第5章 5.3.1 第3课时 等比数列的性质-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第3课时　等比数列的性质 ［学习目标］　1.理解等比中项的概念.2.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.3.能运用等比数列的性质简化计算. 导语　 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质. 一、等比中项的定义 问题　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示　不能成立，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设-1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有=，即x2=-1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2；或-1，x，-4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数. 知识梳理 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项.即G2=xy. 注意点： (1)若G2=ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. (4)如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列. 例1　(1)-2和+2的等差中项与等比中项分别为(　　) A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± 答案　C 解析　-2和+2的等差中项为 =， -2和+2的等比中项为 ±=±1. (2)如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么b=　　　，ac=　　　　　 .  答案　-3　9 解析　因为b是-1，-9的等比中项， 所以b2=9，b=±3. 又等比数列中奇数项符号相同，得b<0，故b=-3， 而b又是a，c的等比中项， 故b2=ac，即ac=9. 反思感悟　(1)由等比中项的定义可知=⇒G2=ab⇒G=±，所以只有当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项. (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. 跟踪训练1　若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　) A.± B. C.1 D.±1 答案　D 解析　因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列， 所以a==2，b=±=±2， 所以的值为±1. 二、等比数列的性质 知识梳理　 设数列{an}为等比数列，则 (1)若s+t=p+q(s，t，p，q∈N+)，则asat=apaq. (2)若p，s，q成等差数列，则ap，as，aq成等比数列. 注意点： (1)性质的推广：若m+n+p=x+y+z，有amanap=axayaz.该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (2)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an=a2·an-1=…. (3)等比数列的常见性质还有： ①在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N+)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列，且公比为qk+1. ②若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，{|an|}，{}都是等比数列，且公比分别是q，，|q|，q2. ③若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. ④若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{lg an}是公差为lg q的等差数列；若数列{bn}是等差数列，公差为d，则数列{}是以cd(c>0且c≠1)为公比的等比数列. 例2　已知{an}为等比数列. (1)若a2a4=，求a1a5； (2)若an>0，a5a7+2a6a8+a6a10=49，求a6+a8； (3)若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解　(1)在等比数列{an}中， ∵a2a4=，∴=a1a5=a2a4=， ∴a1a5=. (2)由等比中项，化简条件得+2a6a8+=49， 即(a6+a8)2=49，∵an>0，∴a6+a8=7. (3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9， ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10) =log3［(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)］ =log395=10. 反思感悟　利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，需要一定的思维能力. 跟踪训练2　(1)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2-13x+9=0的两根，则的值为(　　) A. B.3 C.± D.±3 答案　B 解析　因为a1，a13是方程x2-13x+9=0的两根， 所以a1a13=9，a1+a13=13， 所以a1>0，a13>0， 又{an}为等比数列， 则a7=a1q6>0， 又a1a13=a2a12==9， 所以a7=3或a7=-3(舍去)， 所以=a7=3. (2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=　　　　.  答案　5 解析　方法一　因为{an}是等比数列， 所以a1a7=，a2a8=，a3a9=. 所以··=(a1a7)·(a2a8)·(a3a9) =(a1a2a3)·(a7a8a9)=5×10=50. 因为an>0， 所以a4a5a6=5. 方法二　因为a1a2a3=(a1a3)a2=·a2==5， 所以a2=. 因为a7a8a9=(a7a9)a8==10， 所以a8=1. 同理a4a5a6==(=(a2a8==5=5. 三、等比数列的应用 例3　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱(保留两位有效数字)？ 解　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1=13.5，a2=13.5×(1-10%)， a3=13.5×(1-10%)2，…， an=13.5×(1-10%)n-1. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1=13.5，公比q=1-10%=0.9， ∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1. ∴n年后车的价值为an+1=13.5×0.9n(万元). (2)由(1)得a5=13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 反思感悟　等比数列实际应用的求解策略 (1)一般地，产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解. (2)建立等比数列模型进行运算时，往往涉及指数、对数方程或不等式的问题，要注意运算的正确性，还要善于进行估算，对于近似计算问题，答案要符合实际问题的需要. 跟踪训练3　我国古代春节期间，“剪窗花，贴对联”是几乎每家每户都会进行的迎新活动，而窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.如图是一幅宁波北仑新碶民间的剪纸作品.北仑一位艺术家把一张厚度(单位：cm)为0.012 5的纸对折了三次，开始了该作品的创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度(单位：mm)是　　　　.  答案　1 mm 解析　由题设，对折了三次后，半成品厚度为0.012 5×23=0.1(cm)，即1 mm. 1.知识清单： (1)等比中项的概念. (2)等比数列的常用性质. (3)等比数列的实际应用. 2.方法归纳：方程和函数思想. 3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错. 1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A.{an+bn}，{anbn}都一定是等比数列 B.{an+bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C.{an+bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D.{an+bn}，{anbn}都不一定是等比数列 答案　C 解析　当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列. 2.在等比数列{an}中，a2a3a4=1，a6a7a8=64，则a5等于(　　) A.2 B.-2 C.±2 D.4 答案　A 解析　由等比数列的性质可得，a2a3a4==1， a6a7a8==64， ∴a3=1，a7=4， ∴=a3a7=4， 易知a5与a3和a7同号， ∴a5=2. 3.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于(　　) A.2 024 B.1 012 C.2 048 D.4 096 答案　C 解析　依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an=2×()n-1，所以第10个正方形的面积S==［2×()9］2=4×29=2 048. 4.正项等比数列{an}中，a2a4=10，则a1a5=　　　　，lg a1+lg a2+lg a3+lg a4+lg a5=　　　　.  答案　10　 解析　正项等比数列{an}中，a2a4=10， 则a1a5=a2a4=10=. 解得a3=. lg a1+lg a2+lg a3+lg a4+lg a5 =lg(a1a2…a5)=lg =. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知等比数列{an}中，a1=1，a3=，则a5等于(　　) A.± B.- C. D.± 答案　C 解析　根据等比数列的性质可知a1a5=⇒a5==. 2.(多选)已知a是1，2的等差中项，b是-1，-16的等比中项，则ab等于(　　) A.6 B.-6 C.-12 D.12 答案　AB 解析　∵a==，b2=(-1)×(-16)=16，b=±4，∴ab=±6. 3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　) A.2 B. C.3 D. 答案　D 解析　方法一　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9， 可知解得a1q=，q3=，所以第5节的容积为a1q4=a1q·q3=·=. 方法二　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3=3，a7a8a9=9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9=(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)==27.所以a5=. 4.已知数列{an}满足a1=5，anan+1=2n，则等于(　　) A.4 B.2 C.5 D. 答案　A 解析　因为anan+1=2n，所以an-1an=2n-1(n≥2)，所以=2(n≥2)， 数列{an}的奇数项组成等比数列，故=22=4. 5.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2+6x+4=0的两根，则a4a16+a10等于(　　) A.6 B.2 C.2或6 D.-2 答案　B 解析　由题意知a2+a18=-6，a2·a18=4，所以a2<0，a18<0，故a10<0，所以a10=-=-2，因此a4·a16+a10=+a10=2. 6.(多选)对任意的等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A.a1，a3，a9成等比数列 B.a1a3，a5a7，a9a11成等比数列 C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列 答案　BD 解析　设等比数列{an}的公比为q， 则下标成等差数列对应的项成等比数列， 故A，C错误，D正确； 而a1a3=，a5a7=，a9a11=， 且==q8，故B正确. 7.(5分)已知数列{an}为等比数列，且a3+a5=π，则a4(a2+2a4+a6)=　　　　.  答案　π2 解析　因为数列{an}为等比数列， 且a3+a5=π， 所以a4(a2+2a4+a6)=a4a2+2+a4a6 =+2a3a5+=(a3+a5)2=π2. 8.(5分)若正项等比数列{an}满足a1a5=4，当+取最小值时，数列{an}的公比是　　　　.  答案　2 解析　设正项等比数列{an}的公比为q， 因为a1a5=4，所以由等比数列的性质可得a2a4=4， 因此+≥2=2， 当且仅当=，即=q2=4，即q=2(负值舍去)时，等号成立.所以数列{an}的公比是2. 9.(10分)已知等比数列{an}的首项a1=16，公比q=，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式；(5分) (2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn，试问：Tn是否有最大值？如果有，请求出此时n的值以及最大值；若没有，请说明理由.(5分) 解　(1)由已知得，数列{bn}的首项b1=16，b5=a2=16×=1， 设数列{bn}的公比为q1(q1>0)， 即===， ∴q1=， 即bn=b1=16×=25-n. (2)Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·22·…·25-n =24+3+2+…+(5-n) == =， 即当n=4或n=5时， Tn有最大值=210=1 024. 10.(10分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2016年底，将当地沙漠绿化了40%.从2017年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠.问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(参考数据：lg 2≈0.3，最后结果精确到整数) 解　设该地区总面积为1，2016年底绿洲面积为a1=40%=，经过n年后绿洲面积为an+1，设2016年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn+1，则a1+b1=1，an+bn=1. 依题意知，an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，所以an+1=92%·an+12%·(1-an)=an+， 即an+1-=，a1-=-=-， ∴是以-为首项，为公比的等比数列， ∴an-=·， ∴an=-·， ∴an+1=-·. ∵an+1>50%， ∴-·>， ∴<， 即n>lo=≈3， 则当n≥4时，不等式<恒成立， ∴至少需要4年才能使绿洲面积超过50%. 11.设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8=3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于(　　) A.38 B.39 C.9 D.7 答案　C 解析　因为a4a8=a5a7=3a7且a7≠0， 所以a5=3， 所以log3(a1a2·…·a9)=log3=log339=9. 12.(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是(　　) A.{}是等比数列 B.{anan+1}是等比数列 C.{an+an+1}是等比数列 D.{lg|an|}是等比数列 答案　AB 解析　由{an}是等比数列可得=q(q为定值，n>1).A中，=为常数，{}是等比数列，故A正确； B中，==q2，{anan+1}是等比数列，故B正确； C中，取等比数列an=(-1)n，则an+an+1=0，所以{an+an+1}不是等比数列，故C错误； D中，若an=1，则{lg|an|}不是等比数列，故D错误. 13.(5分)在等比数列{an}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=-，则+++=　　　　.  答案　- 解析　因为+=，+=， 又a8a9=a7a10，所以+++===-. 14.(5分)在等比数列{an}中，若a7=-2，则此数列的前13项之积等于　　　　.  答案　-213 解析　由于{an}是等比数列， ∴a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=， ∴a1a2a3…a13=()6·a7=， 而a7=-2. ∴a1a2a3…a13=(-2)13=-213. 15.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 024积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为(　　) A.1 011 B.1 012 C.1 013 D.2 024 答案　B 解析　设数列{an}的公比为q. 由题意可得a2 024=a1·a2·a3·…·a2 024， ∴a1·a2·a3·…·a2 023=1， ∴a1·a2 023=a2·a2 022=a3·a2 021=…==1. 又a1>1， ∴0<q<1，数列{an}为递减等比数列， a1 011>1，a1 012=1，a1 013<1， 则当其前n项的乘积取最大值时， n的最大值为1 012. 16.(12分)已知{an}是等差数列，满足a1=2，a4=14，数列{bn}满足b1=1，b4=6，且{an-bn}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(6分) (2)若对任意n∈N+，都有bn≤bk成立，求正整数k的值.(6分) 解　(1)设{an}的公差为d， 则d==4， 所以an=2+(n-1)×4=4n-2， 故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N+). 设cn=an-bn，则{cn}为等比数列. c1=a1-b1=2-1=1， c4=a4-b4=14-6=8， 设{cn}的公比为q，则q3==8，故q=2. 则cn=2n-1，即an-bn=2n-1. 所以bn=4n-2-2n-1(n∈N+). 故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N+). (2)由题意得，bk应为数列{bn}的最大项. 由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(n∈N+). 当n<3时，bn+1-bn>0，bn<bn+1，即b1<b2<b3； 当n=3时，bn+1-bn=0，即b3=b4； 当n>3时，bn+1-bn<0，bn>bn+1，即b4>b5>b6， 所以k=3或k=4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 <<< 等比数列的性质 第3课时 1.理解等比中项的概念. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质. 3.能运用等比数列的性质简化计算. 学习目标 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质. 导 语 一、等比中项的定义 二、等比数列的性质 课时对点练 三、等比数列的应用 随堂演练 内容索引 一 等比中项的定义 我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 问题 提示　不能成立，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设-1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有=，即x2=-1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2；或-1，x，-4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数. 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的 .即G2= . 等比中项 xy 知识梳理 (1)若G2=ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. (4)如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列. 注 意 点 <<< 8 (1)-2和+2的等差中项与等比中项分别为 A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± 例 1 √ -2和+2的等差中项为 =， -2和+2的等比中项为 ±=±1. 9 (2)如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么b=　　，ac=　　 .  因为b是-1，-9的等比中项， 所以b2=9，b=±3. 又等比数列中奇数项符号相同，得b<0，故b=-3， 而b又是a，c的等比中项， 故b2=ac，即ac=9. -3 9 10 (1)由等比中项的定义可知=⇒G2=ab⇒G=±，所以只有当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项. (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. 反 思 感 悟 11 若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为 A.± B. C.1 D.±1 √ 因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列， 所以a==2，b=±=±2， 所以的值为±1. 跟踪训练 1 12 二 等比数列的性质 设数列{an}为等比数列，则 (1)若s+t=p+q(s，t，p，q∈N+)，则 . (2)若p，s，q成等差数列，则 成等比数列. asat=apaq ap，as，aq 知识梳理 (1)性质的推广：若m+n+p=x+y+z，有amanap=axayaz.该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (2)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an=a2·an-1=…. (3)等比数列的常见性质还有： ①在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N+)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列，且公比为qk+1. 注 意 点 <<< 15 ②若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，{|an|}，{}都是等比数列，且公比分别是q，，|q|，q2. ③若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. ④若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{lg an}是公差为lg q的等差数列；若数列{bn}是等差数列，公差为d，则数列{}是以cd(c>0且c≠1)为公比的等比数列. 注 意 点 <<< 16 　已知{an}为等比数列. (1)若a2a4=，求a1a5； 例 2 在等比数列{an}中， ∵a2a4=，∴=a1a5=a2a4=， ∴a1a5=. 17 (2)若an>0，a5a7+2a6a8+a6a10=49，求a6+a8； 由等比中项，化简条件得+2a6a8+=49， 即(a6+a8)2=49，∵an>0，∴a6+a8=7. 18 (3)若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9， ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10) =log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] =log395=10. 19 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，需要一定的思维能力. 反 思 感 悟 利用等比数列的性质解题 20 (1)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2-13x+9=0的两根，则的值为 A. B.3 C.± D.±3 跟踪训练 2 √ 21 因为a1，a13是方程x2-13x+9=0的两根， 所以a1a13=9，a1+a13=13， 所以a1>0，a13>0， 又{an}为等比数列， 则a7=a1q6>0， 又a1a13=a2a12==9， 所以a7=3或a7=-3(舍去)， 所以=a7=3. 22 (2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=　　　.  5 23 方法一　因为{an}是等比数列， 所以a1a7=，a2a8=，a3a9=. 所以··=(a1a7)·(a2a8)·(a3a9) =(a1a2a3)·(a7a8a9)=5×10=50. 因为an>0， 所以a4a5a6=5. 24 方法二　因为a1a2a3=(a1a3)a2=·a2==5， 所以a2=. 因为a7a8a9=(a7a9)a8==10， 所以a8=1. 同理a4a5a6==(=(a2a8==5=5. 25 等比数列的应用 三 　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值； 例 3 27 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1=13.5，a2=13.5×(1-10%)， a3=13.5×(1-10%)2，…， an=13.5×(1-10%)n-1. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1=13.5，公比q=1-10%=0.9， ∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1. ∴n年后车的价值为an+1=13.5×0.9n(万元). 28 (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱(保留两位有效数字)？ 由(1)得a5=13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 29 (1)一般地，产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解. (2)建立等比数列模型进行运算时，往往涉及指数、对数方程或不等式的问题，要注意运算的正确性，还要善于进行估算，对于近似计算问题，答案要符合实际问题的需要. 反 思 感 悟 等比数列实际应用的求解策略 30 我国古代春节期间，“剪窗花，贴对联”是几乎每家每户都会进行的迎新活动，而窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.如图是一幅宁波北仑新碶民间的剪纸作品.北仑一位艺术家把一张 跟踪训练 3 厚度(单位：cm)为0.012 5的纸对折了三次，开始了该作品的创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度(单位：mm)是　　　　. 1 mm 由题设，对折了三次后，半成品厚度为0.012 5×23=0.1(cm)，即1 mm. 31 1.知识清单： (1)等比中项的概念. (2)等比数列的常用性质. (3)等比数列的实际应用. 2.方法归纳：方程和函数思想. 3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么 A.{an+bn}，{anbn}都一定是等比数列 B.{an+bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C.{an+bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D.{an+bn}，{anbn}都不一定是等比数列 √ 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列. 1 2 3 4 2.在等比数列{an}中，a2a3a4=1，a6a7a8=64，则a5等于 A.2　　　　B.-2　　　　C.±2　　　　D.4 √ 由等比数列的性质可得，a2a3a4==1， a6a7a8==64， ∴a3=1，a7=4， ∴=a3a7=4， 易知a5与a3和a7同号， ∴a5=2. 3.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 A.2 024 B.1 012 C.2 048 D.4 096 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an=2×()n-1，所以第10个正方形的面积S==[2×　()9]2=4×29=2 048. 1 2 3 4 4.正项等比数列{an}中，a2a4=10，则a1a5=　　，lg a1+lg a2+lg a3+lg a4+lg a5=　 .  10 正项等比数列{an}中，a2a4=10， 则a1a5=a2a4=10=. 解得a3=. lg a1+lg a2+lg a3+lg a4+lg a5 =lg(a1a2…a5)=lg =. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知等比数列{an}中，a1=1，a3=，则a5等于 A.± B.- C. D.± √ 根据等比数列的性质可知a1a5=⇒a5==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)已知a是1，2的等差中项，b是-1，-16的等比中项，则ab等于 A.6 B.-6 C.-12 D.12 √ ∵a==，b2=(-1)×(-16)=16，b=±4，∴ab=±6. √ 3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为 A.2 B. C.3 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9， 可知解得a1q=，q3=，所以第5节的容积 为a1q4=a1q·q3=·=. 方法二　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3=3，a7a8a9=9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9=(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)= =27.所以a5=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}满足a1=5，anan+1=2n，则等于 A.4 B.2 C.5 D. √ 因为anan+1=2n，所以an-1an=2n-1(n≥2)，所以=2(n≥2)， 数列{an}的奇数项组成等比数列，故=22=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2+6x+4=0的两根，则a4a16+a10等于 A.6 B.2 C.2或6 D.-2 √ 由题意知a2+a18=-6，a2·a18=4，所以a2<0，a18<0，故a10<0，所以a10= -=-2，因此a4·a16+a10=+a10=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)对任意的等比数列{an}，下列说法一定正确的是 A.a1，a3，a9成等比数列 B.a1a3，a5a7，a9a11成等比数列 C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q， 则下标成等差数列对应的项成等比数列， 故A，C错误，D正确； 而a1a3=，a5a7=，a9a11=， 且==q8，故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知数列{an}为等比数列，且a3+a5=π，则a4(a2+2a4+a6)=　　.  π2 因为数列{an}为等比数列， 且a3+a5=π， 所以a4(a2+2a4+a6)=a4a2+2+a4a6 =+2a3a5+=(a3+a5)2=π2. 8.若正项等比数列{an}满足a1a5=4，当+取最小值时，数列{an}的公比是　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正项等比数列{an}的公比为q， 因为a1a5=4，所以由等比数列的性质可得a2a4=4， 因此+≥2=2， 当且仅当==q2=4，即q=2(负值舍去)时，等号成立.所以数列{an}的公比是2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知等比数列{an}的首项a1=16，公比q=，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得，数列{bn}的首项b1=16，b5=a2=16×=1， 设数列{bn}的公比为q1(q1>0)， 即===， ∴q1=， 即bn=b1=16×=25-n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn，试问：Tn是否有最大值？如果有，请求出此时n的值以及最大值；若没有，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·22·…·25-n =24+3+2+…+(5-n) == =， 即当n=4或n=5时， Tn有最大值=210=1 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2016年底，将当地沙漠绿化了40%.从2017年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠.问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(参考数据：lg 2≈0.3，最后结果精确到整数) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该地区总面积为1，2016年底绿洲面积为a1=40%=，经过n年后绿洲面积为an+1，设2016年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn+1，则a1+b1=1，an+bn=1. 依题意知，an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，所以an+1=92%·an+12%·(1-an)=an+， 即an+1-=，a1-=-=-， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴是以-为公比的等比数列， ∴an-=·， ∴an=-·， ∴an+1=-·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an+1>50%， ∴-·>， ∴<， 即n>lo=≈3， 则当n≥4时，不等式<恒成立， ∴至少需要4年才能使绿洲面积超过50%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8=3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于 A.38 B.39 C.9 D.7 √ 综合运用 因为a4a8=a5a7=3a7且a7≠0， 所以a5=3， 所以log3(a1a2·…·a9)=log3=log339=9. 12.(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是 A.{}是等比数列 B.{anan+1}是等比数列 C.{an+an+1}是等比数列 D.{lg|an|}是等比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由{an}是等比数列可得=q(q为定值，n>1).A中，=}是等比数列，故A正确； B中，==q2，{anan+1}是等比数列，故B正确； C中，取等比数列an=(-1)n，则an+an+1=0，所以{an+an+1}不是等比数列，故C错误； D中，若an=1，则{lg|an|}不是等比数列，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在等比数列{an}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=-，则+++=　 . - 因为+=+=， 又a8a9=a7a10，所以+++===-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在等比数列{an}中，若a7=-2，则此数列的前13项之积等于　　　. -213 由于{an}是等比数列， ∴a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=， ∴a1a2a3…a13=()6·a7=， 而a7=-2. ∴a1a2a3…a13=(-2)13=-213. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 024积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为 A.1 011 B.1 012 C.1 013 D.2 024 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q. 由题意可得a2 024=a1·a2·a3·…·a2 024， ∴a1·a2·a3·…·a2 023=1， ∴a1·a2 023=a2·a2 022=a3·a2 021=…==1. 又a1>1， ∴0<q<1，数列{an}为递减等比数列， a1 011>1，a1 012=1，a1 013<1， 则当其前n项的乘积取最大值时， n的最大值为1 012. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知{an}是等差数列，满足a1=2，a4=14，数列{bn}满足b1=1，b4=6，且{an-bn}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{an}的公差为d， 则d==4， 所以an=2+(n-1)×4=4n-2， 故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N+). 设cn=an-bn，则{cn}为等比数列. c1=a1-b1=2-1=1， c4=a4-b4=14-6=8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{cn}的公比为q，则q3==8，故q=2. 则cn=2n-1，即an-bn=2n-1. 所以bn=4n-2-2n-1(n∈N+). 故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，bk应为数列{bn}的最大项. 由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(n∈N+). 当n<3时，bn+1-bn>0，bn<bn+1，即b1<b2<b3； 当n=3时，bn+1-bn=0，即b3=b4； 当n>3时，bn+1-bn<0，bn>bn+1，即b4>b5>b6， 所以k=3或k=4. (2)若对任意n∈N+，都有bn≤bk成立，求正整数k的值. 第五章 <<< $$