第5章 §5.5 数学归纳法-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第五章 <<< *§5.5　数学归纳法 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题. 学习目标 归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法.归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全部都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的.完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论.数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决过程中有着广泛的应用. 导 语 一、数学归纳法定义的理解 二、用数学归纳法证明等式 课时对点练 三、用数学归纳法证明不等式 随堂演练 内容索引 四、用数学归纳法证明几何问题 数学归纳法定义的理解 一 提示　不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了. 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 问题 数学归纳法的定义：一个与自然数有关的命题，如果 (1)当n=n0时，命题成立； (2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出 时命题也成立.那么这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立. n=k+1 知识梳理 (1)(多选)下面四个判断中错误的是 A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1+k C.式子1+++…+(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1++ D.设f(n)=++…+(n∈N+)，则f(k+1)=f(k)+++ 例 1 √ √ √ 8 A中，当n=1时，式子的值为1+k； B中，当n=1时，式子的值为1； C中，当n=1时，式子的值为1++； D中，f(k+1)=f(k)+++-.故错误的是ABD. 9 (2)用数学归纳法证明：1-+-+…+-=++…+，第一步应验 证的等式是　 　　；从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是　　 ______________　.  1-= - 当n=1时，应当验证的第一个式子是1-=，从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是-. 10 数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k+1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误. 反 思 感 悟 11 　(1)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是 A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 跟踪训练 1 √ 12 (2)用数学归纳法证明：1+++…+<n(n∈N+，n>1)时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是 A.2×3k B.3k C.3k+1 D.1 √ 当n=k时，共有3k-1项；当n=k+1时，共有3k+1-1项，故左边增加的项数为(3k+1-1)-(3k-1)=2×3k. 13 二 用数学归纳法证明等式 　用数学归纳法证明： 12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+). 例 2 15 (1)当n=1时，左边=12-22=-3， 右边=-1×(2×1+1)=-3， 所以左边=右边，等式成立. (2)假设当n=k(k≥1)时等式成立， 即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立. 则当n=k+1时，12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+[2(k+1)-1]2-[2(k+1)]2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2 =(2k+1)(k+1)-4(k+1)2 =(k+1)[2k+1-4(k+1)] 16 =(k+1)(-2k-3) =-(k+1)[2(k+1)+1]， 所以当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立. 17 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n=k到n=k+1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n=k+1时证明目标的表达式进行变形. 反 思 感 悟 18 用数学归纳法证明：1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N+). 跟踪训练 2 (1)当n=1时，左边=1，右边=2(2-3)+3=1，左边=右边，所以等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+)时，等式成立，即1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1= 2k(2k-3)+3. 则当n=k+1时，1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k=2k(2k-3)+3+ (2k+1)×2k=2k(4k-2)+3=2k+1[2(k+1)-3]+3， 即当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)知，等式对任何n∈N+都成立. 19 用数学归纳法证明不等式 三 　用数学归纳法证明：2n>(n+1)2(n≥6，且n∈N+). 例 3 (1)当n=6时，26>(6+1)2，不等式成立； (2)假设当n=k，k≥6时，2k>(k+1)2， 当n=k+1时，2k+1=2×2k>2×(k+1)2=2k2+4k+2， 因为2k2+4k+2-(k+2)2=k2-2， 因为k≥6，所以k2-2>0， 所以2k+1>(k+2)2，即2k+1>[(k+1)+1]2， 所以当n=k+1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，当n≥6时，2n>(n+1)2. 21 反 思 感 悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键点 22 用数学归纳法证明：++…+>(n≥2，n∈N+). 跟踪训练 3 23 (1)当n=2时，+==>. (2)假设当n=k(k≥2且k∈N+)时，不等式成立. 即++…+>， 那么当n=k+1时， ++…+ =++…++++- 24 =++->++- =+- =+>. 这就是说，当n=k+1时，不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立. 25 用数学归纳法证明几何问题 四 　在教材中，我们已研究出如下结论：平面上n个圆把平面最多分成n2-n+2个区域.现探究：空间内n个平面最多可将空间分成多少个部分，n∈N+.设空间内n个平面最多可将空间分成f(n)=an3+bn2+cn+1个部分. (1)求a，b，c的值； 例 4 27 由f(1)=2，f(2)=4，f(3)=8， 得 解得 28 (2)用数学归纳法证明此结论. 29 用数学归纳法证明f(n)=n3+n+1，n∈N+. ①当n=1时，由(1)的计算可知结论显然成立. ②假设当n=k时命题成立，即f(k)=k3+k+1， 那么当n=k+1时，在k个平面的基础上再添上第k+1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得到k条互不平行且不共点的交线，且其中任何3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划分成k2+k+1个部分.每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了k2+k+1个， 30 所以f(k+1)=f(k)+k2+k+1 =k3+k+1+k2+k+1 =(k+1)3+(k+1)+1， 即n=k+1时，结论成立. 根据①②可知，f(n)=n3+n+1，n∈N+. 31 反 思 感 悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k+1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k+1之间的递推关系. 32 平面内有n(n∈N+，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)=. 跟踪训练 4 33 (1)当n=2时，两条直线的交点只有一个. 又f(2)=×2×(2-1)=1， ∴当n=2时，命题成立. (2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)=k(k-1)， 那么，当n=k+1时， 任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)=k(k-1)， l与其他k条直线的交点个数为k. 34 从而k+1条直线共有f(k)+k个交点， 即f(k+1)=f(k)+k=k(k-1)+k =k(k-1+2)=k(k+1) =(k+1)[(k+1)-1]， ∴当n=k+1时，命题成立. 由(1)(2)可知，对任意n∈N+(n≥2)命题都成立. 35 1.知识清单： (1)数学归纳法的定义. (2)数学归纳法的应用. 2.方法归纳：放缩法、配项凑项法等. 3.常见误区： (1)从n=k到n=k+1时，增加的项数易出现错误. (2)归纳假设只设不用而致误. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时，初始值n0的取值应为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 2.用数学归纳法证明等式1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N+)的过程中，第二步假设当n=k时，等式成立，则当n=k+1时，应得到 A.1+3+5+…+(2k+1)=k2 B.1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2 C.1+3+5+…+(2k+1)=(k+2)2 D.1+3+5+…+(2k+1)=(k+3)2 √ 由数学归纳法知第二步假设当n=k时，等式成立，则当n=k+1时，应得到1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2. 3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为 A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 4.已知f(n)=1+++…+(n∈N+).用数学归纳法证明f(2n)>，请补全证明过程： (1)当n=1时，f(21)=1+>； (2)假设n=k时命题成立，即f(2k)>，则当n=k+1时，f(2k+1)=f(2k)+________ _______________________________________________________________ _________________，即当n=k+1时，命题成立. 由(1)(2)可知，对任意n∈N+，都有f(2n)>成立. +…+>+++…+>+=+= + 1 2 3 4 因为当n=k时，f(2k)=1+++…+>， 所以当n=k+1时，f(2k+1)=1+++…++++…+ >+++…+>+=+=. 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.用数学归纳法证明f(n)=2n-n2>0(n≥5，n∈N+)时，应先证明 A.f(1)>0 B.f(2)>0 C.f(4)>0 D.f(5)>0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为 A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其他不相邻的n-2个顶点可引n-2条对角线；原来的一条边变为对角线，所以共增加n-1条. √ 3.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=，n∈N+”，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上 A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3 B.(k3+1)+(k3+2)+…+(k3+k+1) C.(k+1)3 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=k时，左端式子为1+2+3+…+k3，当n=k+1时，左端式子为1+2+3+…+k3+(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3， 两式比较可知增加的式子为(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1×3·…·(2n-1)(n∈N+)，从k到k+1，左端需要增乘的代数式为 A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=k时，左端为(k+1)(k+2)(k+3)·…·2k， 当n=k+1时，左端为(k+2)(k+3)·…·2k·(2k+1)·(2k+2)， 因为(k+2)(k+3)·…·2k·(2k+1)·(2k+2) =[(k+1)(k+2)(k+3)·…·2k]·2(2k+1)， 所以从k到k+1，左端需要增乘的代数式为2(2k+1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k+1成立时，总能推出f(k+1)≥k+2成立，那么下列命题总成立的是 A.若f(1)<2成立，则f(10)<11成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.对于不等式<n+1(n∈N+)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n=1时，<1+1，不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时，不等式成立，即<k+1，则当n=k+1时，=<==(k+1) +1，所以当n=k+1时，不等式成立，则上述证法 A.证明过程全部正确 B.对n=1时的验证不正确 C.归纳假设过程不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从n=k到n=k+1的推理过程中未用到n=k时的假设，故推理不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1-+-+…+-=2时，若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n=　　　时等式成立.  当n=k(k≥2且k为偶数)时，1-+-+…+-=2成立. 由于是所有正偶数，则归纳推广，下一个数为n=k+2时，等式成立. k+2 8.在用数学归纳法证明“f(n)=+++…+<1(n∈N+，n≥3)”的过程中，假设当n=k(k∈N+，k≤3)时，不等式f(k)<1成立，则需证当n=k+1 时，f(k+1)<1也成立.若f(k+1)=f(k)+g(k)，则g(k)=　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 +- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(k)=+++…+， f(k+1)=++…+++， ∴f(k+1)-f(k)=+-. ∵f(k+1)=f(k)+g(k)， ∴g(k)=+-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.求证：1+++…+=(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当n=1时，左边=1，右边==1，所以左边=右边，等式成立. ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，等式成立， 即1+++…+=. 则当n=k+1时，1+++…++ =+=+==. 则当n=k+1时，等式也成立. 由①②可知，对任意n∈N+，等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知x>-1，且x≠0，n∈N+，且n≥2. 用数学归纳法证明：(1+x)n>1+nx. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当n=2时，左边=(1+x)2=1+2x+x2，右边=1+2x. 因为x2>0，所以原不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时不等式成立， 即(1+x)k>1+kx. 当n=k+1时，因为x>-1，所以1+x>0. 于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+kx)·(1+x)=1+(k+1)x+kx2， 右边=1+(k+1)x， 因为kx2>0，所以左边>右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x. 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立. 根据(1)和(2)可知，原不等式对任何不小于2的正整数都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N+，n>1)时，第一步应验证不等式 A.1+<2 B.1++<2 C.1++<3 D.1+++<3 √ 综合运用 由题意得，当n=2时， 不等式为1++<2. 12.(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N)的自然数都成立，则以下满足条件的k的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2，n∈N+)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式左边 A.增加了一项 B.增加了两项， C.增加了B中两项但减少了一项 D.以上各种情况均不对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依据数学归纳法的证明步骤可知，假设当n=k时，则有+ +…+<成立； 当n=k+1时，不等式的左边为++…+=++… +++. ∴增加了，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.探索表达式A=(n-1)(n-1)！+(n-2)(n-2)！+…+2·2！+1·1！(n>1，且n∈N+)的结果时，第一步当n=　　时，A=　　.  2 1 ∵n>1，且n∈N+， ∴当n=2时， A=(2-1)(2-1)！=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)”能被9整除，要利用归纳假设证当n=k+1时的情况，只需展开 A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设当n=k时，原式能被9整除， 即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除. 当n=k+1时，(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设， 只需将(k+3)3展开，让其出现k3即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N+，都有Sn=+成立. (1)求a1，a2，a3； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵对任意n∈N+，都有Sn=+成立， ∴a1=S1=+，解得a1=1， S2=+，即a1+a2=2+，解得a2=2， S3=+，即a1+a2+a3=+，解得a3=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)猜想an=n. 证明：①当n=1时，a1=1，显然成立； ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，ak=k成立，则 当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk =+-- =+--， ∴ak+1=k+1， 即当n=k+1时，等式也成立， 由①②可知，对任意n∈N+，an=n都成立. 第五章 <<< $$ ［学习目标］　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题. 导语 归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法.归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全部都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的.完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论.数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决过程中有着广泛的应用. 一、数学归纳法定义的理解 问题　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示　不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了. 知识梳理 数学归纳法的定义：一个与自然数有关的命题，如果 (1)当n=n0时，命题成立； (2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n=k+1时命题也成立.那么这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立. 例1　(1)(多选)下面四个判断中错误的是(　　) A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1+k C.式子1+++…+(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1++ D.设f(n)=++…+(n∈N+)，则f(k+1)=f(k)+++ 答案　ABD 解析　A中，当n=1时，式子的值为1+k；B中，当n=1时，式子的值为1；C中，当n=1时，式子的值为1++；D中，f(k+1)=f(k)+++-.故错误的是ABD. (2)用数学归纳法证明：1-+-+…+-=++…+，第一步应验证的等式是　　　　　　　　；从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是　　　　　　.  答案　1-=　- 解析　当n=1时，应当验证的第一个式子是1-=，从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是-. 反思感悟　数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k+1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误. 跟踪训练1　(1)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是(　　) A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 答案　D (2)用数学归纳法证明：1+++…+<n(n∈N+，n>1)时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是(　　) A.2×3k B.3k C.3k+1 D.1 答案　A 解析　当n=k时，共有3k-1项；当n=k+1时，共有3k+1-1项，故左边增加的项数为(3k+1-1)-(3k-1)=2×3k. 二、用数学归纳法证明等式 例2　用数学归纳法证明： 12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+). 证明　(1)当n=1时，左边=12-22=-3， 右边=-1×(2×1+1)=-3， 所以左边=右边，等式成立. (2)假设当n=k(k≥1)时等式成立， 即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立. 则当n=k+1时，12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+［2(k+1)-1］2-［2(k+1)］2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2 =(2k+1)(k+1)-4(k+1)2 =(k+1)［2k+1-4(k+1)］ =(k+1)(-2k-3) =-(k+1)［2(k+1)+1］， 所以当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立. 反思感悟　用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n=k到n=k+1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n=k+1时证明目标的表达式进行变形. 跟踪训练2　用数学归纳法证明：1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N+). 证明　(1)当n=1时，左边=1，右边=2(2-3)+3=1，左边=右边，所以等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+)时，等式成立，即1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1=2k(2k-3)+3. 则当n=k+1时，1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k=2k(2k-3)+3+(2k+1)×2k=2k(4k-2)+3=2k+1［2(k+1)-3］+3， 即当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)知，等式对任何n∈N+都成立. 三、用数学归纳法证明不等式 例3　用数学归纳法证明：2n>(n+1)2(n≥6，且n∈N+). 证明　(1)当n=6时，26>(6+1)2，不等式成立； (2)假设当n=k，k≥6时，2k>(k+1)2， 当n=k+1时，2k+1=2×2k>2×(k+1)2=2k2+4k+2， 因为2k2+4k+2-(k+2)2=k2-2， 因为k≥6，所以k2-2>0， 所以2k+1>(k+2)2，即2k+1>［(k+1)+1］2， 所以当n=k+1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，当n≥6时，2n>(n+1)2. 反思感悟　用数学归纳法证明不等式的四个关键点 跟踪训练3　用数学归纳法证明：++…+>(n≥2，n∈N+). 证明　(1)当n=2时，+==>. (2)假设当n=k(k≥2且k∈N+)时，不等式成立. 即++…+>， 那么当n=k+1时， ++…+ =++…++++- =++->++- =+- =+>. 这就是说，当n=k+1时，不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立. 四、用数学归纳法证明几何问题 例4　在教材中，我们已研究出如下结论：平面上n个圆把平面最多分成n2-n+2个区域.现探究：空间内n个平面最多可将空间分成多少个部分，n∈N+.设空间内n个平面最多可将空间分成f(n)=an3+bn2+cn+1个部分. (1)求a，b，c的值； (2)用数学归纳法证明此结论. 解　(1)由f(1)=2，f(2)=4，f(3)=8， 得 解得 (2)用数学归纳法证明 f(n)=n3+n+1，n∈N+. ①当n=1时，由(1)的计算可知结论显然成立. ②假设当n=k时命题成立， 即f(k)=k3+k+1， 那么当n=k+1时，在k个平面的基础上再添上第k+1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得到k条互不平行且不共点的交线，且其中任何3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划分成k2+k+1个部分.每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了k2+k+1个， 所以f(k+1)=f(k)+k2+k+1 =k3+k+1+k2+k+1 =(k+1)3+(k+1)+1， 即n=k+1时，结论成立. 根据①②可知，f(n)=n3+n+1，n∈N+. 反思感悟　用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k+1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k+1之间的递推关系. 跟踪训练4　平面内有n(n∈N+，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)=. 证明　(1)当n=2时，两条直线的交点只有一个. 又f(2)=×2×(2-1)=1， ∴当n=2时，命题成立. (2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)=k(k-1)， 那么，当n=k+1时， 任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)=k(k-1)， l与其他k条直线的交点个数为k. 从而k+1条直线共有f(k)+k个交点， 即f(k+1)=f(k)+k=k(k-1)+k =k(k-1+2)=k(k+1) =(k+1)［(k+1)-1］， ∴当n=k+1时，命题成立. 由(1)(2)可知，对任意n∈N+(n≥2)命题都成立. 1.知识清单： (1)数学归纳法的定义. (2)数学归纳法的应用. 2.方法归纳：放缩法、配项凑项法等. 3.常见误区： (1)从n=k到n=k+1时，增加的项数易出现错误. (2)归纳假设只设不用而致误. 1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时，初始值n0的取值应为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 2.用数学归纳法证明等式1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N+)的过程中，第二步假设当n=k时，等式成立，则当n=k+1时，应得到(　　) A.1+3+5+…+(2k+1)=k2 B.1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2 C.1+3+5+…+(2k+1)=(k+2)2 D.1+3+5+…+(2k+1)=(k+3)2 答案　B 解析　由数学归纳法知第二步假设当n=k时，等式成立，则当n=k+1时，应得到1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2. 3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为(　　) A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23 答案　D 4.已知f(n)=1+++…+(n∈N+).用数学归纳法证明f(2n)>，请补全证明过程： (1)当n=1时，f(21)=1+>； (2)假设n=k时命题成立，即f(2k)>，则当n=k+1时，f(2k+1)=f(2k)+　　　　　　　，即当n=k+1时，命题成立. 由(1)(2)可知，对任意n∈N+，都有f(2n)>成立. 答案　++…+>+++…+>+=+= 解析　因为当n=k时，f(2k)=1+++…+>， 所以当n=k+1时，f(2k+1)=1+++…++++…+>+++…+>+=+=. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.用数学归纳法证明f(n)=2n-n2>0(n≥5，n∈N+)时，应先证明(　　) A.f(1)>0 B.f(2)>0 C.f(4)>0 D.f(5)>0 答案　D 2.凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为(　　) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 答案　C 解析　凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其他不相邻的n-2个顶点可引n-2条对角线；原来的一条边变为对角线，所以共增加n-1条. 3.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=，n∈N+”，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上(　　) A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3 B.(k3+1)+(k3+2)+…+(k3+k+1) C.(k+1)3 D. 答案　A 解析　当n=k时，左端式子为1+2+3+…+k3，当n=k+1时，左端式子为1+2+3+…+k3+(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3， 两式比较可知增加的式子为(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3. 4.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1×3·…·(2n-1)(n∈N+)，从k到k+1，左端需要增乘的代数式为(　　) A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 答案　B 解析　当n=k时，左端为(k+1)(k+2)(k+3)·…·2k， 当n=k+1时，左端为(k+2)(k+3)·…·2k·(2k+1)·(2k+2)， 因为(k+2)(k+3)·…·2k·(2k+1)·(2k+2) =［(k+1)(k+2)(k+3)·…·2k］·2(2k+1)， 所以从k到k+1，左端需要增乘的代数式为2(2k+1). 5.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k+1成立时，总能推出f(k+1)≥k+2成立，那么下列命题总成立的是(　　) A.若f(1)<2成立，则f(10)<11成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立 答案　D 6.对于不等式<n+1(n∈N+)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n=1时，<1+1，不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时，不等式成立，即<k+1，则当n=k+1时，=<==(k+1)+1，所以当n=k+1时，不等式成立，则上述证法(　　) A.证明过程全部正确 B.对n=1时的验证不正确 C.归纳假设过程不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 答案　D 解析　从n=k到n=k+1的推理过程中未用到n=k时的假设，故推理不正确. 7.(5分)已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1-+-+…+-=2时，若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n=　　　　时等式成立.  答案　k+2 解析　当n=k(k≥2且k为偶数)时，1-+-+…+-=2成立. 由于是所有正偶数，则归纳推广，下一个数为n=k+2时，等式成立. 8.(5分)在用数学归纳法证明“f(n)=+++…+<1(n∈N+，n≥3)”的过程中，假设当n=k(k∈N+，k≤3)时，不等式f(k)<1成立，则需证当n=k+1时，f(k+1)<1也成立.若f(k+1)=f(k)+g(k)，则g(k)=　　　　.  答案　+- 解析　∵f(k)=+++…+， f(k+1)=++…+++， ∴f(k+1)-f(k)=+-. ∵f(k+1)=f(k)+g(k)， ∴g(k)=+-. 9.(10分)求证：1+++…+=(n∈N+). 证明　①当n=1时，左边=1，右边==1，所以左边=右边，等式成立. ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，等式成立， 即1+++…+=. 则当n=k+1时，1+++…++ =+ =+==. 则当n=k+1时，等式也成立. 由①②可知，对任意n∈N+，等式成立. 10.(12分)已知x>-1，且x≠0，n∈N+，且n≥2. 用数学归纳法证明：(1+x)n>1+nx. 证明　(1)当n=2时，左边=(1+x)2=1+2x+x2，右边=1+2x. 因为x2>0，所以原不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时不等式成立， 即(1+x)k>1+kx. 当n=k+1时，因为x>-1，所以1+x>0. 于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+kx)·(1+x)=1+(k+1)x+kx2， 右边=1+(k+1)x， 因为kx2>0，所以左边>右边， 即(1+x)k+1>1+(k+1)x. 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立. 根据(1)和(2)可知，原不等式对任何不小于2的正整数都成立. 11.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N+，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A.1+<2 B.1++<2 C.1++<3 D.1+++<3 答案　B 解析　由题意得，当n=2时， 不等式为1++<2. 12.(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N)的自然数都成立，则以下满足条件的k的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　CD 13.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2，n∈N+)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式左边(　　) A.增加了一项 B.增加了两项， C.增加了B中两项但减少了一项 D.以上各种情况均不对 答案　C 解析　依据数学归纳法的证明步骤可知，假设当n=k时，则有++…+<成立； 当n=k+1时，不等式的左边为++…+=++…+++. ∴增加了，两项，减少了一项，故选C. 14.(5分)探索表达式A=(n-1)(n-1)！+(n-2)(n-2)！+…+2·2！+1·1！(n>1，且n∈N+)的结果时，第一步当n=　　　　时，A=　　　　.  答案　2　1 解析　∵n>1，且n∈N+， ∴当n=2时， A=(2-1)(2-1)！=1. 15.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)”能被9整除，要利用归纳假设证当n=k+1时的情况，只需展开(　　) A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 答案　A 解析　假设当n=k时，原式能被9整除， 即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除. 当n=k+1时，(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设， 只需将(k+3)3展开，让其出现k3即可. 16.(12分)设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N+，都有Sn=+成立. (1)求a1，a2，a3；(5分) (2)猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.(7分) 解　(1)∵对任意n∈N+，都有Sn=+成立， ∴a1=S1=+，解得a1=1， S2=+，即a1+a2=2+，解得a2=2， S3=+，即a1+a2+a3=+，解得a3=3. (2)由(1)猜想an=n. 证明：①当n=1时，a1=1，显然成立； ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，ak=k成立，则 当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk =+-- =+--， ∴ak+1=k+1， 即当n=k+1时，等式也成立， 由①②可知，对任意n∈N+，an=n都成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$