第5章 5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第五章 <<< 等差数列的前n项和公式 第1课时 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个. 3.了解等差数列前n项和的函数特征. 学习目标 同学们，印度有一著名景点——泰姬陵，传说陵寝中有一个三角形图案，由相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，这需要用到我们今天要研究的等差数列求和. 导 语 一、等差数列前n项和公式的推导 二、等差数列前n项和的基本运算 课时对点练 三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列 随堂演练 内容索引 等差数列前n项和公式的推导 一 如图所示，建筑工地上堆放着一些钢管， 最上面一层有4根，下面每一层比上一层 多放一根，共8层. (1)在不逐个相加的前提下，你能想办法算出这些钢管共有多少根吗？ 问题1 提示　图中的这些钢管，从上到下每一层的数量构成一个等差数列{an}，这个数列的首项为a1=4，公差d=1，而且该数列共有8项，第8项为a8=4+(8-1)×1=11. 设想在图的钢管旁边再放同样多数量的钢管， 但是倒过来放置，如图所示. 这时，每一层钢管数是相同的，都是4+11根，因此图中钢管的总数为=60. (2)你能得出一般等差数列前n项和的公式吗？ 问题1 提示　设等差数列{an}的前n项和为Sn，即 Sn=a1+a2+…+an-1+an， ① 显然，Sn=an+an-1+…+a2+a1， ② 又因为根据等差数列的性质有 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…， 所以把①②两边分别相加，可得2Sn=n(a1+an)，因此Sn=. 若{an}是等差数列，其首项为a1，公差为d，前n项和记作Sn，则 Sn=. 因为an=a1+(n-1)d，所以等差数列前n项求和公式也可以表示为 Sn=____________. na1+ 知识梳理 (1)推导公式Sn=的方法称为倒序相加法求和. (2)公式Sn=反映了等差数列中Sn与a1，an，n的关系. (3)公式Sn=na1+反映了等差数列中Sn与a1，d，n的关系. 注 意 点 <<< 10 二 等差数列前n项和的基本运算 　在等差数列{an}中. (1)已知S8=48，S12=168，求a1和d； 例 1 ∵Sn=na1+n(n-1)d， ∴ 解方程组得a1=-8，d=4. 12 (2)已知a6=10，S5=5，求a8和S8； ∵a6=10，S5=5， ∴ 解方程组得a1=-5，d=3， ∴a8=a6+2d=10+2×3=16， S8==44. 13 (3)已知a16=3，求S31. S31=×31=a16×31=3×31=93. 14 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量：a1，d，n，an、Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若s+t=p+q(s，t，p，q∈N+)，则as +at=ap+aq，常与求和公式Sn=结合使用. 反 思 感 悟 等差数列中的基本计算 15 在等差数列{an}中. (1)若a1=1，a4=7，求S9； 跟踪训练 1 设等差数列{an}的公差为d， 则a4=a1+3d=1+3d=7， 所以d=2. 故S9=9a1+d=9+×2=81. 16 (2)若a3+a15=40，求S17. S17=== =340. 17 (3)若a1=，an=-，Sn=-5，求n和d. 由题意得，Sn===-=-5， 解得n=15. 又a15=+(15-1)d=-， 解得d=-， 所以n=15，d=-. 18 利用等差数列前n项和公式判断等差数列 三 等差数列中，Sn与n的关系与以前学过的什么函数有关？ 问题2 提示　当d=0时，Sn=na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数Sn=n2+n. 如果数列{an}的前n项和的公式是Sn=An2+Bn+C，其中A，B，C都是常数，那么{an}一定是等差数列吗？ 问题3 提示　不一定.当C=0时，数列{an}为等差数列. 　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 例 2 22 当n=1时，a1=S1=-1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5， 经检验，当n=1时，a1=-1满足上式， 故an=4n-5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4， 所以数列{an}是等差数列. 23 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 延伸探究 24 ∵Sn=2n2-3n-1， ① 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2； 当n≥2时，Sn-1=2-3-1， ② ①-②得an=Sn-Sn-1 =2n2-3n-1-[2-3-1] =4n-5， 经检验，当n=1时，a1=-2不符合上式， 25 故an= ∵a2-a1=5≠a3-a2=4， 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 26 由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否 则an=数列{an}不是等差数列. 反 思 感 悟 27 1.知识清单： (1)等差数列的前n项和公式的推导. (2)等差数列的前n项和的计算. (3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列. 2.方法归纳：方程和函数思想、倒序相加法、整体思想. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论；等差数列的前n项和Sn函数特征忽视常数项为0. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知数列{an}的通项公式为an=2-3n，n∈N+，则{an}的前n项和Sn等于 A.-n2+ B.-n2- C.n2+ D.n2- √ ∵an=2-3n，∴a1=2-3=-1， ∴Sn==-n2+. 1 2 3 4 2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d等于 A.2 B.3 C.6 D.7 √ 方法一　由解得d=3. 方法二　由于S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=S2+4d，所以20-4=4+4d，解得d=3. 3.等差数列{an}中，a1=50，d=-2，Sn=0，则n=　　.  1 2 3 4 Sn=na1+d，即50n-n(n-1)=0， ∴n=51. 51 1 2 3 4 4.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，则它的通项公式an=　 　　　.  当n=1时，a1=S1=-1+1=0； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-[-+]=-2n+2，经检验，a1=0也满足该式.故an=-2n+2. -2n+2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10的值是 A.12 B.24 C.36 D.48 √ 由S10=，得a1+a10===24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知等差数列{an}满足a1=1，am=99，d=2，则其前m项和Sm等于 A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500 由am=a1+(m-1)d， 得99=1+(m-1)×2， 解得m=50， 所以S50=50×1+×2=2 500. √ 3.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为 A.5 B.6 C.7 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意知a1+a2+a3+a4=124，an+++=156， ∴4(a1+an)=280， ∴a1+an=70.又Sn==·70=210， ∴n=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)在等差数列{an}中，d=2，an=11，Sn=35，则a1等于 A.-1 B.3 C.5 D.7 √ 由题意知a1+(n-1)×2=11， ① Sn=na1+×2=35， ② 由①②解得 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1等于 A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. √ 由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，则a8=0， 则等差数列{an}的公差d==-， 故a1=a5-4d=1-4×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在等差数列{an}中，++2a3a8=9，且an<0，则S10等于 A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 √ 由++2a3a8=9，得(a3+a8)2=9， ∵an<0， ∴a3+a8=-3， ∴S10====-15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2024·新课标全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=　　.  95 设数列{an}的公差为d， 则由题意得 解得 则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95. 8.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 017=S2 024，Sk=S2 014，则正整数k=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 017=S2 024，Sk=S2 014，可得=，解得k=2 027. 2027 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知等差数列{an}中： (1)a1=，d=-，Sn=-15，求n及an； ∵Sn=n×+×=-15， 整理得n2-7n-60=0， 解得n=12或n=-5(舍去)， a12=+(12-1)×=-4. ∴n=12，an=a12=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)a1=1，an=-512，Sn=-1 022，求d. 由Sn===-1 022，解得n=4. 又由an=a1+(n-1)d，即-512=1+(4-1)d， 解得d=-171. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且a1=-2，a2=2，a3=6. (1)求Sn的表达式； 设Sn=an2+bn+c(a≠0). ∵a1=-2，a2=2，a3=6， ∴ ∴Sn=2n2-4n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断{an}是否为等差数列，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {an}是等差数列，理由如下： 方法一　∵等差数列的前n项和Sn=na1+d=n2+n， 当d≠0时，其是不含常数项的二次函数， ∴Sn=2n2-4n符合等差数列前n项和的形式， ∴{an}是等差数列. 方法二　当n=1时，∵a1=S1=2-4=-2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)]=4n-6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=1时，a1=-2符合上式， ∴an=4n-6(n∈N+)， 又an+1-an=4(n+1)-6-(4n-6)=4为常数， ∴{an}是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知等差数列{an}的前n项和Sn=p+1+(1-p2)n-pn2，则下列结论正确的是 A.p=0 B.p=-1 C.an=2n+1 D.S6=36 √ 综合运用 √ 由等差数列前n项和的函数特征可知p=-1，则Sn=n2，得a1=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，当n=1时，a1=1也成立，故an=2n-1，利用前n项和公式计算得S6=36. 12.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-=0，=38，则m等于 A.38 B.20 C.10 D.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为{an}是等差数列，所以am-1+am+1=2am，由am-1+am+1-=0， 得2am-=0，由=38知am≠0，所以am=2，又=38， 即=(2m-1)am=38， 即(2m-1)×2=38，解得m=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上，则数列{an}的通项公式an=　　 　　.  6n-5(n∈N+) 依题意得=3n-2，即Sn=3n2-2n，所以数列{an}为等差数列，且a1=S1=1，a2=S2-S1=7，所以公差d=6，所以an=6n-5(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列{an}满足a1=1，an+1-an=3(n∈N+)，则an=　 　，a4+a7+a10 +…+a3n+4=　　 　　.  3n-2 由题意可知，数列{an}是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以an =1+3(n-1)=3n-2. 因此，a4+a7+a10+…+a3n+4=10+19+28+…+[3×(3n+4)-2] ==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn=an2+bn(a，b为常数，n∈N+)，则其对应函数为y=ax2+bx(n∈N+).当a=0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C； 当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B； 选项D中的曲线不过原点，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3=45，S4=28. (1)求数列{an}的通项公式； ∵S4=28， ∴=28，a1+a4=14， ∴a2+a3=14， 又a2a3=45，公差d>0， ∴a2<a3， ∴a2=5，a3=9， ∴ ∴an=4n-3，n∈N+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若bn=(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值. 由(1)知Sn=2n2-n， ∴bn==， ∴b1=，b2=，b3=. 又{bn}也是等差数列，∴b1+b3=2b2， 即2×=+， 解得c=-或c=0(舍去). 经检验，c=-符合题意. 第五章 <<< $$ 5.2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 ［学习目标］　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.了解等差数列前n项和的函数特征. 导语　 同学们，印度有一著名景点——泰姬陵，传说陵寝中有一个三角形图案，由相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，这需要用到我们今天要研究的等差数列求和. 一、等差数列前n项和公式的推导 问题1　如图所示，建筑工地上堆放着一些钢管，最上面一层有4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层. (1)在不逐个相加的前提下，你能想办法算出这些钢管共有多少根吗？ (2)你能得出一般等差数列前n项和的公式吗？ 提示　(1)图中的这些钢管，从上到下每一层的数量构成一个等差数列{an}，这个数列的首项为a1=4，公差d=1，而且该数列共有8项，第8项为a8=4+(8-1)×1=11. 设想在图的钢管旁边再放同样多数量的钢管，但是倒过来放置，如图所示. 这时，每一层钢管数是相同的，都是4+11根，因此图中钢管的总数为=60. (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，即 Sn=a1+a2+…+an-1+an， ① 显然，Sn=an+an-1+…+a2+a1， ② 又因为根据等差数列的性质有 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…， 所以把①②两边分别相加，可得2Sn=n(a1+an)，因此Sn=. 知识梳理　 若{an}是等差数列，其首项为a1，公差为d，前n项和记作Sn，则Sn=. 因为an=a1+(n-1)d，所以等差数列前n项求和公式也可以表示为Sn=na1+. 注意点： (1)推导公式Sn=的方法称为倒序相加法求和. (2)公式Sn=反映了等差数列中Sn与a1，an，n的关系. (3)公式Sn=na1+反映了等差数列中Sn与a1，d，n的关系. 二、等差数列前n项和的基本运算 例1　在等差数列{an}中. (1)已知S8=48，S12=168，求a1和d； (2)已知a6=10，S5=5，求a8和S8； (3)已知a16=3，求S31. 解　(1)∵Sn=na1+n(n-1)d， ∴ 解方程组得a1=-8，d=4. (2)∵a6=10，S5=5， ∴ 解方程组得a1=-5，d=3， ∴a8=a6+2d=10+2×3=16， S8==44. (3)S31=×31=a16×31=3×31=93. 反思感悟　等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量：a1，d，n，an、Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若s+t=p+q(s，t，p，q∈N+)，则as+at=ap+aq，常与求和公式Sn=结合使用. 跟踪训练1　在等差数列{an}中. (1)若a1=1，a4=7，求S9； (2)若a3+a15=40，求S17. (3)若a1=，an=-，Sn=-5，求n和d. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a4=a1+3d=1+3d=7， 所以d=2. 故S9=9a1+d=9+×2=81. (2)S17=== =340. (3)由题意得，Sn===-=-5， 解得n=15. 又a15=+(15-1)d=-， 解得d=-， 所以n=15，d=-. 三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列 问题2　等差数列中，Sn与n的关系与以前学过的什么函数有关？ 提示　当d=0时，Sn=na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数Sn=n2+n. 问题3　如果数列{an}的前n项和的公式是Sn=An2+Bn+C，其中A，B，C都是常数，那么{an}一定是等差数列吗？ 提示　不一定.当C=0时，数列{an}为等差数列. 例2　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 解　当n=1时，a1=S1=-1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5， 经检验，当n=1时，a1=-1满足上式， 故an=4n-5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4， 所以数列{an}是等差数列. 延伸探究　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 解　∵Sn=2n2-3n-1， ① 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2； 当n≥2时，Sn-1=2-3-1， ② ①-②得an=Sn-Sn-1 =2n2-3n-1-［2-3-1］ =4n-5， 经检验，当n=1时，a1=-2不符合上式， 故an= ∵a2-a1=5≠a3-a2=4， 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 反思感悟　由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an=数列{an}不是等差数列. 1.知识清单： (1)等差数列的前n项和公式的推导. (2)等差数列的前n项和的计算. (3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列. 2.方法归纳：方程和函数思想、倒序相加法、整体思想. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论；等差数列的前n项和Sn函数特征忽视常数项为0. 1.已知数列{an}的通项公式为an=2-3n，n∈N+，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A.-n2+ B.-n2- C.n2+ D.n2- 答案　A 解析　∵an=2-3n，∴a1=2-3=-1， ∴Sn==-n2+. 2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d等于(　　) A.2 B.3 C.6 D.7 答案　B 解析　方法一　由解得d=3. 方法二　由于S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=S2+4d，所以20-4=4+4d，解得d=3. 3.等差数列{an}中，a1=50，d=-2，Sn=0，则n=　　　　.  答案　51 解析　Sn=na1+d，即50n-n(n-1)=0， ∴n=51. 4.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，则它的通项公式an=　　　　.  答案　-2n+2 解析　当n=1时，a1=S1=-1+1=0； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-［-+］=-2n+2，经检验，a1=0也满足该式.故an=-2n+2. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.在等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10的值是(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 答案　B 解析　由S10=，得a1+a10===24. 2.已知等差数列{an}满足a1=1，am=99，d=2，则其前m项和Sm等于(　　) A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500 答案　D 解析　由am=a1+(m-1)d， 得99=1+(m-1)×2， 解得m=50， 所以S50=50×1+×2=2 500. 3.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　B 解析　由题意知a1+a2+a3+a4=124， an+++=156， ∴4(a1+an)=280， ∴a1+an=70.又Sn==·70=210， ∴n=6. 4.(多选)在等差数列{an}中，d=2，an=11，Sn=35，则a1等于(　　) A.-1 B.3 C.5 D.7 答案　AB 解析　由题意知a1+(n-1)×2=11， ① Sn=na1+×2=35， ② 由①②解得或 5.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，则a8=0， 则等差数列｛an｝的公差d==-， 故a1=a5-4d=1-4×=. 6.在等差数列{an}中，++2a3a8=9，且an<0，则S10等于(　　) A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 答案　D 解析　由++2a3a8=9，得(a3+a8)2=9， ∵an<0， ∴a3+a8=-3， ∴S10=== =-15. 7.(5分)(2024·新课标全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=　　　　.  答案　95 解析　设数列{an}的公差为d， 则由题意得 解得 则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95. 8.(5分)在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 017=S2 024，Sk=S2 014，则正整数k=　　　　.  答案　2 027 解析　因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 017=S2 024，Sk=S2 014，可得=，解得k=2 027. 9.(10分)已知等差数列{an}中： (1)a1=，d=-，Sn=-15，求n及an；(5分) (2)a1=1，an=-512，Sn=-1 022，求d.(5分) 解　(1)∵Sn=n×+×=-15， 整理得n2-7n-60=0， 解得n=12或n=-5(舍去)， a12=+(12-1)×=-4. ∴n=12，an=a12=-4. (2)由Sn===-1 022，解得n=4. 又由an=a1+(n-1)d，即-512=1+(4-1)d， 解得d=-171. 10.(10分)已知数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且a1=-2，a2=2，a3=6. (1)求Sn的表达式；(5分) (2)判断{an}是否为等差数列，并说明理由.(5分) 解　(1)设Sn=an2+bn+c(a≠0). ∵a1=-2，a2=2，a3=6， ∴解得 ∴Sn=2n2-4n. (2){an}是等差数列，理由如下： 方法一　∵等差数列的前n项和Sn=na1+d=n2+n， 当d≠0时，其是不含常数项的二次函数， ∴Sn=2n2-4n符合等差数列前n项和的形式， ∴{an}是等差数列. 方法二　当n=1时，∵a1=S1=2-4=-2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-4n-［2(n-1)2-4(n-1)］=4n-6， 当n=1时，a1=-2符合上式， ∴an=4n-6(n∈N+)， 又an+1-an=4(n+1)-6-(4n-6)=4为常数， ∴{an}是等差数列. 11.(多选)已知等差数列{an}的前n项和Sn=p+1+(1-p2)n-pn2，则下列结论正确的是(　　) A.p=0 B.p=-1 C.an=2n+1 D.S6=36 答案　BD 解析　由等差数列前n项和的函数特征可知p=-1，则Sn=n2，得a1=1，当n≥2 时，an=Sn-Sn-1=2n-1，当n=1 时，a1=1 也成立，故an=2n-1，利用前n项和公式计算得S6=36. 12.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-=0，=38，则m等于(　　) A.38 B.20 C.10 D.9 答案　C 解析　因为{an}是等差数列，所以am-1+am+1=2am，由am-1+am+1-=0， 得2am-=0，由=38知am≠0，所以am=2，又=38， 即=(2m-1)am=38， 即(2m-1)×2=38，解得m=10. 13.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上，则数列{an}的通项公式an=　　　　.  答案　6n-5(n∈N+) 解析　依题意得=3n-2，即Sn=3n2-2n，所以数列{an}为等差数列，且a1=S1=1，a2=S2-S1=7，所以公差d=6，所以an=6n-5(n∈N+). 14.(5分)已知数列{an}满足a1=1，an+1-an=3(n∈N+)，则an=　　　　　，a4+a7+a10+…+a3n+4=　　　　.  答案　3n-2　 解析　由题意可知，数列{an}是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以an =1+3(n-1)=3n-2. 因此，a4+a7+a10+…+a3n+4=10+19+28+…+［3×(3n+4)-2］ ==. 15.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是(　　) 答案　ABC 解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn=an2+bn(a，b为常数，n∈N+)，则其对应函数为y=ax2+bx(n∈N+).当a=0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意. 16.(12分)已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3=45，S4=28. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若bn=(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值.(6分) 解　(1)∵S4=28， ∴=28，a1+a4=14， ∴a2+a3=14， 又a2a3=45，公差d>0， ∴a2<a3， ∴a2=5，a3=9， ∴解得 ∴an=4n-3，n∈N+. (2)由(1)知Sn=2n2-n， ∴bn==， ∴b1=，b2=，b3=. 又{bn}也是等差数列，∴b1+b3=2b2， 即2×=+， 解得c=-或c=0(舍去). 经检验，c=-符合题意. 学科网（北京）股份有限公司 $$