第5章 5.3.1 第1课时 等比数列的定义-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第五章 <<< 等比数列的定义 第1课时 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 3.能应用等比数列通项公式进行简单运算. 学习目标 从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷 3 500亿千克，年增稻谷可养活6 000万人口.这一切都归功于“杂交水稻之父”袁隆平，西方世界称他的杂交水稻是“东方魔稻”，并被认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝.袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，那么到第5代时大约可以得到这个新品种的多少粒种子？学习了本节内容之后，你就能得到这个问题的答案了. 导 语 一、等比数列的定义 二、等比数列的通项公式 课时对点练 三、等比数列中的简单运算 随堂演练 内容索引 等比数列的定义 一 观察下列情境中的数列，回答后面的问题. 有些细胞在分裂时，会从1个变成2个，2个变成4个，4个变成8个……，这里细胞的个数构成数列1，2，4，8，16，32，…. ① 《庄子》中说：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”其意思是：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.如果记木棒的长度为1，则不断取一半的过程中，每日截去一半之后木棒的长度构成数列，，，…. ② 我们都知道，如果将钱存在银行里，就会获得利息.例如，如果某年年初将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这五年中，每年年底的本息和构成数列1 000×1.03，1 000×1.032，…，1 000×1.035. ③ 类比等差数列的研究，你能发现上述三个数列有何共同点？ 问题1 提示　不难看出，上述数列①②③的共同点是：从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于一个常数.具体地，数列①从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于2；数列②从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于；数列③从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于1.03. 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于_______ 常数q，即恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的______. 同一个 =q 公比 知识梳理 (1)定义的符号表示：=q(n∈N+且n≥2)或=q(n∈N+). (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 注 意 点 <<< 9 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，，，，，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)，，，，…； (4)1，0，1，0，1，0，…； (5)1，-4，16，-64，256，…. 例 1 10 (1)不是等比数列. (2)是等比数列，公比为1. (3)是等比数列，公比为. (4)不是等比数列. (5)是等比数列，公比为-4. 11 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 反 思 感 悟 判断一个数列是否为等比数列的方法 12 　(多选)以下数列中是等比数列的是 A.数列1，3，9，27，… B.数列{an}中，已知=2，=2 C.常数列a，a，a，…，a，… D.数列{an}中，=q(q≠0)，其中n∈N+ 跟踪训练 1 √ √ 13 在B中，不一定满足=2； 在数列C中，若a=0，则不是等比数列； 在A，D中，满足为非零常数， ∴A，D是等比数列. 14 二 等比数列的通项公式 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题2 提示　设一个等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则由定义可知=q. 方法一　即an+1=anq， 从而a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3， …… 由此可得an=a1qn-1. 方法二　由等比数列的定义可得 =q， =q， …… =q， =q， 将这n-1个式子两边分别相乘，则有=qn-1， 因此可得an=a1·qn-1. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an= (n∈N+). a1qn-1 知识梳理 (1)已知等比数列的首项a1和公比q，便可写出其通项公式. (2)等比数列的通项公式是an，a1，q，n之间的关系，可以解方程(组)“知三求一”. (3)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m(n，m∈N+). 注 意 点 <<< 20 　写出下列等比数列的一个通项公式： (1)-1，1，-1，1，-1，…； 例 2 数列的首项为-1，公比为-1， 所以an=(-1)×(-1)n-1=(-1)n. 21 (2)1，，，，…； 数列的首项为1，公比为，所以an=. (3)5，10，20，40，…. 数列的首项为5，公比为2，所以an=5×2n-1. 22 写一个等比数列的通项公式，关键是找出该等比数列的首项和公比，这也是所有基本运算中的基本方法，需要注意的是，当公比是负数或分数时，需加括号. 反 思 感 悟 23 已知等比数列{an}的通项公式是an=7×21-n，试写出它的首项和公比. 跟踪训练 2 当n=1时，a1=7×21-1=7， 当n=2时，a2=7×21-2=， 所以q==， 所以该等比数列的首项和公比分别是7，. 24 等比数列中的简单运算 三 　在等比数列{an}中. (1)a1=1，a4=8，求an； 例 3 因为a4=a1q3，所以8=q3，所以q=2， 所以an=a1qn-1=2n-1. 26 (2)an=625，n=4，q=5，求a1； a1===5，故a1=5. 27 (3)a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 28 方法一　因为 由，得q=，从而a1=32. 又an=1， 所以32×=1，即26-n=20，故n=6. 29 方法二　因为a3+a6=q(a2+a5)， 所以q=. 由a1q+a1q4=18，得a1=32. 由an=a1qn-1=1，得n=6. 30 将本例(1)条件改为a2=2，a4=8，求an. 延伸探究 31 方法一　 ∴由得q2=4，∴q=2或q=-2， 当q=2时，a1=1，∴an=1×2n-1=2n-1， 当q=-2时，a1=-1， ∴an=-1×(-2)n-1=-(-2)n-1， 综上所述，an=2n-1或an=-(-2)n-1. 32 方法二　由方法一知q=2或q=-2. ∴an=a2qn-2=2×2n-2=2n-1 或an=a2qn-2=2×(-2)n-2=-(-2)n-1. 33 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个.在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 反 思 感 悟 34 (1)若等比数列{an}的首项a1=，末项an=，公比q=，求项数n. 跟踪训练 3 由an=a1·qn-1，得=×， 即=，得n=4. 35 (2)在等比数列{an}中，已知a5-a1=15，a4-a2=6，求an. ∵ 由得q=或q=2. 当q=时，a1=-16； 当q=2时，a1=1. ∴an=-16×=-25-n或an=2n-1. 36 1.知识清单： (1)等比数列的概念. (2)等比数列的通项公式. (3)等比数列通项公式的简单运算. 2.方法归纳：定义法，通项公式法. 3.常见误区：当公比用分数、负数表示时，易忽略需对公比加括号. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列各组数成等比数列的是 A.1，-2，4，-8，… B.-，2，-2，… C.x，x2，x3，x4，… D.a-1，a-2，a-3，a-4 √ 由等比数列的定义，知ABD是等比数列，C中当x=0时，不是等比数列. √ √ 1 2 3 4 2.在等比数列{an}中，a2 021=-8a2 024，则公比q等于 A.2 B.-2 C.±2 D.- √ 因为a2 021=-8a2 024，所以=-=q3， 解得q=-. 3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 A.4 B.8 C.6 D.32 1 2 3 4 由等比数列的通项公式得，128=4×2n-1，2n-1=32，所以n=6. √ 1 2 3 4 4.若{an}为等比数列，且a3+a4=4，a2=2，则公比q=　　　.  根据题意得， 解得 1或-2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列说法正确的有 A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D.22，42，62，82，…成等比数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误； C显然正确； 由于≠，故不是等比数列，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.数列1，-，，-，，…的一个通项公式为 A. B. C.(-1)n D.(-1)n+1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，该数列是一个以1为首项，-为公比的等比数列， 所以该数列的通项公式为1×=(-1)2×(-1)n-1×= (-1)n+1. 3.已知等比数列{an}满足a1=-1，a4=8，则a7等于 A.32 B.-32 C.64 D.-64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，设等比数列{an}的公比为q， 若a1=-1，a4=8，则有q3==-8，解得q=-2， 故a7=a1·q6=-64. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知{an}为等比数列，若=4，则公比q的值为 A.±2 B.2 C.± D. √ 设等比数列{an}的公比为q， ∴===4， 则q2=，解得q=±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.数列{an}是各项为负数的等比数列，若2a1+a2>a3，则公比q的取值范围是 A.(-1，2) B.(0，2) C.(-∞，-1)∪(2，+∞) D.(2，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}是各项为负数的等比数列，则首项a1<0，公比q>0， 因为2a1+a2>a3，即2a1+a1q>a1q2， 两边同时除以a1，得q2-q-2>0， 即>0，解得q>2或q<-1(舍去). 故公比q的取值范围是q>2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知正项等比数列{an}满足a1=2，a4=2a2+a3，若设其公比为q，则 A.q=2 B.an=2n C.18是数列中的项 D.an+an+1<an+2 √ √ √ 由题意2q3=4q+2q2，得q2-q-2=0，解得q=2(负值舍去)，选项A正确； an=2×2n-1=2n，选项B正确，C错误； an+an+1=3an，而an+2=4an>3an，选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设等比数列{an}满足a1+a2=-1，a1-a3=-3，则a4=　　.  -8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由{an}为等比数列，设公比为q. 则 即 显然q≠1，a1≠0， 由得，1-q=3，解得q=-2， 代入①式可得a1=1， 所以a4=a1q3=1×(-2)3=-8. 8.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1，a+1，a+4，则an=　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得=， 解得a=5，所以a1=4，a2=6， 所以q===，所以an=4×. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在等比数列{an}中. (1)已知a3=4，a7=16，且q>0，求an； ∵==q4=4， ∴q2=2，又q>0，∴q=， ∴an=a3·qn-3=4·()n-3=(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知a1=2，a3=8，求公比q和通项公式. ∵a3=a1·q2，即8=2q2， ∴q2=4，∴q=±2. 当q=2时，an=a1qn-1=2×2n-1=2n， 当q=-2时， an=a1qn-1=2×(-2)n-1=(-1)n-12n， ∴数列{an}的公比为2或-2， 对应的通项公式分别为an=2n或an=(-1)n-12n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2，a3； 由题意可得-(2a2-1)a1-2a2=0， 即2-4a2=0，解得a2=， 同理可得-(2a3-1)a2-2a3=0， 即-3a3=0， 解得a3=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的通项公式. 由-(2an+1-1)an-2an+1=0，得 2an+1(an+1)=an(an+1). 因为数列{an}的各项都为正数，所以=. 故{an}是首项为1，公比为的等比数列， 因此an=，n∈N+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知不等式x2-5x-6<0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是 A.8　　　B.　　C.8或2　　　D.8或 √ 综合运用 不等式x2-5x-6<0的解集为{x|-1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4， 若数列前3项为1，2，4，则第4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为. 12.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an.若am≤128，则正整数m的最大值是 A.7 B.8 C.9 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由a1=1，an+1=2an=2，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an=a1qn-1=2n-1， 若am≤128，则2m-1≤128，解得m-1≤7， 所以m≤8，正整数m的最大值是8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列的第一个数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N+)，则a53的值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一列构成首项为的等差数列，所以a51=+(5-1)×=.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为的等比数列，所以a53=×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在正项等比数列{an}中，若3a1，a3，2a2成等差数列，则=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正项等比数列{an}的公比为q，q>0， ∵3a1，a3，2a2成等差数列， ∴2×a3=3a1+2a2， 即a1q2=3a1+2a1q， ∴q2-2q-3=0，q>0，解得q=3. 则原式===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a10+a9=6a8，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为 A.4 B. C. D.9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由各项均为正数的等比数列{an}满足a10+a9=6a8， 可得a8q2+a8q=6a8，即q2+q-6=0， 解得q=2或q=-3(舍去). ∵=4a1，=4a1， ∴2m+n-2=16， ∴m+n=6， ∴+=(m+n)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当=，即m=2，n=4时，等号成立. 故 +. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在①a3=5，a2+a5=6b2；②b2=2，a3+a4=3b3；③S3=9，a4+a5=8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列的公比为q，且a1=b1，d=q，　　　　；求数列{an}，的通项公式.  注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选条件①： 因为a3=5，所以a1+2d=5， 因为a2+a5=6b2，a1=b1，d=q，所以2a1+5d=6a1d， 联立 解得(舍去)， 则a1=b1=1，d=q=2， 故an=a1+(n-1)d=2n-1，bn=b1qn-1=2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选条件②： 因为b2=2，a1=b1，d=q，所以a1d=2， 因为a3+a4=3b3，所以2a1+5d=3a1d2， 联立 解得(舍去)， 则a1=b1=1，d=q=2， 故an=a1+(n-1)d=2n-1，bn=b1qn-1=2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选条件③： 因为S3=9，所以3a1+3d=9， 因为a4+a5=8b2，a1=b1，d=q， 所以2a1+7d=8a1d， 联立 解得(舍去)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a1=b1=1，d=q=2， 故an=a1+(n-1)d=2n-1，bn=b1qn-1=2n-1. 第五章 <<< $$ 5.3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 ［学习目标］　1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.3.能应用等比数列通项公式进行简单运算. 导语　 从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷3 500亿千克，年增稻谷可养活6 000万人口.这一切都归功于“杂交水稻之父”袁隆平，西方世界称他的杂交水稻是“东方魔稻”，并被认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝.袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，那么到第5代时大约可以得到这个新品种的多少粒种子？学习了本节内容之后，你就能得到这个问题的答案了. 一、等比数列的定义 问题1　观察下列情境中的数列，回答后面的问题. 有些细胞在分裂时，会从1个变成2个，2个变成4个，4个变成8个……，这里细胞的个数构成数列1，2，4，8，16，32，…. ① 《庄子》中说：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”其意思是：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.如果记木棒的长度为1，则不断取一半的过程中，每日截去一半之后木棒的长度构成数列，，，…. ② 我们都知道，如果将钱存在银行里，就会获得利息.例如，如果某年年初将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这五年中，每年年底的本息和构成数列1 000×1.03，1 000×1.032，…，1 000×1.035. ③ 类比等差数列的研究，你能发现上述三个数列有何共同点？ 提示　不难看出，上述数列①②③的共同点是：从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于一个常数.具体地，数列①从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于2；数列②从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于；数列③从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于1.03. 知识梳理　 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即=q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比. 注意点： (1)定义的符号表示：=q(n∈N+且n≥2)或=q(n∈N+). (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，，，，，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)，，，，…； (4)1，0，1，0，1，0，…； (5)1，-4，16，-64，256，…. 解　(1)不是等比数列.(2)是等比数列，公比为1.(3)是等比数列，公比为.(4)不是等比数列.(5)是等比数列，公比为-4. 反思感悟　判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 跟踪训练1　(多选)以下数列中是等比数列的是(　　) A.数列1，3，9，27，… B.数列{an}中，已知=2，=2 C.常数列a，a，a，…，a，… D.数列{an}中，=q(q≠0)，其中n∈N+ 答案　AD 解析　在B中，不一定满足=2； 在数列C中，若a=0，则不是等比数列； 在A，D中，满足为非零常数， ∴A，D是等比数列. 二、等比数列的通项公式 问题2　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示　设一个等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则由定义可知=q. 方法一　即an+1=anq， 从而a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3， …… 由此可得an=a1qn-1. 方法二　由等比数列的定义可得 =q， =q， …… =q， =q， 将这n-1个式子两边分别相乘，则有=qn-1， 因此可得an=a1·qn-1. 知识梳理　 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an=a1qn-1(n∈N+). 注意点： (1)已知等比数列的首项a1和公比q，便可写出其通项公式. (2)等比数列的通项公式是an，a1，q，n之间的关系，可以解方程(组)“知三求一”. (3)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m(n，m∈N+). 例2　写出下列等比数列的一个通项公式： (1)-1，1，-1，1，-1，…； (2)1，，，，…； (3)5，10，20，40，…. 解　(1)数列的首项为-1，公比为-1， 所以an=(-1)×(-1)n-1=(-1)n. (2)数列的首项为1，公比为，所以an=. (3)数列的首项为5，公比为2，所以an=5×2n-1. 反思感悟　写一个等比数列的通项公式，关键是找出该等比数列的首项和公比，这也是所有基本运算中的基本方法，需要注意的是，当公比是负数或分数时，需加括号. 跟踪训练2　已知等比数列{an}的通项公式是an=7×21-n，试写出它的首项和公比. 解　当n=1时，a1=7×21-1=7， 当n=2时，a2=7×21-2=， 所以q==， 所以该等比数列的首项和公比分别是7，. 三、等比数列中的简单运算 例3　在等比数列{an}中. (1)a1=1，a4=8，求an； (2)an=625，n=4，q=5，求a1； (3)a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 解　(1)因为a4=a1q3，所以8=q3，所以q=2， 所以an=a1qn-1=2n-1. (2)a1===5，故a1=5. (3)方法一　因为 由，得q=，从而a1=32. 又an=1， 所以32×=1，即26-n=20，故n=6. 方法二　因为a3+a6=q(a2+a5)， 所以q=. 由a1q+a1q4=18，得a1=32. 由an=a1qn-1=1，得n=6. 延伸探究　将本例(1)条件改为a2=2，a4=8，求an. 解　方法一　 ∴由得q2=4，∴q=2或q=-2， 当q=2时，a1=1，∴an=1×2n-1=2n-1， 当q=-2时，a1=-1， ∴an=-1×(-2)n-1=-(-2)n-1， 综上所述，an=2n-1或an=-(-2)n-1. 方法二　由方法一知q=2或q=-2. ∴an=a2qn-2=2×2n-2=2n-1 或an=a2qn-2=2×(-2)n-2=-(-2)n-1. 反思感悟　等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个.在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 跟踪训练3　(1)若等比数列{an}的首项a1=，末项an=，公比q=，求项数n. (2)在等比数列{an}中，已知a5-a1=15，a4-a2=6，求an. 解　(1)由an=a1·qn-1，得=×， 即=，得n=4. (2)∵ 由得q=或q=2. 当q=时，a1=-16； 当q=2时，a1=1. ∴an=-16×=-25-n或an=2n-1. 1.知识清单： (1)等比数列的概念. (2)等比数列的通项公式. (3)等比数列通项公式的简单运算. 2.方法归纳：定义法，通项公式法. 3.常见误区：当公比用分数、负数表示时，易忽略需对公比加括号. 1.(多选)下列各组数成等比数列的是(　　) A.1，-2，4，-8，… B.-，2，-2，… C.x，x2，x3，x4，… D.a-1，a-2，a-3，a-4 答案　ABD 解析　由等比数列的定义，知ABD是等比数列，C中当x=0时，不是等比数列. 2.在等比数列{an}中，a2 021=-8a2 024，则公比q等于(　　) A.2 B.-2 C.±2 D.- 答案　D 解析　因为a2 021=-8a2 024，所以=-=q3， 解得q=-. 3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　) A.4 B.8 C.6 D.32 答案　C 解析　由等比数列的通项公式得，128=4×2n-1，2n-1=32，所以n=6. 4.若{an}为等比数列，且a3+a4=4，a2=2，则公比q=　　　　.  答案　1或-2 解析　根据题意得， 解得或 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)下列说法正确的有(　　) A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D.22，42，62，82，…成等比数列 答案　AC 解析　A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，D错误. 2.数列1，-，，-，，…的一个通项公式为(　　) A. B. C.(-1)n D.(-1)n+1 答案　D 解析　由题意可知，该数列是一个以1为首项，-为公比的等比数列， 所以该数列的通项公式为1×=(-1)2×(-1)n-1×=(-1)n+1. 3.已知等比数列{an}满足a1=-1，a4=8，则a7等于(　　) A.32 B.-32 C.64 D.-64 答案　D 解析　根据题意，设等比数列{an}的公比为q， 若a1=-1，a4=8，则有q3==-8，解得q=-2， 故a7=a1·q6=-64. 4.已知{an}为等比数列，若=4，则公比q的值为(　　) A.±2 B.2 C.± D. 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q， ∴===4， 则q2=，解得q=±. 5.数列{an}是各项为负数的等比数列，若2a1+a2>a3，则公比q的取值范围是(　　) A.(-1，2) B.(0，2) C.(-∞，-1)∪(2，+∞) D.(2，+∞) 答案　D 解析　因为数列{an}是各项为负数的等比数列，则首项a1<0，公比q>0， 因为2a1+a2>a3，即2a1+a1q>a1q2， 两边同时除以a1，得q2-q-2>0， 即>0，解得q>2或q<-1(舍去). 故公比q的取值范围是q>2. 6.(多选)已知正项等比数列{an}满足a1=2，a4=2a2+a3，若设其公比为q，则(　　) A.q=2 B.an=2n C.18是数列中的项 D.an+an+1<an+2 答案　ABD 解析　由题意2q3=4q+2q2，得q2-q-2=0，解得q=2(负值舍去)，选项A正确； an=2×2n-1=2n，选项B正确，C错误； an+an+1=3an，而an+2=4an>3an，选项D正确. 7.(5分)设等比数列{an}满足a1+a2=-1，a1-a3=-3，则a4=　　　　.  答案　-8 解析　由{an}为等比数列，设公比为q. 则 即 显然q≠1，a1≠0， 由得，1-q=3，解得q=-2， 代入①式可得a1=1， 所以a4=a1q3=1×(-2)3=-8. 8.(5分)已知等比数列{an}的前三项依次为a-1，a+1，a+4，则an=　　　　.  答案　4× 解析　由已知可得=， 解得a=5，所以a1=4，a2=6， 所以q===，所以an=4×. 9.(10分)在等比数列{an}中. (1)已知a3=4，a7=16，且q>0，求an；(4分) (2)已知a1=2，a3=8，求公比q和通项公式.(6分) 解　(1)∵==q4=4， ∴q2=2，又q>0，∴q=， ∴an=a3·qn-3=4·()n-3=(n∈N+). (2)∵a3=a1·q2，即8=2q2， ∴q2=4，∴q=±2. 当q=2时，an=a1qn-1=2×2n-1=2n， 当q=-2时， an=a1qn-1=2×(-2)n-1=(-1)n-12n， ∴数列{an}的公比为2或-2， 对应的通项公式分别为an=2n或an=(-1)n-12n. 10.(11分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2，a3；(5分) (2)求数列{an}的通项公式.(6分) 解　(1)由题意可得-(2a2-1)a1-2a2=0， 即2-4a2=0，解得a2=， 同理可得-(2a3-1)a2-2a3=0， 即-3a3=0， 解得a3=. (2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0，得 2an+1(an+1)=an(an+1). 因为数列{an}的各项都为正数，所以=. 故{an}是首项为1，公比为的等比数列， 因此an=，n∈N+. 11.已知不等式x2-5x-6<0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是(　　) A.8 B. C.8或2 D.8或 答案　D 解析　不等式x2-5x-6<0的解集为{x|-1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4， 若数列前3项为1，2，4，则第4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为. 12.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an.若am≤128，则正整数m的最大值是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　B 解析　由a1=1，an+1=2an，可得=2，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an=a1qn-1=2n-1， 若am≤128，则2m-1≤128，解得m-1≤7， 所以m≤8，正整数m的最大值是8. 13.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列的第一个数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N+)，则a53的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51=+(5-1)×=.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53=×=. 14.(5分)在正项等比数列{an}中，若3a1，a3，2a2成等差数列，则=　　　　.  答案　 解析　设正项等比数列{an}的公比为q，q>0， ∵3a1，a3，2a2成等差数列， ∴2×a3=3a1+2a2， 即a1q2=3a1+2a1q， ∴q2-2q-3=0，q>0，解得q=3. 则原式===. 15.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a10+a9=6a8，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为(　　) A.4 B. C. D.9 答案　C 解析　由各项均为正数的等比数列{an}满足a10+a9=6a8， 可得a8q2+a8q=6a8，即q2+q-6=0， 解得q=2或q=-3(舍去). ∵=4a1，=4a1， ∴2m+n-2=16， ∴m+n=6， ∴+=(m+n) ==. 当且仅当=，即m=2，n=4时，等号成立. 故 +的最小值等于. 16.(12分)在①a3=5，a2+a5=6b2；②b2=2，a3+a4=3b3；③S3=9，a4+a5=8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列的公比为q，且a1=b1，d=q，　　　　；求数列{an}，的通项公式.  注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解　选条件①： 因为a3=5，所以a1+2d=5， 因为a2+a5=6b2，a1=b1，d=q，所以2a1+5d=6a1d， 联立 解得或(舍去)， 则a1=b1=1，d=q=2， 故an=a1+(n-1)d=2n-1，bn=b1qn-1=2n-1. 选条件②： 因为b2=2，a1=b1，d=q，所以a1d=2， 因为a3+a4=3b3，所以2a1+5d=3a1d2， 联立 解得或(舍去)， 则a1=b1=1，d=q=2， 故an=a1+(n-1)d=2n-1，bn=b1qn-1=2n-1. 选条件③： 因为S3=9，所以3a1+3d=9， 因为a4+a5=8b2，a1=b1，d=q， 所以2a1+7d=8a1d， 联立 解得或(舍去)， 则a1=b1=1，d=q=2， 故an=a1+(n-1)d=2n-1，bn=b1qn-1=2n-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$