第7章 习题课 二项分布与超几何分布的综合应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教A版2019）

第七章 <<< 习题课 二项分布与超几何分布的综合应用 1.掌握二项分布的综合应用. 2.掌握超几何分布的综合应用. 3.了解二项分布与超几何分布的区别与联系. 学习目标 一、二项分布的综合应用 二、超几何分布的综合应用 课时对点练 随堂演练 内容索引 三、二项分布与超几何分布的区别与联系 3 一 二项分布的综合应用 　 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个红绿灯，假设他在各红绿灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值； 例 1 5 方法一　由ξ~B，得 P(ξ=k)=××，k=0，1，2，3，4，5. 即P(ξ=0)=××=， P(ξ=1)=××=， P(ξ=2)=××=， P(ξ=3)=××=， P(ξ=4)=××=，P(ξ=5)=×=. 6 故ξ的分布列为 ∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. 方法二　∵ξ~B，∴E(ξ)=5×=. ξ 0 1 2 3 4 5 P 7 (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； 8 P(η=k)=P(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)=×，k=0，1，2，3，4，η=5时，5个均为绿灯. 即P(η=0)=×=， P(η=1)=×=， P(η=2)=×=， P(η=3)=×=， P(η=4)=×=，P(η=5)==. 9 故η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 P 10 (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 所求概率为P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-=. 11 (1)二项分布的实际应用类问题的求解步骤 ①根据题意设出随机变量； ②分析随机变量服从二项分布； ③求出参数n和p的值； ④根据二项分布的均值、方差的计算公式求解. (2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生概率的和，或者利用对立事件求概率. 反 思 感 悟 12 　学校组织某种知识竞赛，竞赛规则是：两人组成一个“组合”，进行多轮竞赛，每一轮竞赛中，一个“组合”的两人分别各答3道题，若答对的题目总数不少于5道题，此“组合”获得20分.已知小华和小夏两人组成“华夏组合”，小华、小夏每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响. (1)求“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率； 跟踪训练 1 13 设小华和小夏答对的题目个数分别为a1和a2， 则所求的概率P=P(a1=2，a2=3)+P(a1=3，a2=2)+P(a1=3，a2=3) =××+×××+×=， 故“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率为. 14 (2)若每轮竞赛互不影响，“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行多少轮竞赛？ 依题意知“华夏组合”在竞赛中得分的轮数X满足X~B(n，p)， 由(1)得p=， 由np≥5⇒n≥5⇒n≥≈8.4. 所以“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行9轮竞赛. 15 二 超几何分布的综合应用 　交通拥堵指数(TPI)是衡量交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如表所示的4个等级： 例 2 TPI [1，1.5) [1.5，2) [2，4) 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 17 某市2024年元旦及前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图： (1)从2023年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率； 18 由题图可知，2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天， 所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为. 19 (2)从2024年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及均值E(X). 20 由题图可知，2024年元旦及前后共7天中TPI比2023年同日高的只有1月3日和1月4日这2天， 所以X的可能取值为0，1，2， 则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==， 21 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. 22 反 思 感 悟 超几何分布的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情境分析所求概率分布问题是否由具有明显特征的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型. (2)算概率：可以直接借助公式P(X=k)=求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义. (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来. 　已知一个袋子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球. (1)若从袋中一次任取3个球，取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及均值； 跟踪训练 2 X的可能取值为0，1，2，P(X=k)=，其中k=0，1，2，故分布列为 X 0 1 2 P 均值E(X)=0×+1×+2×=. 24 (2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求P. 当Y=5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，∴所求概率P=×××=. 25 三 二项分布与超几何分布的区别与联系 　已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取.请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分. 问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若　　　　，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和均值.  例 3 27 若选①，由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，服从超几何分布， P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. 28 若选②，由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X~B， 所以P(X=0)=×=， P(X=1)=××=， P(X=2)=××=， P(X=3)=×=， 29 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=3×=. 30 反 思 感 悟 二项分布与超几何分布的区别与联系 (1)区别：不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布. (2)联系：对于总体数N很大的抽取，尽管是无放回抽样，但超几何分布已经近似为二项分布了，我们可把它看成是n次独立重复试验，按照二项分布来解题. 　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490，495)，[495，500)，…，[510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图. 跟踪训练 3 (1)根据频率分布直方图，求这40件产品中质量不低于505克的产品数； 32 质量不低于505克的产品的频率为 5×0.05+5×0.01=0.3， ∴质量不低于505克的产品数为40×0.3=12. 33 (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量不低于505克的产品数，求X的分布列和均值； 34 质量不低于505克的产品数为12，则质量低于505克的产品数为28，X的可能取值为0，1，2，X服从超几何分布. P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 35 ∴X的均值为 方法一　E(X)=0×+1×+2×=. 方法二　E(X)==. 36 (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量不低于505克的产品数，求Y的分布列和均值. 37 根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量不低于505克的概率为=. 质量不低于505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y~B， P(Y=k)=××，k=0，1，2， ∴P(Y=0)=×=， P(Y=1)=××=， P(Y=2)=×=. 38 ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P ∴Y的均值为 方法一　E(Y)=0×+1×+2×=. 方法二　E(Y)=2×=. 39 1.知识清单： (1)二项分布的综合应用. (2)超几何分布的综合应用. (3)二项分布与超几何分布的区别与联系. 2.方法归纳：类比. 3.常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.同时抛掷2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值是 A. B. C.1 D. √ 设“抛掷2枚硬币一次，2枚硬币均正面向上”为事件A，则P(A)=， 易知X~B，所以E(X)=3×=. 2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-=. 3.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次.记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的均值为B，则A，B的值分别为 A.，5 B.，10 C.，5 D.，10 1 2 3 4 √ 设10门大炮击中目标的次数为X，则根据题意可得X~B， 所以A=P(X=3)=××=， 10门大炮总得分的均值B=10××2=10. 4.某商场举行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元就有一次抽奖机会.抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个质地、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球)，顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球，则奖励10元，若只有1个黄球，则奖励3元，其余情况没有奖励.设每次抽奖所得奖励为 X元，则X的均值是　　　.  1 2 3 4 1 2 3 4 随机变量X的所有可能取值为0，3，10， P(X=10)==， P(X=3)==， P(X=0)==， 则E(X)=0×+3×+10×=. 课时对点练 五 1.某一档深受观众喜爱的电视节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知五场中获胜的场次X~B， 所以所求选手能参加决赛的概率P=××+××=. 2.PM2.5是指环境空气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2023年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 PM2.5日均值 (微克/立方米) (25，35] (35，45] (45，55] (55，65] (65，75] (75，85] 频数 3 1 1 1 1 3 从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测值超标的天数，则X的均值是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意知，X服从超几何分布，其中N=10，M=3，n=3，所以E(X)= ==. 3.某同学上学路上要经过3个红绿灯，在每个红绿灯处遇到红灯的概率都是，且在各红绿灯处是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y=3X+5，则Y的标准差为 A. B.3 C. D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为该同学经过每个红绿灯时是否遇到红灯互不影响，所以可看成3重伯努利试验， 即X~B， 则X的方差D(X)=3××=， 所以Y的方差D(Y)=32·D(X)=9×=6， 所以Y的标准差为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中咸肉粽的个数为X，则下列结论正确的是 A.P(X=2)= B.E(X)= C.随机变量X服从超几何分布 D.P(1<X<4)= √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，随机变量X服从参数为10，4，4的超几何分布，则E(X)= =，所以B错误，C正确； 又P(X=2)==，P(X=3)==， 所以P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=+=，所以A，D正确. 5.从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ+1)等于 A.2 B.1 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意知，ξ服从超几何分布，N=15，M=2，n=3， E(ξ)===. 所以E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×+1=3. 6.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数 的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，10个数中，1，3，5，7，9是阳数，2，4，6，8，10是阴数， 若任取3个数中有2个阳数， 则其概率P1===， 若任取3个数中有3个阳数， 则其概率P2===，故这3个数中至少有2个阳数的概率P=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示).已知成绩在[90，100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50，60)中，则n=　　　，现从成绩在[50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学 生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是　　　.  50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得0.016×10n=8，则n=50. 成绩在[50，60)的人数为0.012×10×50=6， 其中4个为女生，2个为男生. ξ的可能取值为0，1，2. P(ξ=0)==，P(ξ=1)==， P(ξ=2)==， 故E(ξ)=0×+1×+2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为　　　.  61 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，可得X的所有可能取值为190，150，110，且P(X=190)==，P(X=150)==，P(X=110)==，则E(X)=190×+150×+110×=158，标准差为==24. 62 9.几位大学生自主创办了一个服务公司提供A，B两种民生消费产品服务，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为，购买B的概率为.第一次购买A产品的人第二次购买A产品的概率为，购买B产品的概率为.第一次购买B产品的人第二次购买A产品的概率为，购买B产品的概率也是. (1)求某人第二次来，购买的是A产品的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意可得，某人第二次来购买的是A产品的概率P=×+×=. (2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，求X的分布列及均值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意可得X~B， ∴P(X=0)==， P(X=1)=××=， P(X=2)=××=， P(X=3)==， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴E(X)=3×=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.从某市统考的数学试卷中随机抽查100份，分别统计出这些试卷的成绩，由总分得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这100份数学试卷成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； 这100份数学试卷成绩的平均数为 60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120× 0.1+130×0.08+140×0.04=100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在样本中，从数学成绩不低于125分的试卷中，随机抽取3份进行答卷情况分析，设X为抽取的试卷成绩不低于135分的试卷份数，求X的分布列及均值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抽查的100份试卷中，成绩位于区间[125，135)的有8份， 位于区间的有4份，共计12份试卷. 从中抽取3份试卷，这3份试卷中成绩在的试卷份数X的可能取值是0，1，2，3. P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的均值为E(X)=0×+1×+2×+3×==1. 11.(多选)如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则 A.P(X=1)=P(X=9)= B.P(X=1)=P(X=9)= C.E(X)=10 D.D(X)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A=“向右下落”，=“向左下落”， 则P(A)=P()=， 因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的 次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次， 所以X~B，于是P(X=1)=××=， 同理可得，P(X=9)=××=，A正确，B错误； 由二项分布求均值及方差公式得，E(X)=10×=5，D(X)=10×× =，C错误，D正确. 12.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥-80)等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得该产品能销售的概率为 ×=， 易知X的所有可能取值为-320，-200，-80，40，160， 设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ~B，所以P(ξ=k)= ××，k=0，1，2，3，4. 所以P(X=-80)=P(ξ=2)=××=，P(X=40)=P(ξ=3)=× ×=，P(X=160)=P(ξ=4)=××=，故P(X≥-80)= P(X=-80)+P(X=40)+P(X=160)=++=. 74 13.口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球.ξ表示当n=3时取出黑球的数目，η表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是 A.E(ξ)<E(η)，D(ξ)<D(η) B.E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η) C.E(ξ)<E(η)，D(ξ)>D(η) D.E(ξ)>E(η)，D(ξ)>D(η) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=3时，ξ的可能取值为1，2，3， P(ξ=1)==，P(ξ=2)==， P(ξ=3)==， ∴E(ξ)=1×+2×+3×=2， D(ξ)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=4时，η的可能取值为1，2，3，4， P(η=1)==， P(η=2)==， P(η=3)==， P(η=4)==， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴E(η)=1×+2×+3×+4×=， D(η)=×+×+×+×=. ∴E(ξ)<E(η)，D(ξ)<D(η). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.为了降低大气污染和能源消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车(车型A和车型B)，并在“十一黄金周”期间同时投放市场.为了了解这两款车型在“十一黄金周”的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销量(单位：台)，得到如下数据： 现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车 型B销量的4S店的个数，则D(X)=　　　.  4S店 车型 甲 乙 丙 丁 戊 车型A 6 6 13 8 11 车型B 12 9 13 6 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由表可知，车型A销量超过车型B销量的4S店有2家，则X的所有可能取值为0，1，2， 且P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，所以E(X)=0×+1×+2×=，D(X)=×+ ×+×=. 4S店 车型 甲 乙 丙 丁 戊 车型A 6 6 13 8 11 车型B 12 9 13 6 4 15.A，B两组各有3人独立破译某密码，A组每个人成功破译出该密码的概率为p1，B组每个人成功破译出该密码的概率为p2，记A，B两组中成功破译出该密码的人数分别为X，Y，若0<p1<p2<，则下列关系正确的是 A.E(X)>E(Y)，D(X)<D(Y) B.E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y) C.E(X)<E(Y)，D(X)<D(Y) D.E(X)<E(Y)，D(X)>D(Y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，X~B(3，p1)，所以E(X)=3p1，D(X)=3p1(1-p1). 同理，Y~B(3，p2)，所以E(Y)=3p2，D(Y)=3p2(1-p2). 因为0<p1<p2<，所以3p1<3p2，所以E(X)<E(Y). 对于二次函数y=3p(1-p)，对称轴为直线p=上单调递增， 所以当0<p1<p2<时，有3p1(1-p1)<3p2(1-p2)，即D(X)<D(Y). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.幸福农场生产的某批次的20件产品中含有n件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件. (1)若n=3，求取出的产品中次品不超过1件的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，则P(A)=P(X=0)+P(X=1). 因为P(X=0)==， P(X=1)==， 所以P(A)=+=. 则取出的产品中次品不超过1件的概率是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)记f(n)=P(X=3)，则当n为何值时，f(n)取得最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(n)=P(X=3)=， 则f(n+1)=. 由==>1， 解得n<. 因为n∈N*，则n≤5， 故当3≤n≤5时，>1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当6≤n≤13时，<1， 所以当n=6时，f(n)取得最大值. 第七章 <<< $$ 习题课　二项分布与超几何分布的综合应用 [学习目标]　1.掌握二项分布的综合应用.2.掌握超几何分布的综合应用.3.了解二项分布与超几何分布的区别与联系. 一、二项分布的综合应用 例1　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个红绿灯，假设他在各红绿灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 解　(1)方法一　由ξ~B，得 P(ξ=k)=××，k=0，1，2，3，4，5. 即P(ξ=0)=××=， P(ξ=1)=××=， P(ξ=2)=××=， P(ξ=3)=××=， P(ξ=4)=××=， P(ξ=5)=×=. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P ∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. 方法二　∵ξ~B，∴E(ξ)=5×=. (2)P(η=k)=P(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)=×，k=0，1，2，3，4，η=5时，5个均为绿灯. 即P(η=0)=×=， P(η=1)=×=， P(η=2)=×=， P(η=3)=×=， P(η=4)=×=， P(η=5)==. 故η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 P (3)所求概率为P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-=. 反思感悟　(1)二项分布的实际应用类问题的求解步骤 ①根据题意设出随机变量； ②分析随机变量服从二项分布； ③求出参数n和p的值； ④根据二项分布的均值、方差的计算公式求解. (2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生概率的和，或者利用对立事件求概率. 跟踪训练1　学校组织某种知识竞赛，竞赛规则是：两人组成一个“组合”，进行多轮竞赛，每一轮竞赛中，一个“组合”的两人分别各答3道题，若答对的题目总数不少于5道题，此“组合”获得20分.已知小华和小夏两人组成“华夏组合”，小华、小夏每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响. (1)求“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率； (2)若每轮竞赛互不影响，“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行多少轮竞赛？ 解　(1)设小华和小夏答对的题目个数分别为a1和a2， 则所求的概率P=P(a1=2，a2=3)+P(a1=3，a2=2)+P(a1=3，a2=3) =××+×××+×=， 故“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率为. (2)依题意知“华夏组合”在竞赛中得分的轮数X满足X~B(n，p)， 由(1)得p=， 由np≥5⇒n≥5⇒n≥≈8.4. 所以“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行9轮竞赛. 二、超几何分布的综合应用 例2　交通拥堵指数(TPI)是衡量交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如表所示的4个等级： TPI [1，1.5) [1.5，2) [2，4) 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2024年元旦及前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图： (1)从2023年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率； (2)从2024年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及均值E(X). 解　(1)由题图可知，2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天， 所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为. (2)由题图可知，2024年元旦及前后共7天中TPI比2023年同日高的只有1月3日和1月4日这2天， 所以X的可能取值为0，1，2， 则P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. 反思感悟　超几何分布的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情境分析所求概率分布问题是否由具有明显特征的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型. (2)算概率：可以直接借助公式P(X=k)=求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义. (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来. 跟踪训练2　已知一个袋子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球. (1)若从袋中一次任取3个球，取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及均值； (2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求P. 解　(1)X的可能取值为0，1，2，P(X=k)=，其中k=0，1，2，故分布列为 X 0 1 2 P 均值E(X)=0×+1×+2×=. (2)当Y=5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，∴所求概率P=×××=. 三、二项分布与超几何分布的区别与联系 例3　已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取.请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分. 问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若　　　　，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和均值.  解　若选①，由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，服从超几何分布， P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. 若选②，由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X~B， 所以P(X=0)=×=， P(X=1)=××=， P(X=2)=××=， P(X=3)=×=， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=3×=. 反思感悟　二项分布与超几何分布的区别与联系 (1)区别：不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布. (2)联系：对于总体数N很大的抽取，尽管是无放回抽样，但超几何分布已经近似为二项分布了，我们可把它看成是n次独立重复试验，按照二项分布来解题. 跟踪训练3　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490，495)，[495，500)，…，[510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图. (1)根据频率分布直方图，求这40件产品中质量不低于505克的产品数； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量不低于505克的产品数，求X的分布列和均值； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量不低于505克的产品数，求Y的分布列和均值. 解　(1)质量不低于505克的产品的频率为 5×0.05+5×0.01=0.3， ∴质量不低于505克的产品数为40×0.3=12. (2)质量不低于505克的产品数为12，则质量低于505克的产品数为28，X的可能取值为0，1，2，X服从超几何分布. P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴X的均值为 方法一　E(X)=0×+1×+2×=. 方法二　E(X)==. (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量不低于505克的概率为=. 质量不低于505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y~B， P(Y=k)=××，k=0，1，2， ∴P(Y=0)=×=， P(Y=1)=××=， P(Y=2)=×=. ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P ∴Y的均值为 方法一　E(Y)=0×+1×+2×=. 方法二　E(Y)=2×=. 1.知识清单： (1)二项分布的综合应用. (2)超几何分布的综合应用. (3)二项分布与超几何分布的区别与联系. 2.方法归纳：类比. 3.常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样. 1.同时抛掷2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值是(　　) A. B. C.1 D. 答案　B 解析　设“抛掷2枚硬币一次，2枚硬币均正面向上”为事件A，则P(A)=， 易知X~B，所以E(X)=3×=. 2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-=. 3.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次.记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的均值为B，则A，B的值分别为(　　) A.，5 B.，10 C.，5 D.，10 答案　B 解析　设10门大炮击中目标的次数为X，则根据题意可得X~B， 所以A=P(X=3)=××=， 10门大炮总得分的均值B=10××2=10. 4.某商场举行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元就有一次抽奖机会.抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个质地、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球)，顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球，则奖励10元，若只有1个黄球，则奖励3元，其余情况没有奖励.设每次抽奖所得奖励为X元，则X的均值是　　　　　.  答案　 解析　随机变量X的所有可能取值为0，3，10， P(X=10)==， P(X=3)==， P(X=0)==， 则E(X)=0×+3×+10×=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.某一档深受观众喜爱的电视节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意可知五场中获胜的场次X~B， 所以所求选手能参加决赛的概率P=××+××=. 2.PM2.5是指环境空气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2023年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表所示. PM2.5日均值(微克/立方米) (25，35] (35，45] (45，55] (55，65] (65，75] (75，85] 频数 3 1 1 1 1 3 从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测值超标的天数，则X的均值是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，X服从超几何分布，其中N=10，M=3，n=3，所以E(X)===. 3.某同学上学路上要经过3个红绿灯，在每个红绿灯处遇到红灯的概率都是，且在各红绿灯处是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y=3X+5，则Y的标准差为(　　) A. B.3 C. D.2 答案　A 解析　因为该同学经过每个红绿灯时是否遇到红灯互不影响，所以可看成3重伯努利试验， 即X~B， 则X的方差D(X)=3××=， 所以Y的方差D(Y)=32·D(X)=9×=6， 所以Y的标准差为=. 4.(多选)在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中咸肉粽的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A.P(X=2)= B.E(X)= C.随机变量X服从超几何分布 D.P(1<X<4)= 答案　ACD 解析　由题意知，随机变量X服从参数为10，4，4的超几何分布，则E(X)==，所以B错误，C正确；又P(X=2)==，P(X=3)==，所以P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=+=，所以A，D正确. 5.从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ+1)等于(　　) A.2 B.1 C.3 D.4 答案　C 解析　由题意知，ξ服从超几何分布，N=15，M=2，n=3， E(ξ)===. 所以E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×+1=3. 6.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知，10个数中，1，3，5，7，9是阳数，2，4，6，8，10是阴数， 若任取3个数中有2个阳数， 则其概率P1===， 若任取3个数中有3个阳数， 则其概率P2===，故这3个数中至少有2个阳数的概率P=+=. 7.(5分)某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示).已知成绩在[90，100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50，60)中，则n=　　　　，现从成绩在[50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是　　　　.  答案　50　 解析　依题意得0.016×10n=8，则n=50. 成绩在[50，60)的人数为0.012×10×50=6， 其中4个为女生，2个为男生. ξ的可能取值为0，1，2. P(ξ=0)==，P(ξ=1)==， P(ξ=2)==， 故E(ξ)=0×+1×+2×=. 8.(5分)某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为　　　　.  答案　24 解析　由题意，可得X的所有可能取值为190，150，110，且P(X=190)==，P(X=150)==，P(X=110)==，则E(X)=190×+150×+110×=158，标准差为==24. 9.(10分)几位大学生自主创办了一个服务公司提供A，B两种民生消费产品服务，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为，购买B的概率为.第一次购买A产品的人第二次购买A产品的概率为，购买B产品的概率为.第一次购买B产品的人第二次购买A产品的概率为，购买B产品的概率也是. (1)求某人第二次来，购买的是A产品的概率；(3分) (2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，求X的分布列及均值.(7分) 解　(1)依题意可得，某人第二次来购买的是A产品的概率P=×+×=. (2)依题意可得X~B， ∴P(X=0)==， P(X=1)=××=， P(X=2)=××=， P(X=3)==， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴E(X)=3×=1. 10.(11分)从某市统考的数学试卷中随机抽查100份，分别统计出这些试卷的成绩，由总分得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这100份数学试卷成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(4分) (2)在样本中，从数学成绩不低于125分的试卷中，随机抽取3份进行答卷情况分析，设X为抽取的试卷成绩不低于135分的试卷份数，求X的分布列及均值.(7分) 解　(1)这100份数学试卷成绩的平均数为 60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100. (2)抽查的100份试卷中，成绩位于区间[125，135)的有8份， 位于区间的有4份，共计12份试卷. 从中抽取3份试卷，这3份试卷中成绩在的试卷份数X的可能取值是0，1，2，3. P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的均值为E(X)=0×+1×+2×+3×==1. 11.(多选)如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则(　　) A.P(X=1)=P(X=9)= B.P(X=1)=P(X=9)= C.E(X)=10 D.D(X)= 答案　AD 解析　设A=“向右下落”，=“向左下落”， 则P(A)=P()=， 因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次， 所以X~B，于是P(X=1)=××=， 同理可得，P(X=9)=××=，A正确，B错误；由二项分布求均值及方差公式得，E(X)=10×=5，D(X)=10××=，C错误，D正确. 12.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥-80)等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意得该产品能销售的概率为 ×=， 易知X的所有可能取值为-320，-200，-80，40，160， 设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ~B，所以P(ξ=k)=××，k=0，1，2，3，4. 所以P(X=-80)=P(ξ=2)=××=，P(X=40)=P(ξ=3)=××=，P(X=160)=P(ξ=4)=××=，故P(X≥-80)=P(X=-80)+P(X=40)+P(X=160)=++=. 13.口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球.ξ表示当n=3时取出黑球的数目，η表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是(　　) A.E(ξ)<E(η)，D(ξ)<D(η) B.E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η) C.E(ξ)<E(η)，D(ξ)>D(η) D.E(ξ)>E(η)，D(ξ)>D(η) 答案　A 解析　当n=3时，ξ的可能取值为1，2，3， P(ξ=1)==，P(ξ=2)==， P(ξ=3)==， ∴E(ξ)=1×+2×+3×=2， D(ξ)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=. 当n=4时，η的可能取值为1，2，3，4， P(η=1)==， P(η=2)==， P(η=3)==， P(η=4)==， ∴E(η)=1×+2×+3×+4×=， D(η)=×+×+×+×=. ∴E(ξ)<E(η)，D(ξ)<D(η). 14.(5分)为了降低大气污染和能源消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车(车型A和车型B)，并在“十一黄金周”期间同时投放市场.为了了解这两款车型在“十一黄金周”的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销量(单位：台)，得到如下数据： 4S店 车型 甲 乙 丙 丁 戊 车型A 6 6 13 8 11 车型B 12 9 13 6 4 现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的个数，则D(X)=　　　　.  答案　 解析　由表可知，车型A销量超过车型B销量的4S店有2家，则X的所有可能取值为0，1，2， 且P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，所以E(X)=0×+1×+2×=，D(X)=×+×+×=. 15.A，B两组各有3人独立破译某密码，A组每个人成功破译出该密码的概率为p1，B组每个人成功破译出该密码的概率为p2，记A，B两组中成功破译出该密码的人数分别为X，Y，若0<p1<p2<，则下列关系正确的是(　　) A.E(X)>E(Y)，D(X)<D(Y) B.E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y) C.E(X)<E(Y)，D(X)<D(Y) D.E(X)<E(Y)，D(X)>D(Y) 答案　C 解析　由题意可知，X~B(3，p1)，所以E(X)=3p1，D(X)=3p1(1-p1). 同理，Y~B(3，p2)，所以E(Y)=3p2，D(Y)=3p2(1-p2). 因为0<p1<p2<，所以3p1<3p2，所以E(X)<E(Y). 对于二次函数y=3p(1-p)，对称轴为直线p=，所以函数在上单调递增， 所以当0<p1<p2<时，有3p1(1-p1)<3p2(1-p2)，即D(X)<D(Y). 16.(12分)幸福农场生产的某批次的20件产品中含有n件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件. (1)若n=3，求取出的产品中次品不超过1件的概率；(5分) (2)记f(n)=P(X=3)，则当n为何值时，f(n)取得最大值.(7分) 解　(1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，则P(A)=P(X=0)+P(X=1). 因为P(X=0)==， P(X=1)==， 所以P(A)=+=. 则取出的产品中次品不超过1件的概率是. (2)因为f(n)=P(X=3)=， 则f(n+1)=. 由==>1， 解得n<. 因为n∈N*，则n≤5， 故当3≤n≤5时，>1； 当6≤n≤13时，<1， 所以当n=6时，f(n)取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$