第5章 5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

5.3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 ［学习目标］　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.3.掌握等比数列前n项和的函数特征. 导语　 国际象棋起源于印度，据说国王为了奖赏发明者，让发明者提一个要求.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请国王能给我足够的麦子来实现上述要求.”国王觉得这事不难办到，就欣然同意了. 问题：每个格子里的麦粒数依次组成一个等比数列1，2，22，23，…，263，你能计算这64项的和吗？通过这节课的学习，你就能知道答案. 一、等比数列前n项和公式的推导 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示　思路一：因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an， 所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn， 即(1-q)Sn=a1(1-qn)，当q≠1时，有Sn=，而当q=1时，Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”. 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：==…==q， 根据等比数列的性质，有==q， =q⇒(1-q)Sn=a1-anq， 所以当q≠1时，Sn=，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an=a1qn-1相互转化. 思路三：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)， 所以有Sn=a1+qSn-1⇒Sn=a1+q(Sn-an)⇒(1-q)Sn=a1-anq， 所以当q≠1时，Sn=或Sn=，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，就能使问题得到解决. 知识梳理　 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则Sn=.① 因为an=a1qn-1，所以q≠1时，等比数列前n项和的公式也可改写为Sn=. ② 注意点： (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论. (2)①中的n表示的是所求数列的项数(例如1+2+22+…+2n=). (3)②中的an在求和时，表示数列的最后一项(例如1+2+22+…+2n=). 例1　求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； (2)a1=27，a9=，q<0. 解　(1)因为a1=，q=， 所以S8==. (2)由a1=27，a9=，可得=27q8. 又q<0，所以q=-， 所以S8====. 反思感悟　求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q=1是否成立. 跟踪训练1　在等比数列{an}中， (1)a1=2，q=-，求S10； (2)q=，S100=150，求a2+a4+a6+…+a100的值. 解　(1)S10== =×=×=. (2)方法一　S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100 =+a2+a4+…+a100 =3(a2+a4+…+a100)=150， ∴a2+a4+a6+…+a100=50. 方法二　S100==150， 整理得a1=75， 又a2+a4+…+a100= =a1=×75=50. 二、等比数列中与前n项和有关的基本运算 例2　在等比数列{an}中. (1)S2=30，S3=155，求Sn； (2)a1+a3=10，a4+a6=，求S5； (3)a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求公比q. 解　(1)由题意知 解得或 从而Sn=×5n+1-或Sn=. (2)方法一　由题意知 解得从而S5==. 方法二　由(a1+a3)q3=a4+a6， 得q3=，从而q=. 又a1+a3=a1(1+q2)=10，所以a1=8， 从而S5==. (3)因为a2an-1=a1an=128， 所以a1，an是方程x2-66x+128=0的两个根. 从而或 又Sn==126，所以q=2或. 反思感悟　等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体. (3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 跟踪训练2　在等比数列{an}中. (1)若a1=，an=16，Sn=11，求n和q； (2)已知S4=1，S8=17，求an. 解　(1)由Sn=得，11=， ∴q=-2， 又由an=a1qn-1得，16=(-2)n-1，∴n=5. (2)若q=1，则S8=2S4，不符合题意，∴q≠1， ∴S4==1，S8==17， 两式相除得=17=1+q4，∴q=±2. 当q=2时，a1=； 当q=-2时，a1=-， ∴an=·2n-1或an=-·(-2)n-1. 三、利用等比数列前n项和公式判断等比数列 问题2　你能发现等比数列前n项和公式Sn=(q≠1)的函数特征吗？ 提示　Sn==-qn+，设A=-，则Sn=Aqn-A. 知识梳理 1.当公比q≠1时，设A=，等比数列的前n项和公式Sn=A(qn-1).即Sn是n的指数型函数. 2.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1，Sn是n的正比例函数. 注意点： 等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. 例3　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 解　当n≥2时，an=Sn-=(3n-2)-(-2)=2·. 当n=1时，a1=S1=31-2=1不适合上式. ∴an= 方法一　由于a1=1，a2=6，a3=18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 方法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B，对比可知Sn=3n-2，2≠1，故{an}不是等比数列. 延伸探究　 1.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n+1-2k，则实数k=　　　　.  答案　 解析　∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k，且{an}为等比数列，∴3-2k=0，即k=. 2.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=a·+5，则实数a=　　　　.  答案　- 解析　由Sn=a·+5，可得Sn=3a·+5，依题意有3a+5=0，故a=-. 反思感悟　(1)已知Sn，通过an= 求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an=Sn-. (2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式的推导. (2)等比数列前n项和公式的基本运算. (3)利用等比数列前n项和公式判断等比数列. 2.方法归纳：公式法、错位相减法. 3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错. 1.在数列{an}中，已知an+1=2an，且a1=1，则数列{an}的前5项的和等于(　　) A.-25 B.25 C.-31 D.31 答案　D 解析　因为an+1=2an，且a1=1， 所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列{an}的前5项的和为=31. 2.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　当x=1时，Sn=n； 当x≠1且x≠0时，Sn=. 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=p·3n-2，则p等于(　　) A.-3 B.3 C.-2 D.2 答案　D 解析　依题意q≠1，所以等比数列{an}的前n项和为Sn==-·qn+， 所以p+(-2)=0，解得p=2. 4.已知在等比数列{an}中，a3=，S3=，则a1=　　　　.  答案　或6 解析　方法一　当q=1时，a1=a2=a3=， 满足S3=. 当q≠1时，依题意，得 解得 综上可得a1=或a1=6. 方法二　依题意，得 所以a1+a2=3，所以==2， 解得q=1或q=-. 所以a1=或a1=6. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.在等比数列{an}中，a1=2，a2=1，则S100等于(　　) A.4-2100 B.4+2100 C.4-2-98 D.4-2-100 答案　C 解析　q==. S100== =4(1-2-100)=4-2-98. 2.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　Sn==. 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-，则x的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　C 解析　方法一　∵Sn=x·3n-1-=·3n-， 由Sn=A(qn-1)，得=， ∴x=，故选C. 方法二　当n=1时，a1=S1=x-； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2x·3n-2， ∵{an}是等比数列， ∴n=1时也应适合an=2x·3n-2， 即2x·3-1=x-，解得x=. 4.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a，则a3a5等于(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 答案　C 解析　等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a， n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1+a-(2n-2+a)， 化简得an=2n-2. 则a3a5=2×23=16. 5.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和等于(　　) A.或5 B.或5 C. D. 答案　C 解析　设数列{an}的公比为q，显然q≠1， 由已知得=， 解得q=2， ∴数列是以1为首项，为公比的等比数列， ∴前5项和为=. 6.(多选)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，Sn=a·bn+c，a，b，c∈R，则(　　) A.ac<0 B.b是数列{an}的公比 C.数列{Sn}可能为等比数列 D.数列{an}不可能为常数列 答案　ABD 解析　设等比数列{an}的公比为q，若q=1，则Sn=na1，此时Sn是关于n的一次函数，数列{an}为常数列，而Sn=a·bn+c不是关于n的一次函数，所以q≠1，数列{an}不可能为常数列，故D正确； 因为q≠1，所以Sn==-·qn+，又Sn=a·bn+c，所以 故B正确； ac=-·=-<0，故A正确； 因为c=≠0，a，b也均不为0，所以=不可能为常数，即数列{Sn}不可能为等比数列，故C错误. 7.(5分)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2=，a5+a6=12，则S4=　　　　.  答案　 解析　设等比数列{an}的公比为q， 方法一　由题意得解得 ∴S4==. 方法二　当q=1时，S2=2a1=， ∴a1=与a5+a6=12矛盾，不符合题意； 当q≠1时，S2==， 即a1(1+q)=， ① 又a5+a6=12，即a1q4+a1q5=12， ② 由①②可得 ∴S4==. 8.(5分)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn=93，an=48，公比q=2，则项数n=　　　　，a1=　　　　.  答案　5　3 解析　由Sn=93，an=48，公比q=2， 得解得 9.(10分)已知数列{an}是等比数列. (1)若a1=3，q=2，n=6，求Sn；(3分) (2)若a1=-2.7，q=-，an=，求Sn；(3分) (3)若a1=-1，a4=64，求q与S4.(4分) 解　(1)S6===189. (2)Sn===-. (3)由q3===-64， 得q=-4. ∴S4===51. 10.(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列. (1)求数列{an}的公比q；(6分) (2)若a1-a3=3，求Sn.(6分) 解　(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)， 由于a1≠0，故2q2+q=0. 又q≠0，从而q=-. (2)由已知可得a1-a1=3， 故a1=4. 从而Sn==. 11.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1=1，且对任意的n∈N+都有+an+1=2an，则S5等于(　　) A.12 B.20 C.11 D.21 答案　C 解析　+=2an等价于anq2+anq=2an. 因为an≠0，故q2+q-2=0，即(q+2)(q-1)=0. 因为q≠1，所以q=-2，故S5==11. 12.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N+，满足=9，=，则数列{an}的公比为(　　) A.-2 B.2 C.-3 D.3 答案　B 解析　设数列{an}的公比为q，若q=1，则=2，与题中条件矛盾，故q≠1. ∵==qm+1=9， ∴qm=8. ∵==qm=8=， ∴m=3，∴q3=8，∴q=2. 13.设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7，则f(n)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　易知1，3，5，7，…是首项为1，公差为2的等差数列， 设该数列为，则am=2m-1，设an=2n+7， 令2m-1=2n+7，∴m=n+4， ∴f(n)是以2为首项，22=4为公比的等比数列的前n+4项的和， ∴f(n)==. 14.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2Sn=an+1-1，则Sn=　　　　.  答案　 解析　当n=1时，则有2S1=a2-1， ∴a2=2S1+1=2a1+1=3； 当n≥2时，由2Sn=an+1-1得出2Sn-1=an-1， 上述两式相减得2an=an+1-an， ∴an+1=3an， 得=3且=3， ∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列， ∴Sn==. 15.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N+)均在直线y=x+上.若bn=，则数列{bn}的前n项和Tn=　　　　.  答案　 解析　依题意得=n+，即Sn=n2+n. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =-=2n-； 当n=1时，a1=S1=，符合an=2n-， 所以an=2n-(n∈N+)， 则bn==32n， 由==32=9， 可知{bn}为公比为9的等比数列，b1=32×1=9， 故Tn==. 16.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-a1，Sn，an+1成等差数列. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)设bn=1-Sn，问：是否存在a1，使数列为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由.(6分) 解　(1)依题意，得2Sn=an+1-a1.于是，当n≥2时，有 两式相减，得an+1=3an(n≥2). 又因为a2=2S1+a1=3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列. 因此，an=a1·3n-1(n∈N+). (2)因为Sn==a1·3n-a1， 所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n. 要使为等比数列，则1+a1=0，即a1=-2.所以存在a1=-2使得数列{bn}为等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 <<< 等比数列的前n项和 第1课时 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 3.掌握等比数列前n项和的函数特征. 学习目标 国际象棋起源于印度，据说国王为了奖赏发明者，让发明者提一个要求.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请国王能给我足够的麦子来实现上述要求.”国王觉得这事不难办到，就欣然同意了. 问题：每个格子里的麦粒数依次组成一个等比数列1，2，22，23，…，263，你能计算这64项的和吗？通过这节课的学习，你就能知道答案. 导 语 一、等比数列前n项和公式的推导 二、等比数列中与前n项和有关的基本运算 课时对点练 三、利用等比数列前n项和公式判断等比数列 随堂演练 内容索引 一 等比数列前n项和公式的推导 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 问题1 提示　思路一：因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an， 所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn， 即(1-q)Sn=a1(1-qn)，当q≠1时，有Sn=，而当q=1时，Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”. 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：==…==q， 根据等比数列的性质，有==q， =q⇒(1-q)Sn=a1-anq， 所以当q≠1时，Sn=，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an=a1qn-1相互转化. 思路三：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)， 所以有Sn=a1+qSn-1⇒Sn=a1+q(Sn-an)⇒(1-q)Sn=a1-anq， 所以当q≠1时，Sn=或Sn=，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，就能使问题得到解决. 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn， 则Sn= . ① 因为an=a1qn-1，所以q≠1时，等比数列前n项和的公式也可改写为 Sn=. ② 知识梳理 (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论. (2)①中的n表示的是所求数列的项数(例如1+2+22 +…+2n=). (3)②中的an在求和时，表示数列的最后一项(例如1+2+22 +…+2n=). 注 意 点 <<< 10 求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； 例 1 因为a1=，q=， 所以S8==. 11 (2)a1=27，a9=，q<0. 由a1=27，a9==27q8. 又q<0，所以q=-， 所以S8====. 12 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q=1是否成立. 反 思 感 悟 13 在等比数列{an}中， (1)a1=2，q=-，求S10； 跟踪训练 1 S10== =×=×=. 14 (2)q=，S100=150，求a2+a4+a6+…+a100的值. 15 方法一　S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100 =+a2+a4+…+a100 =3(a2+a4+…+a100)=150， ∴a2+a4+a6+…+a100=50. 16 方法二　S100==150， 整理得a1=75， 又a2+a4+…+a100= =a1=×75=50. 17 二 等比数列中与前n项和有关的基本运算 　在等比数列{an}中. (1)S2=30，S3=155，求Sn； 例 2 由题意知 解得 从而Sn=×5n+1-或Sn=. 19 (2)a1+a3=10，a4+a6=，求S5； 20 方法一　由题意知 解得从而S5==. 方法二　由(a1+a3)q3=a4+a6， 得q3=，从而q=. 又a1+a3=a1(1+q2)=10，所以a1=8， 从而S5==. 21 (3)a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求公比q. 因为a2an-1=a1an=128， 所以a1，an是方程x2-66x+128=0的两个根. 从而 又Sn==126，所以q=2或. 22 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体. (3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 反 思 感 悟 等比数列前n项和运算的技巧 23 在等比数列{an}中. (1)若a1=，an=16，Sn=11，求n和q； 跟踪训练 2 由Sn=得，11=， ∴q=-2， 又由an=a1qn-1得，16=(-2)n-1，∴n=5. 24 (2)已知S4=1，S8=17，求an. 若q=1，则S8=2S4，不符合题意，∴q≠1， ∴S4==1，S8==17， 两式相除得=17=1+q4，∴q=±2. 当q=2时，a1=； 当q=-2时，a1=-， ∴an=·2n-1或an=-·(-2)n-1. 25 三 利用等比数列前n项和公式判断等比数列 你能发现等比数列前n项和公式Sn=(q≠1)的函数特征吗？ 问题2 提示　Sn==-qn+，设A=-，则Sn=Aqn-A. 1.当公比q≠1时，设A=，等比数列的前n项和公式Sn= .即Sn是n的指数型函数. 2.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn= ，Sn是n的正比例函数. A(qn-1) na1 知识梳理 等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. 注 意 点 <<< 29 　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 例 3 30 当n≥2时，an=Sn-=(3n-2)-(-2)=2·. 当n=1时，a1=S1=31-2=1不适合上式. ∴an= 方法一　由于a1=1，a2=6，a3=18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 方法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B，对比可知Sn=3n-2，2≠1，故{an}不是等比数列. 31 1.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为 Sn=3n+1-2k，则实数k=　　. 延伸探究 ∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k，且{an}为等比数列，∴3-2k=0，即k=. 32 2.若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=a·+5，则 实数a=　　　.  由Sn=a·+5，可得Sn=3a·+5，依题意有3a+5=0，故a=-. 33 (1)已知Sn，通过an= 求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an=Sn-. (2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 反 思 感 悟 34 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式的推导. (2)等比数列前n项和公式的基本运算. (3)利用等比数列前n项和公式判断等比数列. 2.方法归纳：公式法、错位相减法. 3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在数列{an}中，已知an+1=2an，且a1=1，则数列{an}的前5项的和等于 A.-25 B.25 C.-31 D.31 √ 因为an+1=2an，且a1=1， 所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列{an}的前5项的和为=31. 1 2 3 4 2.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于 A. B. C. D. √ 当x=1时，Sn=n； 当x≠1且x≠0时，Sn=. 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=p·3n-2，则p等于 A.-3 B.3 C.-2 D.2 1 2 3 4 √ 依题意q≠1，所以等比数列{an}的前n项和为Sn==-·qn+， 所以p+(-2)=0，解得p=2. 1 2 3 4 4.已知在等比数列{an}中，a3=，S3=，则a1=　　　　. 1 2 3 4 方法一　当q=1时，a1=a2=a3=， 满足S3=. 当q≠1时，依题意，得 解得 综上可得a1=或a1=6. 1 2 3 4 方法二　依题意，得 所以a1+a2=3，所以==2， 解得q=1或q=-. 所以a1=或a1=6. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在等比数列{an}中，a1=2，a2=1，则S100等于 A.4-2100 B.4+2100 C.4-2-98 D.4-2-100 √ q==. S100===4(1-2-100)=4-2-98. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于 A. B. C. D. √ Sn==. 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-，则x的值为 A. B.- C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　∵Sn=x·3n-1-=·3n-， 由Sn=A(qn-1)，得=， ∴x=，故选C. 方法二　当n=1时，a1=S1=x-； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2x·3n-2， ∵{an}是等比数列， ∴n=1时也应适合an=2x·3n-2， 即2x·3-1=x-，解得x=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a，则a3a5等于 A.4 B.8 C.16 D.32 √ 等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a， n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1+a-(2n-2+a)， 化简得an=2n-2. 则a3a5=2×23=16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和等于 A.或5 B.或5 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q，显然q≠1， 由已知得=， 解得q=2， ∴数列是以1为首项，为公比的等比数列， ∴前5项和为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，Sn=a·bn+c，a，b，c∈R，则 A.ac<0 B.b是数列{an}的公比 C.数列{Sn}可能为等比数列 D.数列{an}不可能为常数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q，若q=1，则Sn=na1，此时Sn是关于n的一次函数，数列{an}为常数列，而Sn=a·bn+c不是关于n的一次函数，所以q≠1，数列{an}不可能为常数列，故D正确； 因为q≠1，所以Sn==-·qn+，又Sn=a·bn+c，所以 故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ac=-·=-<0，故A正确； 因为c=≠0，a，b也均不为0，所以=不可能为常数，即数列{Sn}不可能为等比数列，故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2=，a5+a6=12，则 S4=　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q， 方法一　由题意得 ∴S4==. 方法二　当q=1时，S2=2a1=， ∴a1=与a5+a6=12矛盾，不符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当q≠1时，S2==， 即a1(1+q)=， ① 又a5+a6=12，即a1q4+a1q5=12， ② 由①②可得 ∴S4==. 8.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn=93，an=48，公比q=2，则项数n=　　，a1=　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由Sn=93，an=48，公比q=2， 得 5 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知数列{an}是等比数列. (1)若a1=3，q=2，n=6，求Sn； S6===189. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a1=-2.7，q=-，an=，求Sn； Sn===-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若a1=-1，a4=64，求q与S4. 由q3===-64， 得q=-4. ∴S4===51. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列. (1)求数列{an}的公比q； 依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)， 由于a1≠0，故2q2+q=0. 又q≠0，从而q=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a1-a3=3，求Sn. 由已知可得a1-a1=3， 故a1=4. 从而Sn==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1=1，且对任意的n∈N+都有+an+1=2an，则S5等于 A.12　　　B.20　　　C.11　　　D.21 √ 综合运用 +=2an等价于anq2+anq=2an. 因为an≠0，故q2+q-2=0，即(q+2)(q-1)=0. 因为q≠1，所以q=-2，故S5==11. 12.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N+，满足=9，=，则数列{an}的公比为 A.-2 B.2 C.-3 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q，若q=1，则=2，与题中条件矛盾，故q≠1. ∵==qm+1=9， ∴qm=8. ∵==qm=8=， ∴m=3，∴q3=8，∴q=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7，则f(n)等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知1，3，5，7，…是首项为1，公差为2的等差数列， 设该数列为，则am=2m-1，设an=2n+7， 令2m-1=2n+7，∴m=n+4， ∴f(n)是以2为首项，22=4为公比的等比数列的前n+4项的和， ∴f(n)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2Sn=an+1-1，则Sn=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=1时，则有2S1=a2-1， ∴a2=2S1+1=2a1+1=3； 当n≥2时，由2Sn=an+1-1得出2Sn-1=an-1， 上述两式相减得2an=an+1-an， ∴an+1=3an， 得=3且=3， ∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列， ∴Sn==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N+)均在直线y=x+上.若bn=，则数列{bn}的前n项和Tn=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得=n+，即Sn=n2+n. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =-=2n-； 当n=1时，a1=S1=，符合an=2n-， 所以an=2n-(n∈N+)， 则bn==32n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由==32=9， 可知{bn}为公比为9的等比数列，b1=32×1=9， 故Tn==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-a1，Sn，an+1成等差数列. (1)求{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，得2Sn=an+1-a1.于是，当n≥2时，有 两式相减，得an+1=3an(n≥2). 又因为a2=2S1+a1=3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列. 因此，an=a1·3n-1(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设bn=1-Sn，问：是否存在a1，使数列为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由. 因为Sn==a1·3n-a1， 所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n. 要使为等比数列，则1+a1=0，即a1=-2.所以存在a1=-2使得数列{bn}为等比数列. 第五章 <<< $$