第5章 5.3.1 第2课时 等比数列的判定与简单应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第五章 <<< 等比数列的判定与简单应用 第2课时 1.了解等比数列的通项公式与函数的关系. 2.掌握等比数列的判定与证明方法. 3.掌握等比数列中的项的设法. 学习目标 前面我们学习了等差数列，判断一个数列是否为等差数列，有哪些方法呢？今天研究等比数列的判定，是否与等差数列的判定有类似方法呢？ 导 语 一、等比数列的通项公式与函数的关系 二、等比数列的判定与证明 课时对点练 三、等比数列中的项的设法 随堂演练 内容索引 等比数列的通项公式与函数的关系 一 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 问题1 提示　由an=a1qn-1=·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值，即an=f(n). 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值，即 . (2)任意指数型函数f(x)=kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)=ka，f(2)=ka2，…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为 ，公比为 . an=f(n) ka a 知识梳理 已知数列{an}是等比数列，且公比q大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 例 1 √ 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立； 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 8 1.若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 延伸探究 √ 若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之，例如数列，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 9 2.设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 10 设等比数列{an}的公比为q，则a1<a2，可得a1(q-1)>0， 解得 此时数列{an}不一定是递增数列； 若数列{an}为递增数列， 可得此时a1<a2成立， 所以“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 11 (1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列. (2)当a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列. (3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列. (4)当a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列. (5)当q=1时，数列{an}为常数列. (6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同. 反 思 感 悟 判断等比数列的单调性的方法 12 二 等比数列的判定与证明 若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？ 问题2 提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性. 　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(an-1)(n∈N+). (1)求a1，a2； 例 2 由S1=(a1-1)，得a1=(a1-1)， ∴a1=-. 又S2=(a2-1)，即a1+a2=(a2-1)， 解得a2=. 15 (2)求证：数列{an}是等比数列. 当n≥2时， an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)， 得=-.又a1=-，a2==-， 所以{an}是首项为-，公比为-的等比数列. 16 (1)定义法：若=q(q为非零常数，n∈N+)或=q(q为非零常数且n≥2，n∈N+)，则{an}是等比数列. (2)通项公式法：若数列的通项公式可写成an=c·qn-1(c，q均是不为0的常数，n∈N+)，则{an}是等比数列. 反 思 感 悟 判断一个数列是否为等比数列的常用方法 17 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=Sn(n=1，2，3，…).证明：数列是等比数列. 跟踪训练 1 18 由a1=1，an+1=Sn， 得an>0，Sn>0. 由an+1=Sn，an+1=Sn+1-Sn， 得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)， 整理得nSn+1=2(n+1)Sn， 所以=2·， 19 则=2. 因为==1， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 20 等比数列中的项的设法 三 　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 例 3 22 方法一　设这四个数依次为a-d，a，a+d，， 由条件得 所以当a=4，d=4时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a=9，d=-6时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 23 方法二　设这四个数依次为-a，，a，aq(q≠0)， 由条件得 当a=8，q=2时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a=3，q=时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 24 (1)三个数成等比数列设为，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为 …，，，a，aq，aq2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为 ，，aq，aq3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为 …，，，，aq，aq3，aq5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 反 思 感 悟 几个数成等比数列的设法 25 一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有 A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 跟踪训练 2 √ 26 设数列为{an}，其通项公式为an=a1qn-1， 则前三项分别为a1，a1q，a1q2， 后三项分别为a1qn-3，a1qn-2，a1qn-1. 由题意得q3=2，q3n-6=4， 两式相乘得q3(n-1)=8， 即qn-1=2. 又a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64， ∴=64， 即(qn-1)n=642， ∴2n=642=212，解得n=12. 27 1.知识清单： (1)等比数列与函数的关系. (2)等比数列的判定与证明. (3)等比数列中的项的设法. 2.方法归纳：定义法、分类讨论. 3.常见误区：四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在数列{an}中，如果an=32-n(n=1，2，3，…)，那么这个数列是 A.公比为2的等比数列 B.公差为3的等差数列 C.首项为3的等比数列 D.首项为3的等差数列 √ 因为an=32-n(n=1，2，3，…)，所以a1=3，a2=1，an-1=33-n==，所以{an}为等比数列，且公比q=，首项a1=3. 1 2 3 4 2.等比数列{an}的公比q=-，a1=，则数列{an}是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ 由公比q<0可知，该等比数列是摆动数列. 3.(多选)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+1(n∈N+)，则下列说法正确的是 A.a5=-16 B.S5=-63 C.数列{an}是等比数列 D.数列{Sn+1}是等比数列 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+1(n∈N+)， 所以当n=1时，a1=S1=2a1+1，因此a1=-1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，所以数列{an}是以-1为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 因此a5=-1×24=-16，故A正确； S5=2a5+1=2×(-16)+1=-31， 故B错误； 因为S1+1=0，所以数列{Sn+1}不是等比数列，故D错误. 1 2 3 4 4.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是　　.  45 1 2 3 4 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a-1，aq-1，aq2-4，aq3-13成等差数列. 即 整理得 解得a=3，q=2. 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若q<0，则等比数列{an}为摆动数列，由于等比数列{an}为递减数列，则q>0. 若a1>0，则an=a1qn-1>0，由an+1<an， 所以q<1； 所以a1>0，等比数列{an}为递减数列⇔0<q<1， 所以若a1>0，“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.等比数列{an}中，公比为q，则下列结论正确的是 A.当q>1时，{an}为递增数列 B.当0<q<1时，{an}为递增数列 C.当n∈N+时，anan+2>0成立 D.当n∈N+时，anan+2an+4>0成立 √ 等比数列的单调性由a1，q共同决定，易知A，B不正确； 不论q>0或q<0，an，an+2，an+4同号，故anan+2>0成立，C正确，D不一定成立. 3.在数列{an}中，对任意的n∈N+，都有an+1+2an=0(an≠0)，则等于 A.-2 B.2 C.4 D.-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an+1+2an=0知an+1=-2an，故{an}是以-2为公比的等比数列， 所以===q2=4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知是等差数列，且公差d≠0，若a=，b=，c=，则a，b，c A.是等比数列，非等差数列 B.是等差数列，非等比数列 C.既非等比数列，又非等差数列 D.既是等差数列，又是等比数列 √ 由是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若正项数列{an}满足a1=2，-3an+1an-4=0，则数列{an}的通项公式an等于 A.22n-1 B.2n C.22n+1 D.22n-3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由-3an+1an-4=0， 得(an+1-4an)·(an+1+an)=0. 又{an}是正项数列， 所以an+1-4an=0，=4. 由等比数列的定义知，数列{an}是以2为首项， 4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式， 得an=2×4n-1=22n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是 A.0<q<1 B.a7>1 C.a8>1 D.Tn的最大项为T7 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a1>1，a7·a8>1，<0， ∴a7>1，0<a8<1，0<q<1， ∴A正确； B正确； C错误； T7是数列中的最大项，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在数列{an}中，a1=2，an+1=3an，则an=　　　　.  2×3n-1 因为an+1=3an且a1=2，所以=3，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列， 所以an=2×3n-1. 8.在《九章算术》中，“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮食98斤， 甲、乙、丙按顺序衰分，乙分得28斤，则衰分比例为　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28，28q斤， ∴+28+28q=98，∴q=2或. 又0<q<1，∴q=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设这三个数依次为，a，aq， ∵·a·aq=512，∴a=8. ∵+(aq-2)=2a， ∴2q2-5q+2=0，∴q=2或q=， 当a=8，q=2时，这三个数为4，8，16；当a=8，q=时，这三个数为16，8，4. 综上，这三个数为4，8，16或16，8，4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.数列{an}满足a1=-1，且an=3an-1-2n+3(n=2，3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an-n}是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2=3a1-2×2+3=-4， a3=3a2-2×3+3=-15. 下面证明{an-n}是等比数列： = ==3(n=1，2，3，…). 又a1-1=-2， ∴{an-n}是以-2为首项，以3为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求an. 由(1)知an-n=-2·3n-1，∴an=n-2·3n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{-54，-24，-18，36，81}中，则q等于 A.-　　B.　　C.-　　D. √ 综合运用 ∵{an}中的项必然有正有负， ∴q<0.又|q|>1，∴q<-1. 由此可得{an}的连续四项为-24，36，-54，81. ∴q=-. 12.(多选)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q可能的一个值是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可设三角形的三边分别为，a，aq(aq≠0).因为三角形的两边之和大于第三边， 所以①当q>1时，+a>aq，即q2-q-1<0， 解得1<q<；②当0<q<1时，a+aq>， 即q2+q-1>0， 解得<q<1. 综上，q的取值范围是∪，结合选项，q可能的值是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在数列{an}中，a1=，am+n=aman，则a6等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于∀m，n∈N+，有am+n=aman，且a1=， 令m=1，则an+1=a1an=an，即数列{an}是首项为的等比数列， 所以an=a1qn-1=×=， 故a6==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉，他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数f(x)=[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，比如[π]=3.根据以上定义，当x=+1时，数列x-f(x)，f(x)，x A.是等差数列，也是等比数列 B.是等差数列，不是等比数列 C.是等比数列，不是等差数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于1<<2， 所以f(+1)=[+1]=2， 所以x-f(x)=-1， 即三个数为-1，2，+1. 而+1+-1=2≠4， ≠， 所以数列x-f(x)，f(x)，x既不是等差数列，也不是等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn，若an∈(0，2 022)，则称项an为“和谐项”，则数列{an}的所有“和谐项”的项数为 A.10 B.11 C.12 D.13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a1=1，an+1=Sn，可得a2=S1=a1=1， 当n≥2时，an=Sn-1，又由an+1=Sn， 两式相减，可得an+1-an=Sn-Sn-1=an，即an+1=2an，即=2， 则数列{an}从第二项起是公比为2的等比数列，即an=2n-2，n≥2， 又由an∈(0，2 022)，即2n-2<2 022，可得n<13，n∈N+，所以“和谐项”共有12项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1=8，且a1+13，4a2，a3+9成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an=8qn-1，且0<q<1. 由a1+13，4a2，a3+9成等差数列， 知8a2=30+a3，所以64q=30+8q2， 解得q=(舍去)， 所以an=8×=24-n，n∈N+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 bn=an(n+2-λ)=(n+2-λ)·24-n， 由bn>bn+1， 得(n+2-λ)·24-n>(n+3-λ)·23-n， 即λ<n+1，n∈N+. 所以λ<(n+1)min=2， 故实数λ的取值范围为(-∞，2). (2)若bn=an(n+2-λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围. 第五章 <<< $$ 第2课时　等比数列的判定与简单应用 ［学习目标］　1.了解等比数列的通项公式与函数的关系.2.掌握等比数列的判定与证明方法.3.掌握等比数列中的项的设法. 导语 前面我们学习了等差数列，判断一个数列是否为等差数列，有哪些方法呢？今天研究等比数列的判定，是否与等差数列的判定有类似方法呢？ 一、等比数列的通项公式与函数的关系 问题1　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示　由an=a1qn-1=·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值，即an=f(n). 知识梳理　 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值，即an=f(n). (2)任意指数型函数f(x)=kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)=ka，f(2)=ka2，…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 例1　已知数列{an}是等比数列，且公比q大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　D 解析　当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立； 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 延伸探究　 1.若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之，例如数列，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 2.设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，则a1<a2，可得a1(q-1)>0，解得或 此时数列{an}不一定是递增数列； 若数列{an}为递增数列， 可得或此时a1<a2成立， 所以“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 反思感悟　判断等比数列的单调性的方法 (1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列. (2)当a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列. (3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列. (4)当a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列. (5)当q=1时，数列{an}为常数列. (6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同. 二、等比数列的判定与证明 问题2　若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？ 提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性. 例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(an-1)(n∈N+). (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列. (1)解　由S1=(a1-1)，得a1=(a1-1)， ∴a1=-. 又S2=(a2-1)，即a1+a2=(a2-1)， 解得a2=. (2)证明　当n≥2时， an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)， 得=-.又a1=-，a2=，=-， 所以{an}是首项为-，公比为-的等比数列. 反思感悟　判断一个数列是否为等比数列的常用方法 (1)定义法：若=q(q为非零常数，n∈N+)或=q(q为非零常数且n≥2，n∈N+)，则{an}是等比数列. (2)通项公式法：若数列的通项公式可写成an=c·qn-1(c，q均是不为0的常数，n∈N+)，则{an}是等比数列. 跟踪训练1　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=Sn(n=1，2，3，…).证明：数列是等比数列. 证明　由a1=1，an+1=Sn， 得an>0，Sn>0. 由an+1=Sn，an+1=Sn+1-Sn， 得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)， 整理得nSn+1=2(n+1)Sn， 所以=2·， 则=2. 因为==1， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 三、等比数列中的项的设法 例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 解　方法一　设这四个数依次为a-d，a，a+d，， 由条件得解得或 所以当a=4，d=4时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a=9，d=-6时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 方法二　设这四个数依次为-a，，a，aq(q≠0)， 由条件得解得或 当a=8，q=2时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a=3，q=时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 反思感悟　几个数成等比数列的设法 (1)三个数成等比数列设为，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为 …，，，a，aq，aq2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为 ，，aq，aq3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为 …，，，，aq，aq3，aq5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 跟踪训练2　一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　) A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 答案　B 解析　设数列为{an}，其通项公式为an=a1qn-1， 则前三项分别为a1，a1q，a1q2， 后三项分别为a1qn-3，a1qn-2，a1qn-1. 由题意得q3=2，q3n-6=4， 两式相乘得q3(n-1)=8， 即qn-1=2. 又a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64， ∴=64， 即(qn-1)n=642， ∴2n=642=212，解得n=12. 1.知识清单： (1)等比数列与函数的关系. (2)等比数列的判定与证明. (3)等比数列中的项的设法. 2.方法归纳：定义法、分类讨论. 3.常见误区：四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况. 1.在数列{an}中，如果an=32-n(n=1，2，3，…)，那么这个数列是(　　) A.公比为2的等比数列 B.公差为3的等差数列 C.首项为3的等比数列 D.首项为3的等差数列 答案　C 解析　因为an=32-n(n=1，2，3，…)，所以a1=3，a2=1，an-1=33-n，则有==，所以{an}为等比数列，且公比q=，首项a1=3. 2.等比数列{an}的公比q=-，a1=，则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案　D 解析　由公比q<0可知，该等比数列是摆动数列. 3.(多选)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+1(n∈N+)，则下列说法正确的是(　　) A.a5=-16 B.S5=-63 C.数列{an}是等比数列 D.数列{Sn+1}是等比数列 答案　AC 解析　因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+1(n∈N+)， 所以当n=1时，a1=S1=2a1+1，因此a1=-1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，所以数列{an}是以-1为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 因此a5=-1×24=-16，故A正确； S5=2a5+1=2×(-16)+1=-31， 故B错误； 因为S1+1=0，所以数列{Sn+1}不是等比数列，故D错误. 4.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是　　　　.  答案　45 解析　设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a-1，aq-1，aq2-4，aq3-13成等差数列. 即 整理得 解得a=3，q=2. 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共12分 1.已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若q<0，则等比数列{an}为摆动数列，由于等比数列{an}为递减数列，则q>0. 若a1>0，则an=a1qn-1>0，由an+1<an， 所以q<1； 所以a1>0，等比数列{an}为递减数列⇔0<q<1， 所以若a1>0，“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件. 2.等比数列{an}中，公比为q，则下列结论正确的是(　　) A.当q>1时，{an}为递增数列 B.当0<q<1时，{an}为递增数列 C.当n∈N+时，anan+2>0成立 D.当n∈N+时，anan+2an+4>0成立 答案　C 解析　等比数列的单调性由a1，q共同决定，易知A，B不正确；不论q>0或q<0，an，an+2，an+4同号，故anan+2>0成立，C正确，D不一定成立. 3.在数列{an}中，对任意的n∈N+，都有an+1+2an=0(an≠0)，则等于(　　) A.-2 B.2 C.4 D.-4 答案　C 解析　由an+1+2an=0知an+1=-2an，故{an}是以-2为公比的等比数列， 所以===q2=4. 4.已知是等差数列，且公差d≠0，若a=，b=，c=，则a，b，c(　　) A.是等比数列，非等差数列 B.是等差数列，非等比数列 C.既非等比数列，又非等差数列 D.既是等差数列，又是等比数列 答案　A 解析　由是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列. 5.若正项数列{an}满足a1=2，-3an+1an-4=0，则数列{an}的通项公式an等于(　　) A.22n-1 B.2n C.22n+1 D.22n-3 答案　A 解析　由-3an+1an-4=0， 得(an+1-4an)·(an+1+an)=0. 又{an}是正项数列， 所以an+1-4an=0，=4. 由等比数列的定义知，数列{an}是以2为首项， 4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式， 得an=2×4n-1=22n-1. 6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　) A.0<q<1 B.a7>1 C.a8>1 D.Tn的最大项为T7 答案　ABD 解析　∵a1>1，a7·a8>1，<0， ∴a7>1，0<a8<1，0<q<1， ∴A正确；B正确；C错误；T7是数列中的最大项，故D正确. 7.(5分)在数列{an}中，a1=2，an+1=3an，则an=　　　　.  答案　2×3n-1 解析　因为an+1=3an且a1=2，所以=3，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列， 所以an=2×3n-1. 8.(5分)在《九章算术》中，“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮食98斤，甲、乙、丙按顺序衰分，乙分得28斤，则衰分比例为　　　　.  答案　 解析　设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28，28q斤， ∴+28+28q=98，∴q=2或. 又0<q<1，∴q=. 9.(10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数. 解　设这三个数依次为，a，aq， ∵·a·aq=512，∴a=8. ∵+(aq-2)=2a， ∴2q2-5q+2=0，∴q=2或q=， 当a=8，q=2时，这三个数为4，8，16；当a=8，q=时，这三个数为16，8，4. 综上，这三个数为4，8，16或16，8，4. 10.(11分)数列{an}满足a1=-1，且an=3an-1-2n+3(n=2，3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an-n}是等比数列；(8分) (2)求an.(3分) 解　(1)a2=3a1-2×2+3=-4， a3=3a2-2×3+3=-15. 下面证明{an-n}是等比数列： = ==3(n=1，2，3，…). 又a1-1=-2， ∴{an-n}是以-2为首项，以3为公比的等比数列. (2)由(1)知an-n=-2·3n-1，∴an=n-2·3n-1. 11.等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{-54，-24，-18，36，81}中，则q等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　C 解析　∵{an}中的项必然有正有负， ∴q<0.又|q|>1，∴q<-1. 由此可得{an}的连续四项为-24，36，-54，81. ∴q=-. 12.(多选)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q可能的一个值是(　　) A. B. C. D. 答案　BC 解析　由题意可设三角形的三边分别为，a，aq(aq≠0).因为三角形的两边之和大于第三边， 所以①当q>1时，+a>aq，即q2-q-1<0， 解得1<q<；②当0<q<1时，a+aq>， 即q2+q-1>0， 解得<q<1. 综上，q的取值范围是∪，结合选项，q可能的值是与. 13.在数列{an}中，a1=，am+n=aman，则a6等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由于∀m，n∈N+，有am+n=aman，且a1=， 令m=1，则an+1=a1an=an，即数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 所以an=a1qn-1=×=， 故a6==. 14.德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉，他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数f(x)=［x］，其中［x］表示不超过x的最大整数，比如［π］=3.根据以上定义，当x=+1时，数列x-f(x)，f(x)，x(　　) A.是等差数列，也是等比数列 B.是等差数列，不是等比数列 C.是等比数列，不是等差数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列 答案　D 解析　由于1<<2， 所以f(+1)=［+1］=2， 所以x-f(x)=-1， 即三个数为-1，2，+1. 而+1+-1=2≠4， ≠， 所以数列x-f(x)，f(x)，x既不是等差数列，也不是等比数列. 15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn，若an∈(0，2 022)，则称项an为“和谐项”，则数列{an}的所有“和谐项”的项数为(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 答案　C 解析　由a1=1，an+1=Sn，可得a2=S1=a1=1， 当n≥2时，an=Sn-1，又由an+1=Sn， 两式相减，可得an+1-an=Sn-Sn-1=an，即an+1=2an，即=2， 则数列{an}从第二项起是公比为2的等比数列，即an=2n-2，n≥2， 又由an∈(0，2 022)，即2n-2<2 022，可得n<13，n∈N+，所以“和谐项”共有12项. 16.(12分)设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1=8，且a1+13，4a2，a3+9成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若bn=an(n+2-λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围.(6分) 解　(1)设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an=8qn-1，且0<q<1. 由a1+13，4a2，a3+9成等差数列， 知8a2=30+a3，所以64q=30+8q2， 解得q=或(舍去)， 所以an=8×=24-n，n∈N+. (2)bn=an(n+2-λ)=(n+2-λ)·24-n， 由bn>bn+1， 得(n+2-λ)·24-n>(n+3-λ)·23-n， 即λ<n+1，n∈N+. 所以λ<(n+1)min=2， 故实数λ的取值范围为(-∞，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$