第5章 5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第五章 <<< 等差数列前n项和的性质及应用 第2课时 1.能解决等差数列中前n项和的最值问题. 2.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题. 3.构造等差数列求和模型，解决实际问题. 学习目标 上节课我们学习了等差数列的前n项和公式，以及等差数列的前n项和公式的函数特征，那么等差数列的前n项和还具有哪些独特的性质呢？这一节课我们继续研究等差数列的前n项和的性质. 导 语 一、等差数列中前n项和的最值问题 二、等差数列中的片段和问题 课时对点练 三、等差数列前n项和的实际应用 随堂演练 内容索引 等差数列中前n项和的最值问题 一 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有 值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有 值，使Sn取得最值的n可由不等式组 确定. 最大 最小 知识梳理 (2)Sn=n2+n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有______值；当d<0时，Sn有 值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取得最值. 最小 最大 (1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一. 注 意 点 <<< 8 在等差数列{an}中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值. 例 1 9 方法一　因为S8=S18，a1=25， 所以8×25+d=18×25+d， 解得d=-2. 所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n =-(n-13)2+169. 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 10 方法二　同方法一，求出公差d=-2. 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 因为a1=25>0， 由 又因为n∈N+， 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 11 方法三　因为S8=S18， 所以a9+a10+…+a18=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 所以当n=13时，Sn有最大值.由a13+a14=0，得 a1+12d+a1+13d=0， 解得d=-2， 所以S13=13×25+×(-2)=169， 所以Sn的最大值为169. 12 方法四　设Sn=An2+Bn. 因为S8=S18，a1=25， 所以二次函数图象的对称轴为x==13，且开口方向向下， 所以当n=13时，Sn取得最大值. 由题意得解得 所以Sn=-n2+26n， 所以S13=169， 即Sn的最大值为169. 13 (1)二次函数法：等差数列前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)的形式，通过配方法，结合二次函数的图象求最值，但要注意n为正整数. (2)邻项变号法：对于等差数列中a1>0，d<0或a1<0，d>0的情况，通过研究变号项来求Sn的最大值或最小值. 反 思 感 悟 等差数列前n项和最值的求法 14 　已知等差数列{an}中，a1=9，a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式； 跟踪训练 1 由a1=9，a4+a7=0， 得a1+3d+a1+6d=0，解得d=-2， ∴an=a1+(n-1)·d=11-2n(n∈N+). 15 (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 方法一　由(1)知，a1=9，d=-2， Sn=9n+·(-2)=-n2+10n=-(n-5)2+25， ∴当n=5时，Sn取得最大值. 方法二　由(1)知，a1=9，d=-2<0， ∴{an}是递减数列. 令an≥0，则11-2n≥0，解得n≤. ∵n∈N+，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0. ∴当n=5时，Sn取得最大值. 16 二 等差数列中的片段和问题 等差数列{an}的前n项和为Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 问题 提示　S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=2Sn +n2d，同样我们发现S3n=3Sn+3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n-Sn=Sn+n2d，S3n-S2n=Sn+2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…(k∈N+)是等差数列，其公差等于 . k2d 知识梳理 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则Sm+n=-(m+n). 注 意 点 <<< 20 　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 例 2 21 方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵S10=100，S100=10， ∴ 解得 ∴S110=110a1+d =110×+×=-110. 22 方法二　∵S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10， 解得d=-22， ∴前11项和S110=11×100+×(-22)=-110. 23 方法三　由也是等差数列，设公差为d，构造新的等差数列b1= =10，b10==， 则d=(b10-b1)==-， 所以b11==b10+d=+=-1， 所以S110=-110. 方法四　直接利用性质Sn=m，Sm=n，Sm+n=-(m+n)，可知S110=-110. 24 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. (2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 反 思 感 悟 利用等差数列前n项和的性质简化计算 25 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m. 跟踪训练 2 26 方法一　在等差数列中， ∵Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列， ∴30，70，S3m-100成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100)，∴S3m=210. 方法二　在等差数列中，成等差数列， ∴=+. 即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 27 等差数列前n项和的实际应用 三 　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ 例 3 29 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1=50+1 000×1%=60， a2=50+(1 000-50)×1%=59.5， a3=50+(1 000-50×2)×1%=59， a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5， 所以an=50+[1 000-50(n-1)]×1% =60-(n-1)(1≤n≤20，n∈N+). 30 所以{an}是以60为首项，-为公差的等差数列. 所以a10=60-9×=55.5， 所以分期付款的第10个月应付55.5万元. 又a20=60-19×=50.5. 所以S20=×(a1+a20)×20 =10×(60+50.5)=1 105. 所以实际共付1 105+150=1 255(万元). 31 (1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列. (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题. 反 思 感 悟 32 某地在抗洪抢险中接到预报，24 h后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24 h内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25 h，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入工作外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20 min就可有一辆车到达并投入工作.问：指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24 h内完成第二道防线？请说明理由. 跟踪训练 3 33 设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间，依次组成数列{an}，则an-an-1=-. ∴数列{an}构成首项为24，公差为-的等差数列.设还需组织(n-1)辆车，则a1+a2+…+an=24n+·≥20×25. ∴n2-145n+3 000≤0，即(n-25)(n-120)≤0. ∴25≤n≤120，∴nmin=25，∴n-1=24. 故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证24 h内完成第二道防线. 34 1.知识清单： (1)等差数列中前n项和的最值问题. (2)等差数列中的片段和问题. (3)等差数列前n项和的实际应用. 2.方法归纳：公式法、函数法、构造法、整体代换法. 3.常见误区：忽略Sn取得最值时的n不一定唯一. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于 A.63 B.45 C.36 D.27 √ ∵a7+a8+a9=S9-S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6-S3，S9-S6构成等差数列，所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3)，即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45. 1 2 3 4 2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌谣形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于 A.35 B.32 C.23 D.38 √ 1 2 3 4 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d=-3的等差数列，且九项之和为207. 故S9=9a1+d=9a1-108=207，解得a1=35. 3.在等差数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn，若-=2，则S10等于 A.10 B.100 C.110 D.120 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ∵{an}是等差数列，a1=1，∴=1，又-=2， ∴数列的公差为1， ∴=1+(10-1)×1=10. ∴S10=100. 1 2 3 4 4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3=S8，当n=　　　时，Sn取到最大值.  ∵S3=S8，∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0，∴a6=0. ∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0，a7<0. 故当n=5或6时，Sn最大. 5或6 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知数列{an}满足an=26-2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 A.11或12 B.12 C.13 D.12或13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an=26-2n，∴an-an-1=-2， ∴数列{an}为等差数列. 又a1=24，d=-2， ∴Sn=24n+×(-2)=-n2+25n =-+. ∵n∈N+，∴当n=12或13时，Sn最大，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若等差数列{an}的前m项和Sm=20，前3m项和S3m=90，则它的前2m项和S2m等于 A.30 B.70 C.50 D.60 ∵在等差数列{an}中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列， ∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m， ∴2(S2m-20)=20+90-S2m， ∴S2m=50. √ 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a11=9，S5=S3+44，则Sn的最大值为 A.225 B.223 C.221 D.219 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设等差数列{an}的公差为d. ∵a11=9，S5=S3+44， ∴a1+10d=9，a4+a5=2a1+7d=44， 得a1=29，d=-2， ∴Sn=29n+×(-2) =-n2+30n=-(n-15)2+225， ∴当n=15时，Sn取得最大值225. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　设等差数列{an}的公差为d. ∵a11=9，S5=S3+44， ∴a1+10d=9，a4+a5=2a1+7d=44， 解得a1=29，d=-2， ∴an=31-2n. 令an>0，得n<15.5， ∴S15最大，且S15==225， ∴Sn的最大值为225. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织　　　　尺布(不作近似计算)  A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1=5，S30=390，设其公差为d，则S30=30×5+d=390，解得d=.故该女子织布每天增加尺. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列判断正确的是 A.d<0 B.S11>0 C.S12<0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵S6>S7， ∴a7<0， ∵S7>S5， ∴a6+a7>0， ∴a6>0，∴d<0，A正确； S11=(a1+a11)=11a6>0，B正确； S12=(a1+a12)=6(a6+a7)>0，C不正确； 数列{Sn}中最大项为S6，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，则 A.S3，S6-S3，S9-S6成等差数列 B.，，成等差数列 C.S9=2S6-S3 D.S9=3(S6-S3) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由S3=a1+a2+a3=3a1+3d，S6-S3=a4+a5+a6=3a1+12d，S9-S6=a7+a8+a9=3a1 +21d，得S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，A正确； 由==a1+d， ==a1+d， ==a1+4d，易知成等差数列，B正确； 2S6-S3=12a1+30d-(3a1+3d)=9a1+27d≠S9，C错误； 3(S6-S3)=3×(3a1+12d)=9a1+36d=S9，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=2，S8=6，则S12=　　.  12 因为S4，S8-S4，S12-S8成等差数列，故2(S8-S4)=S4+S12-S8，即2×4=2+S12-6，得S12=12. 8.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4=1，S5=10，则当Sn取得最大值时，n的值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 ∴a5=a1+4d=0， ∴S4=S5，且同时最大. ∴n=4或5. 4或5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在我国古代，9是数之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕 它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1 圈多9块，共有9圈，则 (1)第9圈共有多少块石板？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设从第1圈到第9圈石板块数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=9，d=9. 由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为 a9=a1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(块). 故第9圈共有81块石板. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)一共有多少块石板？ 由等差数列前n项和公式，得石板总数为 S9=9a1+d=9×9+×9=405(块). 故一共有405块石板. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，且S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范围； ∵a3=12，∴a1=12-2d. ∵S12>0，S13<0， ∴ ∴-<d<-3. 即d的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)前几项的和最大？并说明理由. ∵S12>0，S13<0， ∴ ∴a6>0， 又由(1)知d<0. ∴数列前6项为正，从第7项起为负. ∴数列前6项的和最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放 2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放 A.4 000元 B.4 500元 C.4 800元 D.5 000元 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列的前n项和为Sn， 由已知可知等差数列中S10=2 000， S20=3 500， 因为S10，S20-S10，S30-S20成等差数列， 所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20)， 所以2×(3 500-2 000)=2 000+(S30-3 500)， 解得S30=4 500. 12.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=，则的值为 A. B.- C.3 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由等差数列的求和公式可得==， 可得a1=2d且d≠0， 所以===. 方法二　由=，得S6=3S3.S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9仍然是等差数列，公差为(S6-S3)-S3=S3，从而S9-S6=S3+2S3=3S3，则S9=6S3，S12-S9=S3+3S3 =4S3，则S12=10S3，所以=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5+5a9=0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由7a5+5a9=0，即7a1+28d+5a1+40d=0， 得=-. 又a9>a5，所以d>0，a1<0. 因为函数y=x2+x的图象的对称轴为x=-=+=，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知正整数p满足三三数之剩二(除以3余2)，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为 A. B. C.10 D.11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 除以3余2的正整数按照从小到大的顺序排列所构成的数列{an}是一个首项为2，公差为3的等差数列， 所以an=2+3(n-1)=3n-1， Sn==， 所以==++≥2+=， 当且仅当=，即n=2时，等号成立， 所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？ A.4日 B.3日 C.5日 D.6日 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，良马第n日行程记为an，则数列{an}是首项为97，公差为15的等差数列， 驽马第n日行程记为bn，则数列{bn}是首项为92，公差为-1的等差数列，则an=97+15(n-1)=15n+82，bn=92-(n-1)=93-n. 因为数列{an}的前n项和为=， 数列{bn}的前n项和为 =， 所以+=840，整理得14n2+364n-1 680=0，即n2+26n-120=0，解得n=4(n=-30舍去)，即4日相逢. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8=4，　　　　.  (1)判断2 024是否是数列{an}中的项，并说明理由； (2)求Sn的最小值. 从①S11=-22；②S5=S6这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选①， (1)设等差数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an=a1+(n-1)d=3n-20. 令3n-20=2 024，得n=∉N+， 所以2 024不是数列{an}中的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)令an=3n-20>0，解得n>， 所以当n≤6时，an<0，当n≥7时，an>0. 故当n=6时，Sn取到最小值， 为S6=6a1+15d=-57. 若选②， (1)设等差数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an=2n-12. 令2n-12=2 024， 解得n=1 018∈N+， 所以2 024是数列{an}中的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)令2n-12>0，得n>6， 所以当n≤6时，an≤0，当n≥7时，an>0. 故当n=6或n=5时，Sn取到最小值， 为S5=S6=-30. 第五章 <<< $$ 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 ［学习目标］　1.能解决等差数列中前n项和的最值问题.2.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题.3.构造等差数列求和模型，解决实际问题. 导语　 上节课我们学习了等差数列的前n项和公式，以及等差数列的前n项和公式的函数特征，那么等差数列的前n项和还具有哪些独特的性质呢？这一节课我们继续研究等差数列的前n项和的性质. 一、等差数列中前n项和的最值问题 知识梳理　 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定. (2)Sn=n2+n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取得最值. 注意点： (1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一. 例1　在等差数列{an}中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值. 解　方法一　因为S8=S18，a1=25， 所以8×25+d=18×25+d， 解得d=-2. 所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n =-(n-13)2+169. 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 方法二　同方法一，求出公差d=-2. 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 因为a1=25>0， 由得 又因为n∈N+， 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 方法三　因为S8=S18， 所以a9+a10+…+a18=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 所以当n=13时，Sn有最大值.由a13+a14=0，得 a1+12d+a1+13d=0， 解得d=-2， 所以S13=13×25+×(-2)=169， 所以Sn的最大值为169. 方法四　设Sn=An2+Bn. 因为S8=S18，a1=25， 所以二次函数图象的对称轴为x==13，且开口方向向下， 所以当n=13时，Sn取得最大值. 由题意得 解得 所以Sn=-n2+26n， 所以S13=169， 即Sn的最大值为169. 反思感悟　等差数列前n项和最值的求法 (1)二次函数法：等差数列前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)的形式，通过配方法，结合二次函数的图象求最值，但要注意n为正整数. (2)邻项变号法：对于等差数列中a1>0，d<0或a1<0，d>0的情况，通过研究变号项来求Sn的最大值或最小值. 跟踪训练1　已知等差数列{an}中，a1=9，a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 解　(1)由a1=9，a4+a7=0， 得a1+3d+a1+6d=0，解得d=-2， ∴an=a1+(n-1)·d=11-2n(n∈N+). (2)方法一　由(1)知，a1=9，d=-2， Sn=9n+·(-2)=-n2+10n=-(n-5)2+25， ∴当n=5时，Sn取得最大值. 方法二　由(1)知，a1=9，d=-2<0， ∴{an}是递减数列. 令an≥0，则11-2n≥0，解得n≤. ∵n∈N+，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0. ∴当n=5时，Sn取得最大值. 二、等差数列中的片段和问题 问题　等差数列{an}的前n项和为Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 提示　S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=2Sn+n2d，同样我们发现S3n=3Sn+3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n-Sn=Sn+n2d，S3n-S2n=Sn+2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 知识梳理　 等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…(k∈N+)是等差数列，其公差等于k2d. 注意点： (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则Sm+n=-(m+n). 例2　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 解　方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵S10=100，S100=10， ∴ 解得 ∴S110=110a1+d =110×+×=-110. 方法二　∵S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10， 解得d=-22， ∴前11项和S110=11×100+×(-22) =-110. 方法三　由也是等差数列，设公差为d，构造新的等差数列b1==10，b10==， 则d=(b10-b1)==-， 所以b11==b10+d=+=-1， 所以S110=-110. 方法四　直接利用性质Sn=m，Sm=n，Sm+n=-(m+n)，可知S110=-110. 反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. (2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 跟踪训练2　等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m. 解　方法一　在等差数列中， ∵Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列， ∴30，70，S3m-100成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100)，∴S3m=210. 方法二　在等差数列中，，，成等差数列， ∴=+. 即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 三、等差数列前n项和的实际应用 例3　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ 解　因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1=50+1 000×1%=60， a2=50+(1 000-50)×1%=59.5， a3=50+(1 000-50×2)×1%=59， a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5， 所以an=50+［1 000-50(n-1)］×1% =60-(n-1)(1≤n≤20，n∈N+). 所以{an}是以60为首项，-为公差的等差数列. 所以a10=60-9×=55.5， 所以分期付款的第10个月应付55.5万元. 又a20=60-19×=50.5. 所以S20=×(a1+a20)×20 =10×(60+50.5)=1 105. 所以实际共付1 105+150=1 255(万元). 反思感悟　(1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列. (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题. 跟踪训练3　某地在抗洪抢险中接到预报，24 h后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24 h内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25 h，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入工作外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20 min就可有一辆车到达并投入工作.问：指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24 h内完成第二道防线？请说明理由. 解　设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间，依次组成数列{an}，则an-an-1=-. ∴数列{an}构成首项为24，公差为-的等差数列.设还需组织(n-1)辆车，则a1+a2+…+an=24n+·≥20×25. ∴n2-145n+3 000≤0，即(n-25)(n-120)≤0. ∴25≤n≤120，∴nmin=25，∴n-1=24. 故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证24 h内完成第二道防线. 1.知识清单： (1)等差数列中前n项和的最值问题. (2)等差数列中的片段和问题. (3)等差数列前n项和的实际应用. 2.方法归纳：公式法、函数法、构造法、整体代换法. 3.常见误区：忽略Sn取得最值时的n不一定唯一. 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于(　　) A.63 B.45 C.36 D.27 答案　B 解析　∵a7+a8+a9=S9-S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6-S3，S9-S6构成等差数列，所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3)，即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45. 2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌谣形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于(　　) A.35 B.32 C.23 D.38 答案　A 解析　由题意可知，九个儿子的年龄成公差d=-3的等差数列，且九项之和为207. 故S9=9a1+d=9a1-108=207，解得a1=35. 3.在等差数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn，若-=2，则S10等于(　　) A.10 B.100 C.110 D.120 答案　B 解析　∵{an}是等差数列，a1=1，∴也是等差数列，首项为=1，又-=2， ∴数列的公差为1， ∴=1+(10-1)×1=10. ∴S10=100. 4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3=S8，当n=　　　　时，Sn取到最大值.  答案　5或6 解析　∵S3=S8，∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0，∴a6=0. ∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0，a7<0. 故当n=5或6时，Sn最大. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共12分 1.已知数列{an}满足an=26-2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　) A.11或12 B.12 C.13 D.12或13 答案　D 解析　∵an=26-2n，∴an-an-1=-2， ∴数列{an}为等差数列. 又a1=24，d=-2， ∴Sn=24n+×(-2)=-n2+25n =-+. ∵n∈N+，∴当n=12或13时，Sn最大，故选D. 2.若等差数列{an}的前m项和Sm=20，前3m项和S3m=90，则它的前2m项和S2m等于(　　) A.30 B.70 C.50 D.60 答案　C 解析　∵在等差数列{an}中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列， ∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m， ∴2(S2m-20)=20+90-S2m， ∴S2m=50. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a11=9，S5=S3+44，则Sn的最大值为(　　) A.225 B.223 C.221 D.219 答案　A 解析　方法一　设等差数列{an}的公差为d. ∵a11=9，S5=S3+44， ∴a1+10d=9，a4+a5=2a1+7d=44， 得a1=29，d=-2， ∴Sn=29n+×(-2) =-n2+30n=-(n-15)2+225， ∴当n=15时，Sn取得最大值225. 方法二　设等差数列{an}的公差为d. ∵a11=9，S5=S3+44， ∴a1+10d=9，a4+a5=2a1+7d=44， 解得a1=29，d=-2， ∴an=31-2n. 令an>0，得n<15.5， ∴S15最大，且S15==225， ∴Sn的最大值为225. 4.《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织　　　　尺布(不作近似计算)(　　)  A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1=5，S30=390，设其公差为d，则S30=30×5+d=390，解得d=.故该女子织布每天增加尺. 5.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列判断正确的是(　　) A.d<0 B.S11>0 C.S12<0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 答案　AB 解析　∵S6>S7， ∴a7<0， ∵S7>S5， ∴a6+a7>0， ∴a6>0，∴d<0，A正确； S11=(a1+a11)=11a6>0，B正确； S12=(a1+a12)=6(a6+a7)>0，C不正确； 数列{Sn}中最大项为S6，D不正确. 6.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，则(　　) A.S3，S6-S3，S9-S6成等差数列 B.，，成等差数列 C.S9=2S6-S3 D.S9=3(S6-S3) 答案　ABD 解析　由S3=a1+a2+a3=3a1+3d，S6-S3=a4+a5+a6=3a1+12d，S9-S6=a7+a8+a9=3a1+21d，得S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，A正确； 由==a1+d， ==a1+d， ==a1+4d，易知，，成等差数列，B正确； 2S6-S3=12a1+30d-(3a1+3d)=9a1+27d≠S9，C错误； 3(S6-S3)=3×(3a1+12d)=9a1+36d=S9，D正确. 7.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=2，S8=6，则S12=　　　　.  答案　12 解析　因为S4，S8-S4，S12-S8成等差数列，故2(S8-S4)=S4+S12-S8，即2×4=2+S12-6，得S12=12. 8.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4=1，S5=10，则当Sn取得最大值时，n的值为　　　　.  答案　4或5 解析　由解得 ∴a5=a1+4d=0， ∴S4=S5，且同时最大. ∴n=4或5. 9.(10分)在我国古代，9是数之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则 (1)第9圈共有多少块石板？(5分) (2)一共有多少块石板？(5分) 解　(1)设从第1圈到第9圈石板块数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=9，d=9. 由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为 a9=a1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(块). 故第9圈共有81块石板. (2)由等差数列前n项和公式，得石板总数为 S9=9a1+d=9×9+×9=405(块). 故一共有405块石板. 10.(11分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，且S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范围；(5分) (2)前几项的和最大？并说明理由.(6分) 解　(1)∵a3=12，∴a1=12-2d. ∵S12>0，S13<0， ∴即 ∴-<d<-3. 即d的取值范围为. (2)∵S12>0，S13<0， ∴ ∴a6>0， 又由(1)知d<0. ∴数列前6项为正，从第7项起为负. ∴数列前6项的和最大. 11.某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放(　　) A.4 000元 B.4 500元 C.4 800元 D.5 000元 答案　B 解析　设等差数列的前n项和为Sn， 由已知可知等差数列中S10=2 000， S20=3 500， 因为S10，S20-S10，S30-S20成等差数列， 所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20)， 所以2×(3 500-2 000)=2 000+(S30-3 500)， 解得S30=4 500. 12.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=，则的值为(　　) A. B.- C.3 D. 答案　D 解析　方法一　由等差数列的求和公式可得==， 可得a1=2d且d≠0， 所以===. 方法二　由=，得S6=3S3.S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9仍然是等差数列，公差为(S6-S3)-S3=S3，从而S9-S6=S3+2S3=3S3，则S9=6S3，S12-S9=S3+3S3=4S3，则S12=10S3，所以=. 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5+5a9=0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　B 解析　由7a5+5a9=0，即7a1+28d+5a1+40d=0， 得=-. 又a9>a5，所以d>0，a1<0. 因为函数y=x2+x的图象的对称轴为x=-=+=，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6. 14.已知正整数p满足三三数之剩二(除以3余2)，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为(　　) A. B. C.10 D.11 答案　B 解析　除以3余2的正整数按照从小到大的顺序排列所构成的数列{an}是一个首项为2，公差为3的等差数列， 所以an=2+3(n-1)=3n-1， Sn==， 所以==++ ≥2+=， 当且仅当=，即n=2时，等号成立， 所以的最小值为. 15.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？(　　) A.4日 B.3日 C.5日 D.6日 答案　A 解析　由题意，良马第n日行程记为an，则数列{an}是首项为97，公差为15的等差数列， 驽马第n日行程记为bn，则数列{bn}是首项为92，公差为-1的等差数列，则an=97+15(n-1)=15n+82，bn=92-(n-1)=93-n. 因为数列{an}的前n项和为=， 数列{bn}的前n项和为 =， 所以+=840，整理得14n2+364n-1 680=0，即n2+26n-120=0，解得n=4(n=-30舍去)，即4日相逢. 16.(12分)已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8=4，　　　　.  (1)判断2 024是否是数列{an}中的项，并说明理由；(6分) (2)求Sn的最小值.(6分) 从①S11=-22；②S5=S6这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解　若选①， (1)设等差数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an=a1+(n-1)d=3n-20. 令3n-20=2 024，得n=∉N+， 所以2 024不是数列{an}中的项. (2)令an=3n-20>0，解得n>， 所以当n≤6时，an<0，当n≥7时，an>0. 故当n=6时，Sn取到最小值， 为S6=6a1+15d=-57. 若选②， (1)设等差数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an=2n-12. 令2n-12=2 024， 解得n=1 018∈N+， 所以2 024是数列{an}中的项. (2)令2n-12>0，得n>6， 所以当n≤6时，an≤0，当n≥7时，an>0. 故当n=6或n=5时，Sn取到最小值， 为S5=S6=-30. 学科网（北京）股份有限公司 $$