第5章 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

一、等差与等比数列的基本运算 1.数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小. 2.通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 例1　在等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 解　(1)设数列{an}的公比为q， 由已知得16=2q3， 解得q=2， 所以an=2×2n-1=2n，n∈N+. (2)由(1)得a3=8，a5=32， 则b3=8，b5=32. 设数列{bn}的公差为d， 则有 解得 所以bn=-16+12(n-1)=12n-28，n∈N+. 所以数列{bn}的前n项和 Sn==6n2-22n，n∈N+. 反思感悟　在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用. 跟踪训练1　已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn. (1)若1，a1，a3成等比数列，求a1； (2)在(1)的条件下，若a1>0，求Sn. 解　(1)因为数列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，所以=1×(a1+2)， 即-a1-2=0，解得a1=-1或a1=2. (2)因为a1>0，所以a1=2， 所以Sn=2n+=+，n∈N+. 二、等差、等比数列的判定 1.判定等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列. 2.通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. 例2　已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2(n+1)·an.设bn=. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求数列{an}的通项公式. 解　(1)由条件可得an+1=an. 将n=1代入得，a2=4a1，又a1=1，所以a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12. 所以b1=1，b2=2，b3=4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得=， 即bn+1=2bn，又b1=1， 所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得=2n-1，所以an=n·2n-1，n∈N+. 反思感悟　判断和证明数列是等差(比)数列的方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an+1-an为与正整数n无关的常数. (2)中项公式法： ①若2an=an-1+an+1(n∈N+，n≥2)，则{an}为等差数列. ②若=an-1·an+1(n∈N+，n≥2且an≠0)，则{an}为等比数列. (3)通项公式法：an=kn+b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an=c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列. (4)前n项和公式法：Sn=An2+Bn(A，B为常数，n∈N+)⇔{an}是等差数列；Sn=Aqn-A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N+)⇔{an}是公比不为1的等比数列. 跟踪训练2　已知数列{an}满足a1=，且当n>1，n∈N+时，有=. (1)求证：数列为等差数列； (2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. (1)证明　当n≥2时， 由=，得an-1-an=4an-1an， 两边同除以an-1an， 得-=4. 所以数列是首项=5，公差为4的等差数列. (2)解　由(1)得=+4(n-1)=4n+1， 所以an=， 所以a1a2=×=， 假设a1a2是数列{an}中的第t项， 则at==， 解得t=11∈N+， 所以a1a2是数列{an}中的第11项. 三、数列求和 1.数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现.一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题的形式出现，难度中等. 2.通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 例3　已知数列{an}是n次多项式f(x)=a1x+a2x2+…+anxn的系数，且f(1)=. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求f，并说明f<2. 解　(1)设f(1)=a1+a2+…+an=Sn=， 则an=Sn-Sn-1=-=n，n≥2， 当n=1时，a1=1，S1=1成立， 所以an=n(n∈N+). (2)由(1)知f(x)=x+2x2+…+nxn， 所以f=+2×+3×+…+n×， ① f=+2×+3×+…+(n-1)+n×， ② 由①-②得f=++…+-n×=1--，所以f=2--<2. 反思感悟　数列求和的常用方法 (1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sn=a1+a2+…+an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn=a1q+a2q+…+anq，两式错位相减即可求出Sn. (2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. (3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和. (4)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数是奇数还是偶数的讨论. (5)倒序相加法：一般适用于距首末等距离的项之间隐含某种关系(比如和为定值)的数列，通常数列的项数较多. 跟踪训练3　正项数列{an}满足：-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)由-(2n-1)an-2n=0，得 (an-2n)(an+1)=0. 由于{an}是正项数列，所以an=2n，n∈N+. (2)由an=2n，bn=，得 bn==， Tn= ==. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 <<< 章末复习课 知识网络 一、等差与等比数列的基本运算 二、等差、等比数列的判定 三、数列求和 内容索引 等差与等比数列的基本运算 一 1.数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小. 2.通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 5 在等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16. (1)求数列{an}的通项公式； 例 1 设数列{an}的公比为q， 由已知得16=2q3， 解得q=2， 所以an=2×2n-1=2n，n∈N+. 6 (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 7 由(1)得a3=8，a5=32， 则b3=8，b5=32. 设数列{bn}的公差为d， 则有 解得 所以bn=-16+12(n-1)=12n-28，n∈N+. 所以数列{bn}的前n项和 Sn==6n2-22n，n∈N+. 8 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用. 反 思 感 悟 9 跟踪训练 1 　已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn. (1)若1，a1，a3成等比数列，求a1； 因为数列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，所以=1× (a1+2)， 即-a1-2=0，解得a1=-1或a1=2. 10 (2)在(1)的条件下，若a1>0，求Sn. 因为a1>0，所以a1=2， 所以Sn=2n+=+，n∈N+. 11 二 等差、等比数列的判定 1.判定等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列. 2.通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. 例 2 　已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2(n+1)·an.设bn=. (1)求b1，b2，b3； 由条件可得an+1=an. 将n=1代入得，a2=4a1，又a1=1，所以a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12. 所以b1=1，b2=2，b3=4. 14 (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； {bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得=， 即bn+1=2bn，又b1=1， 所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. 15 (3)求数列{an}的通项公式. 由(2)可得=2n-1，所以an=n·2n-1，n∈N+. 16 反 思 感 悟 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an+1-an为与正整数n无关的常数. (2)中项公式法： ①若2an=an-1+an+1(n∈N+，n≥2)，则{an}为等差数列. ②若=an-1·an+1(n∈N+，n≥2且an≠0)，则{an}为等比数列. (3)通项公式法：an=kn+b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an=c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列. 判断和证明数列是等差(比)数列的方法 反 思 感 悟 (4)前n项和公式法：Sn=An2+Bn(A，B为常数，n∈N+)⇔{an}是等差数列；Sn=Aqn-A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N+)⇔{an}是公比不为1的等比数列. 　 已知数列{an}满足a1=，且当n>1，n∈N+时，有=. (1)求证：数列为等差数列； 跟踪训练 2 19 当n≥2时， 由=，得an-1-an=4an-1an， 两边同除以an-1an， 得-=4. 所以数列=5，公差为4的等差数列. 20 (2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 21 由(1)得=+4(n-1)=4n+1， 所以an=， 所以a1a2=×=， 假设a1a2是数列{an}中的第t项， 则at==， 解得t=11∈N+， 所以a1a2是数列{an}中的第11项. 22 数列求和 三 1.数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现.一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题的形式出现，难度中等. 2.通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 24 　已知数列{an}是n次多项式f(x)=a1x+a2x2+…+anxn的系数，且f(1)=. (1)求数列{an}的通项公式； 例 3 设f(1)=a1+a2+…+an=Sn=， 则an=Sn-Sn-1=-=n，n≥2， 当n=1时，a1=1，S1=1成立， 所以an=n(n∈N+). 25 (2)求f，并说明f<2. 由(1)知f(x)=x+2x2+…+nxn， 所以f=+2×+3×+…+n×， ① f=+2×+3×+…+(n-1)+n×， ② 由①-②得f=++…+-n×=1--，所以f=2--<2. 26 反 思 感 悟 (1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sn=a1+a2+…+an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn=a1q+a2q+…+anq，两式错位相减即可求出Sn. (2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 数列求和的常用方法 反 思 感 悟 (3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和. (4)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数是奇数还是偶数的讨论. (5)倒序相加法：一般适用于距首末等距离的项之间隐含某种关系(比如和为定值)的数列，通常数列的项数较多. 　正项数列{an}满足：-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式an； 跟踪训练 3 由-(2n-1)an-2n=0，得 (an-2n)(an+1)=0. 由于{an}是正项数列，所以an=2n，n∈N+. 29 (2)令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn. 由an=2n，bn=，得 bn==， Tn= ==. 30 第五章 <<< $$