第6章 习题课 导数与函数的零点问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

习题课　导数与函数的零点问题 ［学习目标］　结合函数图象利用导数研究函数的零点的问题. 一、利用导数研究函数的零点个数 例1　给定函数f(x)=ex-x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)=m(m∈R)在区间［-1，2］上的根的个数. 解　(1)函数f(x)的定义域为R，f'(x)=ex-1， 令f'(x)=0，解得x=0. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (-∞，0) 0 (0，+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增.当x=0时，f(x)取极小值f(0)=1，也是最小值，故函数f(x)的值域为［1，+∞). (2)由(1)可知，函数的最小值为1. 函数的图象经过点f(-1)=+1，f(2)=e2-2，f(0)=1， 当x→+∞时，f(x)→+∞，f'(x)→+∞； 当x→-∞时，指数函数y=ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y=-x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示. (3)截取函数f(x)在区间［-1，2］上的图象如图所示. 由图象知，当f(0)<m≤f(-1)，即当m∈时，函数f(x)的图象与直线y=m恰有两个不同的交点，即当m∈时，方程f(x)=m在区间［-1，2］上恰有两个不同的实根；同理，当m=1或+1<m≤e2-2时，方程f(x)=m在区间［-1，2］上有唯一的实根； 当m<1或m>e2-2时，方程f(x)=m在区间［-1，2］上无实根. 反思感悟　判断函数零点的个数问题的思路 (1)求出函数的定义域. (2)求导数f'(x)的零点. (3)用f'(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值. (4)确定f(x)的图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势. (5)画出f(x)的大致图象，从而判断函数的零点个数. 跟踪训练1　已知函数f(x)=-1. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e］上零点的个数. 解　(1)因为f(x)=-1(x>0)， 所以f'(x)=， 令f'(x)=0，得x=. f'(x)及f(x)随x的变化情况如表所示： x (0，) (，+∞) f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(e1-a，+∞). (2)由(1)可知f(x)的最大值为f(e1-a)=， ①当a=1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e］上单调递减， 又f(1)=0，故f(x)在区间(0，e］上只有一个零点. ②当a<1时，1-a>0，e1-a>1， 则f()=<0，所以f(x)在区间(0，e］上无零点. 综上，当a=1时，f(x)在区间(0，e］上只有一个零点； 当a<1时，f(x)在区间(0，e］上无零点. 二、由函数的零点个数求参数的取值范围 例2　已知函数f(x)=x3-kx+k2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围. 解　(1)f'(x)=3x2-k. 当k=0时，f(x)=x3， 故f(x)在(-∞，+∞)上单调递增； 当k<0时，f'(x)=3x2-k>0， 故f(x)在(-∞，+∞)上单调递增. 当k>0时，令f'(x)=0，得x=±. 当x∈时，f'(x)>0； 当x∈时，f'(x)<0； 当x∈时，f'(x)>0. 故f(x)在，上单调递增，在上单调递减. (2)由(1)知，当k≤0时，f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，f(x)不可能有三个零点. 当k>0时，x=-为f(x)的极大值点，x=为f(x)的极小值点. 若f(x)有三个零点，只需 解得0<k<， 所以k的取值范围为. 反思感悟　利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数的取值范围. 跟踪训练2　已知函数f(x)=ln x-2ax，a∈R. (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围. 解　(1)当a=1时，f(x)=ln x-2x， 该函数的定义域为(0，+∞)， f'(x)=-2=， 令f'(x)=0，可得x=，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表. x f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减. (2)由f(x)=0，可得a=，由题意得直线y=a与函数g(x)=的图象有两个交点， 函数g(x)=的定义域为(0，+∞)，g'(x)=， 令g'(x)=0，可得x=e，随着x的变化，g'(x)，g(x)的变化情况如表. x (0，e) e (e，+∞) g'(x) + 0 - g(x) ↗ 极大值 ↘ 所以函数g(x)的极大值为g(e)=， 且当x>1时，g(x)>0， 当x→+∞时，和函数y=ln x相比，一次函数增长较快，所以f(x)→0， 又当x→0时，f(x)→-∞，f(1)=0， 根据以上信息，作出f(x)的大致图象如图所示. 当0<a<，直线y=a与函数g(x)=的图象有两个交点， 因此，实数a的取值范围是. 三、可化为函数零点的函数问题 例3　已知函数f(x)=，若关于x的方程-mf(x)+1=0有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f'(x)===.令f'(x)=0，解得x1=0，x2=2. 所以当x∈时，f'(x)<0，f(x)为减函数， 当x∈时，f'(x)>0，f(x)为增函数， 当x∈时，f'(x)<0，f(x)为减函数. 当x=0时，f(x)取得极小值，极小值为0， 当x=2时，f(x)取得极大值，极大值为， 且当x>0时，f(x)>0，x→+∞时，f(x)→0，f(x)的图象如图所示. 因为方程-mf(x)+1=0有四个不同的实数根， 设t=f(x)，等价于t2-mt+1=0有两个不相等的实数根，且0<t1<，t2>. 令h=t2-mt+1， 所以即 解得m>+. 反思感悟　通常把函数图象交点的问题及方程的根的问题转化为函数零点的问题解决，然后采用分离参数法或数形结合法解决问题. 跟踪训练3　若函数f(x)在定义域上有两个极值点，则叫作函数f(x)具有“凹凸趋向性”，已知f'(x)是函数f(x)的导数，且f'(x)=-2ln x，当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　f'(x)=-2ln x=， 若函数f(x)具有“凹凸趋向性”， 则m=2xln x在上有2个不同的实数根， 令g(x)=2xln x，g'(x)=2， 令g'(x)>0，解得x>， 令g'(x)<0，解得0<x<， ∴g(x)在上是减函数，在上是增函数， 故g(x)的最小值是g=- ， 当x→0时，g(x)→0，当x→+∞时，g(x)→+∞， ∴m的取值范围是. 1.知识清单： (1)利用导数求函数的零点个数. (2)由零点个数求参数的值或取值范围. (3)可化为函数零点的函数问题. 2.方法归纳：转化法、分离参数法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：根据函数的单调性摸清函数图象的变化趋势是解决问题的关键. 1.函数f(x)=ln x+的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　A 解析　由题意，得函数f(x)=ln x+的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=-=， 当x>1时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增； 当0<x<1时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 所以当x=1时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(1)=1>0， 所以函数f(x)=ln x+在定义域内没有零点. 2.方程(x+1)ex=a(a>0)解的个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 答案　C 解析　设f(x)=(x+1)ex， 所以f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex， 当x>-2时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x<-2时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 所以f(x)min=f(-2)=-e-2=-<0， 当x→-∞时， f(x)→0-， 当x→+∞时， f(x)→+∞. 函数f(x)的大致图象如图所示， 因为a>0，所以方程(x+1)ex=a(a>0)的解的个数为1. 3.若曲线y=xe-x与直线y=a恰有两个交点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　对于函数y=xe-x=，该函数的定义域为R，且y'=，令y'=0，得x=1，列表如下： x (-∞，1) 1 (1，+∞) y' + 0 - y ↗ 极大值 ↘ 且当x<0时，y=xe-x<0；当x>0时，y=xe-x>0. 作出函数y=xe-x与函数y=a的图象如图所示. 由图象可知，当0<a<时，直线y=a与曲线y=xe-x有两个交点， 因此，实数a的取值范围是. 4.已知直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是　　　　.  答案　(-2，2) 解析　令y=f(x)=x3-3x，则f'(x)=3x2-3， 令f'(x)=0，得x=1或x=-1. 因为当x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)时，f'(x)>0， 当x∈(-1，1)时，f'(x)<0，所以f(x)极小值=f(1)=-2，f(x)极大值=f(-1)=2.函数f(x)=x3-3x的大致图象如图所示，所以-2<a<2. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.函数f(x)=x3-12x-16的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　由题意得f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)， 令f'(x)>0，得x>2或x<-2；令f'(x)<0，得-2<x<2， 所以函数的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞)，单调递减区间为(-2，2)， 所以函数的极大值为f(-2)=0，极小值为f(2)=-32， 当x→-∞时，f(x)<0，当x→+∞时，f(x)>0， 所以函数的零点个数为2. 2.若函数f(x)=ln x+x2-a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，e2) B.(1，2) C.(1，e2+1) D. 答案　C 解析　∵f(x)=ln x+x2-a，故f'(x)=+2x>0在区间(1，e)上恒成立， ∴f(x)在(1，e)上单调递增，又函数f(x)=ln x+x2-a在区间(1，e)上存在零点， 故f(1)<0，f(e)>0， 即解得a∈(1，e2+1). 3.若方程x3-6x2+9x+m=0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-4) B.(-4，0) C.(-∞，-4)∪(0，+∞) D.(0，+∞) 答案　B 解析　设f(x)=x3-6x2+9x，可得f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)， 令f'(x)>0，即(x-1)(x-3)>0，解得x<1或x>3， 令f'(x)<0，即(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3， 所以函数f(x)在(-∞，1)，(3，+∞)上是增函数，在(1，3)上是减函数， 则当x=1时，函数f(x)取得极大值f=4， 当x=3时，函数f(x)取得极小值f=0， 要使得方程x3-6x2+9x+m=0恰有三个不等的实根，即函数y=f(x)与y=-m的图象有三个不同的交点， 所以0<-m<4，解得-4<m<0， 即实数m的取值范围是. 4.若函数f(x)=x2ex-a恰有三个零点，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(0，4e2) D.(0，+∞) 答案　B 解析　令g(x)=x2ex， 则g'(x)=2xex+x2ex=xex(x+2). 令g'(x)=0，得x=0或x=-2， ∴g(x)在(-2，0)上是减函数，在(-∞，-2)，(0，+∞)上是增函数. ∴g(x)极大值=g(-2)=，g(x)极小值=g(0)=0， 又f(x)=x2ex-a恰有三个零点，则0<a<. 5.(多选)已知函数f(x)的定义域为［-1，5］，部分对应值如表，f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 A.函数f(x)的极大值点有2个 B.函数f(x)在［0，2］上单调递减 C.若x∈［-1，t］时，f(x)的最大值是2，则t的最大值为4 D.当1<a<2时，函数y=f(x)-a有4个零点 答案　AB 解析　由f'(x)的图象可知，当-1≤x<0或2<x<4时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当0<x<2或4<x≤5时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，即当x=0或x=4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有两个极大值点，故A正确；函数f(x)在［0，2］上单调递减，故B正确；作出f(x)的图象如图1，若x∈［-1，t］时，f(x)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C错误；由y=f(x)-a=0得f(x)=a，若f(2)≤1，当1<a<2时，f(x)=a有四个根，如图2.若1<f(2)<2，当1<a<2时，f(x)=a不一定有四个根，有可能有两个根或三个根，如图3，故函数y=f(x)-a不一定有4个零点，故D错误. 6.设D是函数y=f(x)的定义域，若存在x0∈D，使f(x0)=-x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”.若函数f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是(　　) A.(-2，0)∪(0，2) B.(-2，2) C.(-1，0)∪(0，1) D.［-1，1］ 答案　A 解析　因为函数f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三个“次不动点x0”， 所以a-3-x0+1=-x0在R上有三个解， 即a-3+1=0在R上有三个解， 设g(x)=ax3-3x2+1，则g'(x)=3ax2-6x， 由已知a≠0，令g'(x)=0，即3ax2-6x=0， 解得x=0或x=. 当a>0时，x>或x<0时，g'(x)>0； 0<x<时，g'(x)<0，要使g(x)=ax3-3x2+1有三个零点，则g<0，即a2<4，解得0<a<2； 当a<0时，x<或x>0时，g'(x)<0； <x<0时，g'(x)>0，要使g(x)=ax3-3x2+1有三个零点，则g<0，即a2<4，解得-2<a<0. 综上可得，实数a的取值范围是(-2，0)∪(0，2). 7.(5分)函数f(x)=ex-x-b(e为自然对数的底数，b∈R)，若函数g(x)=f恰有4个零点，则实数b的取值范围为　　　　　　　　.  答案　 解析　令f(x)-=t，则f(t)=0，f(x)=t+恰有四个解.由f'(x)=ex-1，可得f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，由题意可得f(x)=0有两个根，则f(x)min=f(0)=1-b<0，可得b>1.f(t)=0有两个根，且一个是正根，一个是负根，设f(t)=0的负根为m，由题意知，m+>1-b，得m>-b，f>0，则->0，∴b<+ln 2.∴实数b的取值范围为. 8.(5分)若方程2x3-6x2+4+m=0有三个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　.  答案　(-4，4) 解析　设f(x)=2x3-6x2+4，x∈R， 令f'(x)=6x2-12x=0，解得x=0或x=2， 则f'(x)，f(x)随x的变化如表： x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则当x=0时，函数有极大值f(0)=4； 当x=2时，函数有极小值f(2)=-4， 又当x→-∞时，f(x)→-∞， 当x→+∞时，f(x)→+∞， 所以当-4<m<4时，方程2x3-6x2+4+m=0有三个不同的实数根. 9.(10分)已知函数f(x)=e2x-ex-x，判断f(x)的零点个数. 解　因为f(x)=e2x-ex-x， 所以f'(x)=e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-2)， 令f'(x)>0，解得x>ln 2， 令f'(x)<0，解得x<ln 2， 故f(x)在(-∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，+∞)上单调递增， 故f(x)min=f(ln 2)=-1-ln 2<0， 又x→-∞时，f(x)→+∞；x→+∞时，f(x)→+∞，画出草图如图所示， 故f(x)有2个零点. 10.(12分)已知函数f(x)=x3-x2+2x+b(b∈R). (1)当b=0时，求f(x)在［-1，3］上的值域；(6分) (2)若方程f(x)=1有三个不同的解，求b的取值范围.(6分) 解　(1)当b=0时，f(x)=x3-x2+2x， ∴f'(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2)， 令f'(x)=0，解得x1=1，x2=2， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x -1 (-1，1) 1 (1，2) 2 (2，3) 3 f'(x) + 0 - 0 + f(x) - ↗ ↘ ↗ 可得当x=-1时，f(x)取得最小值为-； 当x=3时，f(x)取得最大值为， ∴当b=0时，f(x)在［-1，3］上的值域为. (2)∵方程f(x)=1有三个不同的解， 即x3-x2+2x=1-b有三个不同的解， 由(1)知，y=x3-x2+2x在(-∞，1)，(2，+∞)上是增函数，在(1，2)上是减函数， ∴y=x3-x2+2x在x=1处取得极大值为，在x=2处取得极小值为， ∴<1-b<，解得<b<. ∴b的取值范围为. 11.方程x2=ex的实根个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　设f(x)=ex-x2，f'(x)=ex-2x， 令g(x)=f'(x)=ex-2x， 则g'(x)=ex-2，令g'(x)=0，则x=ln 2， 当x<ln 2时，g'(x)<0；当x>ln 2时，g'(x)>0， 所以g(x)在(-∞，ln 2)上是减函数，在(ln 2，+∞)上是增函数， 所以当x=ln 2时，g(x)取得极小值，也是最小值，为f'(x)的最小值， f'(x)min=f'(ln 2)=eln 2-2ln 2=2(1-ln 2)>0， 即f'(x)>0在(-∞，+∞)上恒成立， 所以f(x)=ex-x2在(-∞，+∞)上是增函数， 又f(0)=1>0，f(-1)=-1<0， 所以函数f(x)=ex-x2存在唯一的零点， 即方程x2=ex只有1个实根. 12.已知函数f(x)=ex-ax2(x>0)无零点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为函数f(x)=ex-ax2(x>0)无零点， 所以方程ex-ax2=0在x∈(0，+∞)上无解， 即a=在x∈(0，+∞)上无解， 令g(x)=(x>0)，则g'(x)=， 当x>2时，g'(x)>0，函数g(x)单调递增； 当0<x<2时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减， 所以当x=2时，函数g(x)有唯一的极小值，也是最小值. 又g(2)=，所以g(x)≥. 所以若a=无解，则a<. 13.已知函数f(x)=-a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，e) B.(-∞，e) C. D. 答案　C 解析　因为函数f(x)=-a有两个不同的零点，所以方程f(x)=-a=0有两个不同的实数根，因此函数g(x)=的图象与直线y=a有两个不同的交点. 由g(x)=(x>0)，得g'(x)=， 当x>e时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当0<x<e时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 因此当x=e时，函数g(x)有最大值，最大值为g(e)==， 显然当x>1时，g(x)>0；当0<x<1时，g(x)<0；当x=1时，g(1)=0， 因此函数g(x)=的大致图象如图所示. 通过函数g(x)=的图象和上述分析的性质可知，当a∈时，函数g(x)=的图象与直线y=a有两个交点.故a的取值范围是. 14.(5分)若函数f(x)= 恰有3 个零点，则a的取值范围为　　　.  答案　(-1，0)∪［1，4) 解析　设g(x)= 则g'(x)= 当0<x<1时，g'(x)<0； 当x>1时，g'(x)>0； 当-2<x<0时，g'(x)<0； 当x<-2时，g'(x)>0， 所以g(x)的极大值为g=4，极小值为g=-1. 又g=0，故作出函数g(x)的图象，如图所示. 所以a∈∪. 15.(5分)已知方程=ax有三个实数解，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　0<a< 解析　因为方程=ax有三个实数解， 所以函数y=与y=ax的图象有三个交点， 作出y=的图象如图， 当a≤0时，函数y=与y=ax的图象至多有1个交点，不符合题意； 当a>0时，设y=ln x 与y=ax相切于点P(x0，y0)，则y0=ln x0=ax0， 又因为对y=ln x，y'=，所以a=，所以x0=e，ae=1， 所以a=，所以函数y=与y=ax的图象有三个交点时，0<a<. 16.(12分)设函数f(x)=x3+bx+c，曲线y=f(x)在点处的切线与y轴垂直. (1)求b；(4分) (2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.(8分) (1)解　f'(x)=3x2+b. 依题意得f'=0，即+b=0， 故b=-. (2)证明　由(1)知f(x)=x3-x+c， f'(x)=3x2-. 令f'(x)=0，解得x=-或x=. f'(x)与f(x)随x的变化情况为： x - f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ c+ ↘ c- ↗ 因为f(1)=f=c+， 所以当c<-时，f(x)只有大于1的零点. 因为f(-1)=f=c-， 所以当c>时，f(x)只有小于-1的零点. 由题设可知-≤c≤. 当c=-时，f(x)只有两个零点-和1. 当c=时，f(x)只有两个零点-1和. 当-<c<时，f(x)有三个零点x1，x2，x3，且x1∈，x2∈，x3∈. 综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 习题课　导数与函数的零点问题 结合函数图象利用导数研究函数的零点的问题. 学习目标 一、利用导数研究函数的零点个数 二、由函数的零点个数求参数的取值范围 课时对点练 三、可化为函数零点的函数问题 随堂演练 内容索引 利用导数研究函数的零点个数 一 给定函数f(x)=ex-x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； 例 1 5 函数f(x)的定义域为R，f'(x)=ex-1， 令f'(x)=0，解得x=0. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (-∞，0) 0 (0，+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增.当x=0时，f(x)取极小值f(0)=1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，+∞). 6 (2)画出函数f(x)的大致图象； 7 由(1)可知，函数的最小值为1. 函数的图象经过点f(-1)=+1，f(2)=e2-2，f(0)=1， 当x→+∞时，f(x)→+∞，f'(x)→+∞； 当x→-∞时，指数函数y=ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y=-x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示. 8 (3)求出方程f(x)=m(m∈R)在区间[-1，2]上的根的个数. 9 截取函数f(x)在区间[-1，2]上的图象如图所示. 由图象知，当f(0)<m≤f(-1)，即当 m∈时，函数f(x)的图象 与直线y=m恰有两个不同的交点， 即当m∈时，方程f(x)=m在区间[-1，2]上恰有两个不同的实根；同理，当m=1或+1<m≤e2-2时，方程f(x)=m在区间[-1，2]上有唯一的实根； 当m<1或m>e2-2时，方程f(x)=m在区间[-1，2]上无实根. 10 (1)求出函数的定义域. (2)求导数f'(x)的零点. (3)用f'(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值. (4)确定f(x)的图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势. (5)画出f(x)的大致图象，从而判断函数的零点个数. 反 思 感 悟 判断函数零点的个数问题的思路 11 　已知函数f(x)=-1. (1)求f(x)的单调区间； 跟踪训练 1 12 因为f(x)=-1(x>0)， 所以f'(x)=， 令f'(x)=0，得x=. f'(x)及f(x)随x的变化情况如表所示： 所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(e1-a，+∞). x (0，) (，+∞) f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 13 (2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数. 14 由(1)可知f(x)的最大值为f(e1-a)=， ①当a=1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e]上单调递减， 又f(1)=0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点. ②当a<1时，1-a>0，e1-a>1， 则f()=<0，所以f(x)在区间(0，e]上无零点. 综上，当a=1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点； 当a<1时，f(x)在区间(0，e]上无零点. 15 二 由函数的零点个数求参数的取值范围 　已知函数f(x)=x3-kx+k2. (1)讨论f(x)的单调性； 例 2 17 f'(x)=3x2-k. 当k=0时，f(x)=x3， 故f(x)在(-∞，+∞)上单调递增； 当k<0时，f'(x)=3x2-k>0， 故f(x)在(-∞，+∞)上单调递增. 当k>0时，令f'(x)=0，得x=±. 当x∈时，f'(x)>0； 当x∈时，f'(x)<0； 18 当x∈时，f'(x)>0. 故f(x)在上单调递减. 19 (2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围. 20 由(1)知，当k≤0时，f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，f(x)不可能有三个零点. 当k>0时，x=-为f(x)的极大值点，x=为f(x)的极小值点. 若f(x)有三个零点，只需 解得0<k<， 所以k的取值范围为. 21 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数的取值范围. 反 思 感 悟 22 已知函数f(x)=ln x-2ax，a∈R. (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间； 跟踪训练 2 23 当a=1时，f(x)=ln x-2x， 该函数的定义域为(0，+∞)， f'(x)=-2=， 令f'(x)=0，可得x=，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表. x f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 所以函数f(x)在上单调递减. 24 (2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围. 25 由f(x)=0，可得a=，由题意得直线y=a与函数g(x)=的图象有两个交点， 函数g(x)=的定义域为(0，+∞)，g'(x)=， 令g'(x)=0，可得x=e，随着x的变化，g'(x)，g(x)的变化情况如表. x (0，e) e (e，+∞) g'(x) + 0 - g(x) ↗ 极大值 ↘ 所以函数g(x)的极大值为g(e)=， 26 且当x>1时，g(x)>0， 当x→+∞时，和函数y=ln x相比，一次函数增长较快，所以f(x)→0， 又当x→0时，f(x)→-∞，f(1)=0， 根据以上信息，作出f(x)的大致图象如图所示. 当0<a<，直线y=a与函数g(x)=的图象有两个交点， 因此，实数a的取值范围是. 27 三 可化为函数零点的函数问题 　已知函数f(x)=，若关于x的方程-mf(x)+1=0有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 例 3 √ 29 f'(x)===.令f'(x)=0，解得x1=0，x2=2. 所以当x∈时，f'(x)<0，f(x)为减函数， 当x∈时，f'(x)>0，f(x)为增函数， 当x∈时，f'(x)<0，f(x)为减函数. 当x=0时，f(x)取得极小值，极小值为0， 当x=2时，f(x)取得极大值，极大值为， 且当x>0时，f(x)>0，x→+∞时，f(x)→0，f(x)的图象如图所示. 30 因为方程-mf(x)+1=0有四个不同的实数根， 设t=f(x)，等价于t2-mt+1=0有两个不相等的实数根，且0<t1<，t2>. 令h=t2-mt+1， 所以 解得m>+. 31 通常把函数图象交点的问题及方程的根的问题转化为函数零点的问题解决，然后采用分离参数法或数形结合法解决问题. 反 思 感 悟 32 若函数f(x)在定义域上有两个极值点，则叫作函数f(x)具有“凹凸趋向性”，已知f'(x)是函数f(x)的导数，且f'(x)=-2ln x，当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是 A. B. C. D. 跟踪训练 3 √ 33 f'(x)=-2ln x=， 若函数f(x)具有“凹凸趋向性”， 则m=2xln x在上有2个不同的实数根， 令g(x)=2xln x，g'(x)=2， 令g'(x)>0，解得x>， 令g'(x)<0，解得0<x<， ∴g(x)在上是增函数， 34 故g(x)的最小值是g=- ， 当x→0时，g(x)→0，当x→+∞时，g(x)→+∞， ∴m的取值范围是. 35 1.知识清单： (1)利用导数求函数的零点个数. (2)由零点个数求参数的值或取值范围. (3)可化为函数零点的函数问题. 2.方法归纳：转化法、分离参数法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：根据函数的单调性摸清函数图象的变化趋势是解决问题的关键. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.函数f(x)=ln x+的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 由题意，得函数f(x)=ln x+的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=-=， 当x>1时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增； 当0<x<1时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 所以当x=1时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(1)=1>0， 所以函数f(x)=ln x+在定义域内没有零点. 1 2 3 4 2.方程(x+1)ex=a(a>0)解的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 √ 1 2 3 4 设f(x)=(x+1)ex， 所以f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex， 当x>-2时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x<-2时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 所以f(x)min=f(-2)=-e-2=-<0， 当x→-∞时，f(x)→0-， 当x→+∞时，f(x)→+∞. 函数f(x)的大致图象如图所示， 因为a>0，所以方程(x+1)ex=a(a>0)的解的个数为1. 3.若曲线y=xe-x与直线y=a恰有两个交点，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 对于函数y=xe-x=，该函数的定义域为R，且y'=，令y'=0，得x=1，列表如下： x (-∞，1) 1 (1，+∞) y' + 0 - y ↗ 极大值 ↘ 且当x<0时，y=xe-x<0；当x>0时，y=xe-x>0. 1 2 3 4 作出函数y=xe-x与函数y=a的图象如图所示. 由图象可知，当0<a<时，直线y=a与曲线 y=xe-x有两个交点， 因此，实数a的取值范围是. 1 2 3 4 4.已知直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是　　　　.  令y=f(x)=x3-3x，则f'(x)=3x2-3， 令f'(x)=0，得x=1或x=-1. 因为当x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)时，f'(x)>0， 当x∈(-1，1)时，f'(x)<0，所以f(x)极小值=f(1)=-2，f(x)极大值 =f(-1)=2.函数f(x)=x3-3x的大致图象如图所示，所以-2<a<2. (-2，2) 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.函数f(x)=x3-12x-16的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)， 令f'(x)>0，得x>2或x<-2；令f'(x)<0，得-2<x<2， 所以函数的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞)，单调递减区间为(-2，2)， 所以函数的极大值为f(-2)=0，极小值为f(2)=-32， 当x→-∞时，f(x)<0，当x→+∞时，f(x)>0， 所以函数的零点个数为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若函数f(x)=ln x+x2-a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为 A.(1，e2) B.(1，2) C.(1，e2+1) D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)=ln x+x2-a，故f'(x)=+2x>0在区间(1，e)上恒成立， ∴f(x)在(1，e)上单调递增，又函数f(x)=ln x+x2-a在区间(1，e)上存在零点， 故f(1)<0，f(e)>0， 即解得a∈(1，e2+1). 3.若方程x3-6x2+9x+m=0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是 A.(-∞，-4) B.(-4，0) C.(-∞，-4)∪(0，+∞) D.(0，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设f(x)=x3-6x2+9x，可得f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)， 令f'(x)>0，即(x-1)(x-3)>0，解得x<1或x>3， 令f'(x)<0，即(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3， 所以函数f(x)在(-∞，1)，(3，+∞)上是增函数，在(1，3)上是减函数， 则当x=1时，函数f(x)取得极大值f=4， 当x=3时，函数f(x)取得极小值f=0， 要使得方程x3-6x2+9x+m=0恰有三个不等的实根，即函数y=f(x)与y=-m的图象有三个不同的交点， 所以0<-m<4，解得-4<m<0， 即实数m的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若函数f(x)=x2ex-a恰有三个零点，则实数a的取值范围是 A. B. C.(0，4e2) D.(0，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令g(x)=x2ex， 则g'(x)=2xex+x2ex=xex(x+2). 令g'(x)=0，得x=0或x=-2， ∴g(x)在(-2，0)上是减函数，在(-∞，-2)，(0，+∞)上是增函数. ∴g(x)极大值=g(-2)=，g(x)极小值=g(0)=0， 又f(x)=x2ex-a恰有三个零点，则0<a<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知函数f(x)的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是 A.函数f(x)的极大值点有2个 B.函数f(x)在[0，2]上单调递减 C.若x∈[-1，t]时，f(x)的最大值是2， 则t的最大值为4 D.当1<a<2时，函数y=f(x)-a有4个零点 √ x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f'(x)的图象可知，当-1≤x<0或2<x<4时， f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当0<x<2或4< x≤5时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，即当 x=0或x=4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有两个极大值点，故A正确； 函数f(x)在[0，2]上单调递减，故B正确； 作出f(x)的图象如图1，若x∈[-1，t]时，f(x)的 最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5， 故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由y=f(x)-a=0得f(x)=a，若f(2)≤1，当1<a<2时，f(x)=a有四个根，如图2.若1<f(2)<2，当1<a<2时，f(x)=a不一定有四个根，有可能有两个根或三个根，如图3，故函数y=f(x)-a不一定有4个零点，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.设D是函数y=f(x)的定义域，若存在x0∈D，使f(x0)=-x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”.若函数f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是 A.(-2，0)∪(0，2) B.(-2，2) C.(-1，0)∪(0，1) D.[-1，1] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三个“次不动点x0”， 所以a-3-x0+1=-x0在R上有三个解， 即a-3+1=0在R上有三个解， 设g(x)=ax3-3x2+1，则g'(x)=3ax2-6x， 由已知a≠0，令g'(x)=0，即3ax2-6x=0， 解得x=0或x=. 当a>0时，x>或x<0时，g'(x)>0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0<x<时，g'(x)<0，要使g(x)=ax3-3x2+1有三个零点，则g<0，即a2<4，解得0<a<2； 当a<0时，x<或x>0时，g'(x)<0； <x<0时，g'(x)>0，要使g(x)=ax3-3x2+1有三个零点，则g<0，即a2<4，解得-2<a<0. 综上可得，实数a的取值范围是(-2，0)∪(0，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.函数f(x)=ex-x-b(e为自然对数的底数，b∈R)，若函数g(x)=f恰 有4个零点，则实数b的取值范围为　　　　 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令f(x)-=t，则f(t)=0，f(x)=t+恰有四个解.由f'(x)=ex-1，可得f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，由题意可得f(x)=0有两个根，则f(x)min=f(0)=1-b<0，可得b>1.f(t)=0有两个根，且一个是正根，一个是负根，设f(t)=0的负根为m，由题意知，m+>1-b，得m>-b，f>0，则->0，∴b<+ln 2.∴实数b的取值范围为. 8.若方程2x3-6x2+4+m=0有三个不同的实数根，则m的取值范围是　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-4，4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设f(x)=2x3-6x2+4，x∈R， 令f'(x)=6x2-12x=0，解得x=0或x=2， 则f'(x)，f(x)随x的变化如表： x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则当x=0时，函数有极大值f(0)=4； 当x=2时，函数有极小值f(2)=-4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又当x→-∞时，f(x)→-∞， 当x→+∞时，f(x)→+∞， 所以当-4<m<4时，方程2x3-6x2+4+m=0有三个不同的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知函数f(x)=e2x-ex-x，判断f(x)的零点个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)=e2x-ex-x， 所以f'(x)=e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-2)， 令f'(x)>0，解得x>ln 2， 令f'(x)<0，解得x<ln 2， 故f(x)在(-∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，+∞)上单调递增， 故f(x)min=f(ln 2)=-1-ln 2<0， 又x→-∞时，f(x)→+∞；x→+∞时，f(x)→+∞，画出草 图如图所示， 故f(x)有2个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)=x3-x2+2x+b(b∈R). (1)当b=0时，求f(x)在[-1，3]上的值域； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当b=0时，f(x)=x3-x2+2x， ∴f'(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2)， 令f'(x)=0，解得x1=1，x2=2， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x -1 (-1，1) 1 (1，2) 2 (2，3) 3 f'(x)   + 0 - 0 +   f(x) - ↗ ↘ ↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可得当x=-1时，f(x)取得最小值为-； 当x=3时，f(x)取得最大值为， ∴当b=0时，f(x)在[-1，3]上的值域为. x -1 (-1，1) 1 (1，2) 2 (2，3) 3 f'(x)   + 0 - 0 +   f(x) - ↗ ↘ ↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若方程f(x)=1有三个不同的解，求b的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵方程f(x)=1有三个不同的解， 即x3-x2+2x=1-b有三个不同的解， 由(1)知，y=x3-x2+2x在(-∞，1)，(2，+∞)上是增函数，在(1，2)上是减函数， ∴y=x3-x2+2x在x=1处取得极大值为，在x=2处取得极小值为， ∴<1-b<<b<. ∴b的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.方程x2=ex的实根个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设f(x)=ex-x2，f'(x)=ex-2x， 令g(x)=f'(x)=ex-2x， 则g'(x)=ex-2，令g'(x)=0，则x=ln 2， 当x<ln 2时，g'(x)<0；当x>ln 2时，g'(x)>0， 所以g(x)在(-∞，ln 2)上是减函数，在(ln 2，+∞)上是增函数， 所以当x=ln 2时，g(x)取得极小值，也是最小值，为f'(x)的最小值， f'(x)min=f'(ln 2)=eln 2-2ln 2=2(1-ln 2)>0， 即f'(x)>0在(-∞，+∞)上恒成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(x)=ex-x2在(-∞，+∞)上是增函数， 又f(0)=1>0，f(-1)=-1<0， 所以函数f(x)=ex-x2存在唯一的零点， 即方程x2=ex只有1个实根. 12.已知函数f(x)=ex-ax2(x>0)无零点，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)=ex-ax2(x>0)无零点， 所以方程ex-ax2=0在x∈(0，+∞)上无解， 即a=在x∈(0，+∞)上无解， 令g(x)=(x>0)，则g'(x)=， 当x>2时，g'(x)>0，函数g(x)单调递增； 当0<x<2时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减， 所以当x=2时，函数g(x)有唯一的极小值，也是最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又g(2)=，所以g(x)≥. 所以若a=无解，则a<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f(x)=-a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 A.(0，e) B.(-∞，e) C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)=-a有两个不同的零点，所以方程f(x)=-a=0有两个不同的实数根，因此函数g(x)=的图象与直线y=a有两个不同的交点. 由g(x)=(x>0)，得g'(x)=， 当x>e时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当0<x<e时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 因此当x=e时，函数g(x)有最大值，最大值为g(e)==， 显然当x>1时，g(x)>0；当0<x<1时，g(x)<0；当x=1时， g(1)=0， 因此函数g(x)=的大致图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 通过函数g(x)=的图象和上述分析的性质 可知，当a∈时，函数g(x)=的图象 与直线y=a有两个交点.故a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若函数f(x)=恰有3 个零点，则a的取值范围为　 　　.  (-1，0)∪[1，4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设g(x)= 则g'(x)= 当0<x<1时，g'(x)<0；当x>1时，g'(x)>0； 当-2<x<0时，g'(x)<0； 当x<-2时，g'(x)>0， 所以g(x)的极大值为g=4，极小值为g=-1. 又g=0，故作出函数g(x)的图象，如图所示. 所以a∈∪. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知方程=ax有三个实数解，则实数a的取值范围为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为方程=ax有三个实数解， 所以函数y=与y=ax的图象有三个交点， 作出y=的图象如图， 当a≤0时，函数y=与y=ax的图象至多有1个交点， 不符合题意； 当a>0时，设y=ln x 与y=ax相切于点P(x0，y0)，则y0=ln x0=ax0， 又因为对y=ln x，y'=，所以a=，所以x0=e，ae=1， 所以a=，所以函数y=与y=ax的图象有三个交点时，0<a<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设函数f(x)=x3+bx+c，曲线y=f(x)在点处的切线与y轴垂直. (1)求b； f'(x)=3x2+b. 依题意得f'=0，即+b=0， 故b=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知f(x)=x3-x+c， f'(x)=3x2-. 令f'(x)=0，解得x=-或x=. f'(x)与f(x)随x的变化情况为： x - f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ c+ ↘ c- ↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(1)=f=c+， 所以当c<-时，f(x)只有大于1的零点. 因为f(-1)=f=c-， 所以当c>时，f(x)只有小于-1的零点. 由题设可知-≤c≤. 当c=-时，f(x)只有两个零点-和1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当c=时，f(x)只有两个零点-1和. 当-<c<时，f(x)有三个零点x1，x2，x3，且x1∈，x2∈，x3∈. 综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1. 第六章 <<< $$