)=3<h(-3)=28， ∴如果h(x)在区间［k，2］上的最大值为28， 则k≤-3. ∴k的取值范围为(-∞，-3］. 三、与最值有关的探究性问题 例3　已知f(x)=ax-ln x，a∈R. (1)当a=1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e］上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解　(1)当a=1时，f(x)=x-ln x，f'(x)=1-=， 所以所求切线的斜率为f'(2)=，切点为(2，2-ln 2)， 所以所求切线的方程为y-(2-ln 2)=(x-2)， 即x-2y+2-2ln 2=0. (2)假设存在实数a，使f(x)=ax-ln x在区间(0，e］上的最小值是3， f'(x)=a-=. ①当a≤0时，f(x)在(0，e］上是减函数，故f(x)min=f(e)=ae-1=3，解得a=(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a； ②当0<<e，即a>时，f(x)在上是减函数，在上是增函数，故f(x)min=f=1+ln a=3，解得a=e2，满足条件； ③当≥e，即0<a≤时，f(x)在(0，e］上是减函数，故f(x)min=f(e)=ae-1=3，解得a=(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a. 综上，存在实数a=e2，使f(x)在区间(0，e］上的最小值是3. 反思感悟　(1)此题涉及导函数的零点与所给区间的位置关系的讨论，以便确定导函数的正负和原函数的单调性，进而确定函数的最值. (2)此类题目属于“存在判断型”探索性问题，解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论. 跟踪训练2　已知函数f(x)=2x3-ax2+1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)是否存在a，使得f(x)在区间［0，1］上的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由. 解　(1)f'(x)=6x2-2ax=6x. 令f'(x)=6x=0，解得x=0或x=. 当a=0时，f'(x)=6x2≥0恒成立，函数f(x)在R上是增函数； 当a>0时，令f'(x)>0，得x>或x<0，令f'(x)<0，得0<x<， 即函数f(x)在和上是增函数，在上是减函数； 当a<0时，令f'(x)>0，得x>0或x<，令f'(x)<0，得<x<0， 即函数f(x)在和上是增函数，在上是减函数. 综上所述，当a=0时，函数f(x)在R上是增函数； 当a>0时，函数f(x)在和上是增函数，在上是减函数； 当a<0时，函数f(x)在和上是增函数，在上是减函数. (2)存在，理由如下： 由(1)可得，当a≤0时，函数f(x)在［0，1］上是增函数. 则最小值为f=1，不符合题意； 当a>0时，函数f(x)在上是减函数，在上是增函数； 当≥1，即a≥3时，函数f(x)在上是减函数， f(x)的最大值为f=1，最小值为f=2-a+1=-1，解得a=4，满足题意； 当0<<1，即0<a<3时，函数f(x)在上是减函数，在上是增函数， f(x)的最小值为f=2×-a×+1=-1， 化为-=-2，解得a=3>3，不符合题意. 综上可得，a的值为4. 1.知识清单： (1)求含参数的函数的最值. (2)由最值求参数的值或取值范围. (3)与最值有关的探究性问题. 2.方法归纳：转化法、分类讨论法. 3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏. 1.已知函数f(x)=ax3+c，且f'=6，函数在［1，2］上的最大值为20，则c的值为(　　) A.1 B.4 C.-1 D.0 答案　B 解析　由题意得，f'(x)=3ax2，则f'(1)=3a=6，解得a=2， 所以f'(x)=6x2≥0， 故f(x)在［1，2］上是增函数，则f(x)max=f(2)=2×23+c=20，解得c=4. 2.函数f(x)=的最大值为(　　) A.a B.e C.e1-a D.ea-1 答案　D 解析　f(x)=，则f'(x)=， 所以当x<1-a时，f'(x)>0，当x>1-a时，f'(x)<0， 所以f(x)在(-∞，1-a)上是增函数，在(1-a，+∞)上是减函数， 所以f(x)max=f=ea-1. 3.(多选)若函数f(x)=x3-3ax-a在(0，1)内有最小值，则a的值可以为(　　) A.0 B. C. D.1 答案　BC 解析　由题意得f'(x)=3x2-3a=0在(0，1)上有解，即a=x2.又∵x∈(0，1)，∴0<a<1. 4.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在［-2，2］上有最小值-37，则a的值为　　　　， f(x)在［-2，2］上的最大值为　　　　.  答案　3　3 解析　f'(x)=6x2-12x=6x(x-2). 由f'(x)=0，得x=0或x=2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x -2 (-2，0) 0 (0，2) 2 f'(x) + 0 - 0 f(x) -40+a ↗ 极大值a ↘ -8+a 所以当x=-2时，f(x)min=-40+a=-37， 所以a=3. 所以当x=0时，f(x)取得最大值3. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若函数f(x)=asin x+sin 3x在x=处有最值，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.0 答案　A 解析　∵f(x)在x=处有最值， ∴x=是函数f(x)的极值点. 又f'(x)=acos x+cos 3x， ∴f'=acos +cos π=0， 解得a=2. 2.若函数y=x3+x2+m在［-2，1］上的最大值为，则m等于(　　) A.0 B.1 C.2 D. 答案　C 解析　y'=3x2+3x=3x(x+1)，易知当-1<x<0时，y'<0，当-2<x<-1或0<x<1时，y'>0， 所以函数y=x3+x2+m在(-2，-1)，(0，1)上是增函数，在(-1，0)上是减函数，又当x=-1时，y=m+，当x=1时，y=m+，所以最大值为m+=，解得m=2. 3.若函数f(x)=3x-x3在［0，m］上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为(　　) A.［1，］ B.［1，+∞) C.(1，］ D.(1，+∞) 答案　A 解析　∵f(x)=3x-x3， ∴f'(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x)， 令f'(x)=0，则x=1或x=-1(舍去)， 当0≤x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减. ∵函数f(x)在［0，m］上的最大值为2，最小值为0，且f(0)=f()=0，f(1)=2， ∴1≤m≤. 4.已知函数f(x)=(a>0)在［1，+∞)上的最大值为，则a的值为(　　) A.-1 B. C. D.+1 答案　A 解析　由f(x)=， 得f'(x)=， 当a>1时，若x>，则f'(x)<0，f(x)单调递减，若1<x<，则f'(x)>0，f(x)单调递增， 故当x=时，函数f(x)有最大值=， 解得a=<1，不符合题意. 当a=1时，函数f(x)在［1，+∞)上是减函数，最大值为f(1)=，不符合题意. 当0<a<1时，函数f(x)在［1，+∞)上是减函数.此时最大值为f(1)==， 解得a=-1，符合题意. 故a的值为-1. 5.已知函数f(x)=ln x-ax存在最大值0，则a的值为(　　) A.1 B.2 C.e D. 答案　D 解析　∵f'(x)=-a，x>0， ∴当a≤0时，f'(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值； 当a>0时，令f'(x)=0，得x=， ∴当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， ∴f(x)max=f=ln -1=0， 解得a=. 6.(多选)已知函数f(x)=x3+x2-2在区间(a-2，a+3)上存在最小值，则整数a可以取(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案　BCD 解析　f'(x)=x2+2x=x(x+2)，f'(x)=0时，x=-2或x=0，当x<-2或x>0时，f'(x)>0，当-2<x<0时，f'(x)<0，所以函数的单调递增区间是(-∞，-2)和(0，+∞)，函数的单调递减区间是(-2，0)，所以函数的极大值点是-2，极小值点是0，且f(0)=-2，那么当x3+x2-2=-2，解得x=0或x=-3，所以函数在区间(a-2，a+3)上存在最小值，则解得-1≤a<2. 7.(5分)函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间［-4，4］上的最大值为10，则其最小值为　　　　.  答案　-71 解析　f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1). 由f'(x)=0得x=3或x=-1. 又f(-4)=k-76，f(3)=k-27， f(-1)=k+5，f(4)=k-20. 由f(x)max=k+5=10，得k=5， 所以f(x)min=k-76=-71. 8.(5分)已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m∈［-1，1］，则f(m)的最小值为　　　　.  答案　-4 解析　f'(x)=-3x2+2ax，由f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0. 即-3×4+2a×2=0，故a=3. 由此可得f(x)=-x3+3x2-4. f'(x)=-3x2+6x，由此可得f(x)在［-1，0)上单调递减，在［0，1］上单调递增， ∴当m∈［-1，1］时，f(m)min=f(0)=-4. 9.(10分)已知a为常数，求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值. 解　f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). 若a≤0，则f'(x)≤0， 函数f(x)在［0，1］上单调递减， 所以当x=0时，f(x)有最大值f(0)=0. 若a>0，则令f'(x)=0，解得x=±. 因为x∈［0，1］， 所以只考虑x=的情况. (1)若0<<1，即0<a<1，则当x=时，f(x)有最大值f()=2a.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. x 0 (0，) (，1) 1 f'(x) + 0 - f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a-1 (2)若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f'(x)≥0，函数f(x)在［0，1］上单调递增，当x=1时，f(x)有最大值f(1)=3a-1. 综上可知，若a≤0，则当x=0时，f(x)有最大值0， 若0<a<1，则当x=时，f(x)有最大值2a， 若a≥1，则当x=1时，f(x)有最大值3a-1. 10.(11分)已知函数f(x)=2ex(x+1). (1)求函数f(x)的极值；(5分) (2)求函数f(x)在区间［t，t+1］(t>-3)上的最小值g(t).(6分) 解　(1)f'(x)=2ex(x+2)， 由f'(x)>0，得x>-2；由f'(x)<0，得x<-2. ∴f(x)在(-2，+∞)上单调递增，在(-∞，-2)上单调递减. ∴f(x)的极小值为f(-2)=-2，无极大值. (2)由(1)，知f(x)在(-2，+∞)上单调递增，在(-∞，-2)上单调递减. ∵t>-3，∴t+1>-2. ①当-3<t<-2时，f(x)在［t，-2)上单调递减，在(-2，t+1］上单调递增， ∴g(t)=f(-2)=-2. ②当t≥-2时，f(x)在［t，t+1］上单调递增， ∴g(t)=f(t)=2et(t+1). ∴g(t)= 11.(多选)已知函数f(x)=x3+x2-2x+1，若函数f(x)在(2a，2a+3)上存在最小值，则a的可能取值为(　　) A.- B. C.-1 D.0 答案　AD 解析　∵f(x)=x3+x2-2x+1， ∴f'(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)， 当-2<x<1时，f'(x)<0，故f(x)在(-2，1)上单调递减；当x<-2或x>1时，f'(x)>0，故f(x)在(-∞，-2)，(1，+∞)上单调递增， ∴函数f(x)在x=1处取得极小值， ∵函数f(x)在(2a，2a+3)上存在最小值， ∴2a<1<2a+3，解得-1<a<. 12.已知函数f(x)=sin--mx在上单调递减，则实数m的最小值是(　　) A.- B.- C. D. 答案　D 解析　由f(x)=sin--mx在上单调递减， 得f'=2cos-x-m≤0， 即2cos-x≤m， 令g(x)=2cos-x， 则g'(x)=-4sin-1， 当x∈时，≤2x+， 则2≤4sin≤4， 所以-5≤-4sin-1≤-3，即g'(x)<0， 所以g(x)在上单调递减， g(x)max=g(0)=， 所以m≥，m的最小值为. 13.已知函数f(x)=若∃x0∈R使得f=f成立，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意可得，存在实数x0≠0，使得f=f成立， 假设x0>0，则-x0<0， 所以有-kx0=ln x0， 则k=-， 令h=-， 则h'=， 令h'>0，即ln x>1，解得x>e， 令h'<0，即ln x<1，解得0<x<e， 则h在上单调递减，在上单调递增， 所以h≥h=h=-=-， 所以k≥-. 14.(5分)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为　　　　.  答案　1 解析　由题意知，当x∈(0，2)时， f(x)的最大值为-1. 令f'(x)=-a=0，得x=， 当0<x<时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减. ∴f(x)max=f=-ln a-1=-1. 解得a=1. 15.(5分)设函数f(x)=ax3-3x+1(a>1)，若对于任意的x∈［-1，1］，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为　　　　.  答案　4 解析　由题意得，f'(x)=3ax2-3，当a>1时，令f'(x)=3ax2-3=0，解得x=±，±∈［-1，1］. ①当-1≤x<-时，f'(x)>0，f(x)单调递增； ②当-<x<时，f'(x)<0，f(x)单调递减； ③当<x≤1时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 所以只需f≥0，且f(-1)≥0即可， 由f≥0，得a·-3·+1≥0，解得a≥4， 由f(-1)≥0，可得a≤4，综上可得a=4. 16.(12分)已知函数f(x)=ln x+. (1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(5分) (2)若函数f(x)在［1，e］上的最小值是，求a的值.(7分) 解　函数f(x)=ln x+的定义域为(0，+∞)， f'(x)=-=， (1)∵a<0， ∴f'(x)>0， 故函数在(0，+∞)上单调递增. ∴f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间. (2)当x∈［1，e］时，分如下情况讨论： ①当a≤1时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)=a≤1，这与函数在［1，e］上的最小值是相矛盾； ②当1<a<e时，函数f(x)在［1，a)上有f'(x)<0，f(x)单调递减，在(a，e］上有f'(x)>0，f(x)单调递增， ∴函数f(x)的最小值为f(a)=ln a+1，由ln a+1=，得a=； ③当a≥e时，显然函数f(x)在［1，e］上单调递减，其最小值为f(e)=1+≥2，与最小值是相矛盾. 综上所述，a的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 习题课　含参数的函数的 最大(小)值 1.能利用导数求简单的含参数的函数的最值问题. 2.能根据最值求参数的值或取值范围. 3.初步探究有关探索性的问题. 学习目标 一、求含参数的函数的最值 二、由最值求参数的值或取值范围 课时对点练 三、与最值有关的探究性问题 随堂演练 内容索引 一 求含参数的函数的最值 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0，+∞)上的最小值. 例 1 5 f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a)， 令f'(x)=0，得x1=-，x2=a. ①当a>0时，f(x)在[0，a)上是减函数，在[a，+∞)上是增函数.所以f(x)min=f(a)=-a3. ②当a=0时，f'(x)=3x2≥0，f(x)在[0，+∞)上是增函数，所以f(x)min= f(0)=0. ③当a<0时，f(x)在上是减函数， 在上是增函数. 6 所以f(x)min=f=a3. 综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为-a3； 当a=0时，f(x)的最小值为0； 当a<0时，f(x)的最小值为a3. 7 当a>0时，求函数f(x)=x3-ax2-a2x在[-a，2a]上的最值. 延伸探究 8 f'(x)=(3x+a)(x-a)(a>0)， 令f'(x)=0，得x1=-，x2=a. 所以f(x)在上是增函数， 在上是减函数，在[a，2a]上是增函数. 因为f(-a)=-a3，f=a3，f(a)=-a3， f(2a)=2a3. 所以f(x)max=f(2a)=2a3. f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3. 9 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题. (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 反 思 感 悟 含参数的函数最值问题的两类情况 10 二 由最值求参数的值或取值范围 　已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，x∈[-1，2]的最大值为3，最小值为-29，求a，b的值. 例 2 12 由题设知a≠0，否则f(x)=b为常数函数，与题设矛盾. 求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)， 令f'(x)=0，得x1=0，x2=4(舍去). ①当a>0，且当x变化时， f'(x)，f(x)的变化情况如下表： 由表可知，当x=0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[-1，2]上的最大值， x -1 (-1，0) 0 (0，2) 2 f'(x)   + 0 -   f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b 13 ∴f(0)=b=3. 又f(-1)=-7a+3，f(2)=-16a+3<f(-1)， ∴f(2)=-16a+3=-29， 解得a=2. ②当a<0时，同理可得，当x=0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[-1，2]上的最小值， ∴f(0)=b=-29. 14 又f(-1)=-7a-29，f(2)=-16a-29>f(-1)， ∴f(2)=-16a-29=3，解得a=-2. 综上可得，a=2，b=3或a=-2，b=-29. 15 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 反 思 感 悟 16 已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围. 跟踪训练 1 17 ∵h(x)=x3+3x2-9x+1， ∴h'(x)=3x2+6x-9. 令h'(x)=0，得x1=-3，x2=1， 当x变化时，h'(x)，h(x)的变化情况如下表： ∴当x=-3时，h(x)取极大值28； 当x=1时，h(x)取极小值-4. x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞) h'(x) + 0 - 0 + h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗ 18 而h(2)=3<h(-3)=28， ∴如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28， 则k≤-3. ∴k的取值范围为(-∞，-3]. 19 三 与最值有关的探究性问题 　已知f(x)=ax-ln x，a∈R. (1)当a=1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； 例 3 当a=1时，f(x)=x-ln x，f'(x)=1-=， 所以所求切线的斜率为f'(2)=，切点为(2，2-ln 2)， 所以所求切线的方程为y-(2-ln 2)=(x-2)， 即x-2y+2-2ln 2=0. 21 (2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 22 假设存在实数a，使f(x)=ax-ln x在区间(0，e]上的最小值是3， f'(x)=a-=. ①当a≤0时，f(x)在(0，e]上是减函数，故f(x)min=f(e)=ae-1=3，解得a=(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a； ②当0<<e，即a>时，f(x)在上是增函数，故f(x)min=f=1+ln a=3，解得a=e2，满足条件； ③当≥e，即0<a≤时，f(x)在(0，e]上是减函数，故f(x)min=f(e)=ae-1=3，解得a=(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a. 综上，存在实数a=e2，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3. 23 (1)此题涉及导函数的零点与所给区间的位置关系的讨论，以便确定导函数的正负和原函数的单调性，进而确定函数的最值. (2)此类题目属于“存在判断型”探索性问题，解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论. 反 思 感 悟 24 已知函数f(x)=2x3-ax2+1. (1)讨论f(x)的单调性； 跟踪训练 2 25 f'(x)=6x2-2ax=6x. 令f'(x)=6x=0，解得x=0或x=. 当a=0时，f'(x)=6x2≥0恒成立，函数f(x)在R上是增函数； 当a>0时，令f'(x)>0，得x>或x<0，令f'(x)<0，得0<x<， 即函数f(x)在上是减函数； 当a<0时，令f'(x)>0，得x>0或x<，令f'(x)<0，得<x<0， 即函数f(x)在上是减函数. 26 综上所述，当a=0时，函数f(x)在R上是增函数； 当a>0时，函数f(x)在上是减函数； 当a<0时，函数f(x)在上是减函数. 27 (2)是否存在a，使得f(x)在区间[0，1]上的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由. 28 存在，理由如下： 由(1)可得，当a≤0时，函数f(x)在[0，1]上是增函数. 则最小值为f=1，不符合题意； 当a>0时，函数f(x)在上是增函数； 当≥1，即a≥3时，函数f(x)在上是减函数， f(x)的最大值为f=1，最小值为f=2-a+1=-1，解得a=4，满足题意； 当0<<1，即0<a<3时，函数f(x)在上是增函数， 29 f(x)的最小值为f=2×-a×+1=-1， 化为-=-2，解得a=3>3，不符合题意. 综上可得，a的值为4. 30 1.知识清单： (1)求含参数的函数的最值. (2)由最值求参数的值或取值范围. (3)与最值有关的探究性问题. 2.方法归纳：转化法、分类讨论法. 3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知函数f(x)=ax3+c，且f'=6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c的值为 A.1 B.4 C.-1 D.0 √ 由题意得，f'(x)=3ax2，则f'(1)=3a=6，解得a=2， 所以f'(x)=6x2≥0， 故f(x)在[1，2]上是增函数，则f(x)max=f(2)=2×23+c=20，解得c=4. 1 2 3 4 2.函数f(x)=的最大值为 A.a B.e C.e1-a D.ea-1 √ f(x)=，则f'(x)=， 所以当x<1-a时，f'(x)>0，当x>1-a时，f'(x)<0， 所以f(x)在(-∞，1-a)上是增函数，在(1-a，+∞)上是减函数， 所以f(x)max=f=ea-1. 3.(多选)若函数f(x)=x3-3ax-a在(0，1)内有最小值，则a的值可以为 A.0 B. C. D.1 1 2 3 4 √ 由题意得f'(x)=3x2-3a=0在(0，1)上有解，即a=x2.又∵x∈(0，1)，∴0<a<1. √ 1 2 3 4 4.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2，2]上有最小值-37，则a的值为　　， f(x)在[-2，2]上的最大值为　　.  3 3 1 2 3 4 f'(x)=6x2-12x=6x(x-2). 由f'(x)=0，得x=0或x=2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x -2 (-2，0) 0 (0，2) 2 f'(x)   + 0 - 0 f(x) -40+a ↗ 极大值a ↘ -8+a 所以当x=-2时，f(x)min=-40+a=-37， 所以a=3. 所以当x=0时，f(x)取得最大值3. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.若函数f(x)=asin x+sin 3x在x=处有最值，则a等于 A.2 B.1 C. D.0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)在x=处有最值， ∴x=是函数f(x)的极值点. 又f'(x)=acos x+cos 3x， ∴f'=acos +cos π=0， 解得a=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若函数y=x3+x2+m在[-2，1]上的最大值为，则m等于 A.0　　　B.1　　　C.2　　　D. √ y'=3x2+3x=3x(x+1)，易知当-1<x<0时，y'<0，当-2<x<-1或0<x<1时，y'>0， 所以函数y=x3+x2+m在(-2，-1)，(0，1)上是增函数，在(-1，0)上是减函数，又当x=-1时，y=m+，当x=1时，y=m+，所以最大值为m+=，解得m=2. 3.若函数f(x)=3x-x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为 A.[1，] B.[1，+∞) C.(1，] D.(1，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)=3x-x3， ∴f'(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x)， 令f'(x)=0，则x=1或x=-1(舍去)， 当0≤x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时， f'(x)<0，f(x)单调递减. ∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)=f()=0，f(1)=2， ∴1≤m≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)=(a>0)在[1，+∞)上的最大值为，则a的值为 A.-1 B. C. D.+1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)=， 得f'(x)=， 当a>1时，若x>，则f'(x)<0，f(x)单调递减，若1<x<，则f'(x)>0，f(x)单调递增， 故当x=时，函数f(x)有最大值=， 解得a=<1，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a=1时，函数f(x)在[1，+∞)上是减函数，最大值为f(1)=，不符合题意. 当0<a<1时，函数f(x)在[1，+∞)上是减函数.此时最大值为f(1)==， 解得a=-1，符合题意. 故a的值为-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知函数f(x)=ln x-ax存在最大值0，则a的值为 A.1 B.2 C.e D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f'(x)=-a，x>0， ∴当a≤0时，f'(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值； 当a>0时，令f'(x)=0，得x=， ∴当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， ∴f(x)max=f=ln -1=0， 解得a=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知函数f(x)=x3+x2-2在区间(a-2，a+3)上存在最小值，则整数a可以取 A.-2 B.-1 C.0 D.1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=x2+2x=x(x+2)，f'(x)=0时，x=-2或x=0，当x<-2或x>0时，f'(x)>0，当-2<x<0时，f'(x)<0，所以函数的单调递增区间是(-∞，-2)和(0，+∞)，函数的单调递减区间是(-2，0)，所以函数的极大值点是-2，极小值点是0，且f(0)=-2，那么当x3+x2-2=-2，解得x=0或x=-3，所以函数在区 间(a-2，a+3)上存在最小值，则解得-1≤a<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4，4]上的最大值为10，则其最小值为　　. -71 f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1). 由f'(x)=0得x=3或x=-1. 又f(-4)=k-76，f(3)=k-27， f(-1)=k+5，f(4)=k-20. 由f(x)max=k+5=10，得k=5， 所以f(x)min=k-76=-71. 8.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m∈[-1，1]，则f(m)的最小值为　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=-3x2+2ax，由f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0. 即-3×4+2a×2=0，故a=3. 由此可得f(x)=-x3+3x2-4. f'(x)=-3x2+6x，由此可得f(x)在[-1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增， ∴当m∈[-1，1]时，f(m)min=f(0)=-4. -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知a为常数，求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). 若a≤0，则f'(x)≤0， 函数f(x)在[0，1]上单调递减， 所以当x=0时，f(x)有最大值f(0)=0. 若a>0，则令f'(x)=0，解得x=±. 因为x∈[0，1]， 所以只考虑x=的情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若0<<1，即0<a<1，则当x=时，f(x)有最大值f()=2a.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. x 0 (0，) (，1) 1 f'(x)   + 0 -   f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f'(x)≥0，函数f(x)在[0，1]上单调递增，当x=1时，f(x)有最大值f(1)=3a-1. 综上可知，若a≤0，则当x=0时，f(x)有最大值0， 若0<a<1，则当x=时，f(x)有最大值2a， 若a≥1，则当x=1时，f(x)有最大值3a-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)=2ex(x+1). (1)求函数f(x)的极值； f'(x)=2ex(x+2)， 由f'(x)>0，得x>-2；由f'(x)<0，得x<-2. ∴f(x)在(-2，+∞)上单调递增，在(-∞，-2)上单调递减. ∴f(x)的极小值为f(-2)=-2，无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求函数f(x)在区间[t，t+1](t>-3)上的最小值g(t). 由(1)，知f(x)在(-2，+∞)上单调递增，在(-∞，-2)上单调递减. ∵t>-3，∴t+1>-2. ①当-3<t<-2时，f(x)在[t，-2)上单调递减，在(-2，t+1]上单调递增， ∴g(t)=f(-2)=-2. ②当t≥-2时，f(x)在[t，t+1]上单调递增， ∴g(t)=f(t)=2et(t+1). ∴g(t)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知函数f(x)=x3+x2-2x+1，若函数f(x)在(2a，2a+3)上存在最小值，则a的可能取值为 A.- B. C.-1 D.0 √ 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)=x3+x2-2x+1， ∴f'(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)， 当-2<x<1时，f'(x)<0，故f(x)在(-2，1)上单调递减；当x<-2或x>1时，f'(x)>0，故f(x)在(-∞，-2)，(1，+∞)上单调递增， ∴函数f(x)在x=1处取得极小值， ∵函数f(x)在(2a，2a+3)上存在最小值， ∴2a<1<2a+3，解得-1<a<. 12.已知函数f(x)=sin--mx在上单调递减，则实数m的最小值是 A.- B.- C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)=sin--mx在上单调递减， 得f'=2cos-x-m≤0， 即2cos-x≤m， 令g(x)=2cos-x， 则g'(x)=-4sin-1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈≤2x+， 则2≤4sin≤4， 所以-5≤-4sin-1≤-3，即g'(x)<0， 所以g(x)在上单调递减， g(x)max=g(0)=， 所以m≥，m的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f(x)=若∃x0∈R使得f=f成立，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，存在实数x0≠0，使得f=f成立， 假设x0>0，则-x0<0， 所以有-kx0=ln x0， 则k=-， 令h=-， 则h'=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令h'>0，即ln x>1，解得x>e， 令h'<0，即ln x<1，解得0<x<e， 则h上单调递增， 所以h≥h=h=-=-， 所以k≥-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为　　.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，当x∈(0，2)时， f(x)的最大值为-1. 令f'(x)=-a=0，得x=， 当0<x<时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减. ∴f(x)max=f=-ln a-1=-1. 解得a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.设函数f(x)=ax3-3x+1(a>1)，若对于任意的x∈[-1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为　　. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，f'(x)=3ax2-3，当a>1时，令f'(x)=3ax2-3=0，解得x=±，±∈[-1，1]. ①当-1≤x<-时，f'(x)>0，f(x)单调递增； ②当-<x<时，f'(x)<0，f(x)单调递减； ③当<x≤1时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以只需f≥0，且f(-1)≥0即可， 由f≥0，得a·-3·+1≥0，解得a≥4， 由f(-1)≥0，可得a≤4，综上可得a=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=ln x+. (1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间； 函数f(x)=ln x+的定义域为(0，+∞)， f'(x)=-=， ∵a<0， ∴f'(x)>0， 故函数在(0，+∞)上单调递增. ∴f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈[1，e]时，分如下情况讨论： ①当a≤1时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)=a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾； ②当1<a<e时，函数f(x)在[1，a)上有f'(x)<0，f(x)单调递减，在(a，e]上有f'(x)>0，f(x)单调递增， ∴函数f(x)的最小值为f(a)=ln a+1，由ln a+1=，得a=； ③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)=1+≥2，与最小值是相矛盾. 综上所述，a的值为. 第六章 <<< $$